(完整word版)高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳(wo

平面向量

【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】

1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或 a 。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。

3. 单位向量：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| e| 1。

4.零向量：长度为 0 的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA。

8.三角形法则：

AB BC AC ； AB BC CD DE AE ； AB AC CB （指向被减数）

9. 平行四边形法则：

以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ， a b 。

10. 共线定理：a b a / /b 。当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12. 向量的模：若 a (x, y) ，则| a | x2 y 2

2

| a |2， | a b | ( a b)2 ， a

13. 数量积与夹角公式： a b | a | | b | cos ；cos

a b | a | | b |

14. 平行与垂直： a / / b a b x1 y2 x2 y1； a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0

题型 1. 基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是AB

CD 。

（ 5）若AB CD ，则A、B、C、D四点构成平行四边形。

（ 6）若a与b共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。（7）若ma mb ，则 a b 。

1

（ 8）若ma na ，则 m n 。（9）若a与b不共线，则a 与 b 都不是零向量。

（ 10）若a b| a | | b | ，则 a / /b 。（11）若 | a b | | a b |，则 a b 。

题型 2. 向量的加减运算

1. 设 a 表示“向东走8km”, b表示“向北走6km” , 则| a b | 。

2. 化简 (AB MB) (BO BC) OM 。

3. 已知 | OA | 5 , |OB | 3 ,则 | AB | 的最大值和最小值分别为、。

4. 已知 AC为 AB与 AD 的和向量，且 AC a, BD b ，则 AB ， AD 。

5. 已知点 C 在线段 AB 上，且AC 3

AB,则 AC BC， AB BC 。

题型 3. 向量的数乘运算

5

1. 计算： 2(2a 5b 3c) 3( 2a 3b 2c)

2. 已知 a (1, 4), b ( 3,8) ，则 3a 1 b 。

2

题型 4. 根据图形由已知向量求未知向量

1. 已知在 ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量AB，AC 表示 AD 。

2. 在平行四边形ABCD 中，已知AC a, BD b ，求 AB和 AD 。题型 5. 向量的坐标运算

1. 已知 AB (4,5) ， A(2,3) ，则点B的坐标是。

2. 已知 PQ ( 3, 5) ， P(3,7) ，则点 Q 的坐标是。

3. 若物体受三个力 F (1,2) , F

2 ( 2,3) , F ( 1, 4) , 则合力的坐标为。

1 3

4. 已知 a ( 3,4) ， b (5, 2) ，求 a b ， a b ， 3a 2b 。

5. 已知 A(1,2), B(3,2) , 向量a ( x 2, x 3y 2) 与 AB 相等，求 x, y 的值。

2

6. 已知 AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD ( 1,4) ，则 DA 。

7. 已知 O 是坐标原点，A(2, 1),B( 4,8) ，且 AB 3BC 0 ，求 OC 的坐标。

题型 6. 判断两个向量能否作为一组基底

1.已知 e1, e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.

e1 e2和

e1 e2 B. 3e1 2e2和4e2 6e1 C.

e1 3e2和

e2

3e1 D. e2和e2

e1

2. 已知a (3,4)，能与a构成基底的是（）

A. (3

,

4

) B. (

4

,

3

) C. ( 3, 4) D. ( 1, 4) 5 5 5 5 5 5 3

题型 7. 结合三角函数求向量坐标

1. 已知O 是坐标原点，点 A 在第二象限，|OA | 2 ， xOA 150 ，求 OA 的坐标。

2. 已知O是原点，点 A 在第一象限，| OA | 4 3 ，xOA 60 ，求 OA 的坐标。

题型 8. 求数量积

1. 已知| a | 3,| b | 4 ，且a与 b 的夹角为 60 ，求（ 1）a b，（ 2）a (a b ) ，

（ 3）

1

，（） (2 a b) ( a 3b ) 。

(a b ) b 4

2

2. 已知a(2, 6), b ( 8,10) ，求（1） | a |,| b | ，（2） a b ，（3） a (2a b) ，

（4）(2 a b ) (a 3b)。

题型 9. 求向量的夹角

1. 已知| a |8,| b | 3 ， a b12 ，求a与 b 的夹角。

3

2. 已知a( 3,1), b ( 2 3, 2) ，求a与 b 的夹角。

3. 已知A(1,0)，B(0,1)，C (2,5)，求cos BAC 。

题型 10. 求向量的模

1. 已知| a |3,| b | 4 ，且a与 b 的夹角为 60 ，求（1） | a b |，（2） | 2a 3b |。

2. 已知a (2, 6), b ( 8,10) ，求（1） | a |,| b | ，（5） | a b |，（6） | a 1

b |。2

3. 已知| a |1，|b | 2 ， | 3a 2b | 3 ，求 |3a b |。

题型 11. 求单位向量【与 a 平行的单位向量： e

a

】| a |

1. 与a (12,5) 平行的单位向量是

2.与m (

1

) 平行的单位向量是。1,

2

题型 12. 向量的平行与垂直

1. 已知 a (1,2) ， b ( 3,2) ，（）

k

为何值时，向量ka b 与 a 3b 垂直？（

2

）

k

为何值时

1

向量 ka b 与 a 3b 平行？

2. 已知a是非零向量， a b a c ，且 b c ，求证： a (b c ) 。

题型 13. 三点共线问题

4

1. 已知A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求证： A, B, C 三点共线。

2 (a 5b), BC2a 8b, CD 3(a b) ，求证：A、B、D三点共线。

2. 设AB

2

3. 已知 AB a 2b, BC 5a 6b,CD 7a 2b ，则一定共线的三点是。

4. 已知 A(1, 3) ， B(8, 1) ，若点 C (2 a 1,a 2) 在直线AB上，求 a 的值。

5. 已知四个点的坐标O (0,0) ，A(3, 4) ，B( 1,2) ，C (1,1)，是否存在常数t ，使OA tOB OC

成立？

题型 14. 判断多边形的形状

1. 若 AB 3e ， CD 5e，且 | AD | | BC |,则四边形的形状是。

2. 已知 A(1,0) ， B(4,3) ， C (2, 4) ， D (0,2) ，证明四边形ABCD 是梯形。

3. 已知A( 2,1)，B(6,3) ， C (0,5) ，求证：ABC 是直角三角形。

4. 在平面直角坐标系内，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求证：ABC 是等腰直角三角形。

题型 15. 平面向量的综合应用

1. 已知a(1,0) ， b (2,1) ，当k为何值时，向量ka b 与 a 3b 平行？

5

2. 已知 a

( 3, 5) ，且 a b ， | b | 2 ，求 b 的坐标。

3. 已知 a 与b 同向， b (1,2) ，则 a b 10 ，求 a 的坐标。

4. 已知 a

(1,2) ， b (3,1) ， c (5,4) ，则 c a b 。

5. 已知 a (m,3) ， b (2, 1) ，（ 1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求 m 的范围；

（ 2）若 a 与 b 的夹角为锐角，求

m 的范围。

6. 已知 a

(6,2) ， b ( 3,m) ，当 m 为何值时，（ ） a 与 b 的夹角为钝角？（ ） a 与 b 的夹

1 2

角为锐角？

7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A( 1,2) ，B(3, 4) ，D (2,1) ，且 AB / / DC ，AB 2CD ，

求点 C 的坐标？

8. 已知

ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4) ， B(0,0) ， C (c,0) ，

（ 1）若 AB AC 0，求 c 的值；（2）若 c 5 ，求 sin A 的值？

6

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