北京市通州区2010年4月高三年级模拟考试（一）数学（理）

通州区高三年级模拟考试（一）

数学（理科）试卷

2010年4月

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共10页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将I卷答题卡和II卷答题纸一并交回．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试卷上．

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请把正确选项的标号填涂在答题卡相应的位置上． 1．复数

2i1?i等于

?f?x?（A）?1?i 2．已知幂函数y（A）

14（B）1?i

??

1?2?? （C）?2?2i ，则

f?? （D）2?2i

的图象经过点?2,（B）

121???2?的值为

（D）1

2 （C）2

3．若函数f?x??x?ax?a?R?，则下列结论正确的是

（A）?a?R，f?x?是偶函数 （B）?a?R，f?x?是奇函数 （C）?a?（D）?a?RR，f?x?在(0,＋∞)上是增函数 ，f?x?在(0,＋∞)上是减函数

参赛选手打出

7 9 掉一个最低分，

8 4 4 6 4 7 9 3 图1

?OB4．图1是某次歌咏比赛中，七位评委为某分数的茎叶图．去掉一个最高分，再去则所剩数据的平均数和方差分别为 （A）84，4.84 （C）85，4 5．直线2x?的值为

（B）84，1.6 （D）85，1.6 与圆x2?y2?5y?m?0交于A、B两点，O为坐标原点，若OA，则m

（A）?5 （C）?52 （B）?（D）?5252

2

6．执行图2所示的程序，输出的结果为20， 则判断框中应填入的条件为 （A）a≥5 （C）a≥3

（B）a≥4 （D）a≥2

图2

7．用若干个大小相同，棱长为1的正方体 摆成一个立体模型，其三视图如图3，则 此立体模型的表面积为 （A）24 （C）22

（B）23 （D）21

俯视图

M?N?xx?M,且x?N正（主）视图 侧（左）视图

8．对于集合M、N，定义

??，

图3

M?N??M?N???N?M?．设A??tt?x2?3x?，B??xy?lg??x??，则A?B为

（A）??x???x??9494或x≥0?????????

（B）??x????9494?x≤0?????????

（C）??x???x≤?或x?0?

（D）??x????≤x?0?

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

注意事项：

1．用黑色钢笔或签字笔在答题纸的相应位置上作答，在试卷上作答无效． 2．答卷前将答题纸密封线内的个人信息按要求填写清楚． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．圆的参数方程???x?2cos??1??y?2sin?（?为参数）化成普通方程为 ．

10．在?ABC中，若?A?120?，AB11．设向量a??5，BC?7??b，则AC? ．

??3,?2?，b??1,2?，若a与a垂直，则实数? ．

12．如图4，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，

割线PCD经过圆心，已知PA?6，ABPO=12，则⊙O的半径为 ． 13．已知f?x????(a????loga?713，

2)x?2a(x?1)x(x≥1)是R上的

图4

增函数，则a的取值范围是 ． 14．已知数列?an?满足a1?1，

a2010?an?a1?12a2?13a3???1n?1an?1?n≥2,n?N??，则

．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数f?x??2cos2x?2sinxcosx．

（I）求f?x?的最小正周期； （II）若x????0,?2???，求f?x?的最大值与最小值的和．

16．（本小题满分13分）

如图5，在底面是矩形的四棱锥P?PA?底面ABCDABCD中，

，E、F分别是PC、PD

?2．

的中点，PA?AB?1，BC（I）求证：EF∥平面PAB； （II）求证：平面PAD?平面PDC； （III）求二面角A?PD?B的余弦值．

图5

17．（本小题满分13分） 设不等式组??x????x????y≥??2?0≤x≤2y≤2确定的平面区域为U，

≤y?2≥0y?2≤00确定的平面区域为V．

（I）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U内

任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在 区域V的概率；

图6

（II）在区域U内任取3个点，记此3个点在区域V的个数为X，求X的概率分布列

及其数学期望．

18．（本小题满分13分）

已知函数f?x??x2e?ax,其中a?0．

（I）求f?x?的单调区间； （II）求f?x?在?1,2?上的最大值．

19．（本小题满分14分）

已知抛物线x2?2py?p?0?与直线y?kx?p2交于A、B两点，O为坐标原点．

（I）当k=1时，求线段AB的长；

（II）当k在R内变化时，求线段AB中点C的轨迹方程；

（III）设l是该抛物线的准线．对于任意实数k，l上是否存在点D，使得AD?BD如果存在，求出点D的坐标；如不存在，说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知数列?an?的前n项和Sn（I）求a2与a3； （II）求证：数列??????????????0？

?n2an?n?n?1??n?N??，且a1?12．

n?1nSn???是等差数列；

与2n?1?n?2的大小，并说明理由．

（III）试比较a1?

2a2?3a3???nan通州区2010年高三数学（理）第一次模拟练习答案

一、

题号 答案 二、9．?x1 B ?1?22 Ｃ ?y23 A 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A ?4， 10．３， 11．13， 12．8， 13．?2,???， 14．1005．

2三、15．（Ⅰ）f?x???2cos22cosx?2sinxcosx

x?1?2sinxcosx?1

?cos2x?sin2x?1 2分 ????2sin?2x???1 4

4???2?2?分

∴f?x?的最小正周期T???0,??2????． 6分

??5??,??44??（Ⅱ）当x?时，2x?4? 8分

当2x??4??2，即x??8时，f?x?取得最大值

???f????8?2?1； 10分

当2x??4?5?4，即x??2时，f?x?取得最小值

???f????2??2?????2???1?02??． 12分

∴当x????0,??2??时，f?x?最大值与最小值的和为

??????f???f????8??2?2?1． 13分

16．解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则

A?0,0,0?,B?1,0,0?,C?1,2,0?,D?0,2,0?,P?0,0,1?z PF∴E??1?2,1,1?1???,F?0,1,?2?2??，

?1?EF???,0,0??2?，PB??1,0,?1?，

EADy

PD??0,2,?1?，AP??0,0,1?，AD??0,2,0?，DC??1,0,0?，

AB??1,0,0?． x BC 3分

（Ⅰ）∵EF??12AB,

∴EF∥AB，即EF∥AB，

又AB?平面PAB，EF?平面PAB，

∴EF∥平面PAB． 6分 （Ⅱ）∵AP∴AP?DC??0,0,1???1,0,0??0，AD?DC??0,2,0???1,0,0??0，

?DC,AD?DC，即AP?DC,AD?DC．

又AP?AD?A,AP?面PAD,AD?面PAD， ∴DC?平面PAD． ∵DC?平面PDC，

∴平面PAD?平面PDC． 9分 （Ⅲ）设平面PBD的一个法向量n??n?PB?0??n?PD?0?x?z?0?2y?z?0??x,y,z?，则

∴?，即?，解得平面APC的一个法向量n??2,1,2?．

而平面APD的一个法向量是DCcos??n?DCn?DC???1,0,0?，设二面角A?PD?B为?，则

?2,1,2???1,0,0?3?1?2323．

即二面角A?PD?B的余弦值为． 13分

17．解：（Ⅰ）由题意，区域Ｕ内共有15个整点，区域Ｖ内共有9个整点，设所取3个整点中恰有2个整点在区域Ｖ的概率为P?V?，则

C9?C6C31521Ｙ Ａ Ｅ Ｄ P?V???216455． 6分

Ｂ Ｏ Ｃ Ｘ （Ⅱ）区域U的面积为8，区域V的面积为4，

∴在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率为

48?12． 8分

X的取值为0，1，2，3． 9分

P?X?0??C03?1??1??????2??2?03?18，

?1??1?P?X?1??C?????2??2?13212?38，

P?X?2??C23?1??1??????2??2?31?38，

?1??1?P?X?3??C?????2??2?330?18． 11分

∴Ｘ的分布列为 Ｘ P?X０ １ ２ 3 ? 18 38 18?3832 18 E?X??0?18?1?38?2?38?3?． 13分

18．解：（Ⅰ）令

f??x??0f??x??2xe?ax?x2??a?e?ax?e?ax??ax2?2x? 2分

，∵e?ax，

?0 3分

∴?ax2?2x?0解得0?x?2a． 4分

??2??内是增函数． 6a?∴f?x?在???2??,0?和?,????a?内是减函数，在?0,分

（Ⅱ）①当0∴在?1,2?上

2a?2a?1，即a?2?a时，f?x?在?1,2?内是减函数．

； 8分

??2??a?fmax?x??f?1??e②当1??2，即1?a?2时，f?x?在?1,内是增函数，在??2?,2??a?内是减函数．

∴在?1,2?上

2a?2?fmax?x??f???4a?a??2e?2； 10分

③当

?2，即0?a?1时，f?x?在?1,2?是增函数．

?2a∴在?1,2?上

fmax?x??f?2??4e． 12分

?2a综上所述，当0?a?1时，f?x?在?1,2?上的最大值为4e；当1?a?2时，f?x?在?1,2?上

的最大值为4a?2e?2；当a?2时，f?x?在?1,2?上的最大值为e?a． 13分

19．解：设点A、B分别为?x1,?x?2py??py?kx???22y1?、?x2,y2?，由题意得

，

∴x2∴x1∴y1?2pkx?p2?0， １分

?x2??p2?x2?2pk，x1． 2分

p???k?x1?x2??p?2pk2?2p????y2??kx1????kx2???x122??p，

y1?y2?2p?x222p?14p2． ３分

14（Ⅰ）当k?1时，x1∴

?AB??x2?2p，x1?x2??p2，y1?y2?3p，y1?y2?p2．

?x1?2?x2?2??y1?y2?2 4分 ?2?4y1y2?x14p?x22?4x1x2??y1?y22

??4p?9p2?p2?4p． ６分

（Ⅱ）设线段AB中点C的坐标为?x,y?，则当k变化时，

x?x?1??y?y?1??x22?y22?pkp2， 7分

?pk2?消去k，得x2?py?p222．

?py?p22即点C的轨迹方程为x（Ⅲ）抛物线x2． ９分 的方程为y??p2?2py?p?0?的准线l． 10分

假设在l上存在一点D?x0,???p??2?，使AD?BD?0，则 11分

p??AD??x0?x1,??y1?2??，BDp????x0?x2,??y2?2??． 12分

令ADpp?????BD??x0?x1??x1?x2?????y1????y2??022????， 13分

得x02将x12??x1?x2?x0?x1x2??x2?2pk214p2??y1?y2?p2?y1y2?02 ①

y1?y2?14p2，x12?x2??p2，

y1?y2?2pk?p，代入①式，整理得

x0?2pkx0?pk?0，即?x0?pk?2?0，

∴x0?pk．

??p??2?∴对于任意实数k，在l上存在点D?

20．（Ⅰ）解：∵Sn∴S2∵a1∴a2

（Ⅱ）证明：当n?1时，当n?2时，an∴Sn∴?n2∴即

?n2pk,?，使得AD?BD?0． 14分

?nan?n?n?1?2?n?N?，

??4a2?2?a1?a2，S3?9a3?6?a1?a2?a3，

?1256 ，a3?1112?． 3分

n?1nSn?2S1?2a1?1 4

分

?Sn?Sn?1，

分

?Sn?Sn?1??n?n?1?， 5

2?1Sn?nSn?1?n?n?1?，

?

n?1nn?1nSn?Sn??n?1?nnn?1nn?1?Sn??Sn?1?1， Sn?1?1． ７分

∴数列?是首项为１，公差为１的等差数列． 8分

n?1n（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴Sn?n2Sn?1??n?1??1?n，

，

?nan?n?n?1?，

2n?1又已知Sn∴

nan2n?1n?nan?n?n?1?，

2?nn?1?n?1??n?1??n01n1n?1?1． 10

nn分

∵2n∴∴?∴na∴a11??1?1??Cn?C???Cn?1?n???Cn?1?n，

n?11?12n，

12nn?1n??，

1n?1?1?2n??n?1???12n?1， 12分

?2a2?3a3???nan

1111???2??3??n???2??1???2??1???2??1?????2??1?23n2222????????

?2?2?2?23???2n1?????2?122?123???1???nn2?

?21?21?2?n??1?1??1?n?2?2?1?12?n

?2n?1?2??12n?1?n12n 13分 ，即

n?1∵当n?∴2n?1即a1

N时，

12n?112n?1?0，

?2??1?n?2?n?2．

． 14分

?2a2?3a3???nan?2n?1?n?2

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