高中物理圆周运动专题讲解

圆周运动的向心力及其应用

【要点梳理】

要点一、物体做匀速圆周运动的条件

要点诠释：

物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。

要点二、关于向心力及其来源

1、向心力

要点诠释

（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力.

（2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。

（3）向心力的大小：

2

2

v

F ma m mr

r

ω===

向向

向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；

对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；

线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。

如果是匀速圆周运动则有：

22

222

2

4

4

v

F ma m mr mr mr f

r T

π

ωπ=====

向向

（4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。

（5）关于向心力的说明：

①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；

②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；

③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。

2、向心力的来源

要点诠释

（1）向心力不是一种特殊的力。重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。

（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)：

要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别

1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动

要点诠释：

（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。

例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。

（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个

分量。

例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力F 拉和重力mg 的作用，其合力分解为两个分量：向心

力和切向力。

不难看出：F F mg cos θ=-拉向 θsin mg F =切

向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反，改变着线速度的大小使得物体做变速圆周运动。

2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动

要点诠释：

（1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律

无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是：

22

ωr r v m F a ===向

向（公式中的每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。）

换一种说法就是：

在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立，即

22

ωmr r

v m ma F ===向向 例如上面的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，在图中所示的位置用牛顿第二定律可得：

2

2mv F F mg cos ma m r r

θω=-===拉向向 切切ma mg F ==θsin

（2）只适用于匀速圆周运动的计算公式：

2 2

2

2

2

2

2

2

4

m

4

m

F

4

4

f

r

T

r

f

r

T

r

a

π

π

π

π

=

=

=

=

向

向

因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的；如果将上式用在变速圆周运动中，计算的结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。要点四、圆周运动的实例

1、水平面上的圆周运动

要点诠释：

（1）圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平面上的匀速圆周运动，如图所示：

①向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。

②力学方程：

2

2

2

2sin

4

sin

sin

tan

T

l

m

l

m

l

v

m

ma

mg

θ

π

θ

ω

θ

θ=

=

=

=

③问题讨论：

a.物体加速度与夹角θ的关系：θ

tan

g

a=，向心加速度越大时，夹角θ越大。

b.角速度与夹角θ的关系：

θ

ω

cos

l

g

=，可见角速度越大时，夹角θ越大。（2）在水平圆盘上随圆盘一起转动物体

①向心力的来源：

如图，在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。

②静摩擦力的方向：

O

F

l

m F向O1r

mg

当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心；

当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。

③静摩擦力的变化：

当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。

2、竖直平面内的圆周运动

要点诠释：

（1）汽车过拱形桥

在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于匀速圆周运动处理起来一般比较方便。对于变速圆周运动，定量的计算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二定律。例如：汽车通过半圆的拱形桥，因为桥面对汽车提供的只能是支持力。

①汽车在点位置Ⅰ最高时，对车由牛顿第二定律得：

R

v m F mg N 2

=- 为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即0N F > 从而解得车的速度应满足关系v gR < （如果gR v =，在不计空气阻力的情况下，车将做平抛运动） ②汽车在位置Ⅱ时有22

N N v v mg F m mg sin F m R R

θ''-=??-=径 又0N F > 解得v gR 'sin <θ

（2）汽车通过圆弧型的凹处路面

如图在最低点处，对车运用牛顿第二定律得：

r

mv mg F N 2

=- 桥面对车的支持力r

mv mg F N 2

+= 可见，随着车的速度增大，路面对车的支持力变大。

要点五、圆周运动中的超重与失重

1、超重与失重的判断标准

要点诠释：

（1）运动物体的加速度方向向上或者有向上的分量时，物体处于超重状态，物体对水平支持面的压力大于自身的重力。

（2）运动物体的加速度方向向下或者有向下的分量时，物体处于失重状态，物体对水平支持面的压力小于自身的重力。

2、圆周运动中的超重与失重现象

要点诠释：

（1）失重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最高点附近时，向心加速度竖直向下，物体对支持物的压力小于自身重力。 例如在拱形桥顶运动的汽车，由上面计算有R

v m mg F N 2

-=，它对于桥面的压力小于重力。

（2）超重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最低点附近时，向心加速度竖直向上，物体对支持物的压力大于自身重力。

例如汽车通过圆弧型的凹处路面在最低点处， 桥面对车的支持力

r

mv mg F N 2

+=大于自身重力。 要点五、关于离心现象

1、外力提供的向心力与做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响 要点诠释：

（1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互作用。

（2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r 的圆周上以速度v 运动时，必须要这么大的一个力，才能满足速度方向改变的要求。

（3）供需关系对物体运动的影响：

外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动； 外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动

外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动

2、离心现象及其运用

要点诠释：

（1）被利用的离心现象：

洗衣机甩干衣服：水珠和衣服之间的附着力不足以提供水珠高速转动时需要的向心力，而做离心运动从而脱离衣服，使得衣服变干。

离心沉淀器：悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。

离心水泵：水在叶轮转动的作用下做离心运动，从而使得水从低处运动到高处，等等。

（2）需要防止的离心现象：

高速转动的砂轮会因为离心运动而破碎，造成事故；

火车或者汽车会因为转弯时的速度过大而出现侧滑、倾翻，造成人员伤亡等。

【典型例题】

类型一、水平面上在静摩擦力作用下的圆周运动

例1、在水平转动的圆盘上距转动中心10cm 处放着一物块，物块随

圆盘一起转动。若物块质量

，圆盘转速为s /r 1=n ，求物

块与圆盘间的静摩擦力。

【思路点拨】明确向心力的来源，知道向心加速度的大小此题便得到解决。

【解析】由题意可知，物块m 做匀速圆周运动，其向心加速度224n r a n ??=π。

对圆周运动的物块受力分析：该物块除受重力和支持力（一对平衡力）外，还受一个沿圆盘平面的摩擦力，这个摩擦力就是物块受到的合力，也就是它做匀速圆周运动的向心力。所以有

N n mr ma f n 394.0422===π,摩擦力的方向指向圆心。 【总结升华】静摩擦力提供物块做匀速圆周运动的向心力，方向沿着半径指向圆心，切不可认为与线速度的方向相反。

【变式】 (2015 广州十二中学业检测)如图所示，质量相等的a 、b 两物体放在圆盘上，到圆心的距离之比是2:3，圆盘绕圆心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止，a 、b 两物体做圆周运动的向心力之比是（ ）

A ．1:1

B ．3:2

C ．2:3

D ．9:4

【答案】C

【解析】两个物体是同轴转动，因此角速度相等，质量又相等，根据2F m r ω=

可知，向心力之比23a a b b F r F r ==。 类型二、汽车转弯问题

例2、（2015 浙江高考）（多选）如图为一停车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内外半径分别为r 和2r 。一辆质量为m 的赛车通过AB 线经弯道到达A ＇B ＇线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O ＇为圆心的半圆，OO ＇=r 。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max 。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道（所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大），则（ ）

A ．选择路线①，赛车经过的路程最短

B ．选择路线②，赛车的速率最小

C ．选择路线③，赛车所用时间最短

D ．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等

【解析】由题意可知，以不打滑的最大速度通过弯道，不管选择什么路径，均是

最大静摩擦力提供向心力，所以向心加速度相同，D 正确。由公式：2

v a r =可得，半径大的速率大，所以A 正确，B 错误；由前面公式可以得到：2312v v v == ，明显的轨道○3的时间比○2短，我们只需要比较○3和○1的时间即可，则他们的时间分别是：11112(2)r r r t v v v ππ=

+=+ ，22122r t v v π==所以：t 2＜t 1，C 正确。

【变式】铁路弯道的内外侧铁轨往往不在同一水平面上，质量为M 的火车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为r 的圆弧道转弯，受力如图所示，已知内外铁轨的倾角为α。

（1）车的速率v 0为多大时，使车轮对铁轨的侧压力正好为零?

（2）如果火车的实际速率v≠v 0，分析铁轨对车轮的施力情况。

【答案】火车挤压内轨当火车挤压外轨当;v v ;v v grtan v 000<>=α 类型三、竖直面上的匀速圆周运动

例3、飞行员驾机在竖直平面内做匀速圆环特技飞行，若圆环半径为1000m ，飞行速度为100m/s ，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重量的多少倍？（g=10m/s 2）

【思路点拨】飞机在竖直平面内做匀速圆周运动，分别在最高点和最低点对飞行

员应用牛顿第二定律即可求解。

【解析】对飞行员在圆周的最低点处和最高点处分别进行受力分析，如图所示：

由牛顿第二定律得 r v m F mg rg

v mg F g r v m F r

v m mg F 2

221212

121=+=+=???? ??+==-在最高点时，那么则在最低点时， 012222=-=???? ??-=rg

v mg F g r v m F 所以，飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重量的两倍，飞至最高点时，飞行员对座椅无压力。

【总结升华】理解运动情景，正确的受力分析是解题的关键。

类型四、动力学综合问题

例4、如图所示，已知绳长=0.2m ，水平杆长L=0.1m ，小球的质量 m=0.3kg ，整个装置可绕竖直轴转动，当该装置以某一角速度转动时，绳子与竖直方向成30°角。

（1）试求该装置转动的角速度；

（2）此时绳的张力是多大？

【思路点拨】小球在装置作用下，以竖直轴为圆心做匀速圆周运动，对小球进行受力分析，结合数学知识求出转动半径即可。

【答案】ω= 5.37 rad/s ，F= 3.46 N

【解析】 当整个装置以角速度ω转动时，小球m 将做圆周运动，圆周运动的圆心在竖直轴上，且和m 在同一水平面上。小球m 只受到两个力的作用，重力mg ，及绳子的拉力F ，而这两个力的合力即为小球所受到的向心力F 向。

用正交分解法和公式F 向=ma 向 可得：

2

F sin mr F cos mg θωθ?=?-= 由几何知识可得r L l =+sin θ

把已知数据代入得： 21032303100101022F .r F .r ..ω?

=?-?==+? 解得：ω= 5.37 rad/s ，F= 3.46 N

【总结升华】（1）牛顿第二定律是解圆周运动的重要方法，对做圆周运动的物体进行受力分析就是必不可少的。因此我们在解圆周运动问题时，几乎无一例外地要首先画草图对物体进行受力分析。

（2）在圆周运动中，向心力的方向往往为已知，而这个已知条件在受力分析中充当重要角色。在解法一中因为知道合外力（向心力）的方向，在正交分解 法中才能列出方程0,==y n x F ma F 。

【变式】建筑工地上常使用打夯机夯实地基，如图是其结构原理图。长为l 的连杆（质量可忽略）固定在轮盘A 上，轮盘A 和连杆固定在一起绕轴O 旋转，连杆另一端固定一质量为m 的铁块，电动机通过皮带轮带动轮盘A 和连杆，可在竖直平面内做圆周运动。当旋转的角速度达到一定数值，可使质量为M （不包括铁块的质量m ）的打夯机离开地面，然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用。试分析连杆转动的最小角速度。

【答案】ml g )m M (+=

ω

【解析】当铁块运动到最高点时，受重力mg 和杆的拉力F 1作用，这两个力的合

力提供铁块此时做圆周运动所需的向心力。

当铁块的角速度逐渐增大时，所需的向心力增大，将导致拉力F 1的增大。根据

牛顿第三定律可知，此时铁块对打夯机向上的拉力21F F =，所以当21F F Mg =>时，打夯机将脱离地面。设为使打夯机脱离开地面连杆转动的最小角速度为ω，由牛顿第二定律：

对M 有 02F Mg -=

对m 有 21F mg ml ω+=

因 21F F =

由以上几式解得 ：ml g )m M (+=ω

【巩固练习】

一、选择题：

1、（2015 徐州市学业检测）物体做匀速圆周运动时，下列说法中不正确的是（ ）

A ．向心力一定指向圆心

B ．向心力一定是物体受到的合外力

C ．向心力的大小一定不变

D ．向心力的方向一定不变

D ．向心力只能改变物体的运动方向，不可能改变运动的快慢

2、用绳拴住一个小球，使其在光滑水平面上做匀速圆周运动，绳子突然断开，那么小球将（ ）

A. 沿半径方向远离圆心

B. 沿半径方向接近圆心

C. 做一个半径增大的匀速圆周运动

D. 沿线断时小球所在点的圆弧切线方向做匀速直线运动 F 1

F 2

3、A 、B 两质点均做匀速圆周运动，m m A B ：：=12，它们做圆周运动的半径R R A B ：：=12，当A 转60转时，B 正好转45转，两质点所受向心力之比为（ ）

A. 1：4

B. 4：1

C. 4：9

D. 2：3

4、 在匀速旋转的圆筒内壁上紧贴一个物体，物体随圆筒一起运动时： ω

(1)它受到的外力是（ ）

A. 重力、弹力、摩擦力

B. 重力、弹力、静摩擦力

C. 重力、弹力、滑动摩擦力

D. 重力、弹力、向心力

(2)物体受到的向心力是（ ）

A. 静摩擦力

B. 滑动摩擦力

C. 重力

D. 弹力

5、（2015 姜堰市模拟）同一辆汽车以同样的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处，正确的是（ ）

A ．车对两种桥面的压力一样大

B ．车对平直桥面的压力大

C ．车对凸形桥面的压力大

D ．无法判断

6、（2015 武清区校级学业考试）如图所示，某同学让带有水的伞绕伞柄旋转，可以看到伞面上的水滴沿伞边水平飞出，若不考虑空气阻力，则水滴飞出后的运动是（ ）

A ．匀速直线运动

B ．平抛运动

C ．自由落体运动

D ．圆周运动

7、下面哪种运动的情况物体处于超重状态（ ）

A ．平抛出去的物体在落地前

B ．竖直向上加速发射的火箭中的物体

C ．汽车通过凸形桥桥顶时

D ．荡打秋千的人摆过最低位置时

8、A 、B 球之间用线相连，Ｏ为光滑水平桌面上一小铁钉，再用线将Ｏ与B 球相连，当A 、B 两球绕Ｏ点在桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力T T AB OB ：为（ ）（已知OA OB m m A B ==2，）

A. 3：2

B. 2：3

C. 5：3

D. 2：1

ω Ｏ Ｂ Ａ

三、计算题：

1、洗衣机的甩干桶竖直放置。桶的内径为20cm，工作时被甩的衣物贴在桶壁上，衣物与桶壁的动摩擦因数为0.025。若不使衣物滑落下去，甩干桶的转速至少多大？

2、小球被绳拉着在水平面内做匀速圆周运动。已知小球质量m＝0.4kg，线速度=3/，圆周运动半径r＝0.4m，求绳对小球的拉力。（g m s

v m s

/）

=102

3、质量为m的飞行员，驾机以一定速率在竖直平面内做匀速圆周运动的特技飞行。当他飞行到最高点时对座椅的压力大小恰好等于自身重力。求他飞到最低点时对座椅的压力。

4、一根劲度系数为k N m

=103/的弹簧，原长l=02.m，一端固定在光滑水平转台的转动轴上，另一端系一个质量m＝2kg的物体，当转台以180r/min的转速转动时，求弹簧伸长了多少？

【答案与解析】

一、选择题：

1、D

解析：A、物体做匀速圆周运动，向心力始终指向圆心，大小不变，故A正确；

B、做匀速圆周运动的物体，合外力提供向心力，故B正确；

C、由于是匀速圆周运动，故向心力的大小不变，C正确；

D、匀速圆周运动的物体，向心力方向时刻在变，故D错误。

2、D

解析：绳子突然断开时，向心力完全消失，小球因惯性而做离心运动，即保持沿线断时小球所在点的圆弧切线方向做匀速直线运动，所以选项D 正确。

3、C

解析：A 、B 两质点的角速度之比是3:445:60:==B A ωω，根据2F mr ω

=向知道，向心力的大小与质点的质量、半径以及角速度的平方成正比，所以2

11442239A B F F ??=??= ???，选项C 正确。 4、(1) B (2) D

解析：物体随圆筒一起做匀速圆周运动时，在竖直方向处于平衡状态，物体除了受到竖直向下的重力外，还受到竖直向上的静摩擦力；筒壁对它的水平方向的弹力提供向心力，所以答案为(1) B (2) D 。

5、B

解析：设汽车的质量为m ，当开上平直桥时，由于做匀速直线运动，故压力等于重力，1N mg =；当汽车以一定的速度通过凸形桥时，受重力和向上的支持力，合力等于向心力，有：2

2v mg N m r

-=，故2N mg <，因此12N N >，由牛顿第三定律知，车受到的支持力与车对桥的压力大小相等，因此B 正确。

6、B

解析：水滴在最高处离开三边缘，沿切线方向飞出，飞出以后由于只受重力，所以做平抛运动，故B 正确。

7、BD

解析：平抛出去的物体在落地前具有向下的加速度，处于失重状态；汽车通过凸形桥桥顶时，具有向下的向心加速度，也处于失重状态；竖直向上加速发射的火箭中的物体，具有向上的加速度，处于超重状态；荡秋千的人摆过最低位置时，具有向上的向心加速度，也处于超重状态。故选项BD 正确。

8、B

解析：A 、B 两球绕Ｏ点在桌面上转动的角速度为ω，分别对A 、B 在水平方向上用牛顿第二定律得：

对A ：2AB 2ω??=l m T (1)

对B ：2AB OB ω??=-l m T T (2)

将(1)代入(2)式：2OB 3ml ωT =

所以32OB AB ：

：=T T ，选项B 正确。 三、计算题：

1、420r/min

解析：衣服在桶中的受力如图所示，

若不使衣服滑落下去，则

在竖直方向上有重力和摩擦力平衡，即 0f mg -=

在水平方向上由匀速圆周运动知识有()222N F mr mr n ωπ==?

摩擦力的大小N F f μ=

联立以上各式得桶的转速为1g n 2r πμ= 代入数值解得7n r /s =，即n=420r/min

所以甩干桶的转速至少为420r/min 。

2、5N ，绳的拉力方向与竖直方向成37?角

解析：小球受到两个力：重力G 和拉力T 。因为小球做匀速圆周运动，所以这两个力的合力一定指向圆心，就是向心力。这样就可以根据力的合力的知识和向心力公式，求出绳对小球的拉力。

F F mv r N N T

G F N N F G 合向合合，===?==+=+====?22

222204304

343534

37.().tan θθ

即绳的拉力方向与竖直方向成37?角。 mg f

F N

3、3mg 解析：飞机飞至最低点时飞行员受向下的重力mg 和向上的支持力F 1， 由牛顿第二定律得：

r

mv mg F 2

1=- 在最高点时，飞行员受向下的重力mg 和F 2的作用，由牛顿第二定律得：

r

mv mg mg F 2

22==+ 可见两个向心力大小相等，即12F mg mg -=

因此飞行员飞到最低点时对座椅的压力mg F 31=

4、0.49m

解析：物体随转台做圆周运动的向心力就是弹簧的弹力，f kx 弹=。设转动时弹簧伸长的长度为x ，则物体的转动半径r l x =+。转速n=180r/min=3r/s 。 根据牛顿第二定律有：224)(n x l m kx π?+?=

解得：

m .m ...m n k ml n x 4902

31434102023143444223222222=???-????=-=ππ

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