带电体在电磁场中的受力分析和运动分析

带电粒子在电磁场中的受力分析和运动分析

一、带电粒子在电场中的受力分析和运动分析 1、静电场中的平衡问题

静电场中的“平衡”问题，是指带电粒子的加速度为零的静止或匀速直线运动状态，都属于“静力学”的范畴，我们只是在分析带电粒子所受的重力、弹力、摩擦力等力时，还需多加一种电场力而已。解题的一般程序为：明确研究对象；将研究对象隔离出来，分析其所受的全部外力，其中电场力，要根据电荷的正负及电场的方向来判断；根据平衡条件

F合?0或Fx?0,FY?0列出方程；解方程求出结果。

2、电场中的加速问题

带电粒子在匀强电场中的加速问题，一般属于粒子受到恒力（重力一般不计）作用的运动问题。处理的方法有两种：根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解；根据动能定理与电场力做功结合运动学公式求解。

在非匀强电场中的加速问题，一般属于物粒子受变力作用的运动问题。处理的方法只能根据动能定理与电场力做功，结合运动学公式求解。

3、电场中的偏转问题

受力及运动分析：带电粒子垂直于匀强电场的场强方向进入电场后，受到恒定的电场力作用，且与初速度方向垂直，因而做匀变速曲线运动——类平抛运动如1（设极板间的电压为U，两极板间的距离为d，极板长度为L）。

运动特点分析：在垂直电场方向做匀速直线运动 vx?v0 ，x?v0t 在平行电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动 vy?at，y?12EqUqat， a?? 2mdm通过电场区的时间：t?L v0图1

UqL2粒子通过电场区的侧移距离：y? 22mdv0粒子通过电场区偏转角：tg??UqL 2mdv0带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点。所以侧移距离也可表示为：y?Ltg? 。 24、粒子在交变电场中的往复运动

当电场强度发生变化时，由于带电粒子在电场中的受力将发生变化，从而使粒子的运动状态发生相应的变化，粒子表现出来的运动形式可能是单向变速直线运动，也可能是变速往复运动。

带电粒子是做单向变速直线运动，还是做变速往复运动主要由粒子的初始状态与电场的变化规律（受力特点）的形式有关，常运用牛顿第二定律和运动学知识综合分析。

二、带电粒子在匀强磁场的受力分析和运动分析

带电粒子在匀强磁场中运动时，若v0?0，有f洛?0 ，则粒子为静止状态；若v//B，有f洛?0，则粒子做匀速直线运动；若v?B，有f洛?Bqv,则粒子做匀速圆周运动，其

v2mv基本公式为：向心力公式Bqv?m；运动轨道半径公式R?；运动周期公式

BqRT?2?m。 Bq例1.如图2所示，在S点的电量为q，质量为m的静止带电粒子，被加速电压为U，极板间距离为d的匀强电场加速后，从正中央垂直射入电压为U的匀强偏转电场，偏转极板长度和极板距离均为L，带电粒子离开偏转电场后即进入一个垂直纸面方向的匀强磁场，其磁感应强度为B。若不计重力影响，欲使带电粒子通过某路径返回S点，求：

（1）匀强磁场的宽度D至少为多少？

（2）该带电粒子周期性运动的周期T是多少？偏转电压正负极多长时间变换一次方向？

解析：如图3所示，电场对粒子加速，由动能定理得：

d U 图2

U L B L D S 12mv0?Uq 2v0?2Uq mU L B S O R D 由于粒子在电场加速过程中做匀加速直线运动，则加速的时间

t1为：t1?d2d ?v0/2v0Uq LmL θ d U 图3

粒子在偏转电场中做类似平抛运动，其加速度a为：a?Lm粒子通过偏转电场的时间t2为：t2? ?Lv02Uq粒子在偏转电场中的侧移距离y为：y?12Lat2? 24侧向速度vy为：vy?at2?Uq 2m22v0?vy?则粒子射出偏转电场时的速度v为：v?5Uq 2m以速度v进入磁场做匀速度圆周运动的洛仑兹力为向心力，设运动半径为R：

v2mv15UmBqv?m ， R? ?RBqB2q则磁场宽度D为：

15Um5UmL2D?R?R?y???

B2q2B2q1622粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T?为： T??2?R2?m? vBqtg??L/2?2 ， 所以??arctg2 L/4所以粒子在磁场中运动的时间t3为：

t3?T?(2??2?)2m(??arctg2)?

2?Bq粒子从S出发到回到S的周期T为：

T?2t1?2t2?t3?4dmm2m(??arctg2) ?2L?2Uq2UqBq 偏转电压正负极换向时间t为： t?Tmmm(??arctg2) ?2m?L?22Uq2UqBq三、带电粒子在复合场中运动的分析

带电粒子在复合场中运动，实际上仍是一个力学问题，解决此类问题的关键是对带电粒子进行正确受力分析和运动情况分析。

1、受力分析：带电粒子在重力场、电场、磁场中运动时，其运动状态的改变是由其受到的合力决定。对运动粒子进行受力分析时必须先场力（包括重力、电场力、磁场力）、后弹力、再摩擦力等。另外要注意重力、电场力与粒子运动速度无关，由粒子的质量决定重力大小，由电场强决定电场力大小；但洛仑兹力的大小与粒子速度有关，方向还与电荷的性质有关。

2、运动分析：找出物粒子的速度、位置及其变化特点，如出现临界状态，要分析临界条件，并恰当地灵活地运用动力学的三大方法解决问题。分清带电粒子在复合场的运动类型：当带电粒子所受的合外力为零时，粒子处于匀速运动或静止状态；当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合力变化且和速度不在一条直线上时，物粒子做非匀变速曲线运动。

例2.如图4所示，在某个空间内有一个水平方向的匀强电场，电场强度E=103V/m，又有一个与电场垂直的水平方向匀强磁场，磁感强度B=10T。现有一个质量m=2×10㎏、

-6

带电量q=2×10C的微粒，在这个电场和磁场叠加的空间做匀速直线运动。假如在这个微粒经过某条电场线时突然撤去磁场，那么，当它再次经过同一条电场线时，微粒在电场线方向上移过了多大距离。(g取10m/s)

图4

2

-6

解析：题中带电微粒在叠加场中作匀速直线运动，意味着微粒受到的重力、电场力和磁场力平衡。进一步的分析可知：洛仑兹力f与重力、电场力的合力F等值反向，微粒运动速

图5

度v与f垂直，如图5--(a)所示。当撤去磁场后，带电微粒作匀变速曲线运动，可将此曲线运动分解为水平方向和竖直方向两个匀变速直线运动来处理，如图5--(b)。由图可知：

tan??qE?3，?=60° mg(mg)2?(qE)2，解得：v=2m/s

又因为 f?qvB?由图(b)可知，微粒回到同一条电场线的时间 t? 则微粒在电场线方向移过距离 s?vcos60??t?

2vyg?2vsin60?3s ?g51qE2??t?1.39m. 2m备用题

例3.如图中所示,与纸面垂直的竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上场强大小为E=2.5×10N/C的匀强电场(上、下及左侧无边界)。一个质量为m=O.5kg、电量为

2

q=2.O×10-2 C的可视为质点的带正电小球，在t=O时刻以大小为v0的水平初速度向右通过

电场中的一点P，当t=t1时刻在电场所在空间中加上一如图(b)所示随时间周期性变化的磁场，使得小球能竖直向下通过D点，D为电场中小球初速度方向上的一点，PD间距为L，D

到竖直面N的距离DQ为

L?。设磁感应强度垂直纸面向里为正。(g=lOm/s)

2

(1)如果磁感应强度B0为已知量，试推出满足条件时t1的表达式；(用题中所给物理量的符号表示)

(2)若小球能始终在电场所在空间做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B0及运动的最大周期T的大小；

(3)当小球运动的周期最大时，在图中画出小球运动一个周期的轨迹。

解析：当小球进入电场时mg=Eq，将做匀速直线运动．

(1)在t1时刻加上磁场，小球在时间t0内将做匀速圆周运动, 圆周运动周期为T0。若竖直向下通过D点，由图(a)分析可知必

t0?有以下两个条件：

3T0 ?① 和 PF-PD=R 即v0t1?L?R ?② 图（a） 4v02mv0Lm 由qv0B0?m可得：R? ?③， 联立方程②③可得:t1? ??RqB0v0qB0④

(2)小球运动的速率始终不变，当R变大时，R也增加，小球在电场中运动的周期T增加，在小球不飞出电场的情况下，当T最大时有:DQ?2R?L??2mv0 ?⑤ qB02?mv0 ?⑥ qL 解得B0的大小为:B0?最大周期T0为:T0?2?R2?mL?? ?⑦ v0B0v0由图分析可知小球在电场中运动的最大周期为：T?8t1?8?T0?(3)小球运动轨迹如图(b)所示

346L v0【例题2】如图3所示，在直角坐标系的第一、二象限内有垂直于纸面的匀强磁场，第三象限有沿Y轴负方向的匀强电场，第四象限内无电场和磁场。质量为m、带电量为q的粒子从M点以速度v0沿x轴负方向进入电场，不计粒子的重力，粒子经N、P最后又回到M点。设OM=L，ON=2L，则：

关于电场强度E的大小，下列结论正确的是 （ ）

22224mv0mv04mv02mv0A． B． C． D．

qLqL2qLqL（2）匀强磁场的方向是 。 （3）磁感应强度B的大小是多少？

【点拨解疑】 （1）由带电粒子在电场中做类平抛运动，易知L?22mv0则E= 故选C

qL

1qE2t，且2L?v0t2m（2）由左手定则，匀强磁场的方向为垂直纸面向里。

（3）根据粒子在电场中运动的情况可知，粒子带负电。粒子在电场中做类平抛运动，设到达N点的速度为v，运动方向与x轴负方向的夹角为θ，如图4所示。

由动能定理得qEL?1212mv?mv0 22将（1）式中的E代入可得v?2v0 所以θ=45°

粒子在磁场中做匀速圆周运动，经过P点时速度方向也与x轴负方向成45°角。 则OP=OM=L NP=NO+OP=3L

粒子在磁场中的轨道半径为R=Npcos45°=

32 又R?mv qB解得 B?2mv0 3qL点评：带电粒子的复杂运动常常是由一些基本运动组合而成的。掌握基本运动的特点是解决这类问题的关键所在。该题中，粒子在匀强磁场中运动轨迹的圆心不在y轴上，注意到这一点是很关键的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tlg3.html