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上海海洋大学试卷标准答案

学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 2008 ~ 20 09 学年第2学期 高等数学C（二） 1101406 二 三 四 学分 五 六 4 七 考核方式 A/B卷 学时 八 九 闭卷 （ A ）卷 64 十 总分 姓名：学号：专业班名：

一、[3??10?30] 选择：将您认为正确的答案代号填入下列表格内。

1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 C 7 C 8 C 9 C 10 B /1、设f(0)?1,f(2)?3,f/(2)?5，则

?20xf//(x)dx的值为（ ）

A）12 B）8 C）7 D）6 2、设定积分I1??lnxdx，I1e2??ln2xdx，则（）

1e A）I2?I1 B）I2?2I1 C）I2?2I1 D）I2?I1 3、定积分

?10exdx的值为（ ）

11A）e B） C）e2 D）2

24、由y?e,y?e,x?1所围成的平面图形的面积是（ ） A）e?x?x1111 B）e? C）e??2 D）e??2

eeee5、曲边梯形0?x?f(y),0?a?y?b绕y轴旋转所形成的旋转体的体积为（ ） A）

??fab2(y)dy B）??f(y)dy C）??yf(y)dy D）?2?yf(y)dy

aabbba1?x?y)的定义域为（） 6、函数z?ln(A）(x,y)x?1,y?1； B）(x,y)x?y?1????；

1

C）(x,y)x?y?1； D）在xOy平面上处处无定义。 7、二元函数 z?f(x,y) 在点(x0,y0)处可导与可微的关系为（ ）

A）可导必可微； B）可导一定不可微； C）可微必可导； D）可微不一定可导 8、

222( ) 其中 dxdy?D:x?y?a????DA）a2 B）? C）? a2 D）不能求

(?1)n?19、级数?当（ ） pnn?1?A）p?1时条件收敛 B）0?p?1 时绝对收敛 C）0?p?1 时条件收敛 D）0?p?1 时发散

10、求方程yy/?(y/)2?0的通解时，可令（）

A）y/?p，则y//?p/ B）y/?p，则y?p//dp dyC）y?p，则y///?pdp///dp/ D）y?p，则y?p dxdy二、[3??6?18?] 填空： 1、函数f(x,y)?xyxxyf(1,)?，则； 2222yx?yx?y2、

limx?1y?0ln(x?ey)x?y22?ln2；

3、设u?ln(3x?2y?z)，则du?3dx?2dy?dz；

3x?2y?z1e4、交换积分秩序：

?e1dx?lnx0f(x,y)dy=?dy?yf(x,y)dx；

0e5、若级数

?un?1/?n收敛，则

?(un?1?n?un)绝对收敛（填绝对收敛、条件收敛或发散）

x6、y?2y?y?0的通解为y?(C1?C2x)e；

//2

三、[8/?5?40/]计算：

1、设z?u2lnv，而u?x?z?z,v?3x?2y，求,； y?x?y?z?z?u?z?v1u22x3x2解：（4分） ???2ulnv??3?2ln(3x?2y)?2?x?u?x?v?xyvyy(3x?2y)?z?z?u?z?vxu22x22x2（8分） ???2ulnv(?2)??(?2)??3ln(3x?2y)?2?y?u?y?v?yyvyy(3x?2y)?2z2、z?f(x?y,e),其中f具有连续二阶偏导数,求2 ；

?x22xy解：设u?x2?y2，v?e，z?f(u,v)

xy?z?z?u?z?v???2xf1??yexyf2?（3分） ?x?u?x?v?x?2z??z?()?(2xf1??yexyf2?) 因此2??x?x?x?x?2f1??2x?f1?2xy?f??yef2??yexy2（4分） ?x?x而

?f1??f1??u?f1??v???yexyf12?? ???2xf11?x?u?x?v?x?f2??f2??u?f2??v???yexyf22??（7分） ???2xf21?x?u?x?v?x??f?2xy?2zxy?f2所以2??2f1??2x1?yef2??ye

?x?x?x???yexyf12??)?y2exyf2??yexy(2xf21???yexyf22??) ?2f1??2x(2xf11???4xyexyf12???y2exyf2??y2e2xyf22??（8分） ?2f1??4x2f113、

2D，是由，y?x?2所围成的闭区域； (x?y)dxdyx?y??D3

解：

2y?22?1?y?22(x?y)dxdy?dy(x?y)dx?x?xydy（5分） ?????2??1y2?1?2??yD31??(y2?4y?2?y4?y3)dy ?1222?9.45（8分）

4、

222(x?y)dxdy，D是由y???3x，y?x，x2?y2?1及x2?y2?4D3（x?0,y?0）所围成的闭区域；

??解：令x?rcos?,y?rsin?，则积分区域D可表示为???????64（2分）?1?r?2?所以，

??(x2?y2)2dxdy??4d?24??rrdr（6分） D61?(???46)??1?6?2?6r??1 ?63?772?8?（8分） 5、求微分方程y???y??x的通解； 解：令y/?p,则y//?p/, 原方程化为：p/?p?x（2分）

因为p?e???1dx(?xe??1dxdx?C1)

?ex(?xe?xdx?C1)

??x?1?C1ex（6分）

从而y??(?x?1?Cxx2?x?Cx1e)dx??21e?C2，即为所求通解。（8分） 4

四、[12?]讨论下列级数的收敛性,若收敛指出绝对收敛还是条件收敛。

(?1)n?1 1、?

ln(1?n)n?1?解：因为

?n?1??(?1)n?11 ??ln(1?n)n?1ln(1?n)1nln(1?n)而lim?lim??（1分）

1n??n??ln(1?n)n?11而级数?是发散的，因此?也发散。（3分）

n?1ln(1?n)n?1n?(?1)n?1又因为对于交错级数?来说

ln(1?n)n?1?满足：

11?，即un?un?1

ln(1?n)ln(1?n?1)1?0，即limun?0（5分） limn??ln(1?n)n???(?1)n?1(?1)n?1根据莱布尼茨定理，交错级数?收敛，因此?条件收敛。（6分）

1?n)1?n)n?1ln(n?1ln(?(?1)n1n2 2、?(1?) nn2n?1?因为

?n?1??(?1)n1n211n2（1分） (1?)?(1?)，?n2nn2nn?1而

limn??n?11n211n211ne(1?)?lim(1?)??1（5分）因此绝对值级数?n(1?)n2nn2n2n??n?12(?1)n1n2(1?)发散。发散，又为根值判别法,因此原级数?（6分） nnn?12?

5

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学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 2010~ 2011学年第二学期 高等数学C(二) 1101406 二 三 四 学分 五 六 4 七 考核方式 A/B卷 学时 八 九 闭卷 （ A ）卷 64 十 总分 姓名：学号：专业班名：

一、填空(每空3分，总计33分)

?y2?22（1）设f??xy,x???x?y，则

??（2）lim?y2??f?,xy?x??__________。

??2?xy?4?__________。

x?0xyy?0dx221?tdt?______________。 （3）?0dxy2?1在空间解析几何中表示的曲面类型为______________。 （4）x?92（5）以下关于多元函数描述正确的是_________。 A、函数z?f?x,y?在点?x0B、函数z?f?x,y?在点?x0C、函数z?f?x,y?在点?x0D、函数z?f?x,y?在点?x0（6）u?3x2y?sin（7）

y0?处连续，则在点?x0y0?处可微。

y0?处连续。 y0?处可微。

y0?处一阶偏导存在，则在点?x0y0?处一阶偏导存在，则在点?x0y0?处可微，则在点?x0y0?处一阶偏导存在。

y__。 ?eyz，则du?__________22x22028?x22（8）改变积分次序：________。 dxf(x,y)dy????02?e??0?xdx=__________。

dx?0f(x,y)dy?（9）y

?sinx关于x的幂级数展开式为________。

6

? 1n2n(1?)_________x（10）幂级数的收敛半径为。

n2x（11）已知y1?3，y2?3?x2，y3?3?x?e都是微分方程y???P?x?y??Q?x?y?f?x?的解，

n?1?则此方程的通解是_________。

二、计算（每题5分，总计50分） 4（1） ?x?20dx. 2x?1

cosxt2（2）lim?1e?dtx?0x2

（3）?e1xlnxdx

7

x2y2（4）计算由椭圆2?2?1所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积。

ab

（5）设z

（6）设2sin(x?2y?3z)?

（7）计算

2D，其中是由y?x，y?x?2围成。 xyd???D?ex?2y?3z，求。 2?y?xx?2y?3z，求

?z。 ?x8

5dy2y??(x?1)2.（8）解微分方程

dxx?1

?d2sds?2?s?0?2dt?dt（9）求解初值问题：?的解。

ds?s?4,??2t?0?dtt?0?

?n?1（10）判断级数的敛散性，并指出是绝对收敛还是条件收敛。 (?1)nlnnn?1

?9

?n?1三、（9分）求幂级数。 (?1)nx2n?1的和函数(2n?1)!n?0

四、(8分)生产某种产品所用两种原料甲、乙的数量x、y之间有关系式：

?P(x,y)?0.005x2y，

用 150元购料，已知甲、乙原料的售价分别为1元、2元，求购进甲、乙原料各多少时，可使生产的数量最多？

10

11

12

13

14

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学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 二 三 四 2011 ~ 2012学年第 2 学期 高等数学C（二） 学分 五 六 4 七 考核方式 A/B卷 学时 八 九 闭卷 （ A）卷 64 十 总分 姓名：学号：专业班名：任课教师 一、选择题（7?4?,共28分）

x，直线x?4及y?0所围成的图形的面积为（）

1016A. B.4 C. D.6 331、由曲线y?2、

?1?1(1?x2?x)dx?（）

A.? B.

? C.??1 D.??1 2?z?33z?f(x,y)z?3xyz?a3、设是由方程确定，则?x（）； yzyzxzxy2222A. xy?z B. z?xy C. xy?z D. z?xy

4、极限

(x,y)?(0,0)limxyx?y22＝（ ）。

A)?； B)

2； C)0； D)不存在。.2

y(x),y2(x)是微分方程y???p(x)y??q(x)y?0的两特解且y1(x)?常数，5、设1则下列（ ）

y2(x)c,c是其通解（12为任意常数）。

A．C．

y?c1y1(x)?y2(x) B．y?y1(x)?c2y2(x) y?y1(x)?y2(x) D．y?c1y1(x)?c2y2(x)

10?6、累次积分?(A)

1010dx?x0f(x,y)dy1改变积分次序为（）

x0dy?f(x,y)dxdy??（B）

0f(x,y)dx（C）

?10dy?y20f(x,y)dx（D）

?10dy?2f(x,y)dxy1

15

?1xn五、求幂级数?的收敛域、和函数，并求级数的和（10分） ?nnn?1n?3n?1n?3?an(n?1).3n?1?lim?3，R=3 解：limnn??an??n.3n?1当x?3，发散；当x??3，原级数为交错级数，收敛。收敛域为：[?3,3)。

?设s(y)??n?1?ynx, (y?) n31 1?yy0s?(y)??yn?1?n?1y两边积分得?s?(y)dy??ln1?y0??ln1?y

因此s(y)?s(0)??ln1?y?s(y)??ln1?y

xxn??ln(1?) 所以?n3n?1n?3?231??ln?ln ?n32n?1n?3

六、（6分）某公司通过电视台和报纸两种方式作某商品的销售广告。据统计，

销售收入R（万元）与投入的电视台广告费用x1（万元）及报纸广告费用

?x2（万元）之间有如下关系式：

22?x1?x2 R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2若广告费用不限，求最优广告策略。

22?x1?x2 解：总收益为R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x221

??R?13?8x2?4x1?0?35??x1则令?，解得：x1?,x2?

?R44??31?8x1?20x2?0???x2故最优广告策略为：广告费用x1=3/4万元，广告费用x2=5/4万元。

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学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 2012 ~ 20 13 学年第二学期 高等数学C（二） 1101406 二 三 四 学分 五 六 4 七 考核方式 A/B卷 学时 八 九 闭卷 （ A ）卷 64 十 总分 诚信考试承诺书

本人郑重承诺：

我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。

承诺人签名：日期：

考生姓名：学号：专业班名： 一、选择题（6?3?共18分）

1、若y1，y2是某个二阶线性齐次方程的解，则C1y1?C2y2（C1，C2是任意常熟）是（）

A 是方程的通解； B 不是方程的解； C 是方程的解； D 可能是方程的解，也可能不是方程的解

2．下面说法对函数偏导数、全微分以及连续性描述正确的是（）

A 偏导数存在，全微分一定存在； B 全微分存在，偏导数一定存在且连续 C 函数连续且偏导数存在，全微分一定存在；D 全微分存在，函数一定是连续的

3．?(4?x2?x)dx?（）

?22A.? B.2? C.4? D.8?

4．设D:x2?y2?a2，则??2dxdy?（）

D22A 2 B 2?a C 0 D ?a

23

5．设f(x,y)?arcsinx，则fx(x,1)?（） yA

111 B C x D 1?

x2x(1?x)2x?x2?(?1)nn6.判断级数?的敛散性，答：（）

n?1n?2A 发散； B 条件收敛； C绝对收敛；D 不能确定

二、填空题（5?4?共20分）

x2?y2?sinx2?y21．

(x,y)?(0,0)lim?xxy2?y23?=；2．y???2y??2y?0的通解为______ 3．已知函数z?e，则在点(1,2)处的全微分dz? 4．设f(5)?2，?f(x)dx?3，则?xf?(x)dx?

00555．变换二重积分积分次序?dx?011?x0f(x,y)dy?

三、综合计算（共36分）

??2z1．（8分）已知z?f(xy,xy)，求 2．（6分）?(1?sin3x)dx

0?x?y22

3．（8分）计算二重积分??ex?ydxdy，其中D是由x?y?1,x?y?1,x?0围成。

D

24

4．（8分）计算??(x?x2?y2)dxdy，其中D是由圆周x2?y2?4及坐标轴所围成的在

D第一象限内的闭区域。

5．（6分）求微分方程y??2xy?4x的通解

四、（10分）曲线y?x3与直线x?2、y?0围成平面平面图形D，求

（1）图形D的面积；（2）图形D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积。

25

五、求幂级数

?nxn?1?n?1n(?1)n?1的收敛域、和函数，并求级数?的和（8分） n?13n?1?

六、（8分）某工厂生产两种产品A与B，单位产品售价分别为10元和9元，生产x单位产品A与生产y单位的产品B的总费用是

C(x,y)?0.01(3x2?xy?3y2)?2x?3y?400

求取得最大利润时两种产品的产量。

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上海海洋大学试卷答案

学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 2012 ~ 20 13 学年第二学期 高等数学C（二） 1101406 二 三 四 学分 五 六 4 七 考核方式 A/B卷 学时 八 九 闭卷 （ A ）卷 64 十 总分 一、选择题（6?3?共18分）

1、若y1，y2是某个二阶线性齐次方程的解，则C1y1?C2y2（C1，C2是任意常熟）是（ C ）

A 是方程的通解； B 不是方程的解； C 是方程的解； D 可能是方程的解，也可能不是方程的解

2．下面说法对函数偏导数、全微分以及连续性描述正确的是（ D ）

A 偏导数存在，全微分一定存在； B 全微分存在，偏导数一定存在且连续 C 函数连续且偏导数存在，全微分一定存在；D 全微分存在，函数一定是连续的

3．?(4?x2?x)dx?（ B ）

?22A.? B.2? C.4? D.8?

4．设D:x2?y2?a2，则??2dxdy?（ B ）

D2A 2 B 2?a2 C 0 D ?a

5．设f(x,y)?arcsinx，则fx(x,1)?（ B ） yA

111 B C x D 1?

x2x(1?x)2x?x2?(?1)nn6.判断级数?的敛散性，答：（ A ）

n?1n?2A 发散； B 条件收敛； C绝对收敛；D 不能确定

二、填空题（5?4?共20分）

27

1．

(x,y)?(0,0)limx2?y2?sinx2?y2?x2?y2?3=

1； 62．y???2y??2y?0的通解为e?x(C1cosx?C2sinx)______ xyz?e3．已知函数，则在点(1,2)处的全微分dz?2e2dx?e2dy

4．设f(5)?2，?f(x)dx?3，则?xf?(x)dx?7 00555．变换二重积分积分次序?dx?011?x0f(x,y)dy??10dy?1?y0f(x,y)dx

三、综合计算（共36分）

?2z1．（8分）已知z?f(xy,xy)，求

?x?y22解：zx?2xyf1??y2f2?

???2xyf12??)]?2yf2??y2(x2f21???2xyf22??) zxy?2x[f1??y(x2f11 2．（6分）?(1?sin3x)dx

0?解：?(1?sinx)dx????sinxd(cosx)????(1?cos2x)d(cosx)

30??2?0014???(cosx?cos3x)???

3303．（8分）计算二重积分??ex?ydxdy，其中D是由x?y?1,x?y?1,x?0围成。

D?解：如图

积分区域D:0?x?1, x?1?y?1?x

x?y?1yo故

11?x1x??eDx?ydxdyx?y?11??exdx?eydy??(e?e2x?1)dx?(e?e?1) 0x?10228

4．（8分）计算??(x?x2?y2)dxdy，其中D是由圆周x2?y2?4及坐标轴所围成的在

D第一象限内的闭区域。

?222解：??(x?x?y)dxdy??2d??(rcos??r2)?rdr

00D8??2(cos??4)d?03

8??2?3?5．（6分）求微分方程y??2xy?4x的通解

解：方法一：方程化为y??2x(2?y)可知是可分离变量方程

dy?2xdx 2?y2y??2x(2?y)?两边积分得：?ln2?y?x2?C?2?y?C1e?x

方法二：该方程又是一阶线性微分方程，P(x)?2x,Q(x)?4x代入公式

222?2xdx2xdxy?e?(?4xe?dx?C)?e?x(2?exdx2?C)?2?Ce?x

四、（10分）曲线y?x3与直线x?2、y?0围成平面平面图形D，求

（1）图形D的面积；（2）图形D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积。 解：如图

y

y?x3SD??x3dx?4

02V???x6dx?02128? 7o2x

五、求幂级数

?nxn?1?n?1n(?1)n?1的收敛域、和函数，并求级数?的和（8分） n?13n?1?29

(n?1)xn?2解：（1）由于lim?x，所以当x?1时，幂级数收敛，当x?1时，幂级数发散 n?1n??nx又当x?1，幂级数发散，故收敛域为x?1

（2）

?nxn?1?n?1?x2?nxn?1n?1??xx2??2n2n2?x?(x)??x(?x)??x?（?1?x?1） ??21?x(1?x)??n?1n?1?????n(?1)n?1n(?1)n?111n?1（3）当x??时，?nx=?，故?= n?1n?131633n?1n?1n?1六、（8分）某工厂生产两种产品A与B，单位产品售价分别为10元和9元，生产x单位产品A与生产y单位的产品B的总费用是

C(x,y)?0.01(3x2?xy?3y2)?2x?3y?400

求取得最大利润时两种产品的产量。

解：L?10x?9y?0.01(3x2?xy?3y2)?2x?3y?400

?Lx?10?0.06x?0.01y?2?0?x?120 ???L?9?0.06y?0.01x?3?0y?80??y所以当产品A产量为120与产品B的产量为80时利润最大

30

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