数学（文科）2014届泉州五中高三5月份模拟试卷含答案

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泉州五中14届模拟考试数学（文科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的 1.已知全集U?R，集合A??0,1,2,3,4,5?，B?x?Rx?2，则A?(CUB)=

??（ ）

A.?0,1?

B.??1

C.?1,2?

D.?0,1,2?

（ ）

2.已知函数f(x)???log2x,x?01f(f())得值是 则,x4?3x?01B. 9x y 16 50

A.9

示：

C.?9

D.?1 93.某产品在摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所

17 34 18 41 19 31 ????由上表可得回归直线方程y?bx?a，其中b??4，据此模型预计零售价为15元时，每天的销

售量为 A.48个 B.49个 C.50个 4.下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为

D.51个

（ ） （ ）

A.y?cosx?sinx

22B.y?lgx

ex?e?xC.y?

2

D.y?x3

x2y25.若双曲线2?2?1的离心率为3，则其渐近线方程为

abA.y??2x

（ ）

B.y??2x

C.y??1x 2

D.y??2x 26.给出下列命题：

①如果不同直线m,n都平行于平面?，则m,n一定不相交； ②如果不同直线m,n都垂直于平面?，则m,n一定平行；

③如果平面?,?互相平行，且直线m??，直线n??, 则m//n； ④如果平面?,?互相垂直，m,n也互相垂直，且m??，则n??. 则真命题的个数是 A.3

B.2

C.1

1

D.0

（ ）

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7.已知数列?an?是等比数列，命题p：“若a1?a2?a3，则数列?an?是递增数列”，那么在命题

p及其逆命题，否命题和逆否命题中，正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3

8.圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为

（ ） （ ）

D.4 D.310 A.

310? 2

B.310?

C.610?

?x?y?2?0?9.设x,y满足约束条件?3x?y?2?0，若目标函数z?ax?by(a?0,b?0)的最大值为6，则

?x?0,y?0?12log3(?)的最小值为

abA.1 B.2

（ ）

C.3 D.4

10.?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B?2A,a?1,b?3,则c?

（ ）

A.23

B.2

C.2

D.1

（ ）

11.若函数f(x)?x3?3x在(a,6?a2)上有最小值，则实数a的取值范围是

A.(?5,1)

B.[?5,1)

C.[?2,1)

D.(?2,1)

12.对于定义域和值域均为[0,1]的函数f(x)，定义f1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，??

fn(x)?f(fn?1(x))，n?1,2,3,?，满足fn(x)?x的点称为f(x)的n阶周期点. 设f(x)? 1?2x,0?x?,?2则f(x)的n阶周期点得个数是 ?1?2?2x,?x?1,2?A.2n?1

（ ）

B.2n?1

C.2n

D.n2

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答案卷的相应位置.

2i3? 13.设i是虚数单位，则z?1?i14.已知圆C的圆心是直线x?y?1?0与x轴的交点，且圆C与直线x?y?3?0相切，则圆C 的方程为

2

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15.已知A(1,2)，B(3,4)，C(?2,2)，D(?3,5)，则向量CD在向量AB上的投影为 16.已知函数y?f(x)的图像是开口向下的抛物线，且对任意x?R，都有f(1?x)?f(1?x)，若向量a?(log1m,?1)，b?(1,?2)，则满足不等式f(a?b)?f(?1)的实数m的取值范围是

2

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 某次素质测试，随机抽取了部分学生的成绩， 得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计成绩的平均值；

(2)若成绩排名前5的学生中，有一人是学生会主席， 从这5人中推荐3人参加自主招生考试， 试求这3人中含该学生会主席的概率.

18.已知a?(3sin?x,?cos?x)，b?(cos?x,cos?x),??0，函数f(x)?a?b且f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为

?. 2(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)若?ABC的三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C，满足2bccosA?a，求角A的取值范围.

19.如图,三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱AA1?底面ABC,

2?ACB?900,E是棱CC1的中点,F是AB的中点, AC?BC?1,AA1?2.

(1)求证：CF//平面AB1E； (2)求三棱锥C?AB1E的体积.

3

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220.设各项均为正数的数列?an?的前n项为Sn，满足4Sn?an,n?N*，且a2,a5,a14 ?1?4n?1构成等比数列. (1)证明：a2?4a1?5；

(2)求数列?an?的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有

11??a1a2a2a3?11?. anan?12x2y22P是21.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，其左，右焦点分别为F1，F2，点

ab2坐标平面内一点，且OP?(1)求椭圆C的方程；

(2)过点S(0,?)，且斜率为k的动直线l交椭圆于A,B两点，在y轴上是否存在定点M，使以

37，PF1?PF2?，其中O为坐标原点.

4213A,B为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

22. 已知函数f(x)?ax2?ex(a?R).

(1)当a?1时，试判断f(x)的单调性并给予证明； (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1?x2). ①求实数a的取值范围； ②证明：?

4

e?f(x1)??1.(e为自然对数的底数） 2卓轩教育

泉州五中14届模拟考试数学（文科）参考答案

三、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的

1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.C

四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答案卷的相应位置. 13. ?1?i； 16. 0?m?14. (x?1)2?y2?2；

15.

2；

1或m?8 2

四、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解：(1)组距为10，各组的频率分别为0.12，0.18，0.4，0.22，0.08. 分数的平均值x?55?0.12?65?0.18?75?0.4?85?0.22?95?0.08

73?018.?7?7.6 ?6.6?11.?

(2)记学生会主席为A，其余四人为1，2，3，4. 五人中任推三人，基本事件为： （A,1,2）(A,1,3) (A,1,4) (A,2,3) (A,2,4) (A,3,4) (1,2,3) (1,2,4) (1,3,4) (2,3,4) 共10个.

满足要求的有6个，记所求事件为M， P(M)?

18.解：(1)f(x)?a?b?3sin?xcos?x?cos263?. 105?x?31?cos2?x sin2?x?22

?311?1sin2?x?cos2?x??sin(2?x?)? 222621?2?T?，T??. ?????1. 222??1??? f(x)?sin(2x?)?，2x??[2k??,2k??]，

62622 单调增区间为x?[k???6,k???3](k?Z).

b2?c2?a2?a2?b2?c2?2a2. (2)由余弦定理得，2bc?2bc 5

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?b2?c2?a2a2b2?c22bc1cosA?????，又A?(0,?),?A?(0,].

32bc2bc4bc4bc2

19.(1)证明：取AB中点M，连MF,ME，

E为CC1中点，F为AB中点，

?MF//B1B，MF?EC//B1B，EC?1B1B， 21B1B， 2MF//EC，且MF?EC，

MFCE为平行四边形，CF//EM， CF?平面AB1E，EM?平面AB1E， ?CF//平面AB1E.

(2)解：

AA1?底面ABC，?侧面AC1?底面ABC，

0又?ACB?90，BC垂直于交线AC，?BC?侧面AC1.

AC?BC?1，AA1?2，S?ACE?VO?AB1E?VB1?ACE?VB?ACE

11?1?1?， 22111???1?. 3262220.(1)证明：当n?1时，4S1?4a1?a2?4?1?a2?4a1?5，

又an?0，?a2?24a1?5.

2(2)解：4Sn?an?1?4n?1，4Sn?1?an?4n?3，当n?2时，两式相减得

222224an?an?1?an?4，an?1?an?4an?4?(an?2)

an?0，?an?1?an?2，an?1?an?2，?an?为等差数列，公差d?2.（n?2）

2a2，a5，a14成等比数列，?a5?a2?a14，(a2?3d)2?a2?(a2?12d)

?a2?3，?an?a2?(n?2)d?2n?1.

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a2?3代入(1)解得a1?1，也满足通项公式an?2n?1.

(3)证明：

11111??(?) anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?111??a1a2a2a3?

?1111111?(?)?(?)?anan?1213235111?(?) 22n?12n?1111(1?)?. 22n?12c212221.解：(1)e?2??a?2c，设P(m,n)，又F1(?c,0)，F2(c,0)，

a22m2?n2?73222，(?c?m,?n)?(c?m,?n)?m?c?n?， 44723?c??c2?1，从而a2?2,b2?1. 44x2?y2?1. 椭圆C的方程为2(2)设lAB:y?kx?141622?0，??0成立. 代入椭圆整理得(2k?1)x?kx?339记A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?设存在定点M(0,m)，MA?MB?0

4k16xx??，， 123(2k2?1)9(2k2?1)(x1,y1?m)?(x2,y2?m)?x1x2?(y1?m)(y2?m)?0

11x1x2?(kx1?m?)(kx2?m?)?0,33

11(k2?1)x1x2?k(m?)(x1?x2)?(m?)2?033

(k2?1)??1614k12?k?(m?)?(m?)?0 229(2k?1)33(2k?1)3

121?16(k2?1)?12k2(m?)?9(2k2?1)(m2?m?)?0,

3397

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18k2(m2?1)?(9m2?6m?15)?0,

?m2?1?0?m?1. 存在定点M(01)满足要求. ?2?9m?6m?15?0

22.解：(1)

a?1，f(x)?x2?ex，f?(x)?2x?ex.

令g(x)?2x?ex，g?(x)?2?ex?0，x?ln2.

在(??,ln2)上，g(x)单调递增，在(ln2,??)上，g(x)单调递减， 最大值g(ln2)?2ln2?2?2(ln2?1)?2ln2?0. e?f?(x)?0，f(x)在(??.??)上单调递减.

(2) ①f?(x)?2ax?ex，须方程2ax?e?0有相异两实根. 化为2ax?e，如图，设切点为A(x0,e0)，

xx

x(ex)??ex，?2a?ex0，又2ax0?ex0， 2ax0?2a?x0?1，ex0?e，A(1,e)，

e2a?kAO?e，a?.

2解法二.

f?(x)?2ax?ex,须方程2ax?ex?0有相异两实根.

exexex?x?ex?1ex(x?1)?化为2a?，令?(x)?，??(x)? 22xxxx由??(x)?0得x?1，

在(??,0),(0,1)上，??(x)?0，?(x)单调递减； 在(1,??)上，??(x)?0，?(x)单调递增，

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当x?(??,0)时，方程2ax?e?0不可能有相异两实根. 最小值?(1)?e， 从而2a?e?a?②由①知，当a?xe. 且0?x1?1?x2. 2e时，两个极值点x1,x2(x1?x2) 2必有0?x1?1?x2，

ex1f?(x1)?0，?2ax1?e?0，a?,x1?(0,1)，

2x1x1xex12x1f(x1)?ax?e??x1?e?ex1(1?1),x1?(0,1)，

2x1221x1令h(t)?e(?1),t?(0,1)，

tt2t1t1h?(t)?et(?1)?et??et(?)?0，

2222h(t)在(0,1)上单调递减，h(1)?h(t)?h(0)??即?

et?et(?1)??1， 22e?f(x1)??1. 证毕. 2 9

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