第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程

教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法 教学重点：可分离变量的微分方程的解法 教学难点：可分离变量的微分方程的解法 教学内容：

本节开始,我们讨论一阶微分方程

y??f(x,y) (1)

的一些解法.

一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:

P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0 (2)

在方程(2)中,变量x与y对称,它既可以看作是以为x自变量、y为未知函数的方程

dyP(x,y)?? (Q(x,y)?0), dxQ(x,y)也可看作是以x为自变量、y为未知函数的方程

dxQ(x,y)?? (P(x,y)?0), dyP(x,y)

在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程

dy?2x， dx或 dy?2xdx. 把上式两端积分就得到这个方程的通解：

y?x2?C。

但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程

dy?2xy2 （3） dx就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数y积分

22xy?dx

求不出来。为了解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以

dx，使方程（3）变为 2ydy?2xdx， y2这样，变量x与y已分离在等式的两端，然后两端积分得

?1?x2?C y1 （4） 2x?C或 y??其中C是任意常数。

可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方

程（3）的通解。

一般地，如果一个一阶微分方程能写成

g(y)dy?f(x)dx （5）

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

假定方程（5）中的函数g(y)和f(x)是连续的，设y??(x)是方程的解，将它代入（5）

中得到恒等式

g[?(x)]??(x)dx?f(x)dx.

将上式两端积分，并由y??(x)引进变量y，得

?g(y)dy??f(x)dx

设G(y)及F(x)依次为g(y)和f(x)的原函数，于是有

G(y)?F(x)?C （6）

因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果y??(x)是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在g(y)?0的条件下，y??(x)也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当g(y)?0时，

?'(x)?F?(x)f(x)?, ?G(y)g(y)这就表示函数y??(x)满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中g(y)和f(x)是连续的，且g(y)?0，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。 例1 求微分方程

dy?2xy （7） dx的通解。

解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得

dy?2xdx y两端积分

dy?y??2xdx,

2得 lny?x?C1, 从而 y??eCx2?C1??ee。

C1x2又因为?e1仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解

y?Cex。

例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知t?0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。 解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数到微分方程如下

2dM。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得dtdM???M, （8） dt其中?(??0)是常数，叫做衰变系数。?前的负号是指由于当t增加时M单调减少，即

dM?0的缘故。 dt由题易知，初始条件为

Mt?0?M0

方程（8）是可以分离变量的，分离后得

dM???dt. MdM??????dt. 两端积分 ?M以lnC表示任意常数，因为M?0，得

lnM???t?lnC,

即 M?Ce??t.

是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得

M0?Ceo?C

故得 M?M0e??t. 由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。

例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，设降落伞离开跳伞塔时（t?0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系．

解 设降落伞下落速度为v(t)，降落伞在空中下落时，同时受到重力P与阻力R的作用．重力大小为mg，方向与v一致；阻力大小为kv（k为比例系数），方向与v相反，从而降落伞所受外力为

F?mg?kv

根据牛顿第二运动定律

F?ma（其中a为加速度）

得函数v(t)应满足的方程为

m按题意，初始条件为

dv?mg?kv （９） dtvt?0?0

方程（９）分离变量后得

dvdt?

mg?kvm两端积分得

mg?kv?e将初始条件vt?0?0代入（10）式得

k?t?kC1m （10）

C??于是所求的特解为

mg kk?tmgmv?(1?e)

k例4 有高1cm 的半球形容器，水从它的底部小

2孔流出，小孔横截面面积为1cm(图12-1)。开

始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h（水面与孔 口中心间的距离）随时间t变化的规律。 解 由水力学知道，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率）

Q可用下列公式计算：

Q?dV?0.62S2gh dt其中0.62 为流量系数，S为孔口横截面面积，g为重力加速度，现在孔口横截面面积

S?1cm2，故

dV?0.622gh, dt或 dV?0.622ghdt （9） 另一方面，设在微小时间间隔[t,t?dt]内，水面高度由h降至h?dh(dh?0)，则又可得到

dV???rdh, （10）

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