2012年北京市西城区高三数学复习参考资料

2012年西城区高三数学复习参考资料

2012年5月

一、选择题：

1．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为S

n．则“|q| （A）充分而不必要条件 （C）充要条件

2．若a log23，b log46，c log69，则下列结论正确的是（ ） （A）a c，b c （C）b c a

3．【理】如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交AB的延长线 于点C，且DA DC．给出下列三个结论： D

① C 30 ； ② AB 2BC； ③

2CD．

A

C

”是“S4 3S2”的（ ）

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分又不必要条件

（B）a c，b c （D）c b a

其中正确的结论的序号是（ ） （A）① ②

4．【理】如图，平面 平面 ， PQ．A ，B ，C PQ，且

ACP BCP 30，AC BC．给出下列三个结论：

（B）② ③ （C）① ③ （D）① ② ③

① AB PQ； ② cos ACB

34

；

6

B

C

A

③ 直线PQ与平面ABC

其中，所有正确结论的序号是（ ） （A）① ②

5．设函数f(x) sin(2x

1

π6

) m在区间[0,

1

π2

P

Q

（B）② ③ （C）① ③ （D）① ② ③

]上有两个零点，则m的取值范围是（ ）

（A）[0,)

2

（B）(0,]

2

（C）[,1)

2

1

（D）(,1]

2

1

6．已知椭圆G:

xa

22

yb

22

1(a b

0)的离心率为

2

．⊙M过椭圆G的一个顶点和一

个焦点，圆心M在此椭圆上，则满足条件的点M的个数是（ ） （A）4

7．已知A，B是抛物线y2 4x上的动点，且OA AB（O为原点），那么点B的纵坐标的取值范围是（ ） （A）( , 4] [4, ) （C）( , 8] [8, )

8．已知函数f(x)是定义在(0, )上的增函数，当n N*时，f(n) N*．若f[f(n)] 3n，其中n N*，则f(4) （ ） （A）5

9．如图，宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的 细杆AB能水平地通过拐角（细杆粗细忽略不计），则另一 走廊的宽度至少是（ ） （A

）

10．在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E,F分别是AA1，C1D1的中点，则四面体BCEF

的体积与正四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积之比是（ ） （A）

11．

【理】函数f(x) （A

）

（B）8 （C）12 （D）16

（B）( , 6] [6, ) （D）( , 12] [12, )

（B）6 （C）7 （D）8

（B

） （C

） （D

）

16

（B）

17

（C）

18

（D）

19

）

（B

）（C）3 （D

12．【理】如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF 成60 的二面角，M,N分别是线段AC,BF上的点，且

AM FN，则线段MN长度的取值范围是（ ）

（A）[,2]

21

（B）[1,2]

（C

）2] （D

）2]

二、填空题：

13．已知向量a

(1,sin )，b (cos ，其中 R．则|a b|的取值范围是_____.

14．已知A，B

是两个定点，AB C满足AC 4，BC的垂直平分线交AC

于点M，则MA MB的取值范围是_____.

15．【理】正三棱柱ABC A1B1C1中，P，E分别为侧棱BB1，CC1上的动点（含端点），

D为BC的中点，且PD PE.则直线PA，PE所成角的大小为_____.

0 x 2,

16．已知不等式组 x y 2 0,所表示的平面区域为W，则W的面积是_____；设点

3x 2y 4 0

P(x,y)，且P W，当x y最小时，点P坐标为_____．

2

2

17. 如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求

每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉．现有5 种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有_____种． （用数字作答）

18. 如果直线y kx 2总不经过点(cos ,sin )，其中 R，那么k的取值范围是_____

. ．．．

19．已知全集为U，P?U，定义集合P的特征函数为fP(x)

B?U，给出下列四个结论：

1,x P, 0,x ðUP.

对于A?U，

① 对 x U，有fð

U

A

(x) fA(x) 1；

② 对 x U，若A?B，则fA(x) fB(x)； ③ 对 x U，有fA B(x) fA(x) fB(x)； ④ 对 x U，有fA B(x) fA(x) fB(x)． 其中，所有正确结论的序号是 ．

20．若实数a,b,c满足2a 2b 2a b，2a 2b 2c 2a b c，则c的最大值是

21．若对 n N，总有( 1)a 2

*

n

( 1)n

n 1

成立，则实数a的取值范围是_________.

22．已知椭圆C:

x

2

2

y 1的两个焦点分别为F1,F2，点P(x0,y0)满足

2

x02

2

y0 1，则

2

|PF1| |PF2|的取值范围是_________.

23．已知点P在曲线y

是_________.

24．设x R，定义 x 为不小于实数x的最小整数（如 π 4, π 3）.若n Z，

则满足 n a n的实数a的取值范围是______；若x R，则方程 3x 1 2x 的根为_______.

25．在不超过19的正整数中，每次不重复地取出3个数，使其和能被3整除.则不同取法的

种数为_________.

12

4e 1

x

上， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围

26．在△ABC中，若sinA cosA

13

，则cos2A _________.

27．【理】函数f(x) sin2kx cos2kx(k N*)的最小值为_________.

三、解答题：

28．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a 2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosA sinC的取值范围．

29．如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x

轴的垂线与射线

y

(x 0)交于点Q．记 xOP ，且 (

ππ,)． 22

（Ⅰ）若sin

13

，求cos POQ；

（Ⅱ）求OP OQ的最小值.

30．在△ABC中，已知2sin

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

2

A B2

cos2C 1，外接圆半径R 2．

31．【理】如图，正四棱锥S ABCD的侧棱长是底面边长的

P为侧棱SD上的点．

S

（Ⅰ）求证：AC SD；

（Ⅱ）若SD 平面PAC，求二面角P AC D的大小；

PD（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使

BE∥平面PAC．若存在，求SE:EC的值；若不存在，说明

B

理由．

32．已知椭圆C:

xa

22

yb

22

1(a b 0)的离心率为

12

，且经过点A(1,).

2

3

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设M,N为椭圆C上的两个动点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0)，求y0的取值范围.

33．已知椭圆C:

xa

22

yb

22

1(a b 0)的离心率为

63

，短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点P(0,2)，过原点O的直线与椭圆C交于A,B两点，直线PA交椭圆C于点Q，求△ABQ面积的最大值．

34．【理】动圆过点F(0,2)且在x轴上截得的线段长为4，记动圆圆心轨迹为曲线C. （Ⅰ）求的方程;

（Ⅱ）已知P,Q是曲线C上的两点，且PQ 2，过P,Q两点分别作曲线C的切线，设两条切线交于点M，求△PQM面积的最大值．

35．【理】已知抛物线y x2，过点P( 1, 1)的直线l交抛物线于P1,P2两点. （Ⅰ）求直线l斜率k的取值范围； （Ⅱ）设点Q在线段P1P2上，且

36．已知抛物线y2 12x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A,B两点.在直线l上任取一点N，记k1,k2,k依次为直线NA,NB,NF的斜率，证明：k1,k,k2成等差数列.

37．已知函数f(x) e

ax

1PP1

1PP2

2PQ

，求点Q的轨迹方程.

(

ax

a 1)，其中a 1.

（Ⅰ）求f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）若存在x1 0，x2 0，使得f(x1) f(x2)，求a的取值范围.

38．如图，矩形ABCD

内接于由函数y

y 1 x

及y 0的图象围成的封闭图形，其中顶点C,D在直线

y 0上，求矩形ABCD面积的最大值．

39．已知函数f(x) (a 1)lnx ax 1. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）设a 1.如果对任意x1,x2 (0, )，|f(x1) f(x2)| 4|x1 x2|，求a的取值范围.

2

40．讨论函数f(x) ax lnx的零点个数，其中a R.

41．（Ⅰ）设实数t 0，证明：(1

2t

)ln(1 t) 2；

（Ⅱ）从编号1到 100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为P.证明：P (

910)

19

1e

2

.

2012年西城区高三数学复习参考资料

2012年5月

一、选择题：

提示：

1．由S4 3S2，得a3 a4 2(a1 a2). 若a1 a2 0，则|q| 2．a log23

lg3lg2

lg9lg4

a1 a2 0，则q 1.

，b log46

lg6lg4

，c log69

lg9lg6

，所以a最大.

又b c

lg6lg4

lg9lg6

(lg6) lg4 lg9

lg4 lg6

2

(lg6) (

2

lg4 lg9

lg4 lg6

)

2

0.

4．强调立体几何的传统方法．

6．适当用点平面几何知识，圆心M是顶点和焦点构成的线段的中垂线与椭圆G的交点．

2

7．设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y12 4x1,y2 4x2,

y1x1

y1 y2x1 x2

1.

消去x1,x2整理得y1 (y1 y2) 16，即y2

16y1

y1，利用均值定理即可.

8．由1 f(1)及f(x)是(0, )上的增函数，得1 f(1) f(f(1)) 3. 进而f(1) 1（舍去），或f(1) 2，或f(1) 3（舍去）.

由f(1) 2，得f(2) f(f(1)) 3；由f(2) 3，得f(3) f(f(2)) 6； 由f(3) 6，得f(6) f(f(3)) 9.

注意到6 f(3) f(4) f(5) f(6) 9，且f(n) N，得f(4) 7，f(5) 8. 9．解：设细杆与另一走廊一边夹角为 ，又设另一走廊的宽为y.

y( ) 8asin

asin cos

2

*

(0

2

π2

).

y ( ) 8acos a

cos sin

cos

2

8acos

acos

2

.

y 0 cos

3

18

cos

12

π3

.

由于y(

)只有一个极小值，所以它是最小值，这时y( ) . 11．简解：f(x)的定义域为[5,8].

234

由f (x)

234

0，得x

234

.

易知是极大值点，由f(5) 3,f() f(8)

得f(x)max 强调导数的工具性！

二、填空题：

13．[1,3]； 14．[ 2,1]； 15．90 ； 16．5，(

121313,8

)；

17．260； 18

．(； 19．①、②、③； 20．2 log23； 21．[ 2,)； 22

．[2,； 23．[

23

3π41

,π)； 24．( 1,0]，

94

或

74

；

25．327； 26

．提示：

9

； 27．()

2

k 1

．

14．连结MB，由MA MB AC 4，得点M的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的 椭圆.

以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，易求得点M的轨迹方程为x 4y 4.

22222

由MA MB x y 3，且x 4y 4，得MA MB 1 3y，注意到|y| 1，

从而MA MB [ 2,1].

2

2

18．转化为直线y kx 2与圆x y 1相离.

22

a b

22

20．两式相减得2 2

ca b

2 2

ca b

，即2

c

a b

1

.

由2

a b

2 2 ab2a b 4.

所以2

c

22

a b

a b

1

1

12

a b

1

43

，所以cmax log2

1n

43

2 log23.

21．① 当n是正奇数时，原不等式化为a (2

则a 2；

② 当n是正偶数时，原不等式化为a 2 则a 2

12 32.

1n

)，欲使上式对于任意正奇数n恒成立，

，欲使上式对于任意正偶数n恒成立，

22．点P在已知椭圆C的内部（含边界）． 23．y

4e

x

x2

(e 1)

e

x

41e

x

1，即 1 tan 0，所以 [ 2

3π4

,π).

24．由 x 的含义知a ( 1,0]； 设2x

12

k Z，则x

2k 14

，3x 1 k 1

2k 34

2k 34

.

于是，原方程等价于 解得

112

k

72

2k 34

1，即 2 1，

94

，所以k 5，或k 4，相应的x ，或

74

.

25．将这19个的正整数按被3除的余数分为3类：从每类中各取3个数或3类中各取1个数

符合要求.

2

27．设sinx t，则0 t 1.从而f(x)转化为g(t) tk (1 t)k.

由g (t) kt得当0 t 当

12

k 1

k(1 t)

k 1

，

k 1

12

时，g (t) k[t

k 1

(1 t)

k 1

k 1

] 0；

t 1时，g (t) k[t

1

(1 t)] 0. 1

于是，函数g(t)在(0,)内为减函数，在(,1)内为增函数.

2

2

故g(t)（即f(x)）得最小值为g() ()

2

2

11

k 1

.

三、解答题：

28．（Ⅰ）由a 2bsinA，根据正弦定理得sinA 2sinBsinA，所以sinB

由△ABC为锐角三角形得B

π6

12

，

．

（Ⅱ）cosA sinC cosA sin(

12

2

A) cosA sin(

3

6

A)

cosA

cosA sinA A

2

)． 2

3

3

2

由△ABC为锐角三角形知，A B

2 3

3

6

，A

3

B ，故 A ．

从而 A

，所以

1232

sin(A )

2

．

由此有

2

A

3

) ，

所以，cosA

sinC的取值范围为3

)． 22

说明：本题（Ⅱ）中A的范围的判断易错！

29．（Ⅰ）解：依题意 xOQ

13

π3

，所以 POQ xOQ xOP

π3

．

因为sin ，且 (

ππ22

,)，所以cos ．

223

所以cos POQ cos(

π3

) cos

π3

cos sin

π3

sin

6

．

（Ⅱ）解：由三角函数定义，得P(cos ,sin

)，从而Q(cos )．

2

所以

OP OQ cos

1 cos2

2

2

cos π6

12

2

sin(2 ) ．

因为 ( 所以当2

πππ5π7π,)，所以 2 ( ,)， 22666π6

π2

，即

π3

时，OP OQ取得最小值

12

．

说明：本题（Ⅱ）中三角函数的定义希望学生关注！

30．（Ⅰ）由2sin

2

A B2

cos2C 1，得2cos

2

C2

1 cos2C，

所以cosC (2cos2 1)，即2cos2C cosC 1 0， 因为C为△ABC内角，所cosC 1 0，cosC 由0 C π，得C

π3

12

．

．

（Ⅱ）c 2RsinC

又由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC， 即12 a2 b2 ab,

又a2 b2 ab 2ab ab ab， 所以ab 12.

12

4

所以有S ABC

absinC ab

当且仅当a b即△ABC为等边三角形时，△ABC

的面积取得最大值

31．解法一：连接BD，设AC BD O，如图建立空间直角坐标系. （Ⅰ）设AB

a，则SB

，SO

2a，

∴

S

(0,2

，D(

2

,0,0)，C22

0)，

.

∴

OC (0,

2

,0)，SD (

2

,0,

∵ OC SD 0，

∴ AC SD.

（Ⅱ）平面PAC的一个法向

量DS 2

2

,0,，平面DAC的一个法向

量

OS (0,).

2

设二面角P AC D的平面角为 ，

OS DS∵

cos ，

2OSDS

∴ 二面角P AC D的大小为30 .

（Ⅲ）侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC．

由（Ⅱ）得DS是平面PAC

的一个法向量，DS ,2

设 CE CS，

则

BE BC CE BC CS (

2

，CS (0,

2

2

．

2

,

2

(1 2

，

而 DS BE 0，解得

13

．

SE:EC 2:1即当时，DS BE，

∵ BE 平面PAC， ∴ BE∥平面PAC． 解法二：

（Ⅰ）设点S在平面ABCD上的正投影为O，连结SO，BD． ∵ S ABCD是正四棱锥，

∴ SO 平面ABCD，

∴ BD是SD在平面ABCD上的正射影． ∵ ABCD是正方形， ∴ AC BD，

根据三垂线定理，得AC SD. （Ⅱ）连结OP.

∵ S ABCD是正四棱锥，

∴ APD≌ CPD， ∵ O是AC的中点，

∴ AC OP. 又 AC OD，

∴ POD是二面角P AC D的平面角. 设AB

a，则SD

，SO

2.

∵ SD 平面PAC， ∴ OP

SD，且OP

SO ODSD

4a.

在Rt OPD中，

cos POD

OPOD

2

，

∴ 二面角P AC D的大小为30 .

（Ⅲ）侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC．

取SD的中点F，连结BF，在平面SCD内过点F作FE//CP，交SC于点E，则点E为所求.

证明如下：

∵ SBD是等边三角形， ∴ BF SD， ∴ BF//OP．

又 FE//CP， ∴ 平面BEF∥平面PAC， ∴ BE∥平面PAC．

SEF∽ SCP， ∴

SEEC

SFFP

2．

32．（Ⅰ）椭圆C的方程为：

x

2

4

y

2

3x14

1.

2

（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，则

依题意有 |PM|

|PN|

y13

2

1，

x24

2

y23

2

1.

，

2222

整理得 (x1 x2) (y1 y2) 2y0(y1 y2) 0.

将x 4

21

4y13

2

，x 4

22

4y23

2

2222

代入上式，消去x1,x2，得 (y1 y2) 6y0(y1 y2) 0.

依题意有 y1 y2 0，所以y0 注意到

|y1|

所以

y0 (

|y2|

3

3

y1 y2

6

.

M,N

两点不重合，从而 y1 y2 .

说明：变量方程观解决多变量问题！

33．解：（Ⅰ）椭圆C的方程为

x

2

3

y 1．

2

（Ⅱ）设直线AQ的方程为y kx 2，代入椭圆方程得(1 3k)x 12kx 9 0，

22

由 144k2 36(1 3k2) 0，得k2 1， 所以 xA xQ

12k1 3k

2

，xAxQ

91 3k

2

．

因为O是AB的中点，

所以 S ABQ 2S AOQ 2S POQ S poa 2

2

2

12

2 xA xQ 2xA xQ．

由 (xA xQ) (xA xQ) 4xAxQ ( 设k2 1 t(t 0)，

则(xA xQ)2

36t(3t 4)

2

12k1 3k

2

)

2

361 3k

2

36(k

2

1)

2

1 3k

，

9t

3616t 24

36

34

，

当且仅当9t

16t

,t

43

时等号成立，此时△ABQ面积取最大值,最大值为3．

34．解：（Ⅰ）设圆心坐标为(x,y)，那么2 y（Ⅱ）解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

2

2

(y 2) x，化简得x

222

4y．

设直线PQ的方程为y kx b，代入曲线C的方程得x2 4kx 4b 0， 所以x1 x2 4k,x1x2 4b, 16k2 16b 0．

2222

因为PQ 2，所以(1 k)[(x1 x2) 4x1x2] 4, (1 k)[16k 16b] 4．

所以, 4(1 k2)[k2 b] 1, k2 b

14(1 k)

2

．

过P、Q两点曲线C的切线方程分别为y y1

2

2

x12

(x x1),y y2

x22

(x x2)．

两式相减，得y2 y1 x2 x1

4

2

2

x2

(x1 x2)

2

2

x2 x1

2

．

x2

(x1 x2)

x2 x1

2

， x1 x2， x

x1 x2

2

2k．

代入过P点曲线C的切线方程得, y y1

x1x1 x2

( x1)． 22

y

x1

2

4

xxx1x1 x2

( x1)， y 12 b．

422

即两条切线的交点M的坐标为（2k, b），所以点M到直线PQ的距离为

2k

2

d

2b

2

2k

2

b

2

1

3

．

k k12

2(1 k)2

12

PQ dmax

12

2

当k 0时, dmax ,此时 PQM的面积的取最大值Smax

．

解法二: 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为 y y1

x12

(x x1),y y2

x22

(x x2)．

2

2

两式相减得y2 y1 x2 x1

4

2

2

x2

(x1 x2)

2

2

x2 x1

2

，

x2

(x1 x2)

x2 x1

2

， x1 x2， x

x1 x2

2

．

代入过P点曲线C的切线方程得, y y1

x1

2

x1x1 x2

( x1)． 22

y

4

xxx1x1 x2

( x1)， y 12．

422

x1＋x2x1x2

即两条切线的交点M的坐标为，．

24

x1＋x2y1 y2

设PQ中点为C，则C的坐标为()，所以MC平行于y轴，所以

22

MC

x1x24

y1 y2

2

x1x24

x1 x2

8

2

2

(x1 x2)

8

2

(x1 x2)

8

2

．

设点M到直线PQ的距离为d，那么d MC 号成立) ．

(x1 x2)

8

2

(当且仅当x1 x2 0时等

又因为PQ

2 2，

2，

2．

所以(x1 x2)2 4 (当且仅当x1 x2 0时等号成立) ． 因此d

12

，S PQM

12

PQ d

12

12

2

12

12

，

所以 PQM的面积的最大值为

．

35．（Ⅰ）设直线l：y 1 k(x 1)，将其与抛物线方程联立，消去y整理得

x kx k 1 0.

2

令 ( k)2 4(k 1)

0，解得k

2，或k 2. （Ⅱ）设点Q(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则x1 x2 k,x1x2 k 1.①

由

1PP1

1PP21|x1 1|

2PQ

，且P1,P2,Q都在直线l上，

从而有

1|x2 1|

2|x 1|

. ②

由(x1 1)(x2 1) x1x2 (x1 x2) 1 2 0，得x1 1,x2 1,x 1三者同号， 于是②式等同于

1x1 1

1x2 12 kk 2

2x 1

.

利用①，上式可化为x .

利用直线l的方程，消去参数k得2x y 1 0.

由k

2，或k

2，得1 x

1,且x 1.

1,且x 1.

所以，点Q的轨迹方程是2x y 1

0，其中1 x

36．证明：易知F(3,0)，设直线AB的方程为x ty 3，

将其与抛物线方程联立，消去x整理得y 12ty 36 0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2),N( 3,m)，则y1y2 36. 故k1 k2

y1 mx1 3

y2 mx2 3

2

12[(y1 m)(y2 36) (y2 m)(y1 36)]

(y 36)(y 36)

2

1

22

22

12m(y1 y2 72)(y 36)(y 36)

21

22

22

m3

2k，

所以，k1,k,k2成等差数列.

37．（Ⅰ）解：f (x) aeax

(x 1)[(a 1)x 1]

x

2

．

① 当a 1时，令f (x) 0，解得 x 1．

f(x)的单调递减区间为( , 1)；单调递增区间为( 1,0)，(0, )．

当a 1时，令f (x) 0，解得 x 1，或x

1a 1

．

1a 1

, )；单调递增区

② 当 1 a 0时，f(x)的单调递减区间为( , 1)，(

间为( 1,0)，(0,

1a 1

)．

③ 当a 0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间． ④ 当a 0时，f(x)的单调递减区间为( 1,0)，(0,

( , 1)，(

1a 1

, )．

1a 1

)；单调递增区间为

（Ⅱ）解：① 当a 0时，若x (0, )，f(x)min f(，f(x)max f( 1) ex ( ,0)

a

1a 1

a

) e

a 1

(a 1) 1；若

2

1，不合题意．

② 当a 0时，显然不合题意． ③ 当 1 a 0时，取x1

f(x2) e

a

a2

，则f(x1) e

a

2

2

(a 1) 0；取x2 1，则

0，符合题意．

1 a

④ 当a 1时，取x1 1，则f(x1) e 0；取x2 1，则f(x2) e 0，

符合题意．

综上，a的取值范围是[ 1,0)．

38．解：由图，设A

点坐标为(x

,x 2,

则B(1

．由图可得1 x，

记矩形ABCD的面积为S

，易得：S AB AD (1 令t

t 2

，得S t t t．

3

2

x

32

．

所以S 3t2 2t 1 (3t 1)(t 1)，令S 0，得t 因为t S ,S

13

或t 1，

2

，所以t

13

.

随t的变化情况如下表：

13

，即x

19

527

，所以矩形ABCD面积的最

由上表可知，当t 大值为

527

时， S取得最大值为

.

39．解：

（Ⅰ）f(x)的定义域为(0, )，f (x)

2ax a 1

x

2

.

① 当a 0时，f (x) 0，故

f(x)在(0, )单调递增； ② 当a 1时，f (x) 0，故f(x)在(0, )

单调递减；

③ 当 1 a 0时，令f (x)

0，得x .

当x 时，f (x) 0；当x )时，f (x) 0.

故f(x)在单调递增；故f(x)在 )单调递减.

（Ⅱ）不妨设x1 x2，因为a 1，由（Ⅰ）f(x)在(0, )单调递减，

从而对任意x1,x2 (0, )，|f(x1) f(x2)| 4|x1 x2|， 等价于对任意x1,x2 (0, )，f(x2) 4x2 f(x1) 4x1. ④ 令g(x) f(x) 4x，则g (x)

a 1x

2ax 4.

④ 等价于g(x)在(0, )单调递减，即

a 1x

a 1x

2ax 4 0.

2

从而

2ax 4 0，得a

4x 12x 1

2

(2x 1)

2

2x 1

2 2.

故a的取值范围是( , 2].

40．解：① 当a 0时，在同一坐标系中作函数y ax与y lnx的图象，易知两图象有且仅有一个交点，故此时f(x) ax lnx有且只有一个的零点. ② 当a 0时，f (x) a

当0 x 在(

1

1a

1x ax 1x

(x 0). 1a

时，f (x) 0；当x 时，f (x) 0.从而f(x)在(0,)内单调递减，

a

1

1

, )内单调递增，所以f(x)的最小值为f() 1 lna. aa

故当1 lna 0，即a 当1 lna 0，即a

1e

1e

时，f(x) 0，函数f(x)没有零点.

时，方程f(x) 0恰有一解，此时函数f(x)恰有一个零点.

1e

当1 lna 0，即0 a 此时函数f(x)恰有两个零点.

综上，当a 点；当0 a

1e1e

时，方程f(x) 0在区间(0,)和(

a

11a

, )内各有一解，

时，函数f(x)没有零点；当a 0或a

1e

时，函数f(x)恰有一个零

时，函数f(x)恰有两个零点.

41．（Ⅰ）构造函数f(x) ln(1 x)

1x 1

2(x 2) 2x(x 2)

2

2xx 2

， x

2

则f (x)

(x 2)(1 x)

2

.

当x 0时，f (x) 0，所以f(x)在(0, )上单调递增， 所以当t 0时，f(t) f(0) 0，即ln(1 t) （Ⅱ）P

100100

99100

98100

81100

2tt 2

0，即(1

2t

)ln(1 t) 2.

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tki1.html