余弦函数的图像和五点法教学设计

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探究问题：

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗？

类似于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？请将它们的坐标填入下表，然后作出]20[cos π，，∈=x x y 的简图。 x

x cos

余弦函数的图像和五点法教学设计

一、教材分析

本节课选自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4第一章1.4.1节的内容。 从知识的网络结构上看，余弦函数的图像和五点法既是三角函数的诱导公式、正弦函数图像的延续和拓展，又是后续研究正弦函数和余弦函数的性质、正切函数的性质与图像、函数 y ＝Asin (ωx ＋φ)的图像等内容的基础，在研究三角函数模型（如研究物理、生物、自然界中的周期现象）也有着比较广泛的应用。绘制余弦函数图像的过程中蕴涵着化归和转化等数学思想方法，对于进一步探索、研究正切函数的图像有一定的启发与示范作用，同时也为今后学习正弦型函数 y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。

因而本节课是起到承上启下、铺路架桥的作用。

二、教学对象：高二学生

三、教学目标

1.知识与能力目标

(1) 理解余弦函数y=cosx 的图象可由正弦函数y=sinx 的图象向左平移π/2得到；

(2) 了解正弦曲线、余弦曲线的概念；

(3) 掌握五点法作图；

(4) 能够运用图像变换画较复杂的图像。

2.过程与方法目标

通过对余弦函数的图象和五点法的探究，让学生体验图象生成过程；在教师引导下的师生、生生

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交流、合作与探究中，培养学生的观察能力、分析能力与归纳能力，以及合情推理的能力，并获得成功体验，体会到数学知识运用的价值，

3.情感态度价值观目标

经历图象生成的过程，体会到数学学习的乐趣，感受数学之美，培养学生学习数学的主动性和勇于探索的精神，增进学生学好数学的自信心。

四、教学重点、难点

1.重点：余弦函数的图像和五点法。

2.难点：余弦函数图象和五点法的探究过程。

五、教学方法：启发诱导、讨论交流。

六、教学过程设计

☆教学流程设计：

探究余弦函数的图像设计意图：

探究余弦函数的图像时，不直接告诉学生答案，而是给予他们启发，比如可以类比画正弦函数图像的方法---正弦线，教师再给予引导：余弦线的方法过于繁琐，有没有更简便的方法，思考正弦和余弦又怎样的等量关系。

让学生亲身经历图像的探究过程，自己获得真知，在合作交流中体验成功的喜悦。

复习引入设计意图：

一方面让学生巩固上节课所学的正弦函数图像知识，另一方面，激发学生求知欲，以便顺利过渡到新课的学习中。

让学生在动机上做好准备，对即将要学的内容产生兴趣，产生对知识的“饥饿状态”。

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（一）复习引入（预计5分钟）

问题1：同学们，上节课我们学习了正弦函数的图像，它的图像是怎样的呢？还记得是用什么方法

画出来的吗？

（与学生一起回顾正弦函数图像的作法，并在黑板上一步一步演示正弦函数的图像，

如图1）

图1 问题2：我们学了指数函数、对数函数、幂函数和正弦函数等的图像，想不想学余弦函数的图像呢？ 五点法 设计意图：

通过探究画正弦函数图像时应该抓住哪些关键点，从而引出五点法，并运用到余弦函数的图像的绘制上。 一方面，让学生学会用五点法快速画出正弦

函数和余弦函数的图像；另一方面，让学生体会到数学探究的乐趣，明白可以用简单的方法解决

问题，感受到数学的灵活性。 例题讲解 设计意图： 两道例题分别要通过正弦函数、余弦函数图像作图形变换来绘制新图像，让学生对五点法有较深刻的理解，并学会用它来解决较复杂函数的图像问题。 设计意图： 设置三个问题，让学生按照教师的思路进 行总结，明确本节课的重点内容，构建知识 网络。 课堂小结 布置作业 设计意图： 只是听老师讲课是远远不够的，学生必须一定的的时间去做题，以便巩固、深化，将所学知识融会

贯通。而老师留给学生的课后习题，具有代表性，

目的性较强，能很好地提高学生的解题能力和应用

能力。

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（激发学生学习兴趣，将学生引入到新课学习中）

板书课题：余弦函数的图像和五点法

（二）层层递进，探索新知（预计24分钟）

1.探究余弦函数的图像 （预计10分钟）

问题3：要画余弦函数的图像，可以类比正弦函数图像的作法，可以想到什么方法呢？ （余弦线的方法）

问题4：但是余弦线的方法有点繁琐，有没有比较简便的方法呢？

问题5：回想诱导公式，正弦和余弦有什么等量关系呢？能不能把它们列出来呢？

（如：sin x=cos (2π-x)，cos x=sin(2π-x)，sin x=-cos(2π+x)，cos x=sin(2

π+x)， sin x=-cos(π23-x)，cos x=-sin （π2

3-x ）） 问题6：最好选用哪一条公式来推出余弦函数的图像呢？为什么？

（引导学生自己先思考，再与其他同学进行交流和讨论，5分钟后，请同学来分享成果，教 师作点评。）

答：最好选用cos x=sin(2π+x)，因为只需要将函数y=sin x ，x ∈R 的图像向左平移2

π个单位长度， 即可得到余弦函数y=cos x 在R 上的图像；而运用其他公式，需将y=sin x ，x ∈R 的图像经过 多次变换，较繁琐，故不采用。

（图2，在黑板上演示余弦函数的画法）

2.引出正弦曲线和余弦曲线的定义 （预计2分钟）

定义：正弦函数的图像和余弦函数的图像分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

3.五点法（预计12分钟）

（1）探究用五点法画正弦函数的图像 问题7：讲新课前，我们复习了正弦函数的图像，有没有留意作图时，我们将单位圆分成12等份，

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得到12个分点，这些点有什么特点呢？

（都是特殊点）

问题8：对了，都是特殊点。想一想，不用正弦线的方法，能不能在坐标系上描出几个特殊点，再 连线就可以得到正弦函数在[0，π2]上的大致图像了？

（可以）

问题9：那至少需要几个点呢？

（组织学生讨论、交流，请同学分享成果，教师作点评，并给出正确解答）

答：在函数y=sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起关键作用的点有以下五个：（0，0），（

2

π，1）， （π，0），（π23，-1），（π2，0）。

（2）探究用五点法画余弦函数的图像

问题10：类似于正弦函数的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？请将它们的坐标写出来，然后作出y=cos x 在[0,2π]上的简图，再作出在R 上的图像。

答：（0，1），（2π，0），（π，-1），（π2

3，0），（π2，1）。

（图3，请同学上黑板前做，其他同学在草稿纸上做，教师巡视进行个别指导）

（三）例题讲解 （预计11分钟）

例1：画出下列函数的图像：

（1）y=1+sin x ，x ∈[0,2π]；

（2）y=-cos x ，x ∈[0,2π].

解：（1）按五个关键点列表：

x 0 2π π π23 π2 sin x

0 1 0 -1 0 1+sin x 1 2 1 0 1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来：（如图4）

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图4

（2）按五个关键点列表： x 0 2π π π23 π2 cos x

1 0 -1 0 1 -cos x -1 0 1 0 -1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来：（如图5）

图5 思考：你能否从函数图像变换的角度出发，利用函数y=sin x ，x ∈[0,2π]的图像来得到y=1+sin x ，x ∈[0,2π]的图像？同样的，能否从函数y=cos x ，x ∈[0,2π]的图像得到函数y= - cos x ，x ∈

[0,2π]的图像？

（四）课堂小结（预计5分钟）

（引导学生按下面的思路进行小结）

1.这堂课的主要内容是什么？

2.正弦函数的图像通过怎样的图形变换可以得到余弦函数的图像？

3.如何用五点法画正弦函数和余弦函数的图像？

（五）布置作业

1.课本第38页练习1,2；

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2.课本第53页B组第1题。

（六）板书设计

余弦函数和五点法

一、引入四、五点法

二、余弦函数的图像五、例题讲解

三、正弦曲线和余弦曲线的定义六、小结

（七）设计反思

1.优点：

（1）先复习上节课内容，再引入新课，符合教学要求；

（2）教师引导发现，让学生在探究中，通过自己动脑、动手、与他人讨论交流来获得真知，体现了学生的主体地位，真正把课堂留给学生。

2．缺点：

（1）没有好的问题情境，不能很大程度上调动学生学习的积极性；

（2）提出的问题，设置得不够深刻，不能引导学生挖掘更多有用的东西；

（3）时间分配不够合理，各个环节所用时间太少，实际讲课时会讲不完；

（4）例题讲解环节没有详细说明以怎样的形式展现出来，而且课堂上没有练习题让学生加以巩固。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tkgl.html