最新常微分方程试题解答汇总

2007常微分方程试题

解答

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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2007常微分方程试题解答

一、填空题：（每题4分，共20分）

1．n 阶常微分方程2(1)2(1)(,,,)n n n n d y dy d y d y f x d x dx dx

dx --=的初值条件可表示为 （ ()()()()()1110000001,,,n n n dy x d y x f x y y y dx dx

---=== ）。 2定义在带形区域),0(l 中，其中l 为正数，则通过)1,1( 的解的存在区间是（ ),0(l ）。

3. 当系数q p , 满足条件( 0,0p q ≤≥ )时,此方程的所有解有界。

4． 若常系数线性方程组e 有一解为u x t e t λ=)(，则数λ和向量u 满足 ( 0=-A E λ， ()0=-u A E λ )。

5．方程 的通解形式为

（)(sin )(cos )(221r qx px x x Dx C x Bx A e c c y x ++++++++=- ）

二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解）：（每题10分，共50分） 1． 解[1]

x y dx

dy x y 22sin +=2cos )2(x x x y y ++='+''

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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 因为x y dx

dy x y 22sin +?=， 所以x x y dx dy x y 22sin +=，即x x

y x y dx dy 22

sin -=. 令1

-=y z ， 则x x x z dx dz 2sin +-=， 因此， x c x x c e x x e z dx x dx x +-=??????+??=?-42sin 2

1sin 1121, 从而由1-=y z 得到原方程的通解为 x

c x x y +-=42sin 211

. 解[2] xdx y xdy ydx 22sin +=

xdx y

xdy ydx 22sin =- xdx y

x d 2sin )(= ?=xdx y

x 2sin c x x y x +-=4

2sin 2 2 02='-'-'y e y y x y

解 方程可变为y e y y x y ''+'=2， 其为克莱罗微分方程. 所以通解为 x ce cx y +=（c 为任意的常数）.

又由()()???+=='+p f xp y p f x 0 得到奇解 ()???+=+-=p p pe

xp y e p x 2221， 3 02=''+'''y y x

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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 解 令z y =''，则02=+?

z dx

dz x . 从而 2x c z =，即2x c y =''. 于是321ln c x c x c y ++=（21,,c c c 为任意常数。）

4

1)0(,0)0(='=y y 解

。

从而c xy dx

+=2 []112222c dx ce e c dx ce e y x x xdx dx x +=??

????+??=??--， 所以原方程的通解为[]1122-+=?-c dx ce e y x x

. 又由1)0(,0)0(='=y y 得，1,11==c c ，

。

从而特解为[]

1122-+=?-dx e e y x x 5．Ax x =' ??????????-=110310001A ????

??????=321x x x x

解[1] 由A 的特征方程为()()041)det(2=--=-λλλA E 得，2,2,1321-===λλλ是A 的特征值。

当11=λ时，由方程组()0=-u A E .

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