概率论答案- 李贤平版- 第一章
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《概率论》计算与证明题 32
第一章 事件与概率
1、若A,B,C是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)ABC?A;(2)A?B?C?A;(3)AB?C;
(4)A?BC.
2、试把A1?A2???An表示成n个两两互不相容事件的和.
3、若A,B,C,D是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A,B都发生而C,D都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。
123nn?14、证明下列等式:(1)Cn; ?2Cn?3Cn???nCn?n2123n?1n?2Cn?3Cn???(?1)nCn?0; (2)Cna?r?r(3)?Cak?rCbk?Caa?. bk?05、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。
7、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n只白球,n只黑球,n只红球的袋中,任取m只球,求其中白、黑、红球分别有
m1,m2,m3(m1?m2?m3?m)只的概率。
9、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。
10、由盛有号码1,2,?,N的球的箱子中有放回地摸了n次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
11、任意从数列1,2,?,N中不放回地取出n个数并按大小排列成:x1?x2???xm???xn,试求xm?M的概率,这里1?M?N。
12、从6只不同的手套中任取4只,问其中恰有一双配对的概率是多少?
13、从n双不同的鞋子中任取2r(2r 《概率论》计算与证明题 33 14、袋中有n只球,记有号码1,2,?,n,求下列事件的概率:(1)任意取出两球,号码为1,2;(2)任意取出3球,没有号码1;(30任意取出5球,号码1,2,3,中至少出现一个。 15、袋中装有1,2,?,N号的球各一只,采用(1)有放回;(1)不放回方式摸球,试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。 16、甲有n+1个硬币,乙有n个硬币,双方投掷之后进行比较,求早掷出的正面比乙掷出的正面多的概率。 17、一颗骰子投4次至少得到一个六点,与两颗骰子投24次至少得到一个双六这两件事,哪一个有更多的机会遇到? 18、从52张扑克牌中任意抽取13张来,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张草花的概率。 19、桥牌游戏中(四人各从52张纸牌中分得13张),求4张A集中在一个人手中的概率。 20、在扑克牌游戏中(从52张牌中任取5张),求下列事件的概率:(1)以A打头的同花顺次五张牌;(2)其它同花是非曲直次五比重牌;(3)有四张牌同点数;(4)三张同点数且另两张也同点数;(5)五张同花;(6)异花顺次五张牌;(7)三张同点数;(8)五比重中有两对;(9)五张中有一对;(10)其它情况。 21、某码头只能容纳一只船,现预知某日将独立来到两只船,且在24小时内各时刻来到有可能性都相等,如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时,试求有一船要在江中等待的概率。 22、两人约定于7点到8点在某地会面,试求一人要等另一人半小时以上的概率。 23、设A1,A2,?,An是随机事件,试用归纳法证明下列公式: nP(A1?A2???An)??P(A)??P(Aii?1n?j?i?1iAj)???(?1)n?1P(A1A2?An)。 24、考试时共有N张考签,n个学生参加考试(n?N),被抽过的考签立刻放回,求在考试结束后,至少有一张考签没有被抽过的概率。 25、甲,乙丙三人按下面规则进行比赛,第一局由甲,乙参加而丙轮空,由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛,而失败者则轮空,比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止,连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲,乙,丙胜每局的概率各为1/2,问甲,乙,丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少? 26、给定p?P?A?,q?P?B?,r?P?A?B?,求P?AB?及P?AB?。 27、已知:P?AB??P?A?P?B?,C?AB,C?AB,证明:P(AC)?P(A)P(C)。 28、(1)已知A1与A2同时发生则A发生,试证:P(A)≥P(A1)?P(A2)-1 (2)若A1A2A3?A,试证:P(A)≥P(A1)?P(A2)?P(A3)-2 29、利用概率论的想法证明下列恒等式: 《概率论》计算与证明题 34 1?A?aA?1?(A?a)(A?a?1)(A?1)(A?2)???(A?a)?2?1(A?1)?(a?1)a?Aa 其中A,a都是正整数,且A?a。 30、证明?的一切子集组成的集类是一个??域。 31、证明:??域之交仍为??域。 32、向边长为 a 的正方形由任意投一点,求此点正好落在对正方形对角形上的概率? 33、在10只电子表中有2只是次品,现从中不放回的连续抽取两次,每次抽取一只,求正好抽到一个 是正品,一个是次品的概率? 34、在5双不同的鞋中任取4双,求至少能配成一双的概率? 35、在整数0至9中任取4个,能排成一个四位偶数的概率是多少? 36、两人相约于7点到8点间在某地相会,约定先到者等候另一人20分钟,过时离去,试求这两人能会 面的概率是多少? 37、有10个电阻,其电阻值分别为1?,2?,?,10? ,从中取出三个,要求取出的三个电阻,一个小于 5?,一个大于5?,另一个等于5?,问取一次就能达到要求的概率。 38、两船欲靠同一码头,设两船独立地到达,而且各自到达时间在一昼夜间是可能的,如果此两船在码 头停留的时间分别是1及2小时,试求一船要等待空出码头的概率。 39、任意取两个正的真分数,求它们的乘积不大于1/4的概率。 40、在区间(0,1)中随机取两数,求两数之和小于1.2的概率。 41、设3个事件A,B,C,满足AB??,求P(A?B?C)。 42、某城市中发行2种报纸A,B。经调查,在这2种报纸的订户中,订阅A报的有45%,订阅B报的 有35%,同时订阅2种报纸A,B的有10%。求:(1)只订A报的概率;(2)只订1种报纸的概率。 43、从1,2,3,4,5五个数码中,任取3个不同数码排成三位数,求:(1)所得三位数为偶数的概率;(2) 所得三位数为奇数的概率。 44、电话号码由6个数字组成,每个数字可以是0,1,2,?,9中的任一个数(但第1个数字不能为0),求 电话号码由完全不相同的数字组成的概率。 45、袋中有5个白球和3个黑球。从中任取2个球,求:(1)取得的2个球同色的概率;(2)取得的2个球至少有1个是白球的概率。 46、证明: P(AB)?P(AC)-P(BC) ?P(A) 47、证明:包含一切形如(??,x)的区间的最小??域是一维波雷尔??域。 《概率论》计算与证明题 35 第一章 解答 1、解:(1)ABC?A?BC?A(ABC?A显然)?B?A且C?A,若A发生,则B与C必同时发生。 (2)A?B?C?A?B?C?A?B?A且C?A,B发生或C发生,均导致A发生。 (3)AB?C?A与B同时发生必导致C发生。 (4)A?BC?A?B?C,A发生,则B与C至少有一不发生。 2、解:A1?A2???An?A1?(A2?A1)???(An?A1???An?1) (或)=A1?A2A1???AnA1A2?An?1. 3、解:(1){至少发生一个}=A?B?C?D. (2){恰发生两个}=ABCD?ACBD?ADBC?BCAD?CDAB?BDAC. (3){A,B都发生而C,D都不发生}=ABCD. (4){都不发生}=ABCD?A?B?C?D. (5){至多发生一个}=ABCD?ABCD?BACD?CABD?DABC ?AB?AC?AD?BC?BD?CD. n122nn4、解:(1)因为(1?x)?1?Cnx?Cnx???nCnx,两边对x求导得 n(1?x)n?1?Cn?2Cnx???nCnx12nn?1,在其中令x=1即得所欲证。 (2)在上式中令x=-1即得所欲证。 a?rb?rkb?k(3)要原式有意义,必须0?r?a。由于Ca?b?Ca?b,Cb?Cb,此题即等于要证 a?Ck?0k?raCbb?k?Ca?b,0?r?a.利用幂级数乘法可证明此式。因为 ba?bb?r(x?1)(x?1)?(x?1)a,比较等式两边xb?r的系数即得证。 5、解:P?A6A5A5/A11?1113533?0.15 6、解:(1)第一卷出现在旁边,可能出现在左边或右边,剩下四卷可在剩下四个位置上任意排,所以 《概率论》计算与证明题 36 p?2?4!/5!?2/5 (2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边,或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边, 剩下三卷可在中间三人上位置上任意排,所以 p?2?3!/5!?1/10 (3)p?P{第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁 2525110710边}=???. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件,所以 P?1?7/10?3/10 (5)第三卷居中,其余四卷在剩下四个位置上可任意排,所以P?1?4!/5!?1/5 7、解:末位数吸可能是2或4。当末位数是2(或4)时,前两位数字从剩下四个数字中选排,所以 P?2?A4/A5?2/5 23 8、解:P?Cn1Cn2Cnmmm3/3C3n m 9、解:P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红} ?325?1025?725?625?1525?925?207625?0.33. 10、解:若取出的号码是按严格上升次序排列,则n个号码必然全不相同,n?N。N个不同号码可产 生n!种不同的排列,其中只有一个是按严格上升次序的排列,也就是说,一种组合对应一种严格上升排列,所以共有CN种按严格上升次序的排列。总可能场合数为N,故题中欲求的概率为 P?CN/N. nnnn 11、解:因为不放回,所以n个数不重复。从{1,2,?,M?1}中取出m-1个数,从{M?1,?N}中取出 n?m个数,数M一定取出,把这n个数按大小次序重新排列,则必有xm?M。故 P?CM?1C1CN?M/CN。当M?1?m?1或N?M?n?m时,概率P?0. m?11n?mn 12、解:有利场合是,先从6双中取出一双,其两只全取出;再从剩下的5双中取出两双,从其每双中 取出一只。所以欲求的概率为P?C6C2C5C2C2/C12?1221141633?0.48 13、解:(1)有利场合是,先从n双中取出2r双,再从每双中取出一只。 P?Cn(C2) 2r12r/C2n,2r(2r?n) 《概率论》计算与证明题 37 (2)有利场合是,先从n双中取出一双,其两只全取出,再从剩下的n?1双中取出2r?2双,从鞭每双中取出一只。 P?CnC2Cn?1(C2)122r?212r?2/C2n?n22r2r?2Cn?1/C2n. 2r?22r?42r(3)P?22r?4Cn2Cn2?r2/C2n. (4)P?Cnr(C22)r/C22nr?Cnr/C22nr. 14、解:(1)P{任意取出两球,号码为1,2}=1/Cn2. (2)任取3个球无号码1,有利场合是从除去1号球外的n?1个球中任取3个球的组合数,故 33P{任取3球,无号码1}?Cn/Cn. ?155(3)P{任取5球,号码1,2,3中至少出现1个}=1?P{任取5球,号码1,2,3不出现}?1?Cn/Cn. ?3其中任取5球无号码1,2,3,有利场合是从除去1,2,3号球外的n?3个球中任取5个球的组合数。 15、解:(1)有利场合是,前k?1次从N?1个号中(除1号外)抽了,第k次取到1号球, P?(N?1)k?1?1/Nk?(N?1)k?1/N kk?1k(2)考虑前k次摸球的情况,P?AN?1?1/AN?1/N。 16、解法一:设A={甲掷出正面数>乙掷出正面数},B={甲掷出反面数>乙掷出反面数}。考虑A={={甲 掷出正面数?乙掷出正面数}。设A发生。若乙掷出n次正面,则甲至多掷出n次正面,也就是说乙掷出0次反面,甲至少掷出1次反面,从而甲掷出反面数>乙掷出反面数。若乙掷出n?1次正面,则甲至多掷出n?1次正面,也就是说乙掷出1次反面,甲至少掷出2次反面,从而也有甲掷出反面数>乙掷出反面数,等等。由此可得 A?{甲掷出正面数?乙掷出正面数}?{甲掷出反面数?乙掷出反面数}?B. ?P(A)?P(B)?P(A)?P(A)?1 显然A与B是等可能的,因为每人各自掷出正面与反面的可能性相同,所以P(A)?P(B),从 12而P(A)?。 01解法二:甲掷出n?1个硬币共有2n?1个等可能场合,其中有Cn?1个出现0次正面,有Cn?1个出现 n?101次正面,?,Cn?1个出现n?1次正面。乙掷n个硬币共有2n个等可能场合,其中有Cn个出现0 1n次正面,Cn个出现1次正面,?,Cn个出现n次正面。若甲掷n?1个硬币,乙掷n个硬币,则共 有n1?2n?1?20n?222n?1种等可能场合,其中甲掷出正面比乙掷出正面多的有利场合数有 013012m1?Cn?1Cn?Cn?1(Cn?Cn)?Cn?1(Cn?Cn?Cn)?? 1 《概率论》计算与证明题 38 ?Cn?1(Cn?Cn???Cnrrn01n?1)?Cn?1(Cn?Cn???Cn) n?101n利用公式 01Cn?1?Cn?Cn01r?1及 Cn?1?Cn01n?1n得 23012m1?(Cn?Cn)Cn?(Cn?Cn)(Cn?Cn)?(Cn?Cn)(Cn?Cn?Cn)???(Cnn?12 ?Cn)(Cn?Cn???Cnn01n?1)?Cn(Cn?Cn???Cn)n01n ?12?2202101021?1021??(Cn)?CCn??(Cn)?CCn?Cn?Cn???(Cn)?CnCn?Cn?Cn??i?2i?3???? ???n?12?n2n?11n1?n1?????(Cn)?Cn?Cn?Cn?Cn???(Cn)?Cn?Cn?1?n?1i?ni?n????+ n??i?0?n12111?(Cn)?2?CnCn???Cn?n?j?i?0?i?0? 2n2所以欲求的概率为 P?m1/n1?2/22n?1?12. 应注意,甲掷出0,1,?,n?1个正面的n?2个场合不是等可能的。 17、解:事件“一颗投4次至少得到一个六点”的对立事件为“一颗投4次没有一个六点”,后者有有 利场合为,除去六点外的剩下五个点允许重复地排在四个位置上和排列数,故, P{一颗投4次至少得到一个六点}=1?{一颗投4次没有一个六点}=1?54/64?0.5177. 投两颗骰子共有36种可能结果,除双六(6,6)点外,还有35种结果,故 P{两颗投24次至少得到一个双六}=1?{两颗投24次没有一个双六}=1?35比较知,前者机会较大。 53321318、解:P?C13C13C13C13/C52?0.0129 24/3624?0.4914. 19、解:P?C4C4C43C39C26C13CCCC1352133913261313149131313?4?C43C13529?0.0106. 4913或解为,4张A集中在特定一个手中的概率为C4C48/C52,所以4张A集中在一个人手中的概率 913为 P?4?C48/C52?0.0106. 520、解:(1)P?4/C52?0.0000015. 这里设A只打大头,若认为可打两头AKQJ10及A2345,则答 案有变,下同。 (2)取出的一张可民由K,Q,?,6八个数中之一打头,所以 P?C4C8/C52?0.0000123. 115 《概率论》计算与证明题 39 (3)取出的四张同点牌为13个点中的某一点,再从剩下48张牌中取出1张,所以 P?C13C4/C52?0.00024. 145(4)取出的3张同点占有13个点中一个点,接着取出的两张同点占有其余12个点中的一个点, 13125所以 P?C13C4C12C4/C52?0.0014.4 (5)5张同花可以是四种花中任一种,在同一种花中,5张牌占有13个点中5个点,所以 P?C4C13/C52?0.00198. 155(6){异花顺次五张牌}={顺次五张牌}-{同花顺次五张牌}。顺次五张牌分别以A,K,?,6九个数中之一打头,每张可以有四种不同的花;而同花顺次中花色只能是四种花中一种。所以 115115p = P{顺次五张牌}-{同花顺次五张牌}??C9(C4)?C4C9?/C52?0.0000294. (7)三张同点牌占有13个点中一个占有剩下12个点中两个点,所以 P?C13C4C12(C4)/C52?0.0211. 132125(8)P{五张中有两对}=P{五张中两对不同点}+P{五张中两对同点} 22211514115C4C4C11C4/C52?C13C4C12C4/C52?0.0475. ?C12123135 (9)p?C13C4C12(C4)/C52?0.423. (10)若记(i)事件为Ai,则A1?A5,A2?A5,A3?A8,A4?A9而事件A5,?,A9两两不 ?9?A相容,所以p?1?P???i???1??i?5?9?P(Ai?5i)?0.506. y 21、解:设x,y分别为此二船到达码头的时间,则 24 F E 0?x?24,0?y?24. 两船到达码头的时间与由上述 条件决定的正方形内的点是一一对应的(如图) 设A表事件“一船要等待空出码头”,则A发生意味 4 着同时满足下列两不等式 x?y?3,y?x?4 C0 3 24 由几何概率得,事件A的概率,等于正方形CDEF中直线x?y?3及y?x?4 之间的部分面积,与正方形CDEF的面积之比,即 ?2?1122??2PA??24???20??21??/24?311/1152?0.27 2?2??? 22、解:设x,y分别为此二人到达时间,则 y F N E 7?x?8,7?y?8。显然,此二人到达时间 8 (x,y)与由上述条件决定的正方形CDEF内和 M H 点是一一对应的(如图)。 7 D 设A表事件“其中一人必须等另外一人的 C G 《概率论》计算与证明题 40 时间1/2小时以上“,则A发生意味着满足如下 0 7 8 x 不等式 x?y?12或y?x?12。由几何概率得, 事件A的概率等于ΔGDH及ΔFMN的面积之和与正方形CDEF的面积之比,所以 P(A)?111111(???)/(1?1)? 222224 23、证:当n?2时,A1?A2?A1?(A2?A1A2),A1与A2?A1A2两者不相容,所以 P(A1?A2)?P(A2?A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2). 此即当n?2时原式成立。 设对n?1原式成立,现证对n原式也成立。 P(A1???An?1?An)?P{A1???An?1?An} ?P(A1???An?1)?P(An)?P{A1???An?1?An} ?P(A1???An?1)?P(An)?P{A1An?A2An???An?1An} 对前后两项分别应用归纳假设得 P(A1???An?1?n?1?n?2P(A1?An?1)??P(An) ?An)???P(Ai)??P(AiAj)???(?1)n?1?j?i?1?n?1??n?1???P(AiAn)??i?1n?n?1?j?i?1P(AiAnAjAn)???(?1)n?2?P(AiAnAjAn?An?1An)????P(Ai?1i)??n?j?i?1P(AiAj)???(?1)n?1P(A1A2?An). 至此,原式得证。 24、解:设考签编号为1,2,?,N,记事件Ai?{第x号考签未被抽到nn},则 nP(Ai)?(N?1)/N, P(AiAj)?(N?2)/N(i?j),??, P(A1A2?AN)?(N?N)/Nnnn?0; 诸Ai相容,利用第33题公式计算得 P={至少有一张考签未被抽到}?P{A1?A2???AN} N??P(Ai?1i)??P(AN?j?i?1iAj)???(?1)N?1P(A1A2?AN) 《概率论》计算与证明题 41 ?C1N(N?1)Nnn?C2N(n?2)Nnnn???(?1)N?2CNN?11Nn?0 N?1??(?1)i?1i?1C1N(N?i)Nn. 25、解:这些比赛的可能结果,可以用下面方法表示: aa,acc,acbb,acbaa,acbacc,acbacbb,?bb,bcc,bcaa,bcabb,bcabcc,bcabcaa,? 其中a表甲胜,b表乙胜,c表丙胜。 在这些结果中,恰巧包含k个字母的事件发生的概率应为发生的概率为1/16等等。则 p(c)??P(acc)?P(bcc)???P(acbacc)?P(bcabcc)????2?12312k,如aa发生的概率为1/4,acbb ?2?126?2?129???27. 由于甲,乙两人所处的地位是对称的,所以p(a)?p(b),得 p(a)?p(b)?12(1?27)?514. 26、解:P(AB)?P(A?B)?P(A?B?B)?P(A?B)?P(B)?r?q P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r. 27、证:设BC?C1,C(A?B)?C2.由C?AB可得,C?A?B, ∴C?C1?C2,C1?C2?? (1) 又C?AB∴AC1?A(BC)?AB 再由P(B)?P(C1)得 P(AC1)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(C1) (2) 由C2?A并利用P(A)?1得 P(AC2)?P(C2)?P(A)P(C2) (3) 由(1),(2),(3)可得 P(AC)?P?A(C1?C2)??P(AC1?AC2)?P(AC1)?P(AC2)?P(A)P(C1)?P(A)P(C2)?P(A)?P(C1)?P(C2)??P(A)P(C) 28、证:(1)A?A1A2,由单调性及P(A1?A2)?1得 《概率论》计算与证明题 42 P(A)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?1. (2)A?A1A2A3,两次利用(1)的结果得 P(A)?P((A1A2)A3)?P(A3)?P(A1A2)?1 ?P(A3)?1?P(A1)?P(A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A3)?2 . 29、证:设袋中有A个球,其中a个是白球,不还原随机取出,第k次才首次取得白球的概率为 Pk?AA?aAaAAkk?11?a(A?a)(A?a?1)?(A?a?k?2)A(A?1)(A?2)?(A?k?1) (k?1,2,?,A?a?1). 因为袋中有a个白球,A?a个黑球,若一开始总是取到黑球,直到把黑球取完为止,则至迟到第A?a?1次一定会取到白球;也就是说,第一次或第二次?或至迟到第A?a?1次取得白球事件是必然事件,其概率为1。所以 1?p1?p2???pA?a?1?AaaA?a(A?a)A(A?1)???a(A?a)?2?1A(A?1)?(a?1)a 等式两边同乘以得 A?aA?1(A?a)(A?a?1)(A?1)(A?2)(A?a)?2?1(A?1)?(a?1)aAa1??????. 30、证:记F={?的一切子集} (i)?是?的子集,所以??F。 (ii) 若A?F,则A是?的子集,??A也是?的子集,所以A???A?F。 (iii)Ai(i?1,2,?)?F,当然有??Ai,i?1,2,?。任一????,从而????Aii。必有某一Ai,使??Ai,所以。 ?iAii,即?iAi也是?的一个子集,故?iAiii?F∴F是??域。 ?域,记F?31、证:设Ft(t?T)是??Ft?Tt. (i) ??每一Ft,所以???t?TFt,即??F. ?(ii) A?F,则A?每一Ft,由Ft是?域得A?每一Ft,所以At?T??Ft,从而A?F. (iii) Ai(i?1,2,?)?F,则诸At必属于每一Ft,由于Ft是??域,所以?iAi?每一Ft,即 ?Aii??Ft?Ft?T. 《概率论》计算与证明题 43 ∴f是? ?域。 32、解: 由于点落入正方形是等可能的,此属几何概型S??a2,事件A={点落于两条对角线上了的测 度SA?0, 故P(A)= SAS??0 33、解: 由于此时样本点总数是90 ,有利场合数是32 ∴所求概率P?434、解:记 A?{选取的样品至少配成一双},由于样品总数是C10 1645 ?A的有利场合数是C5C2C8?p(A)?1?P(A) P(A)?1411821?13?210.6 1 9 35、解:从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法. 其中有(4×9×8×7-4×8×7+9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率P? 36、解:以X,Y分别表示两人到达的时刻, 则(X,Y)可能取值范围是G??(X,Y):0?X?60,0?Y?60? 则两人能会面的范围g??(X,Y):|X?Y|?20,X?0,Y?0? 故能会面的概率P= ?10?37、解:从10个电阻中取三个电阻的取法有??种取法 ?3?4?9?8?7?4?8?7?9?8?710?9?8?7?4190 g的面积G的面积?60?4060222?59 ?4??1??5??4??1??5??10?1满足要求的取法有 ??????种取法 , 故所求概率 P???????/??? ?1??1??1??3?6?1??1??1? 38、解:设 二船到达的时刻为x,y,则 x,y一切可能取值 G??(x,y):0?x?24;0?y?24? (得2分) 所求值:g?{(x,y)?G,y?x?1,x?y?2 所求概率 p= g的面积G的面积?0.121 《概率论》计算与证明题 44 39、解:设x及y为所取的正的真分数,则???(x,y);0?x?1,0?y?1?; 1??A??(x,y);xy?,0?x?1,0?y?1?,故P(A)?4??14??11414xdx?141?14ln4?0.597 40、解:设此二数为x,y,则??{(x,y);0?x?1,0?y?1} A?{(x,y):x?12y?1.2,?0x? 1?,0y?1??0.8?0.81?0.68 故P(A)?在区间(0,1)中随机取两数,求两数之和小于1.2的概率。 41、解:P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?P(A)?P(B)?P(C)?P(?)?P(AC)?P(BC)?P(?) ?P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?P(BC) 42、解:(1)记事件A={订阅A报}, B={订阅B报},则{只订阅A报}可表示为A?B?A?AB。因 AB?A,故P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.45?0.1?0.35。 (2){只订1种报}=(A?B)?(B?A)?AB?BA,要把A?B,B?A分别表示为A?AB, B?AB。又这2个事件是互不相容的,由概率加法公式,有 p?P(A?AB)?P(B?AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) ?0.45?0.1?0.35?0.1?0.6 43、解:(1)三位数总的排法是A5种。排得偶数要求末位数是偶数,即2或4,余下的4个数任取2个 排列。因此,排得偶数的情况种数是2A种,故p1?3A4A5322432A4A352?2?4?35?4?3?0.4。 (2)同(1)作类似的分析,知p2??3?4?35?4?3?0.6。 注:此题也可以这样分析:{所得三位数是偶数}={三位数末位数是偶数},又{所得三位数是奇数}={三位数末位数是奇数}。从而p1? 44、解:因第1个数字不能为0,故6位电话号码的数字情况总数N?9?10个,其中完全由不同数字 525?0.4,p2?35?0.6 《概率论》计算与证明题 45 组成的情况数为M?9?9?8?7?6?5?136080(个)。所以p? 136080900000?0.1512。 45、解:(1)从8个球中任取2个的取法总数为C82?28种。取得的2个球为同色,分为两种情况:2 个球皆为白色或2个球皆为黑色。这两种情况各有C52,C32种,故取得2个球同色的情况数为 C5?C3?13种,所以p1?221328?0.4643。 此题也可以这样解:A1?{取得的2个球皆为白色},A2?{取得的2个球皆为黑色},A?{取得的2个同色}。A1,A2互不相容,且A?A1?A2,而P(A1)?故 p1?P(A)?1028?328?1328?0.4643 C5C228?1028,P(A2)?C3C228?328, (2)令A?{取得的2个球至少有1个白球},则A?{取得的2个球皆为黑球},故 p2?P(A)?1?P(A)?1?C3C822?1?328?2528?0.8929 46、证:P(AB)?P(AC)-P(BC)?p(AB?AC)?P(ABC)?P(BC) ?P(A)?P(BC)?P(BC)?P(A) 47、证:一维波雷尔?区间类产生的??域B?m?[a,b)?是由左闭右开区间灶产生的??域,B?M?(??,x)?是由形如(??,x)~?域。 因为 [a,b)?(??,b)?(??,a) 等式左边是B中两个集的差,由此知B包含一切形如[a,b)的集,而B是由一切形如[a,b)的集类产生的?~?域,所以B?B~~。 ?又由于 (??,x)??n?1[x?n,x?n?1), ~?B等式右边是B中集的可列并,由此知B包含一切形如(??,x)的集,与上段同理得B∴B ~?B. .
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