数值分析题库及答案doc资料

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仅供学习与参考 模 拟 试 卷（一）

一、填空题（每小题3分，共30分）

1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.

2．设152210142-????=-????-??A ，342?? ?=- ? ???

x ，则 ∞A = .， 1x = ______. 3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,] 3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15

f x x x =，0238[,,] 3

f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = . 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,15

2,4516,907)4(2)4(1)4(0===

C C C 则)4(3C ＝ . 5．解初始值问题0

0(,)()y f x y y x y '=??=?的改进的Euler 方法是 阶方法； 6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=??-++=??++=?

的高斯—塞德尔迭代公式为 ，

若取(0)(1,1,1)=-r x , 则(1)=r x .

7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 .

8．01(), (),, ()n x x x l l L l 是以整数点01, ,, ,n x x x L 为节点的Lagrange 插值基函数，则 0()n k

j k k x x =∑l = .

9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+x Bx g 收敛的充要条件是 .

10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式

为 ，其误差估计式为 .

二、综合题（每题10分，共60分）

1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''= (2)57p =，(2)72p '=.

2．构造代数精度最高的形式为

10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+?的求积公式，并求出

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仅供学习与参考 其代数精度.

3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求

8110--<-k k k x x x . 4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：

5．用矩阵的直接三角分解法解方程组

?????

???????=????????????????????????71735 30103421101002014321x x x x . 6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=??=?

的如下数值求解公式 1111(4)3

n n n n n h y y f f f +-+-=+++， 其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.

三、证明题（10分）

设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20M

λ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .

参考答案

一、填空题

1．5； 2. 8, 9 ; 3.

9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3

12(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=++?=+-??=--?, (0.02，0.22，0.1543) 7. 1()1()

k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10. 32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-

二、综合题

1．差商表：

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仅供学习与参考

233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++ 其他方法： 设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+

令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b.

2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：

0112A A +=

, 011123A A +=, 013A =, 116

A =. 2()f x x =时，公式左右14

=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524= ∴ 公式的代数精度2=. 3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。设2ln )(--=x x x f 则x x f 11)('-=， 2

''1)(x x f = ，Newton 法迭代公式为 1

)ln 1(/112ln 1-+=----=+k k k k k k k k x x x x x x x x ， Λ,2,1,0=k 取30=x ，得146193221.34=≈x s 。

4． 2{1,}span x Φ=，2222111119253038T ??=?

???A ，19.032.349.073.3T ??=??y . 解方程组T T =A AC A y ，其中3330433303416082T ??=?

???A A ， 解得： 1.416650.0504305??=?

???C 所以0.9255577a =， 0.0501025b =.

5．解 设 ????????????????????????=????????????44343324232243

4241323121020111113010342110100201u u u u u u l l l l l l 由矩阵乘法可求出ij u 和ij l

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仅供学习与参考 ????????????=????????????1010121101111

14342

41323121l l l l l l ?????

???????=????????????21210102010201443433242322u u u u u u 解下三角方程组 ?????

???????=????????????????????????7173510101211014321y y y y 有51=y ，32=y ，63=y ，44=y .

再解上三角方程组 ????????????=???????????????????????

?463521************x x x x 得原方程组的解为11=x ，12=x ，23=x ，24=x .

6 解 初值问题等价于如下形式11()()(,())n x n x y x y x f x y x dx --=+

?， 取1n x x +=，有1

111()()(,())n n x n n x y x y x f x y x dx +-+-=+?， 利用辛卜森求积公式可得1111(4)3n n n n n h y y f f f +-+-≈+

++. 三、证明题

证明 将()0f x =写成()()x x f x x λ?=-@

， 由于 ()[()]1()x x f x f x ?λλ'''=-=-，所以|()||1()|1x f x ?λ''=-<

所以迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .

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仅供学习与参考 模 拟 试 卷（二）

一、填空题（每小题3分，共30分）

1．分别用2.718281和2.718282作数e 的近似值，则其有效位数分别有 位和 位 ；

2． 设102110382-????=????-??A ，131-????=??????

x ，则 1A = ________， 2x = . 3．对于方程组???=-=-3

41015 22121x x x x , Jacobi 迭代法的迭代矩阵是J G =________. 4．设1)(3-+=x x x f ，则差商[]3 ,2 ,1 ,0f =__________，[]0, 1, 2, 3,4f =_______.

5．已知1201??=????

A , 则条件数()Cond ∞A _________. 6．为使两点的数值求积公式1

011()()()f x dx f x f x -=+?具有最高的代数精确度，则其求积

基点应为0x =__________， 1x =__________

7．解初始值问题00

(,)()y f x y y x y '=??=?近似解的梯形公式是1k y +≈ 8．求方程()0f x =根的弦截法迭代公式是

9.

计算积分1

?，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ， 用辛卜

生公式计算的结果是

10．任一非奇异矩阵A 的条件数()Cond A ＝ ，其()Cond A 一定大于等于

二、综合题（每题10分，共60分）

1 证明方程1sin x x -=在区间[0,1]有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过

41102

-?近似解，问要迭代多少次？ 2 已知常微分方程的初值问题：

,1 1.2,(1)2dy x x dx y

y ?=<

试用改进的Euler 方法计算(1.2)y 的近似值，取步长0.2h =.

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仅供学习与参考 3 用矩阵的T LDL 分解法解方程组 1233351035916591730x x x ????????????=??????????????????

. 4 用最小二乘法求一个形如1y

=的经验公式，使它与下列数据拟合. 5 设方程组0.40.410.40.820.40.83x y z x y z x y z ++=??++=??++=?，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代

法的收敛性。

6 按幂法求矩阵411132123-????=--????-??

A 的按模最大特征值的近似值，取初始向量(0)(1,0,0)T =x

，迭代两步求得近似值(2)λ即可.

三、证明题（10分）

已知求)0(>a a 的迭代公式为：

Λ

2,1,00)(2101=>+=

+k x x a x x k k k

证明：对一切1,2,,k =L

k x ≥ 且序列k x

是单调递减的，从而迭代过程收敛.

参考答案

一、填空题

1．6， 7； 2. 9, ; 3 . ??

????05.25.20; 4. 1, 0; 5. 9; 6. 7. 11[(,)(,)]2

k k k k k h y f x y f x y ++++; 8. 111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=-

-- ； 9. 0.4268, 0.4309; 10. 1-A A , 1 二、综合题

1 解 令()1sin f x x x =--，则(0)10f =>，(1)sin10f =-<，且()1cos 0f x x '=--<

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仅供学习与参考

故1sin x x -=在区间[0,1]内仅有一个根*

x . 利用二分法求它的误差不超过41102-?的近似解，则 *41111

||1022

k k x x -++-≤≤? 解此不等式可得 4ln10

13.2877ln 2

k ≥

= 所以迭代14次即可. 2、解：

1002101(,)0.5,(,)0.571429,

k f x y k f x y hk ===+=1012()20.1(0.50.571429) 2.10714292

h

y y k k =++=+?+=

3 解 设311

21322

2133132

3351135911

591711l d l l d l d l l ??

?????????????

?=?

??????

??????????????

???

利用矩阵乘法可求得

13d =，22d =，323d =

，211l =， 315

3

l =，322l = 解方程组 1231101116530321y y y ??

??

??????????=??

??????????????

????

得1234

10,6,3

y y y ===

， 再解方程组 1111

22133531110126413d x d x d x ---????????????

????????=????????????????????????????????

得1231,1,2x x x ==-=.

4 解 令1

Y y

=

，则Y a bx =+容易得出正规方程组 5916.971917.835.3902a b ??????= ???????????

，解得 2.0535, 3.0265a b =-=. 故所求经验公式为 1

2.0535

3.0265y x

=-+.

5 解

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仅供学习与参考 （1）由于30.40.4

()0.40.80.960.2560.40.8J f λ

λλλλλ

==-+

(1)10.980.2560J f -=-++>，(2)8 1.960.2560J f -=-++< 所以()0J f λ=在(2,1)--内有根i λ且||1i λ>，故利用雅可比迭代法不收敛. （2）由于20.40.4()0.40.8(0.8320.128)0.40.8G f λ

λλλλλλλλλ

==-+

所以()0.832G ρ<，故利用高斯－赛德尔迭代法收敛. 6 解 因为(0)[1,0,0]T =x

，故(0)1∞=P P x ， 且[](1)(0)4,1,1T ==-y Ax ，(1)(1)max()4y λ==. 从而得

(1)(1)(1)11/[1,,]44T ∞==-P P x y y ，(2)(1)999[,,]244T ==-y Ax ，(2)(2)9max()2

y λ==. 三、证明题

证明: 由于

11()0,1,2,2k k k

a x x k x +=+≥=L 故对一切k

，k x ≥，又1211(1)(11)122

k k k x a x x +=+≤+= 所以 1k k x x +≤，即序列{}k x 是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.

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