固体物理第一二章习题解答

第一章 习 题

1. 画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和

配位数。

(1) 氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。 解：

布拉菲

名称

分子式

结构

惯用元胞

格子

中原子数

中原子数

初基元胞

惯用元胞

配位数

氯化钾 KCl NaCl结构 fcc 2 8 6

氯化钛 TiCl CsCl结构 sc 2 2 8

硅 Si 金刚石 fcc 2 8 4

砷化镓 GaAs 闪锌矿 fcc 2 8 4

碳化硅 SiC 闪锌矿 fcc 2 8 4

2、6、12

钽酸锂

LiTaO3

钙钛矿

sc

5

5

O、Ta、Li

简单

铍

Be

hcp

六角

2

6

12

钼 Mo bcc bcc 1 2 8

铂 Pt fcc fcc 1 4 12

2. 试证明：理想六角密堆积结构的

cc?8?????1.633。如果实际的值比这个数值大得多，可以把晶体

aa?3?12视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。

?ac?2证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a，而相邻两层的最近邻原子间距为：d?? ?3?4??。

???ac?2 当d=a时构成理想密堆积结构，此时有：a???3?4??，

??c?8? 由此解出：???a?3? 若

12221221?1.633。

c?1.633 时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， a因此层间堆积不够紧密。

3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、（111）、（112）。 解：

4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基

原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？

解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标

系中，在a1、a2、a3三个基矢坐标上的截距为

?2,?,2，则晶面

?指数为（101）。同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐标系a1、a2、

a3上的截距为

?。 2,2,?，则晶面指数为（110）

?5. 试求面心立方结构（100）、（110）、（111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于

上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解：

晶面指数 （100） 原子数面密度 面间距 对称轴 C4 2 a2a 2a 23a 3（110） 1.4 a22.3 2aC2 （111） C3 ????a??a????6. 对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：a1??i?3j?，a2???i?3j?，c?ck。求

2?2???其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。

2?a2?a32??1?(i?j)， 解：由倒格基失的定义，可计算得：b1?=

?a3???2?a1?a22??2?a3?a12?1?k（未在图中画出） b2??(?i?)j，b3??c?a3????????正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示

b2组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C6操作对称性，而C6对称性是六角晶系的特（1）由b1、征。

??a2构成的二维正初基原胞，与由b1、b2构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间（2）由a1、为六角结构，倒空间也必为六角结构。

（3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。

????

7. 用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl]晶向与（hkl）晶面垂直。

证明：由倒格矢的性质，倒格矢Ghkl?hb1?kb2?lb3垂直于晶面（hkl）。由晶向指数[hkl]，晶向可用矢

量A表示，则：A?ha1?ka2?la3。 倒格子基矢的定义：b1??????????2?(a2?a3)2?(a3?a1)2?(a1?a2)；b2?；b3?

?????????????在立方晶系中，可取a1、a2、a3相互垂直且a1?a2?a3，则可得知a1b1，　a2b2，　a3b3，

且b1?b2?b3。设biai??m（为常值，且有量纲，即不为纯数），

则 Ghkl?m(ha1?ka2?la3）＝mA，即Ghkl与A平行;也即晶向[hkl] 垂直于晶面（hkl）

???????8. 考虑晶格中的一个晶面（hkl），证明：(a) 倒格矢Gh?hb1?kb2?lb3垂直于这个晶面；(b) 晶格中相

邻两个平行晶面的间距为dhkla22?2???；(c) 对于简单立方晶格有d?2。 22h?k?lGh??证明：（a）晶面（hkl）在基矢a1、　a2、　a3上的截距为

a3a1a2、　、　。作矢量： hkl m1?a1a2a2a3a3a1，m2???，m3??

hkkllh显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图），且

?a1a2?m1?Gh?????hb1?kb2?lb3?hk?????????????0??

?a1a2??a2?a3a3?a1a1?a2　　　　??????2?h?2?k?2?l?hk?a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a3?????同理，有m2?Gh?0，m3?Gh?0 所以，倒格矢Gh??hkl?晶面。 （b）晶面族（hkl）的面间距为： dhkl?a1Gha1hb1?kb2?lb32? ????hGhhGhGh（c）对于简单立方晶格：

?2??222 Gh???h?k?l?a???12

a2 d?2

h?k2?l229. 用X光衍射对Al作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54?，反射角为?=19.20，求面间距d111。 解：由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角，由布拉格公式：2dsin?=?，可得

n? （对主极大取n=1）

2sin??1.54?2.34(A) d?02?sin19.2d?10. 试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。

证明：由劳厄方程：Rl?(k?k0)?2?? 与正倒格矢关系：Rl?Gh?2??比较可知：

若Gh?k?k0成立，即入射波矢k0，衍射波矢k之差为任意倒格矢Gh，则k方向产生衍射光，

Gh?k?k0式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。

现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg公式。

对弹性散射：k?k0。由倒格子性质，倒格矢Gh垂直于该 晶面族。所以，Gh的垂直平分面必与该晶面族平行。 由右图可知：Gh?2ksin??'h4??sin? (A)

'h又若G为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：G由倒格子周期性： Gh?nGh?'?2?；若Gh不是该方向最短倒格失，d2?n （B） d比较（A）、（B）二式可得： 2dSin?＝n? 即为Blagg公式。 11. 求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为： ?000?，　??11??11??11??111??331??313??133?0?，　?0?，　?0?，　??，　??，　??，　?? ?22??22??22??444??444??444??444?结构因子：Shkl??f?jej?imi2?huj?kvj?lwj??

????i?h?k?l?i?3h?3k?l?i?3h?k?3l?i?h?3k?3l???i??h?k?i??k?l?i??h?l??e?e?e2?e2e2?e2 ?f??1?e?

??前四项为fcc的结构因子，用Ff表示从后四项提出因子ei?(h?k?l)2

iShkl?Ff?f?ei?(h?k?l)2?1?e2hkli?(h?k)?ei?(h?l)?ei?(k?l)?Ff?Ffei?(h?k?l)2??2?h?k?l??i?h?k?l????Ff?1?e2?

??因为衍射强度I?S2hkl， S?F1?e2f???·1?e?i?(h?k?l)2???i?h?k?l??i?h?k?l????F?2?e2?e2?

??2f 用尤拉公式整理后：Shkl?2Ff?1?cos22????(h?k?l)? 2?2讨论：1、当h、k、l为奇异性数（奇偶混杂）时，Ff?0，所以Shkl?0； 2、当h、k、l为全奇数时，Sh?k?l?2Ff?2?(4f?)?32f?；

3、当h、k、l全为偶数，且h?k?l?4n（n为任意整数）时，

22Sh)?4?16f?2?64f?2 .k.l?2Ff(1?12222 当h、k、l全为偶数，但h?k?l?4n，则h?k?l?2?2n?1?时，

22 Sh.k.l?2F?(1?1)?0

3?2??证明第一布里渊区的体积为，其中V

12.

Vcc是正格子初基原胞的体积。

证明：根据正、倒格子之间的关系：

? b1?2?(a2?a3)2?(a3?a1)2?(a1?a2)，b2?；b3?

??????????? Vc是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即

Vc?a1?a2?a3

???2????V?c???a2?a3?(a3?a1)?(a1?a2)?3?????2?　　???V?c3??2????a3?a2?a1a3?a2?a1?Vc?3????????第二章 习 题

1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成：U(r)??ab?，求： mnrr⑴ 晶体平衡时两原子间的距离；⑵ 平衡时的二原子间的互作用能；

⑶ 若取m=2，n=10，两原子间的平衡距离为3?，仅考虑二原子间互作用则离解能为4eV，计算a及b的值；

⑷ 若把互作用势中排斥项

?r?b改用玻恩－梅叶表达式?exp???，并认为在平衡时对互作用势能具rn?p?有相同的贡献，求n和p间的关系。

解：(1) 由U(r)??ab?U(r)?m?1?n?1?，平衡时：?amr?bnr?0， 得： 00mnrr?rr0n?m0 rbnbnn?1m?)。 ，化简后得：r0?(amamn?mmn?mn(2) 平衡时把r0表示式代入U(r)中：

ab?m?U(r0)???????mnbnn?bn?bn?()m()n?mamam5b1?10?()8 （3）由r0表示式得： 3?10aann?m?n?????am?b?mn?m。

若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能＝结合能＝－互作用势能，由U(r)式的负值，得：

4?1.6?10?19??ab ??102?1010(3?10)(3?10)化简为：6.4?10??ab?10?10?80 93?38略去第二项计算可得： a?7.2?10(4) 由题意得：?e?r0pJ?m2，　b?9.45?10?115J?m2

?brn *

r0b?lnrrbp? ln??0?lnb?nlnr0，nlnr0?0?ln，则： n?

pp?lnr0 又解：*式两边对r0求导，得： 可解得：r0?np

?pe?r0p?bnr?n?1，与*式比较得：

n1? r0p?B?e2?2、N对离子组成的Nacl晶体相互作用势能为：U(R)?N?n??。

4??0R??R⑴ 证明平衡原子间距为：R0n?1?4??0Bn； ?e2?Ne21⑵ 证明平衡时的互作用势能为：U(R0)??(1?)；

4??0R0n⑶ 若试验试验测得Nacl晶体的结合能为765kJ/mol，晶格常数为5.63?10-10m，计算Nacl晶体的排斥能的幂指数n，已知Nacl晶体的马德隆常数是?＝1.75。

?B?e2?证明：（1）由：U(R)?N???Rn?4??R??

0????e2?dU(R)?e2Bn??n?1?2??得：?N?B(?n)R?(?1)R??N??n?1?2? dR4??4??RR0??0??

dU(R) 令：

R得：R0n?1R?R0??e2Bn???0，即 N??4??R2Rn?1???0 000???4??0Bn。 ?e2 （2）把以上结果代入U(R)式，并把R取为R0，则：

??22B?e?e?1?????N U(R0)?N??1?? 11?4??02Bn(4??02Bn)n?14??(4??02Bn)n?1?4??0R0?n?0?e?e??e?若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“－”。

N?e2（3）由（2）之结论整理可得：n? 2N?e?4??0R0U(R0)式中：N?6.0?10N，e?1.6?1023?19库仑，?0?8.85?10?12法/米

若题中R0为异种原子的间矩，则：R0?0.5?5.63?10?10m；

U(R0)??7.65?105J/molU（平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值）

马德隆常数：??1.75，将这些一致数据代入n的表达式中，则：

n?11??8.8 ?12?1054??0R0U(R0)4?3.14?8.85?10?2.82?10?7.65?101?1?N?e26.0?1023?1.75?2.56?10?383、如果把晶体的体积写成：V＝N?R3，式中N是晶体中的粒子数；R是最近邻粒子间距；?是结构因子，试求下列结构的?值：⑴fcc；⑵bcc；⑶NaCl；⑷金刚石。 解：取一个惯用元胞来考虑：

结构 fcc

V0 a3

N0 4

R0

?

2a 23a 2a 22 2bcc

a3

2

4332

NaCl 金刚石

a3 a3

8 8

1

3a 48332

4、证明：由两种离子组成的间距为R0的一维晶格的马德隆常数??2ln2。[已知ln2????1?n?1?n?11] n证明：由马德隆常数的定义：????j1，其中同号离子取“－”，异号离子取“＋”。 aj若以一正离子为参考点，则：

??2?1???......???131511??111??......??2????......?......? (A) 2n?12n??246?又由已知ln2????1?n?1?n?11，代入（A）式，则：??2ln2 nb，试证明在平衡间距rn5、假定由2N个交替带电荷为?q的离子排布成一条线，其最近邻之间的排斥势为

2Nq2ln2?1?下有：U?R0????1??。

4??0R0?n??B?q2?证明：由U(R)?N???Rn?4??R??，得：

0????q2?dU(R)?q2Bn??n?1?2???N?B(?n)R?(?1)R??N??n?1?2? dR4??4??RR0??0??

dU(R) 令：

R得：R0n?1R?R0??q2Bn??，即 N??n?1??0 ?02??4??0R0R0??4??0Bn。把该式代入U(R)式，并把R取为R0，则： 2?q??2B?q?q2?1??? U(R0)?N???N?1?? (A)

?4??0Bn(4??0Bn)n1?14??(4??0Bn)n1?1?4??Rn?00?2220?q?q?q?? 由马德隆常数的定义：????j1，其中同号离子取“－”，异号离子取“＋”。 aj若以一正离子为参考点，则：

??2?1???......???131511??111??......??2????......?......? (B) 2n?12n??246?又由已知ln2????1?n?1?n?11，代入（B）式，则：??2ln2。将?代入(A) 式，得： n2Nq2ln2?1? U?R0????1??。

4??0R0?n?6、试说明为什么当正、负离子半径比r?/r??1.37时不能形成氯化铯结构；当r?/r??2.41时不能形成氯化钠结构。当r?/r??2.41时将形成什么结构？已知RbCl、AgBr及BeS中正、负离子半径分别为：

晶 体 RbCl AgBr BeS

r+/nm 0.149 0.113 0.034

r-/nm 0.181 0.196 0.174

若把它们看成是典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似地把正、负离子都看成是硬小球，请计算这些晶体的晶格常数。

解：通常r??r?，当组成晶体时，可以认为正、负离子球相互密接。

对氯化铯结构，如图（a）所示，8个正离子组成立方体，负离子处在立方体的中心，所以立方体的对角线d?2r??2r?，立方体的边长为： a?d3?23?r??r??

为了能构成氯化铯结构晶体，负离子的直径2r?必须小于立方体的边长a，即 2r??a?23?r??r??，由此可得：r?/r??13?1?1.37。

即为了能构成氯化铯结构晶体，r?/r?必须小于1.37。

（a） （b） （c）

对于氯化钠结构，如图（b）所示为氯化钠结构的一个惯用原胞（100）面的离子分布情况，这里设正离子处在顶角，由图可见，

2r??d?2?r??r??，则r?/r??12?1?2.41。

所以，构成氯化钠结构r?/r?必须小于2.41。

对于闪锌矿结构，如图（c）所示为闪锌矿结构的一个惯用原胞（110）面的离子分布，这里设负离子处在面心立方位置，由图可见，

r??r??3a，4r??2a，a?22r? 4 r??r??33a??22r?， 则：r?/r??4.45?2.41 44所以，构成氯化钠结构r?/r?必须大于2.41。 晶 体 RbCl AgBr BeS

r+/nm 0.149 0.113 0.034

r-/nm 0.181 0.196 0.174

r?/r?

1.214 1.734 5.118

晶体结构 氯化铯 氯化钠 闪锌矿

晶格常数a/nm

0.381 0.618 0.492

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