专升本 - 高等数学

2011年陕西省普通高等教育专升本招生考试考前冲刺密卷

高等数学

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)在每小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

1．函数f(x，y)在点(x0，y0)处的偏导存在是函数f(x，y)在该点连续的( )． A．充分条件不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件

2．lim →

x0

?x02tanxdxx4＝( )．

1

A．0 B． C．1 D．2

2

113．若函数f(x)满足f(x)＝x＋1－??1f(x)dx，则f(x)＝( )．

2

1111

A．x－ B．x－ C．x＋ D．x＋ 3223

22

4．设区域D由y＝x，x＝y围成，则D的面积为( )．

121A． B． C．1 D．1 333

5．曲面x2＋y2＝1＋2z2表示( )．

A．旋转单叶双曲面 B．旋转双叶双曲面 C．圆锥面 D．椭球面

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

π

0，?上的最大值为________． 6．函数f(x)＝x＋2cosx在??2?

x2＋ax－6

7．若lim ＝5，则a＝________.

x→2x－2

π8．定积分?2?π2(x2·arctanx＋cos5x)dx＝________.

e2x－19．曲线y＝的垂直渐近线是________．

x?x－1?

ln?1＋x?

10．曲线y＝1＋的渐近线有________．

x

三、计算题(本大题共10小题，每小题8分，共80分)计算题要有计算过程

?x－x2ln?1＋1??. 11．求极限lim ?x??x→∞?12．设z＝f(exsiny，x2＋y2)，其中f(u，v)可微，求13．求微分方程y′＋

?z?x，

?z?y.

ey3?x2y14．求z＝excos(x＋y)的全微分．

＝0满足条件yx?0?1的特解．

dy

15．求函数y＝(x2＋3x)sin2x的导数. dx16．计算二重积分平面区域．

3

17．将函数f(x)＝展开成关于x的幂级数．

2＋x－x212，其中D是由曲线y＝，直线y＝x，x＝2及y＝0所围成的xdxdy??x

D 1

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18．求不定积分?1x?4?x?dx.

19．设F(x)为f(x)的一个原函数，且f(x)＝xlnx，求F(x)． 20．设y＝y(x)由方程x2＋2y3＋2xy＋3y－x＝1确定，求y′.

四、应用与证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)应用题要有计算过程，证明题要有证明过程

21．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2及y＝0围成平面图形的面积S以及该图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积．

22．设f(x)在[a，b]上连续，(a＜b)，且f(x)＞0，证明方程

?xaf(t)dt??x1bf?t?dt=0 在(a，b)内有且仅有一个根．

参考答案

一、单项选择题 1．D 2．B 3．C 4．A 5．A 二、填空题 6．π

6＋3 7．1 8．1615 9．x＝1

10．y＝1及x＝－1 三、计算题

11．解 该题属“∞－∞”，我们用倒代换x＝1

t

让其产生分母，然后通分计算之．lim?x

→∞ ?x－x2ln??1＋1x????＝limt→0 ?1?t－1t2ln?1＋t??? ＝limt－ln?1＋t→0

t?t2 1－1＝limt→0

1＋t

2t

2

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＝limt1

t→

0 2t?1＋t?

＝2. 12．解 由变量间的关系知： ?z?x＝?z?u·?u?y＋?z?u?v·?y ＝fu(u，v)·exsiny＋fv ＝exsiny·fu(exsiny，x2(u，＋y2

v)·2x

)＋2x·fv(exsiny，x2＋y2) 同理：

?z?z?u?y＝?u·?y＋?z?v·?u?y ＝fu(u，v)·excosy＋fv(u，v)· ＝excosy·fu(exsiny，x2＋y2

2y

)＋2yfv(exsiny，x2＋y2)．

13．解 变量分离y2

ey

3dy＋exdx＝0

积分得－1e－y3＋ex＝C，当x＝0，y＝1，所以C＝1－1e－133所以原方程的解为：－y3＋ex＝1－1e－

13

.

x14．解

?z?x＝

?[ecos?x?y?]?x＝excos(x＋y)－exsin(x＋y)

?z?[excos?x??y＝y?]?y＝－exsin(x＋y)

dz＝?z?z?xdx＋?ydy

＝ex[cos(x＋y)－sin(x＋y)]dx－exsin(x＋y)dy.

15．解 方法一 将函数y＝(x2＋3x)sin2x两边取自然对数，有

lny＝sin2x·ln(x2＋3x)

两边对x求导，得：

1

y·y′＝2cos2x·ln(x2＋3x)＋sin2x·2x＋3x2＋3x

于是y′＝(x2＋3x)sin2x???2cos2x·

ln?x2＋3x?＋2x＋3x2＋3xsin2x???

； 方法二 ∵y＝(x2＋3x)sin2x＝esin2x·ln(x2

＋3x)

∴y′＝esin2x·ln(x2＋3x)???

2cos2x·ln?x2＋3x?＋sin2x2x＋3x2＋3x??? ＝(x2＋3x)sin2x??2x＋3?2cos2x·

ln?x2＋3x?＋x2＋3xsin2x???

. 16．解 (1)画出积分区域D，如图所示；

(2)选择积分次序先对y积分然后对x积分，

??x2dxdy＝

x221xD?10dx?0xdy??1dx?0x2dy

(3)计算二次积分，

1

3e－

3

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1原式＝?12x220x0xydx??1xydx 0 ＝

?1x3dx??2xdx?1x410140?12x221=14+32?74. 17．解 f(x)＝?2－x?＋?1＋x?11

?2－x??1＋x?＝1＋x＋2－x

＝1111＋x＋21－x

2

＝(1－x＋x2－?＋(－1)nxn＋?)＋ 1xx2(1＋2＋??2??

2＋?＋?x?2??n＋?)，－1＜x＜1. 18．解 ?1x(4?x)dx＝?14?(2?x)2dx

＝－?1?

2－x?2?2－x2d?

＝－arcsin2＋C.

1???2?x??2??19．解 由题设可得知 F(x)＝?xlnxdx

2 ＝1

2x2lnx－?x2?1xdx

＝1x2lnx－1

x224

＋C

20．解法1 将所给方程两端关于x求导，可得

2x＋6y2·y′＋2(y＋xy′)＋3y′－1＝0，

整理可得y′＝1－2x－2y

6y2＋2x＋3

.

解法2 令F(x，y)＝x2＋2y3＋2xy＋3y－x－1， 则

F′x＝2x＋2y－1， F′y＝6y2＋2x＋3，

y′＝－F′x

F′y

＝－2x＋2y－1

6y2＋2x＋3

. 四、应用与证明题

21．解 曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2及y＝0围成的平面图形如图．

4

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17

所求面积：S＝?2x2dx＝x32＝(平方单位)；

313?

1

所求旋转体的体积： 131π

V＝π?2(x2)2dx＝π·x52(立方单位)． 1＝55?

1

1

dt

?a?bf?t?

根据积分上限函数的性质知，F(x)在[a，b]上连续且可导．

1

又F(a)＝?af(t)dt＋?adt

??f?t?22．证明 令F(x)＝?xf(t)dt＋?x

a

b

＝－?b

1

dt＜0，(f(x)＞0)． ?af?t?

F(b)＝?b f(t)dt＋?b

?a

1dt ?bf?t?

＝?bf(t)dt＞0，(f(x)＞0)．

?a

所以由零点定理知，方程F(x)＝0在(a，b)内至少有一实根．

1

又F′(x)＝f(x)＋＞0，于是F(x)在(a，b)内单调递增，F(x)在(a，b)内与x轴至多有一

f?x?

个交点，换句话说，方程F(x)＝0在(a，b)内至多有一个实根．

1

故方程?xf(t)dt＋?x dt＝0，在(a，b)内有且仅有一个实根．

??f?t?

a

b

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tjph.html