广东省五校协作体2017届高三上学期第一次联考理数试题-Word版含

.

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

21.已知集合A?{x2x?5x?3?0}，B?{x?Zx?2}，则AB中的元素个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

a?i20162.已知a为实数，若复数z?(a?1)?(a?1)i为纯虚数，则的值为（ ）

1?i2A．1 B．0 C．1?i D．1?i 3.下列命题错误的是（ ）

A．若p?q为假命题，则p?q为假命题 B．若a,b??0,1?，则不等式a?b?221?成立的概率是 4162C．命题“?x?R使得x?x?1?0”的否定是：“?x?R，x?x?1?0” D．已知函数f(x)可导，则“f'(x0)?0”是“x0是函数f(x)的极值点”的充要条件 4.从1至9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为（ ） A．

22111 B． C． D． 33985.设D是?ABC所在平面内一点，AB?2DC，则（ ）

331AB B．BD?AC?AB C．BD?AC?AB 2221D．BD?AC?AB

2A．BD?AC?x2y26.已知点F1,F2分别是双曲线2?2?1（a?0,b?0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴

ab的直线与双曲线交于M,N两点，若MF1?MF2?0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A．(2,2?1) B．(1,2?1) C．(1,3) D．(3,??)

- 1 -页

.

7.已知??(??,)，a?(cos?)cos?，b?(sin?)cos?，c?(cos?)sin?，则（ ） 42A．a?b?c B．a?c?b C．b?a?c D．c?a?b

?2x?y?3?0?8.不等式组?3x?y?3?0的解集记为D，有下面四个命题：

?x?2y?1?0?p1:?(x,y)?D，2x?3y??1； p2:?(x,y)?D，2x?5y??3 p3:?(x,y)?D，

y?11?； p4:?(x,y)?D，x2?y2?2y?1 2?x3其中的真命题是（ ）

A．p1，p2 B．p2，p3 C．p2，p4 D．p3，p4 9.已知函数f(x)?ax?3121x，在x??1处取得极大值，记g(x)?'，程序框图如图所2f(x)示，若输出的结果S?2016，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（ ） 2017A．n?2016? B．n?2017? C．n?2016? D．n?2017?

10.已知方程（ ） A．tan(??C．tan(??cosx?k在(0,??)上有两个不同的解?,?（???），则下面结论正确的是x?4)???1???1 B．tan(??)? ??14??1?4)???1???1 D．tan(??)? ??14??1- 2 -页

.

11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．

13?(10?22)?(11?2)?(11?22)? C．?1 B．?1 D．?1 6222

12.已知函数f(x)?x(lnx?ax)有极值，则实数a的取值范围是（ ） A．(??,) B．(0,) C．(??,] D．(0,] 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知n?12121212?20x3dx，则(x?2)的展开式中常数项为____________. 3x14.已知向量a?(1,3)，b?(3,m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b夹角为____________.

15.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角?，在山坡的A处测得?DAC?15，沿山坡前进50m到达B处，

0又测得?DBC?45，根据以上数据可得cos??__________.

0

16.两圆x?y?2ax?a?4?0和x?y?4by?1?4b?0恰有三条公切线，若a?R，

222222- 3 -页

.

b?R且ab?0，则

11?的最小值为_____________. a2b2三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）

数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?a1，且a1，a2?1，a3成等差数列. （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?an?1，求数列?bn?的前n项和Tn.

SnSn?118.（本小题满分12分）

下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天.

（1）求此人至达当日空气质量重度污染的概率；

（2）设?是此人停留期间空气重度污染的天数，求?的分布列与数学期望. 19.（本小题满分12分）

0如图，菱形ABCD中，?ABC?60，AC与BD相交于点O，AE?平面ABCD，

CF//AE，AB?AE?2.

（1）求证：BD?平面ACFE；

（2）当直线FO与平面BED所成角为45时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小.

0- 4 -页

.

20.（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角

ab形，直线x?y?1?0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆C的方程；

（2）过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足

OS?OT?tOP（其中O为坐标原点），求实数t的取值范围.

21.（本小题满分12分） 已知函数f(x)?xlnx，g(x)?x. ex（1）记F(x)?f(x)?g(x)，判断F(x)在区间(1,2)内的零点个数并说明理由；

（2）记F(x)在(1,2)内的零点为x0，m(x)?min{f(x),g(x)}，若m(x)?n，（n?R）在

(1,??)内有两个不等实根x1,x2(x1?x2)，判断x1?x2与2x0的大小，并给出对应的证明.

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

- 5 -页

.

?2t?x?1??2在平面直角坐标系下，直线l:?（t为参数），以原点O为极点，以x轴为非负半?y?2t??2轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??4cos??0. （1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于A,B两点，求AB的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?x?a.

（1）若a?1，解不等式：f(x)?4?x?1； （2）若f(x)?1的解集为[0,2]，

广东省五校协作体2017届高三第一次联考

- 6 -页

11??a（m?0，n?0），求mn的最小值. m2n.

理科数学参考答案及评分细则

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

BDDCA BDCBD CA

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．?32 14．

? 15．3?1 16． 1 6

三、解答题（第17-21题每题12分，第22,23题每题10分） 17．解：（I）由Sn?2an?a1， 当n≥2时，Sn?1?2an?1?a1， ∴an?2an?2an?1， 化为an?2an?1．

…………………………1分

…………………………2分

由a1，a2+1，a3成等差数列． ∴2（a2+1）=a1+a3， ∴2（2a1+1）=a1+4a1， 解得a1=2．

…………………………3分

…………………………4分

∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2． ∴an=2n． （II）an+1=2n+1，Sn=

…………………………6分

=2n+1﹣2，Sn+1=2n+2﹣2．

………8分

bn===． ………10分

∴数列{bn}的前n项和Tn=

+

+…+

=． ……… 12分

18.解：设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”（ i=1,2，…，12）. 依题意知,P(Ai)?1,且Ai12Aj??(i?j).--------------------------2分

- 7 -页

.

（1）设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B?A1A2A3A7A12,

(2)由题意可知，?的所有可能取值为0,1,2，3且-----------------------------6分 P(?=0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=P(?=2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =

31?,-------------------7分 12421?,-------------------------------8分 12621?,-------------------------------9分 P(?=3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) =

1261115P(?=1)=1－P(?=0)－P(?=2)－P(?=3)=1????,--------------10分

466125(或P(?=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=)

12所以?的分布列为：

? 0 P 1 2 3

1511 41266-----------------------------------------11分

故?的期望E??0?15115?1??2??3??．---------------------12分 412664

19．解（Ⅰ）证明：?四边形ABCD是菱形， ?BD?AC．

-------------------2分

?AE?平面ABCD,BD?平面ABCD

?BD?AE．

-------------------2分

?AC?AE?A,

∴BD?平面ACFE． -------------------5分

（Ⅱ）解：以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，uuur则B(0,3,0)，D(0,?3,0)，E(1,0,2)，F(?1,0,a)(a?0)，OF???1,0,a? --6分

设平面EBD的法向量为n?(x,y,z)，

- 8 -页

.

uuur??n?OB?0??3y?0

r则有?uuu，即?令z?1，则n?(?2,0,1) -----------8分

???x?2z?0?n?OE?0

|2?a|a?152uuuruuur|OF?n|由题意得sin45o?|cos?OF,n?|?uuu?r|OF||n|?21，解得a?3或?．

32

由a?0，得a?3 ------10分

OF?(?1,0,3),BE?(1,?3,2),?1?65cosOF,BE??4108

即所求的异面直线所成的角余弦值为 5 ---------------------12分 420．解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

(x?c)2?y2?a2，

∴圆心到直线x?y?1?0的距离d?c?1?a（*）--------------------1分 2∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴b?c,a?2c， 代入（*）式得b?c?1， ∴a?2b?2，

x2?y2?1. 故所求椭圆方程为………………………………4分 2

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y?k(x?2)，设P?x0,y0?，

将直线方程代入椭圆方程得：(1?2k2)x2?8k2x?8k2?2?0， ∴??64k4?4(1?2k2)(8k2?2)?0，解得k2?1． 28k28k2?2设S(x1,y1),T(x2,y2)，则x1?x2?， -----------6分 ,xx?1?2k2121?2k2∴y1?y2?k(x1?x2?4)??4k 21?2kuuruuuruuur由OS?OT?tOP，得tx0?x1?x2,ty0?y1?y2

uuruuuruuur当t?0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足OS?OT?tOP，符合题意；

?8k2tx???01?2k2当t?0时，?

?ty??4k0?1?2k2?- 9 -页

.

18k21?4k∴x0??，．--------------------------------9分 y??0t1?2k2t1?2k2将上式代入椭圆方程得：

32k4t?1?2k222??16k2t?1?2k222??1，

1616k2整理得： t?=是k2的递增函数， 211?2k?2k22由k2?1知，0?t2?4，所以t?(?2,0)U(0,2)， 2综上可得t?(?2,2)． -----------------------------------12分 21．解（1）证明：F?x??xlnx?xx?1?Fx?1?lnx?，定义域为，， x?0,??????xxee…………2分

而x??1,2?，故F??x??0，即F?x?在?1,2?上单调递增， 又F?1???12，F?2??2ln2?2?0，而F?x?在?1,2?上连续，故根据根的存在性定理有：ee………………4分

F?x?在区间?1,2?有且仅有唯一实根

显然当1?x?x0时，m?x??xlnx，m??x??1?lnx?0因而m?x?单增；当x?x0时，

m?x??x1?x?mx??0，，因而m?x?递减；m?x??n在?1,???有两不等实根x1，x2，??exex…………7分

则x1??1,x0?，x2??1,???

显然当x2???时，x1?x2?2x0，下面用分析法给出证明．要证：x1?x2?2x0即证

x2?2x0?x1?x0，而m?x?在?x0,???上递减，故可证m?x2??m?2x0?x1?，又由

m?x1??m?x2?，即证m?x1??m?2x0?x1?，即x1lnx1?记h?x??xlnx?2x0?x1，…………9分

e2x0?x12x0?x，1?x?x0，其中h?x0??0． 2x0?xe1?x?2x02x0?x1h??x??1?lnx??1?lnx??， …………10分

e2x0?xe2x0?xe2x0?x- 10 -页

.

t1?t??t?，，当t??0,1?时，???t??0；t??1,???时，???t??0故??etet2x?x111??t?max?，而??t??0故0???t??，而2x0?x?0，从而???20x0?x?0，因此

eeee1?x?2x02x0?x11h??x??1?lnx??1?lnx???1??0，…………11分

e2x0?xe2x0?xe2x0?xe2x?x即h?x?单增．从而1?x?x0时，h?x??h?x0??0即x1lnx1?20x?x1，

e01记??t??故x1?x2?2x0得证

…………12分

22. （本题满分10分）

解：（Ⅰ）直线l的普通方程为x?y?1?0，…………………………………………………………2分

由??4cos??0??2?4?cos??0?x2?y2?4x?0??x?2??y2?4， 即曲线C的直角坐标方程为

2?x?2?2?y2?4，…………………………………………………………5分

（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得

?2??2?，即t2?2t?3?0， t?1???2????2t???4????设方程t2?2t?3?0的两根分别为t1，t2，则 AB?t1?t2?22?t1?t2?2?4t1t2?14．……………………………………………10分

23.（本题满分10分）

解：（Ⅰ）当a?1时，不等式为x?1?4?x?1，即x?1?2， ∴x?1?2或x?1??2，即x?3或x??1， ∴原不等式的解集为(??，?1][3，??)；…… …………………………………………………5分

（Ⅱ）f?x??1?x?a?1??1?x?a?1?a?1?x?a?1， ∵f?x??1的解集为?0，2?

?a?1?0?a?1…………………………………………………………………7分 ∴?a?1?2?- 11 -页

.

111??1?2?m?0，n?0?， m2n2mn∴

∴mn?2（当且仅当

111??即m?2，n?1时取等号） m2n2∴mn的最小值为2．…………………………………………………………………10分

- 12 -页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tjo8.html