高考数学压轴试题预测与分析（理科）

www.zgxzw.com 中国校长网 高考数学二轮复习的前言

同学们高考数学的第一轮复习已经结束了，你们有什么收获呢？是否有这种理不清，捋不顺稀里糊涂的感觉？老师讲的课似乎都能听明白，可自己一做题（尤其是有点综合性的问题）却没思路，总感觉那一层看似很薄的纸捅不破；一次次的考试失利，150分的数学试卷总难及格，更惨的有时连一半甚至三分之一的分都得不到；在紧张、辛苦的一轮复习过后，好象发现自己的努力付出并没有增长多少数学知识，改变多少现实，疲惫过后，灰心、懈怠的情绪不由自主产生。其实通过第一轮的复习我们已经掌握了一定的基础知识、基本方法，技能，也许你还不会应用或者不太能熟练应用，但最起码你对高中数学有了最基本的了解、掌握，知道了高考所考的主要内容；但我们对知识的把握较为分散、缺乏系统整理和深刻理解，综合应用能力明显不足，推理、分析、运算能力有待加强，运算速度，运算准确性、严谨性需要进一步提高。数学的第二轮复习是促进知识灵活应用、能力发展提升、分数逐渐增长的关键时期，在第二轮复习期间我们要达到以下的目标：

一、巩固第一轮的基础，突出重点，建构知识体系，重组知识结构；第二轮复习通过回

顾性练习再现第一轮知识重点，在快速温故的基础上将分散的章节有机的联系起来，重新形成知识网络。

二、抓住数学特点，强化数学思想，让数学思想意识化为具体的方法、技巧，最后形成

能有效解决问题的操作步骤。高中常用的数学思想有：函数方程思想、数形结合思

想、分类讨论思想、转化化归思想。

三、通过专题型、知识交汇处综合训练，提高综合分析能力、知识应用能力，体会各章

节之间互为工具，相互转化的特性，达到融会贯通举一反三的目的。通过一定的“魔

鬼式”训练让重点知识适当“模式化”，培养对相对基础、相对能形式化的知识形成条件反射，通过一定量的应用练习达到不用想起就能记住的熟练程度； 四、特别提醒，要重视二轮中的“统练”，“统练”时要限时、仿真，要从每一次的“统

练”中筛选出易错的问题，找到知识漏洞及时补上；在“统练”中注意规范解题格式步骤、合理安排时间、总结考试技巧、提高应试能力。

同学们稳定情绪、调整心态、树立信心，在老师的指导下有计划、有条理的进行二轮复习；相信你会感觉到曾经混乱的知识逐步清晰起来，你会对思想、方法、技巧的应用由摸着门道，然后熟练起来，你的数学成绩会在一次次的考试中涨起来的；坚持下去，树立信心，千万别泄气，坚持就是胜利，坚持就会形成你自己的“品牌”。

函数、导数、方程、不等式

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www.zgxzw.com 中国校长网 一、复习要点提示：

（一）本专题以函数、导数为主线，在重点巩固函数、导数知识的基础上，同时理解函数、方程思想的本质，形成应用函数的思维习惯.

（二）复习的步骤：

1、利用回顾性练习复习函数、导数的基础知识；

2、利用综合问题的求解掌握函数与导数、不等式、方程之间的内在联系，进一步强化

函数、方程思想.

（三）函数、方程思想：1、用变量来思考，建构起变量之间的关系（建构函数、方程），为此常要想到：

－是否需要把一个代数式看成一个函数? －是否需要把字母看作变量？

－如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有

什么性质？

－如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？ －是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？

－如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要

求？

2、再用函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等）、图象来分析、解决

问题；函数方程思想体现了联系、变化的思想观念，常将静止的问题放到一个动态

的过程中来考察.

（四）函数、导数、不等式、方程之间的联系：

1、函数本身就是一个方程，求某些函数值域时常转化为方程有解来考虑如：求函数

y?x?1x?x?12的值域；而找方程根又可转化求函数的零点或两函数的交点横坐标，

故对于方程的问题常常可借函数的性质、图象来估计根的个数、求根的近似值。 2、解决函数、导数应用问题的过程不可避免要用到不等式，函数、导数的很多问题最

终化归到求解不等式问题，而不等式的求解、证明又可通过构造函数来解决； 3、导数是解决函数的有利工具，常用导数来探索函数的性质，对函数的掌握更加透彻； 4、等是不等的“临界”，故不等式的求解不可避免要用到方程. （五）在求解综合性问题时注意：

1、仔细审题，弄清问题的本质，将要求解的问题转化为可操作的方法、步骤； 2、尽量多方联想，注意应用等价的变换； 3、一定要及时反思、回味，积累经验；

二、初步体验：在给出的提示下初步感受思想、方法在解题中的应用；

体验1、已知方程cos2x?sinx?a?0有解，求a的取值范围； 考察下列的解法是否正确，对此你得到什么启发？

解：法一：原方程可化为1?2sinx?sinx?a?0?2sinx?sinx?a?1?0①

2 令t?sinx，则方程①?2t?t?a?1?0，故要使cos2x?sinx?a?0有解则：

22 ??1?4?2a(?

21?)?0a?98；

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体验2、若对于任意的实数x?R，不等式|x|?ax恒成立，求实数a的范围。

在以下的数、形提示下，求出最终结果，并想想还有什么别的解法？

?y?|x| ??y?ax

体验3、设不等式x2?2ax?a?2?0的解集为M.

（1）若[1,4]?M，求实数m的取值范围； （2）若M?[1,4]，求实数m的取值范

围.

在以下的提示下，求出最终结果，并想想还有什么别的解法？ 提示：若想用变化（因为含有参变量）的二次函数图象来解决相应的方程、不等式问题，

常考虑以下几方面：

①二次函数的开口（二次项系数符号）；②对称轴； ③判别式?；

④给定区间的端点函数值符号；⑤是否过定的点，定点是否可用来简化解题.

体验4、若不等式x?a?2x12，在x?()1?,1上恒成立，则实数a的取值范围为 . 在以下的提示下求出最终结果。

1?2y?x??2 ??y?ax?

2体验5、若不等式x?ax?1?0对于一切x?(0,]恒成立，求a的范围；

12 在以下的提示下求出最终结果，想想是否还有别的解法？

2 提示：不等式x?ax?1?0对于一切x?(0,]恒成立

12?ax??(x?1) (0?x?212)?a??(x?1x) (0?x?12)恒成?

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三、典型例题：在体验中获得启发，自己在老师讲解前动手做做，在老师讲解完

后，一定要整理、总结，积累经验.

例题：1、已知二次函数f(x)?x2?ax?2，试求：

①若y?f(x)，在区间[1,5]上有零点，求a的取值范围.

②若不等式f(x)?0，在区间[1,5]上恒成立 ，求a的取值范围. ③若不等式f(x)?0，在区间(1,5)上有解，求a的取值范围.

解：①法一：由题意可知，若y?f(x)，在区间[1,5]上有零点?x2?ax?2?0（1）在1[,5]上有解即

2?x?22?ax?x?22?x??a?g(x)?x?,x?[1,5]，令?xx??x?0?x?5?0?x?5?2，则要使（1）在[1,5]上有解，

a取g(x)值域内的值即可，由g(x)?1?'2x2?0，所以g(x)在[1,5]上单调递增，所

以：

?1?g(1)?g(x)?g(5)?2235?a?[?1,235]。

法二：由函数f(x)?x?ax?2恒过定点(0,?2)，开口向上， 故要使y?f(x)，在区间[1,5]上有零点，由图可得出：

??f(1)0??(1a??2)023????1?a?

f(5)?025?5a?2?05?? ??y?x2?2?法三：构造函数?y?ax?1?x?5?，在同一坐标系中作出如下的图像：

?1?k0A?a?koB?235

②法一：由①法一可得不等式f(x)?0，在区间[1,5]上恒成立，则只需

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www.zgxzw.com 中国校长网 a?gmi( x)??1na?a?x??1 法二：由图象可得： ?a??1（其中x?为函数f(x)对称轴）2?2?f(1)?0?

?y?x2?2?法三：构造函数?y?ax?1?x?5?，在同一坐标系中作出如下的图像：

③法一：由①法一可得不等式f(x)?0，在区间(1,5)上有解，则只需

x)? a?gma(x235

235法二：由图象可得：f(5)?0?a?

例题2、已知f(x)?x3?bx2?cx?d在(??,0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且

y?f(x)有三个不同的零点?,2,?.

（1）求c； （2）证明：f(1)?2； （3）求|???|的范围.

解：（1）由f(x)在(??,0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，故x?0是函数f(x)的一个

极值点，

'2 f(x)|x?0?(3x?2bx?c)|x?0?0?c?0；

（2）由x?2是f(x)的一个零点，所以f(2)?8?4b?d?0?d??(4b?8) 所以f(x)?x?bx?(4b?8)?(x?2)[x?(b?2)x?(2b?4)]

2 y?f(x)有三个不同的零点?,2,?，所以x?2不是方程x?(b?2)x?(2b?4)?0322的根

故：4?2(b?2)?(2b?4)?0?b??3（学生易漏掉） 又f(x)在(??,0)上是增函数，在[0,2]上是减函数

f(x)?3x?2bx?0在区间(??,0)恒成立且f(x)?3x?2bx?0在区间[0,2]上恒

'2'2中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com

www.zgxzw.com 中国校长网 成立 所以??x(3x?2b)?0 (x?0)?x(3x?2b)?0 (0?x?2)??2b3?2?b??3

综合可得：b??3?f(1)?1?b?(4b?8)??3b?7?2

（3）f(x)?x3?bx2?(4b?8)?(x?2)[x2?(b?2)x?(2b?4)]?0可知，?,?是方程： x2?(b?2)x?(2b?4)?的两个根，所以 0??????(b?2)2?|???|??(??????2b?422 ?)??3??b?(2?)b)??3） b3?(2 （4 令g(b)?(b?2)2?4(2b?4)?(b?2)2?16，由b??3所以g(b)?g(?3)?9 所以|???|?3

例题3、已知函数f(x)?logax?3x?3

（1）若y?f(x)在[m,n] (0?m?n)有意义，判断y?f(x)在[m,n]的单调性； （2）判断是否存在0?a?1，使y?f(x)在[m,n](0?m?n)的值域为

[loagan?(1)a,almo?g(，并说明理由。

解：（1）

x?3x?3?0?x＜–3或x＞3. ∵f(x)在[m,n](0?m?n)，∴m＞3 x?3x?3?1?6x?3 令t(x)? 则f(x)?logat(x)

x?3x?3有复合函数的单调性可得：当0?a?1时，f(x)?loga 当a?1时，f(x)?loga或用导数f'(x)?x?3x?3?(x?3x?3在[m,n]单调递减；

在[m,n]单调递增。

6(x?3)2)logae可知：

在[m,n]单调递减； x?3x?3 当a?1时，f(x)?loga在[m,n]单调递增。

x?3（2）若f(x)在[m,n]上的值域为[logaa(n?1),logaa(m?1)]

∵0＜a＜1, f(x)为减函数.

当0?a?1时，f(x)?logax?3中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com

www.zgxzw.com 中国校长网 m?3?f(m)?log?logaa(m?1)a??m?3∴? 即

n?3?f(n)?log?logaa(n?1)a?n?3?2??am?(2a?1)m?3(a?1)?0, n?m?3 ?2??an?(2a?1)n?3(a?1)?0即m,n为方程ax2?(2a?1)x?3(a?1)?0的大于3的两个根

?0?a?1?2??16a?16a?1?0?2?32?3?∴?2a?1 ∴0＜a＜ 故当0＜a＜时，满足题意

44?3??2a???af(3)?0条件的a存在.

例题4、已知函数f(x)?x2?(m?1)x?m(m?R)

（1）若tanA,tan内角.

求证：m?5；

（2）对任意实数?，恒有f(2?cos?)?0，证明m?3

（3）在（2）的条件下，若函数f(sin?)(??R)的最大值是8，求m 解：（1）f(x)?4?0即x?(m?1)x?m?4?0依题意：

???(m?1)2?4(m?4)?0???tanA?tanB?m?1?0 又A、B锐角为三角形内两内角 ∴＜A?B＜π

2?tanA?tanB?m?4?0?2B是方程f(x)?4?0的两个实根，A,B是锐角三角形ABC的两个

∴tan(A?B)＜0，即tan(A?B)?tanA?tanB1?tanAtanB?m?1?m?3?0

?m2?2m?15?0?m?1?0??∴?m?4?0 ∴m≥5 ??m?1?0??m?3(2)证明：方法一：∵f(x)?(x?1)(x?m) 又?1?cos??1，

∴1≤2?cos?≤3，恒有f(2?cos?)?0

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www.zgxzw.com 中国校长网 即1?x?3时，恒有f(x)≤0即(x?1)(x?m)?0 ∴只需m?x ∴

m?xmax?3；

法二：?1?cos??1， ∴1≤2?cos?≤3，恒有f(2?cos?)?0 即

f(x?)21?x?3时

1)?x，

m?恒有

f(x)≤0， 所以由

x?(?m0 ?(1x?3?) 由图可知：只需f(3)?0?9?3m?3?m?0?m?3

(3)∵函数f(sin?)的最大值为8，由?1?sin??1，即f(x)在[?1,1]上的最

大值为8，f(x)?(x?m?12)?m?(2m?12)，由m?3?x?2m?12?2，故由

图可知函数在[?1,1]的最大值是当x??1时取得，所以

f(?1)?1?(m?1)?m?8?m?3

例题5、在数列{an}中，a1?1,an?an?1?an?2???a2n?1121n，若对于一切n?2的自然数，不等式

231n?2loga(a?1)?1n?1?恒成立，求实数a的取值范围.

???12n证明：令f(n)?an?1?an?2???a2n? 所f(?1n?212n?112n?2?（n?N*,n?2）

以

?n ?11n?3 ＝??1n?1?12n?1?12n?2?22n?2?12n?1?12(n?1)13?14??0

7127* ?f(n)为定义域{n|n?2,n?N}上单调递增，故f(n)min?f(2)?

an?1?an?2???an2?112loga(a?1)?23?112loga(?1?)a23?fnm(in)?

12?a?11?5?loga(a?1)?? ? ???1?a?112122?a?1?a?11例题6、已知正四棱锥P?ABCD的内切球半径为1，则四棱锥P?ABCD的体积最小值

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www.zgxzw.com 中国校长网 为 。 解：设正四棱锥的底面边长为2x，高为h，则由图可知： ?PQE??PFO,故： QEOFPEPOx1x?hh?1hh?222????(h?2)x?h

2显然h?2，所以x2?所以VP?ABCD?所以当h?2?13

4h?4[4?(h?2)?4]?43?[4?4]?323?(2x)?h?43h?23h?2

h?2注：此题消掉h化为x的函数也可，只是较难

?h?4时VP?ABCD取最小值

323。

?例题7、. 如图已知ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，河

流经过的路线是一条抛物线，且抛物线是以AB的中点为顶点，与AB垂直的直线为对称轴（河流宽度忽略不计）。某公司准备投资建一个大型的矩形游乐园PQCN（如图中所示，游乐园不能跨越河流）。是问：如何画边线才能使矩形游乐园的面积最大？求出

最大面积？

例题8、若函数f(x)?ax?32x的最大值不大于

216，且当

（1）求a的值；

（2）若0?a1? 解：（1）f(x)??16a?212,an?1?f(an),n?N,证明：0?an?a3)?2*1n?1

16322(x?16a，函数f(x)?ax?232x的最大值不大于

2，所以

16?a?1??1?a?1

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www.zgxzw.com 中国校长网 ?a31?1f()?0?4?2?16?0?111?2?x?[,]时，f(x)?，故只需????a?1 综合可

4281?f()?0?a?3?1?0???4?224得：a?1；

（2）用数学归纳法证明：

①当n?1时，由已知0?a1?12,显然满足0?an?32a1??16?12?1121n?1)?2 ，由

②当n?2时，a2?f(a1)?a1?0?a1?1232(a1??131316?0?a2?f(a1)?；

③ 假设n?k(k?2)，0?an?ak?k?1成立；

32(ak?13)?2④当n?k?1时，则an?ak?1?f(ak)?? 因为k?2，所以0?ak? 0?f(0?)ak?1?2k?12(k?1)216

1k?1?13，故由图可得：

12k?1，又 f(?)2k?12k(?1)k?42(k?1)(k?2)1n?12 ?1k?2???0?0?ak?1?1k?1?1?1k?21n?1；

所以当n?k?1时，0?an?也成立，故n?N*时0?an?都成立。

例题9（最后一问普通班可选做）、对于函数f(x)，若存在x0?R，使f(x0)?x0成立，

则称x0为f(x)的不动点。已知函数f(x)?ax?(b?1)x?(b?1)(a?0) （1）若a?1,b??2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y?f(x)的图象与直线y?x交于A,B两点，且A、B关

于直线

y?kx?12a?122对称，求b的最小值。

解：（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3. 故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.

（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，

∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b－1)=0恒有两相异实根

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www.zgxzw.com 中国校长网 ∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立， 于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.

（3）由题意A、B两点在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)

又∵A、B关于y=kx+

2

12a?1b2a2对称. ∴k=–1.设AB的中点为M(x′，y′)

∵x1,x2是方程ax+bx+(b–1)=0的两个根. ∴x′=y′=

?b2a?b2ax1?x22?12a?12??，又点M在直线y??x?a2a?1212a?12上有

，即b????12a?1a22

∵a＞0，∴2a+

1a≥22当且仅当2a=

1a即a=∈(0,1)时取等号，

故b≥–

122，得b的最小值–

24.

练习1、（1）关于x的不等式2?32x?3x?a2?a?3?0在x?[0,1]时恒成立，则实数a的取

值范围为 .

22解：设t?3x，则t?[1,3，]原不等式可化为a?a?3??2t?t,t?[1,3]，令

g(t)??2t? t2则需a?a?3?g(t)max于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.

2答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)

x（2）已知函数f(x)?loga[x?(2a)]对任意x?[,??)都有意义，则实数a的取值范

12围是( )

A、(0,

解：

x14] B、(0,

1214) C、［

14,1) D、(

14,

12）

x?(2a)?0在x?[x

,??)恒成立，则考查函数y1=x和y2=(2a)的图象，显然有

0＜2a＜1.由题意 答案：A

121?(2a)2得a=

14，再结合指数函数图象性质可得答案。 练习2、已知函数f(x)?ax?x?x?3 (a?0)，

①若函数在(2,??)上是增函数，求实数a的取值范围；

②若函数在(2,??)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.

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32 www.zgxzw.com 中国校长网 解：①因为f'(x)?3ax2?2x?1，若函数在(2,??)上是增函数 则f'(x)?3ax2?2x?1?0，在(2,??)上恒成立， 所

2以3a?21x2?2?1221x) ?2?1x，令t?1x,x?2?0?t?12，

g(t)?t?2t?(t?1)?1(0?t? 则?34?g(t)?0, 3a?1x在(2,??)上恒成立，则3a?0?a?0。

1x2②要使函数在(2,??)上存在单调递增区间，则使3a?3a??31?a??. 44?2?1x有解集，故

?y?3ax2 本题也可用?的图象，或?(x)?f'(x)的图象也可求出，在此略。

?y?1?2x练习3、已知集合A?{(x,y)|y?x2?mx?2},B?{(x,y)|x?y?1?0,0?x?2}，若

A?B??，求m 的取值范围.

?y?x2?mx?22 解：A?B??，则??x?(m?1)x?1?0在[0,2]上有解；

?y?x?1(0?x?2)方法一：由x?0不是方程的解，故只要方程在(0,2]上有解，所以

2 ?x?(m?1)x?1?0?m?1?(x?1x)在(0,2]上有解，令g(x)?1?(x?1x)，用导

数可易求得：

g(x)?g(1)??1，所以m??1

方法二：用函数t(x)?x?(m?1)x?1在[0,2]上有零点，讨论函数t(x)的图象易求出结果； ?y?x2?1方法三：用?的图像关系，但此种方法较难理解。

?y?(1?m)x2

y?(1?m)x的斜率k?1?m?k切线，可得到结果。

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www.zgxzw.com 中国校长网 练习4、已知f(x)?ax3?3x?1对于x?[?1,1]总有f(x)?0成立，试确定a的值，并说明理由。

解：方法一：由f(x)?ax3?3x?1对于x?[?1,1]总有f(x)?0成立，

?0?x?1??1?x?0??由x?0时f(x)?1?0恒成立，所以只需保证?31 和?31同时恒

?a?2?3?a?2?3xxxx??成立

用导数可求出a?4

方法二：通过讨论求出函数f(x)?ax3?3x?1的最小值，保证最小值大于零即可；

因为f'(x)?3ax2?3，所以

（1）当a?0时，f'(x)?3ax2?3?0在x?[?1,1]恒成立，所以函数在x?[?1,1]上单调递增

f(x)min?f(1)?a?3?1?0?a?2与a?0矛盾；

'（2）若a?0，则f(x)?0?x?1a或x??1a 1a1a （Ⅰ）若0??f'(x)?0?1，即a?1时，由???1?x??a?1?x?1?1或?x?1

?f'(x)?0?? ???1?x?11a?x?1a，所以列表：

x －1 要??3（?1,?1a） ?1a (?1a,1a) 1a (1a,1) 1 f(x) '? ? 0 极大值 在0[?1,1]? 0 极小值 恒

成

立

? ? 只

需

f(x) ? 所以使3f(x)?0上，

1?a)??f(????1f(?)a??a?1a1(?a1?a?4符合题意. )??310中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com

www.zgxzw.com 中国校长网 （Ⅱ）若1a?1?0?a?1时，f'(x)?0在区间[?1,1]上恒成立，所以函数在区间

[?1,1]单调递减

所以要使f(x)?0在[?1,1]上恒成立，则f(1)?a?3?1?0?a?2与0?a?1矛盾。

综合可得：a?4；

练习5、给定抛物线C:y?4x,F是C的焦点,过点F的直线l 与C相交于A,B两

点.设FB??AF,若???4,9?,求l在y轴上的截距的变化范围. 解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，

所以l的方程为y?x?1.

将y?x?1代入方程y2?4x，并整理得 x2?6x?1?0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1?x2?6,x1x2?1. 由题设FB??AF 得 (x2?1,y2)??(1?x1,?y1), ?x2?1??(1?x1),即 ?

y???y1.?2222222由②得y2??y1， ∵ y1?4x1,y2?4x2, ∴x2??x1.③

2① ②

联立①、③解得x2??，依题意有??0.

∴B(?,2?),或B(?,?2?),又F（1，0），得直线l方程为 (??1)y?2?(x?1)或(??1)y??2?(x?1), 当??[4,9]时，l在方程y轴上的截距为把

2?2???1或?2???1,

??1看作函数，设g????2??2?22???1,???4,9?

2? g??????1??1??1, 可知g??????1在[4，9]上是递减的，

（或用导数g??????342?4343??1????1???2?2?0，证明g???是减函数。）

34∴ ???1?,???1??43, 34]?[34,]. 43直线l在y轴上截距的变化范围为[?2,?练习6、已知关于x的方程sinx?acosx－2a= 0有实数解，求实数a的取值范围。

?sinxcosx?22解：方法一：a??cosx?1cosx?22， 令t?cosx?2??3?t??1

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www.zgxzw.com 中国校长网 所以可得a?g(t)?(t?2)?t21?4?(?tt3，)由导数或不等式不难得到：

0?g(t)??42，3

所以可得：a?[0,4?23]；

2方法二：?1?t?cosx?1，故要使方程sinx?acosx－2a= 0有实数解，

即使得方程：t2?at?2a?1?0在[?1,1]有解，故函数s(t)?t2?at?2a?1在[?1,1]有零点

作出图形可得：

a????1?2???a?[0,4?23] f(?1)f(1)?0或???0?f(?1)?0???f(1)?0

练习7、已知在正三棱锥P?ABC中，PC?1，求三棱锥的最大体积为。 解：设底面边长为x，高为h，则

33332x?1?0?x?3

V?1313?343433x?h，又h?(22x)?1?h?1?2213x?x?3(1?h)

222V??x?h?234h(1?h)(0?h?1)，所以V(h)?'34(1?3h)，列表可求出

2当h?

时取得最大值为16。

练习8、（1）设f(x)?1?2?lgx3??＋(n?)1?a?nnxxx，其中a是实数，

n?N,n?2，若f(x)在区间(??,1]有意义，则a的取值范围是 .

*解：

1?2?3???(n?1)?a?nnxxxx1x2xn?1x?0?a?()?()????()，

nnn中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com

www.zgxzw.com 中国校长网 令g(x)?()x?()x????(ng(x)min?g(1)?n1n?2n???12n?1nn?1n)显然是减函数， n(n?1)2n?n?12x?。所以a?n?12

练习9、设集合A?{x|4x?2x?2?a?0,x?R}

（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；

（2）若对于任意a?B，不等式x2?6x?a(x?2)恒成立，求x的取值范围. （1）法一：令2x?t?0 ，设f(t)?t2?4t?a

由f(t)?0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有： ①f(t)?0有两等根时，Δ=0?16–4a=0?a=4 验证：t2?4t?4?0?t?2?(0,??)，这时x?1； ②f(t)?0有一正根和一负根时f(0)?a?0；

③若f(0)?a?0， 此时4x?4?2x?0?2x?0或2x?4，∴x?2， A中只

有一个元素。

综上所述，a?0或a?4，即B?{a|a?0或a?4}

法

二

：

2令2?t?02x ，设f(?t)2?t4? t a由

f(t)?0?a??t?4t??(t?2)?4

?y??(t?2)2?4(t?0) 令?，作出图象可得：

?y?aB?{a|a?0或a?4}

（2）要使原不等式对任意a?{a|a?0或a?4}恒成立，

即g(a)?(x?2)a?(x?6x)?00恒成立.只须 ?x?2?x?2?0??2?5?17?x?2。 ?g(4)?0x?10x?8?0??2练习10、已知Sn?1?使不等式

12?13???1n*（n?N），设f(n)?S2n?1?Sn?1，试确定m的范围，

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www.zgxzw.com 中国校长网 f(n)?[logm(m?1)]?211 解：由f(n)?S2n?1?Sn?1? 则f(n?1)?1n?3?12n?21201*[log(m?1)m]对于任意的n?2,n?N恒成立。

2n?2?1n?31????12n?11，

n?4????12n?32n?2?1n?22n?31，

?12n?4)?(12n?3?12n?4)?0f(n?1)?f(n)??(2n?2

f(n)min?*f(2，)所以f(n)?[logm(m?1)]?21120[log(m?1)m]2对于任意的

n?2,n?N恒成立

[logm(m?1)]?21120[log(m?1)m]?f(n)min?f(2)?2920，令t?logm(m?1)

1119????t? 则?20t20?0?t?1，即

?t?0?m?2

2?0?[logm(m?1)]?11?5?解得：m?且?m?1?12?m?1?0? 故实数m的的范围为：m?首项为正数的数列{an}满足an?1?1?2145且m?2

(an?3),n?N*.

2(Ⅰ)证明：若a1 为奇数，则对一切n?2 ，an 都是奇数； (Ⅱ)若对一切n?N*，都有an?1?an，求a1的取值范围。

四、函数导数回顾性练习：

（一）选择题：

|1、已知f(x)?log3|x，若函数的定义域为，则f(x)的值域为A?{?9,?3,?1,1,3,9}（ ）

A．{1,2,3} B．{0,1,2} C．{?2,?1,0,1,2} D．{1,2} 2、函数f(x)?A．(?133x21?x?lg(3x?1)的定义域为（ ）

13,1) C．(?111,) D．(??,?) 333,??) B．(?中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com

www.zgxzw.com 中国校长网 3、已知f(A．

1412x?1)?2x?3，f(m)?6，则m等于（ ）

14 B．?2?2xx C．

32 D．?32

4、函数y?2?1A．（??,?2]?[?1,??) B．(??,?2)?(?1,??)

的值域为 （ ）

C．?yy??1,y?R? D．?yy??2,y?R?

5、二次函数y?x2?ax?4在(??,1]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．(??,?2] B．[2,??) C．(??,2] D．(??,1]

6、已知四个函数：①y?10x ②y?log0.1x ③y?lg(?x) ④y?0.1x，则图象关于原点成中心对称的是：（ ）

A．仅为③和④ B．仅为①和④ C．仅为③和② D．仅为②和④ 7、设函数f(x)是减函数，且f(x)?0，下列函数中为增函数的是（ ）

1f(x)2A、y?? B、y?2f(x) C、y?log12f(x) D、

y?[f(x)]

8、若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于（ ）

A、x轴对称 B、y轴对称 C、原点对称 D、以上均不对 9、y?f(x)?log2x?2x?1的零点所在区间为（ ）

A．(0,) B．(,) C．(,1) D．(1,2)

2422111110、利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 x2.6 3.0 3.4 ? y?2 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482. 4.595 6.063 8.0 10.556 ? y?x 20.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 ? 那么方程2x?x2的一个根位于下列区间的 （ ）.

A.（0.6，1.0） B.（1.4，1.8） C.（1.8，2.2） D.（2.6，3.0）

11、已知f(x)?2x?6x?a（a是常数），在??2,2?上有最大值3，那么在??2,2?上的

32最小值是（ ）

A．?5

B．?11

1?1.5C．?29 D．?37

0.90.4812、设y1?3，y2?9，y3?()3，则（ ）

A．y3?y1?y2 B．y2?y1?y3 C．y1?y2?y3 D．y3?y2?y1 13、下列说法不正确的是（ ）

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www.zgxzw.com 中国校长网 A．函数y?a?axx?x2C．若f(x)?a，则f(x?y)?f(x)?f(y)

12是奇函数 B．函数f(x)?(a?1)xa?1xx是偶函数

D．若f(x)?ax，x1?x2，则[f(x1)?f(x2)]?f(14、函数f(x)?log2x?12x?2的零点个数为（ ）

x1?x22)

A、0 B、1 C、2 D、3 15、已知函数f(x)?(x?a)(x?b)（其中a?b），若f(x)的图像如右图所示，则函数

xg(x)?a?b的图像是（ ）

x16、已知函数f(x)?loga(2?b?1)(a?0，a?1)的图象如图所示，则 a,b满

足的关系是（ ）

A．0?a?1?b?1 C．0?b?1?a?1

B．0?b?a?1?1 D．0?a?1?b?1?1

17、函数f(x)?loga(x?2)( 0

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

18、若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于

A．

14 B．

22 C．24 D．1

219、已知P?2?322313,Q?(),R?(),则下列各式中，正确的是（ ）

52 A、R?Q?P B、P?R?Q C、Q?R?P D、Q?P?R 20、对于任意x，有f'(x)?4x，f(1)??1，则函数f(x)为（ ）

A．f(x)?x?2 B．f(x)?x?2 C．f(x)?x D．f(x)??x 21．若函数

f(x)?esinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为（

x34434 ）

A．? B．0 C．钝角 D．锐角

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www.zgxzw.com 中国校长网 22．曲线 y?1n(2x?1)上的点到直线 132x?y?3?0的最短距离是（ ） A．5 B．25 C．35 D．0 23．若a?2，则方程

f(x)?x?ax?1?032在（0，2）上有（ ）个零点

A．0 B．1 C．2 D．3 24．函数

f(x)?x?2ax?a2在区间(??,1)上有最小值，则函数g(x)?f(x)x在区间(1,??)上一

定（ ）

A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数 25、若函数y?f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）

A．函数f(x)在区间(?3,?12)上单调递增

B．函数f(x)在区间(?1,3)上单调递减

2C．函数f(x)在区间(4,5)上单调递增 D．当x?2时，f(x)有极小值

2?,则点 26．若y?e(x??a,b?)的值域为?1,e??|x|。 (a,b)的轨迹是如图中的（ ）

A．线段AB和OA B．线段AB和OC

C．线段AB和BC D．点A和点C 27．若奇函数f(x)(x?R)满足f(2)?1,f(x?2)?f(x)?f(2),则f(1)等于( ).

A．0 B．1 C．??28．若x?Rn,N?,12 D．1

25?5定义Mxn?x(x?1)(x?2)?(x?n?1),例如M19x?9?(?5)(?4)(?3)(?2)

(?1)??120,则函数f(x)?xM的奇偶性为（ ）。

A．f(x)为偶函数，但不是奇函数 B．f(x)为奇函数，但不是偶函数 C．f(x)既是奇函数，也是偶函数 D．f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 29、已知函数f(x)?x3?bx2?cx?d在区间[?1,2]上是减函数，那么b?c（ ）。

A．有最大值C．有最小值

152152 B．有最大值? D．有最小值?1522

15

（二）填空题：

?2?x?1,x?0?1、已知函数f(x)??1，若f(x0)?1，则x0的取值范围为 。

2??x,x?02、已知函数y?f(x)的图像关于直线x??1对称，且x?(0,??)时，f(x)?1x,则当

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www.zgxzw.com 中国校长网 x?(??,?2)时函数f(x)? 。

3、已知函数在闭区间[?1,1]上的图像如图所示，则函数的解析是 。 4、已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)?1,图象在x轴上截得的线段长为22,则f(x)＝ 。

5、设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x?2)?f(x?1)?f(x)，如果

f(1)?lg32，f(2)?lg15，则f(2001)＝ 。

x?mx?nx?126、定义在(?1,1)上的奇函数f(x)?7、函数y?xa2，则常数m?____,n?_____。

?2a?3是偶函数，且在（0,+∞）上是减函数，则整数a的取值为 . 2x?a的对称轴为x?2，则a?_________?lg(x?x?1),28、函数f(x)?log9、若函数h(x)?3。

2x2h(?1)?1.62，则h(1)? （ ）

A、0.38 B、1.62 C、2.38 D、2.62 10、已知

f(a?)f(x)?3x?,x,a?,b且ca?Rb?0a?c?0，b?c?0，则

f(?b)的值一定 fcA.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正负都可能

11、方程lgx?2algx?2?a?0的两根均大于1，则a的取值范围是 ． 12、函数y?x?342??1?x?2 的定义域是

221 。

13、函数f(x)?（1）若f(x)的定义域为R，则实数a的取(1?a)x?3(1?a)x?6，

值范围为 ；

（2）若f(x)的定义域为[－2，1]，则实数a? 。

xx14、设有两个命题：①关于x的方程9?(4?a)?3?4?0有解；②函数f(x)?log2a2?ax是减函数。当①与②至少有一个真命题时，实数a的取值范围是 。

215、y?lg(?x?x)的递增区间为___________，值域为___________

16、函数y?x?5x?422的值域为 。

17、函数y?2x?1?x的值域为 。 18、已知函数y?log3mx?8x?nx?122的定义域为R，值域为[0，2]，则常数m,n的值分别

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www.zgxzw.com 中国校长网 为 ， 。 19、若x2?y2?1，则

y?2x?1的最小值是__________

x3?y4的最大值是______________；

1f(x)20．已知f(x)对于任意实数x满足条件f(x?2)?，且f(1)，则??5f[f(5)?]__________.

21、设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x?2)??f(x)，又当?1?x?1时，f(x)?x3，当x?[1,5]时，则f(x)的解析式为 。 22、定义在R上的函数f(x)满足关系式：f(+f()的值等于_______。

8712?x)?f(112则f()?f()???x)?2，

28823．已知函数f(x)?(a?1)x?(4a?5)在区间[0,2]内的函数值有零点，则实数a的取值

范围是_________.

24．已知曲线y?x3?1，则过点P(1,2)的切线方程为_____________.

25．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰好经过k个格

点，则称函数f(x)为k阶格点函数，已知函数：①y?sinx;②y?cos?x??????;③

6?y?e?1;

x④y?x2.其中为一阶格点函数的序号为 ，（注：把你认为正确论断的序号都填上） 26、曲线y?2xx?12在点(0,0)处的切线方程为 .

f(x)?ax?bex27、已知经过函数

y??3x图象上一点P(-1,2)处的切线与直线

平行,则函数f(x)的解析式是 .

28、如图所示，函数f(x)在点P处的切线方程为y??2x?9，

则f(4)?f(4)? ；

x29、设方程2?x?2?0和方程log2x?x?2?0的根分别为p,q，f(x)?(x?p)(x?q)'＋2，则f(0),f(2),f(3)的大小关系为 。 30、如果y?1?sinx?mcosx的最小值为?4，则m的值为 . （三）、解答题：

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2 www.zgxzw.com 中国校长网 1．求函数f(x)?log2x8?log2(2x),(1?x?8)的最大值 和最小值及相应的x的值.

解：令t?log2x，由1?x?8?0?t?3，则

f(x)?(log2x?log28)(log2x?log22)?g(t)?(t?3)(t?1)?(t?1)?4

2所由g(t)的图象得到：

t?1,x?2时函数f(x)取得最小值－4，当t?3,x?8时函数f(x)取得最大值0。

2、已知函数f(x)?|x?a|，g(x)?x2?2ax?1(a?0)，且f(x),g(x)的图象在y轴上的截距相等

（1）求a的值； （2）求函数f(x)?g(x)的单调增区间。

3、已知f(x)?log1?kxax?1(a?1)

（1）若f(x)为奇函数，求k的值及该函数的定义域；

（2）是否存在实数k，使得函数f(x)在区间(1,??)上单调递增，若存在求出k的范围，

若不存在说 明理由。

4、已知函数f(x)?1?ln(x?1)x.(x?0)

（1）函数f(x)在区间（0，+?）上是增函数还是减函数？证明你的结论；

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www.zgxzw.com 中国校长网 （2）若当x?0时，f(x)?解：（1）f(x)?1x2kx?1恒成立，求正整数k的最大值.

1x2[xx?1?1?ln(x?1)]??[1x?1?ln(x?1)]

?x?0,?x2?0,1x?1?0.ln(x?1)?0.?f(x)?0.

因此函数f(x)在区间（0，+∞）上是减函数. （2）（方法1）当x?0时，f(x)?kx?1kx?1恒成立，令x?1有k?2[1?ln2]

又k为正整数. ?k的最大值不大于3.……7′ 下面证明当?k?3时,f(x)?(x?0)恒成立.

即证当x?0时，(x?1)ln(x?1)?1?2x?0恒成立. 令g(x)?(x?1)ln(x?1)?1?2x,则g?(x)?ln(x?1)?1, 当x?e?1时,g?(x)?0;当0?x?e?1时,g?(x)?0. ?当x?e?1时,g(x)取得最小值g(e?1)?3?e?0.

?当x?0时，(x?1)ln(x?1)?1?2x?0恒成立.

因此正整数k的最大值为3. （2）（方法2）当x?0时，

即h(x)?f(x)?kx?1恒成立，

(x?1)[1?ln(x?1)]x?k对x?0恒成立.

即h(x)(x?0)的最小值大于k.

h?(x)?x?1?ln(x?1)xxx?12,记?(x)?x?1?ln(x?1)?(x?0)

??(x)??0,??(x)在(0,??)上连续递增，

又?(2)?1?ln3?0,?(3)?2?2ln2?0,

??(x)?0存在唯一实根a，且满足：a?(2,3),a?1?ln(a?1).

由x?a时,?(x)?0,h?(x)?0;0?x?a时,?(x)?0,h?(x)?0知：

h(x)(x?0)的最小值为h(a)?(a?1)[1?ln(a?1)]a?a?1?(3,4). 因此正整数k的最大值为3.

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www.zgxzw.com 中国校长网 5、已知函数f(x)?1a?1x(a?0,x?0)

（1）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数； （2）若f(x)?2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

（3）若在f(x)[m,n]上的值域是[m,n](m≠n)，求a的取值范围。

6、定义在实数集上的函数f(x)，对任意x,y?R，有f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)且f(0)?0。

（1）求证：f(0)?1 （2）判断y?f(x)的奇偶性

（3）若存在正数C，使f()?0，求证对任意x?R，有f(x?c)??f(x)成立.

2c

7、已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)?x?2x． (1)解不等式g(x)?f(x)?|x?1|；

(2)若h(x)?g(x)??f(x)?1在[－1，1]上是增函数，求实数?的取值范围．

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