2014届高三数学一轮复习 试题选编函数的性质(单调性、最值、奇偶性与周期性) 理 新人教A版

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编3：函数的性质（单调性、最

值、奇偶性与周期性）

一、选择题

1 ．(2013北京高考数学(文))下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是

A．y

（ ）

1 x

B．y e

x

Cy x 1

．2

D．y lg|x|

1-x

【答案】C [解析] 对于A,y=是奇函数,排除.对于B,y=e既不是奇函数,也不是偶函数,排除.对于

x

D,y=lg |x|是偶函数,但在(0,+∞)上有y=lgx,此时单调递增,排除.只有C符合题意. 2 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函

数的是 （ ） A．y ex B．y sin2x C．y x3 D．y log1x

2

【答案】 C．

3 ．(2012年高考(陕西文))下列函数中,既是奇函数又是增函数的为

A．y x 1

B．y x

2

（ ）

C．y

1 x

D．y x|x|

【答案】解析:运用排除法,奇函数有y

1

和y x|x|,又是增函数的只有选项D正确. x

满足

（ ）

B．D．

,

4 ．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）定义在R上的函数

当A．C．

时

,

,则

【答案】D【解析】由题意可知,函数图所示

:∵

∴

,选

的图象关于y轴对称,且周期为2,故可画出它的大致图象,如且D．

,而函

数

在

是减函数,

5 ．(2013湖南高考数学(文))已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f( 1)+g(1)=2,f(1)+g( 1)=4,则

g(1)等于____

A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B解: 由题知f(-1)+g(1)= - f(1)+g(1)= 2, f(1)+g(-1)= f(1)+ g(1)= 4,上式相加,解得g(1) = 3 .

6 ．(2012年高考(天津文))下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为

（ ）

（ ）

ex e x3

A．y cos2x B．y log2|x| C．y D．y x 1

2

【答案】【解析】函数y log2x为偶函数,且当x 0时,函数y log2x log2x为增函数,所以在

(1,2)上也为增函数,选 B．

（ ）

x

7 ．(2012年高考(广东理))(函数)下列函数中,在区间 0, 上为增函数的是

1

A．y ln x 2 B

．y C．y

2

【答案】解析:A．y ln x 2 在 2, 上是增函数.

D．y x

1 x

8 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）下列函数中,在定义域内是减函数的是

（ ）

A．f(x)

1

x

B

．f(x) C．f(x) 203

1 x2

D．f(x) tanx

【答案】C

9 ．（北京北师特学校

届高三第二次月考理科数学）若

x ,R n*定义N, 4

n

x

E (x 1x ) (x,n2) x

例如

4

E 4 (

5

) 则f(x)( x Ex3 ) 2的奇偶性为

( （ ）2 )

A．偶函数不是奇函数; B．奇函数不是偶函数;

C．既是奇函数又是偶函数; D．非奇非偶函数

5222

【答案】A【解析】由题意知f(x) xEx 2 x(x 2)(x 1)x(x 1)(x 2) x(x 4)(x 1),所以函数为偶函数,不是奇函数,选A．

10．下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是

A．y cosx C．y ln

B．y x 1 D．y e e

x

x

（ ）

2 x

2 x

（ ）

D

．y 【答案】D

11．(2012年高考(广东文))(函数)下列函数为偶函数的是

A．y sinx 【答案】解析:

B．y x3 D．f x

C．y ex

f x .

（ ）

12．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知函数f(x)在[0, )上是增函

数,g(x) f(x),若g(lgx) g(1),则x的取值范围是 A．(10, )

B．(

11

C．(0,10) D．(0,) (10, ) ,10)

1010

【答案】B【解析】因为g(x) f(x),所以函数g(x) f(x)为偶函数,因为函数f(x)在[0, )上

是增函数,所以当x 0时,g(x) f(x) f(x),此时为减函数,所以当x 0,函数

g(x) f(x单调递增).因为g(lgx) g(1),所以有 1 lgx 1,解得

11

x 10,即(,10),选1010

B．

13．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是

（ ）

3

A．y x 1 B．y tanx C．y x D．y log2x 【答案】 C． 14．（2013重庆高考数学（文））已知函数f(x) ax bsinx 4(a,b R),f(lg(log210)) 5,则

3

f(lg(lg2))

A． 5

B． 1

C．3

（ ）

D．4

1 =f(-lg(lg 2))=5,又因为

【答案】 C．[解析] 因为f(lg(log210))=f lg

lg 2

f(x)+f(-x)=8,所以f(-lg(lg2))+f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以f(lg(lg 2))=3,故选 C．

15．已知函数y f(x)是偶函数,且y f(x 2)在[0,2]上是单调减函数,则f(0),f( 1),f(2)由小到大

排列为

A．f(0) f( 1) f(2) C．f( 1) f(2) f(0) 【答案】A

（ ）

B．f( 1) f(0) f(2) D．f(2) f( 1) f(0)

16．(2013山东高考数学(文))已知函数f(x)为奇函数,且当x 0时,f(x) x2

A．2

B．1

1

,则f( 1) x

（ ）

C．0 D．-2

【答案】D解析:∵ 当x 0时,f(x) x2 1,∴ f(1) 12 1 2,又∵f(x)为奇函数,

x1

∴ f( 1) f(1) 2.答案: D． 17．对于任意两个实数a、b,定义运算“*”如下:a*b

aa b

,则函数ba b

（ ）

f(x) x2*[(6 x)*(2x 15)]的最大值为

A．25

【答案】C

B．16

C．9

D．4

1 2 x(x 0)

,则该函数是 18．(湖北省黄冈市2012年高考模拟试题)已知函数f(x) x

2 1(x 0)

（ ）

A．偶函数,且单调递增 B．偶函数,且单调递减

C．奇函数,且单调递增 D．奇函数,且单调递减 【答案】C 二、填空题

19．(2012年高考(浙江文))设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则

3

=_______________. f）2

3

【答案】

2331113

【解析】f() f( 2) f( ) f() 1 .

222222

20．(2012年高考(重庆文))函数f(x) (x a)(x 4) 为偶函数,则实数a ________

【答案】4

【解析】由函数f(x)为偶函数得f(a) f( a)即(a a)(a 4) ( a a)( a 4)

a 4.

【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a都有f(a) f( a)成立.

21．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）奇函数f x 的定义域为 2,2 ，若f x 在 0,2 上单调递减，且

f 1 m f m 0，则实数m的取值范围是

【答案】[ ,1]

【 解析】因为奇函数在 0,2 上单调递减，所以函数f(x)在 2,2 上单调递减。由

1

2

2 m 2 2 m 2

f 1 m f m 0得f(1 m) f(m) f( m)，所以由 2 1 m 2，得 3 m 1，所

1 m m 1 m

2

以

11

m 1，即实数m的取值范围是[ ,1]。 22

22．(2012年高考(安徽文))若函数f(x) |2x a|的单调递增区间是[3, ),则a _____

a

3 a 6 2

4

(x [2,4])的最大值是______. 23．(2012年高考(上海春))函数y log2x

log2x

【答案】5 24．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x 4) f(x),

2

当x (0,2)时,f(x) 2x,则f(7) _______________

【答案】 2【解析】由f(x 4) f(x)可知函数的周期是4,所以f(7)=f(7 8)=f( 1),又因为函数

【解析】 6 由对称性:

是奇函数,所以f( 1) f(1) 2,所以f(7)= 2 25．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知定义域为R的偶函数f x 在 ,0

1 x

2,则不等式f2 2的解集为_____________. 2

11

【答案】答案 1, 因为函数为你偶函数,所以f( ) f() 2,且函数在(0, )上递增.所以由

22

1

f(2x) 2得2x ,即x 1,所以不等式f2x 2的解集为 1, .

2

26．(2012年高考(上海文))已知y f(x)是奇函数. 若g(x) f(x) 2且g(1) 1.,则g( 1) _______ .

【答案】[解析] y f(x)是奇函数,则f( 1) f(1),g(1) g( 1) f(1) f( 1) 4 4, 所以g( 1) 4 g(1) 3.

上是减函数,且f

27．若不等式ax 4x a 1 2x

________________________.

2

22

对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是

【答案】(a 2)x 4x a 1 0恒成立,当a 2时,x

2

3

不恒成立,不满足 4

当a 2时,要使不等式(a 2)x 4x a 1 0恒成立,则须

a 2 a 2 a 2 0

2 a 2

16 4(a 2)(a 1) 0a 2或a 3 a a 6 0

28．(2013大纲卷高考数学(文))设f x 是以2为周期的函数,且当x 1,3 时, f x =x 2,则

f( 1) ____________.

【答案】 1 【解析】∵f x 是以2为周期的函数,且x 1,3 时,f x =x 2, 则f 1 f( 1 2) f(1) 1 2 1

(x 1)2 sinx29．(2012年高考(课标文))设函数f(x) 的最大值为M,最小值为m,则2

x 1

M m ________.

【答案】【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.

2x sinx

,

x2 12x sinx

设g(x)=f(x) 1=,则g(x)是奇函数,

x2 1

∵f(x)最大值为M,最小值为m,∴g(x)的最大值为M-1,最小值为m-1, ∴M 1 m 1 0,M m=2.

【解析】f(x)=1 30．（北京四中

2013

届高三上学期期中测验数学(理)试题）设函

数

______.

51

f(2) f(1) f( 1) 2f(1) 2 1

2【答案】2 【解析】令x 1得f(1) f( 1) f(2),即.

13

f(3) f(1 2) f(1) f(2) 1

x 1x 322令得.令得

35

f(5) f(3 2) f(3) f(2) 1=

22

三、解答题

2

31．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数f(x) 2ax 4x 3 a,a R.

(Ⅰ)当a 1时,求函数f(x)在 1,1 上的最大值;

(Ⅱ)如果函数f(x)在区间 1,1 上存在零点,求a的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)当a 1时,则f(x) 2x 4x 4

2

2(x2 2x) 4 2(x 1)2 6.

因为x 1,1 ,所以x 1时,f(x)的最大值f(1) 2

(Ⅱ)当a 0时,f(x) 4x 3 ,显然在 1,1 上有零点, 所以a 0时成立 当a 0时,令 16 8a(3 a) 8(a 1)(a 2) 0, 解得a 1,a 2

(1) 当a 1时, f(x) 2x 4x 2 2(x 1) 由f(x) 0,得x 1 [ 1,1];

当 a 2时,f(x) 4x 4x 1 4(x ).

2

2

2

1

2

2

1

[ 1,1], 2

所以当 a 0, 1, 2时, y f(x)均恰有一个零点在 1,1 上 (2)当f( 1) f(1) (a 7)(a 1) 0,即 1 a 7时, y f x 在 1,1 上必有零点.

由f(x) 0,得x

(3)若y f x 在 1,1 上有两个零点, 则

a 0, a 0,

8(a 1)(a 2) 0, 8(a 1)(a 2) 0, 11 1 1,或 1 1,

aa

f( 1) 0, f( 1) 0, f(1) 0 f(1) 0.

解得a 7或a 2.

综上所述,函数f(x)在区间 1,1 上存在极值点,实数a的取值范围是

a 1或a 2

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