高中函数性质总结

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函数的基本性质

①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性与f(x)相同， 一、函数的单调性

函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。

定义：（略）

定理1：x1?x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x?x?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

12(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x?x?0?f(x)在?a,b?上是减函数.

12定理2：（导数法确定单调区间） 若x??a,b?，那么

f??x??0?f(x)在?a,b?上是增函数； f??x??0?f(x)在?a,b?上是减函数.

1.函数单调性的判断(证明)

(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法

2.复合函数的单调性的判定

对于函数y?f(u)和u?g(x)，如果函数

u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当x??a,b?时u??m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单

调性，则复合函数y?f(g(x))在区间?a,b?具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断

对于两个单调函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??： (1)当f(x)和g(x)具有相同的增减性时，

②F2(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)、

F(x)4(x)?fg(x)(g(x)?0)的增减性不能确定； (2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设

f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么：

①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定；

②F2(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)、

F4(x)?f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数，Fg(x)5(x)?f(x)(f(x)?0)为减函数。

4.奇偶函数的单调性

奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

二、函数的对称性

函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。

1.函数y?f(x)的图象的对称性（自身）: 定理1: 函数y?f(x)的图象关于直x?a?b2对称 ?f(a?x)?f(b?x)?f(a?b?x)?f(x)

特殊的有：

①函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a??)xf(2a?x)?f(。x ②函数y?f(x)的图象关于y轴对称（奇函数）

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?f(?x)?f(x)。

③函数y?f(x?a)是偶函数?f(x)关于x?a对称。

定理2：函数y?f(x)的图象关于点(a,b)对称

?f(x)?2b?f(2a?x)?f(a?x)?f(a?x)?2b

特殊的有：

① 函数y?f(x)的图象关于点(a,0对称

?f(x)??f(2a?。

x② 函数y?f(x)的图象关于原点对称（奇函数）

?f(?x)??f(x)。

③ 函数y?f(x?a)是奇函数?f(x)关于点?a,0? 对

称。

定理3：（性质）

①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a

不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。

②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。

2.两个函数图象的对称性:

①函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线

x?0(即y轴)对称.

②函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?a?b2m对称. 特殊地: y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称

③函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称的解析式为

y?f(2a?x)

④函数y?f(x)的图象关于点(a,0)对称的解析式为

y??f(2a?x)

⑤函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x =

y 成轴对称。

3．奇偶函数性质

对于两个具有奇偶性的函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??：

（1）满足定义式子f(?x)?f(x)（偶）

f(x)?f(?x)?0（奇）

（2）在原点有定义的奇函数有f(0)?0

(3)当f(x)和g(x)具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：

①函数F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)也为奇函数；

②Ff(x)2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?g(x)(g(x)?0)为偶第 3 页 共 10 页

函数；

③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数 简单地说： 奇函数±奇函数=奇函数， 偶函数±偶函数=偶函数， 奇函数×奇函数=偶函数， 偶函数×偶函数=偶函数， 奇函数×偶函数=奇函数. (4)当f(x)和g(x)具有相异的奇偶性时，那么： ①F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)的奇偶性不能确定；

②F2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)g(x)(g(x)?0)、F5(x)?g(x)f(x)(f(x)?0)为奇函数。

（6）任意函数f(x)均可表示成一个奇函数

g(x)?12?f(x)?f(?x)?与一个偶函数h(x)?12?f(x)?f(?x)?的

和。

（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数

（8）图形的对称性 关于y轴对称的函数（偶函数）关于原点?0,0?对称的函数（奇函数） （9）若

f(x)是偶函数，则必有

f(ax?b)?f??(ax?b)?

若

f(x)是奇

函

数

，

则

必

有

f(ax?b)??f??(ax?b)?

（10）若

f(ax?b)为偶函数，则必有

f(ax?b)?f(?ax?b)

若

f(ax?b)是奇函数，则必有

f(ax?b)??f(?ax?b)

（11）常见的奇偶函数

三、函数的周期性

函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。

1.周期性的定义

对于函数y?f(x)，如果存在一个非零常数T，

使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做

周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T是函数f(x)的周期，那么?T、nT（n?N*）也是函数f(x)的周期。

2. 函数的周期性的主要结论：

结论1：如果f(x?a)?f(x?b)（a?b），那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?a?b

结论2：如果f(x?a)??f(x?b)（a?b），那么

f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a?b

结论3：如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴

x?a、x?b对称，那么f(x)是周期函数，其中一个

周期T?2a?b

结论4：如果偶函数f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期

T?2a

结论5：如果奇函数f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期

T?4a

结论6：如果函数同时关于两点?a,c?、?b,c?（a?b）成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期

T?2a?b

结论7：如果奇函数f(x)关于点?a,c?（a?0）成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a 结论8：如果函数f(x)的图像关于点?a,c?（a?0）成中心对称，且关于直线x?b（a?b）成轴对称，那

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么f(x)是周期函数，其中一个周期T?4a?b 结论9：如果f(x?p)?1f(x)或f(x?p)??1f(x)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2p 结论

10：如果

f(x?p)1?fx(或

)2?1?f(x)f(x?p1?f(2)?x)1?f(x)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2p

结论11：如果f(x?p)??f(x)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2p

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函

数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。 故选(A)

例6.求证:若f?x??x?R?为奇函数，则方程f?x?=0若有根一定为奇数个。

证:? f?x?为奇函数? f?0??-f??0?=f?0?

?2f?0?=0

即x=0是方程f?x?=0的根

若x1是f?x?=0的根，即f?x1?=0 由奇数定

义得f??x1???f?x1?=0

??x1也是方程的根

即方程的根除x=0外成对出现。 ?方程根为奇数个。

例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1

(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么

f(4)=（ ）。

（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）

2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g-1

(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，

∴y = g-1

(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1

(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 +

g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

f (x) = －

12x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x)

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对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3 例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，

f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5

(B) －0.5

(C) 1.5

(D) －1.5

解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，

0）是其对称中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1

－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)

一、 反函数的性质和应用

（1）定义域值域相反 （2）图象关于y?x对称 （3）

具有相同的单调性、奇偶性

（4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的函数不一

定单调，偶函数和周期函数一定不具有反函数 （5）原函数过?a,b?则反函数过?b,a?反之亦然 （6）

f?f?1(x)??x，

f?1(f(x))?x，但

f?f?1(x)?不一定等于f?1(f(x))仅

当

f(x)定义域?值域??才成立

（二）奇偶函数性质

（1）满足定义式子（2）在原点有定义的奇函数有

f(0)?0（3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；

（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；

（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数．（6）任意函数

f(x)均可表示成一个奇函数

g(x)?12?f(x)?f(?x)?与一个偶函数h(x)?12?f(x)?f(?x)?的和（7）一般的奇函数都具有

反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性

（三） 周期性：定义、判断

常见具有周期性的函数f(x?a)??f(x)

f(x?a)?1f(x)或f(x?a)??1f(x)

f(x?a)?1?f(x)1?f(x)或f(x?a)?1?f(x)1?f(x)

（四） 对称性：判断、性质 （1）一个函数的对称性：

1、函数y?f(x)关于x?a对称

?f(a?x)?f(a?x)或f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x) 显然： 特殊的有偶函数关于y（即x=0）轴对称，则有关系式 f(?x)?f(x)；一般的有f(a?x)?f(b?x)，函数y?f(x)关于直线x?(a?x)?(b?x)a?b2?2 对称 2、函数

y?f(x)关于点(a,b)对称

?f(a?x)?f(a?x)?2b

上述关系也可?f(2以a?写x)?成f(?x)?2b或f(2a?x)?f(x)?2b显然特殊的有奇函数关 于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)?f(?x)?0 一般的有f(a?x)?f(b?x)?c，函数y?f(x)关于点(a?bc2,2) 对称

3、函数自身不可能关于y?b对称，曲线则可能

（2）两个函数的对称性：

1、 y?f(x)与y??f(x)关于X轴对称。 2、 y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。

3、 y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。 4、 y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。 5、 y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。

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6、y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?a?b2对称。

7、y?f(x)与y?f?1(x)关于直线y?x对称

（四）三性的综合应用

（08湖北卷6）已知f(x)在R上是奇函数，且

f(x?4)?f(x),当x?(0,2)时，f(x)?2x2,则f(7)?A

A.-2 B.2

C.-98 D.98

（08四川卷）函数f?x?满足f?x??f?x?2??13，若f?1??2，则f?99??( C )

（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 （2010安徽理数）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且

满足f(1)=1，f(2)=2则f(3)?f(4)的值为（ ）A、?1 B、1 C、?2 D、2

（09江西卷）已知函数f(x)是(??,??)上的偶函数，若对于x?0，都有f(x?2）?f(x)，且当

x?[0,2)时

，f(?x)2l?）ox，g(则f(?2?0f08的值为 ( C )

A．?2 B．?1 C．1 D．2

(09东兴十月)定义在R上的函数f(x)的图象关于点

????34,o???对称，且满足f(x)??f(x?32)，f(?1)?1，f(0)??2，则f(1)?f(2)?.......f(2006)?_______

2009广东三校一模）定义在R上的函数f?x?是奇函数又是以2为周期的周期函数,则

f?1??f?4??f?7?等于

( B )

A.-1 B.0

C.1 D.4

（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若

f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，f(1)?2则

f(2009)?( D )

A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2

若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅

直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个

周期。

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

1f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得： f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

例2.f?x?是定义在R上满足f??x??f?x?的函数且

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满足f?3?x??f?3?x?若x??0,3?时f?x??2x则

x???6,?3?时＿＿

?A?f?x??2x?B?f?x???2x?C?f?x??2x?6,?D?f?x???2x?6,

解：如图?1?函数在?0,3??f?x??2x

知识点及方法

对称性、函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性与函数的解析式；化归思想 二次函数的对称性

1． 已知f(x)是二次函数，图象开口向上,f(2?x)?f(2?x), 比较f(1),f(22)大小。

若二次函数f(x)的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),

2． 比较f(0),f(?1),f(22)的大小。

3． 二次函数

f(x)??x2?2mx?m2?3满足

f(x?2)?f(?x?2),求f(x)的顶点的坐标。

4． 已知f(x)?ax2?bx?c(a?0),且f(3?x)?f(7?x).

（1）写出a,b的关系式 （2）指出f(x)的单调区间。

函数的对称性求解析式

1． 已知f(x)是偶函数，当x?0时，f(x)?x3?1,求

f(x)的解析式.

2． 已知函数的g(x)图象与函数f(x)?x2?9x?2的图

象关于原点成中心对称, 求g(x)的解析式。

3． 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，若当x?1

时，y=x2＋1，求当x>1时, ,f(x)的解析式.

4． 设 f(x)?x?1, 求 f(x?1)关于直线x?2对称的

曲线的解析式.

5． 已知函数y?f(x?1)是偶函数，且x∈(0,+∞)时有

f(x)=

1x, 求当x∈(－∞,－2)时, 求y?f(x) 的解析式.

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6． 已知函数f(x)是偶函数，当x?[0,1)时，f(x)?1?x,又f(x)的图象关于直线x?1对称，求f(x)在[5,6)的解析式.

7． 已知函数y?f(x)(x?R)）是奇函数，则下列

坐标表示的点一定在函数y?f(x)图象上A

．

(a,?f(a)) B．

(?a,?f(a))

C．(?a,?f(?a)) D．(a,f(?a))

8． 已知y?f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?x?2，那么不等式f(x)?12的解集是（ ）

9． 设定义域为R的函数f(x)满足以下条件； ⑴ 对任意x?R,f(x)?f(?x)?0； ⑵ 对任意x1,x2?[1,a]，当x2?x1时，有f(x2)?f(x1)?0则以下不等式不一定成立．．．．．

的是（ ） A．f(a)?f(0)B．f(1?a2)?f(a)

Cf(1?3a1?a)?f(?3)Df(1?3a1?a)?f(?a)

5、 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(?34,0)对称，且f(?1)?1，f(0)??2，f(x)??f(x?32)，

则f(1)?f(2)?f(3)?????f(2005)的值为（ ）

A．?2 B．?1 C．0 D．1

7、已知函数f(x)?|x2?2ax?b|(x?R)，给出下列命

题，

⑴ f(x)不可能为偶函数； ⑵ 当f(0)?f(2)时，f(x)的图象必关于直线x?1对称； ⑶ 若

a2?b?0，则f(x)在区间[a,??)上是增函数； ⑷ f(x)有最小值b?a2，其中正确命题的序号是______

（将你认为正确的命题的序号都填上）．

9．已知函数f(x)=x+x3

+x5

，xl，x2，x3∈R，且xI+x2＜0，

x1+x3<0，x2+x3<0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值(B ) A．大于0 B．小于0 C．等于

0 D．不确定

10．函数f(x)?x2?2ax?a在区间(??,1)上有最小

值，则函数g(x)?f(x)x在区间(1,??)上一定 A．有最小值 B．有最大值 C．是减函

数

D．是增函数

12．函数

f(x)?x2?bx?c，若f（0）=3，且f（2?x）=f（x），则有（B ）

A.f(bx)?f(cx) B.f(bx)?f(cx) C.f(bx)?f(cx) D.f(bx)与f(cx)的大小不确定

14．函数f(x)?ax2?1x的单调递增区间为(0,??)，那

么实数a的取值范围是 （ A） A．a?0 B．a?0 C．a?0

热点1 （图象与性质）．函数f?x?的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[-1，

0 ） ∪ （ 0，1]，则不等式f?x?－f??x?＞-1的解集是

A．?x:?1?x?1且x?0? B.

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?x:?1?x?0?

C.

???x:?1?x?0或1?2?x?1?? D.??x:?1?x??1?2或0?x?1???

５．函数f(x)的定义域为D：{x|x?0}且满足对于任意x1,x2?D，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).

（１）求f(1)的值；

（２）判断f(x)的奇偶性并证明； （

３

）

如

果

f(4)?1,f(3x?1)?f(2x?6)?3,且f(x)在(0,??)上是增函数，求x的取值范围.

７．对于函数f?x?，若存在x0?R，使f?x0??x0成

x已知函数f?x?= x2立，则称0为f?x?的“滞点”.2x?2.

(１)试问f?x?有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；

８．已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)?1，若a,b?[?1,1]，a?b?0有f(a)?f(b)a?b?0恒成立.

（1）判断f(x)在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；

（2）解不等式f(x?1)?f(12x?1)；

（3）若

f(x)?m2?2am?1,对所有

x?[?1,1],a?[?1,1]恒成立，求实数m的取值范围.

21．设函数y?f?x?定义在R上，对于任意实数m、n恒有

f?m?n??f?m??f?n?, 当x?0时，

0?f?x??1.

①求证：f?0??1且当x?0时f?x??1; ②求证：f?x?在R上递减； ③

设

集

合

M???x,y?f?x2??f?y2??f?1??,N???x,y?f?ax?y?

若M?N??, 求a的取值范围．

23.已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n都有

f(mn?)?f(m)?f()n?1，且

f??1??2???0，

当x?122时， f(x)?0.（1）求f(1)；（2）求和

f(1)?f(2)?…?fn()(nN?*)；（3）判断函数f(x)的单调性并证明。

设函数f?x?的定义域为?0,???且对任意的正实数

x、y有f?xy??f?x??f?y?，已知f?2??1且当

x?1时f?x??0.

⑴求f??1???2?的值；⑵试判断y?f?x?在?0,???上的单

调性并证明；

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已知函数

（1）判断函数的单调性,并用定义证明; （2）求函数的最大值和最小值.

（19）（本小题满分12分）设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＜0.（1）证明：f(x)为奇函数； （2）证明：f(x)在R上为减函数.

对于函数f(x)和g(x)，在公共的定义域内，规定f(x)*g(x)＝min{f(x),g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝2x?3，则f(x)*g(x)的最大值是＿＿＿＿。 变式：对于函数f(x)与g(x)，规定当f(x)≤g(x)时，f(x)〃g(x)＝f(x)；当f(x)＞g(x)时，f(x)〃g(x)＝g(x)。如果f(x)＝ x?3，g(x)＝3－x，则f(x)〃g(x)的最大值为＿＿＿＿。

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