挑战杯

一阶微分方程的斜率场

作者:刘丽娟

单位:内蒙古鄂尔多斯市伊金霍洛旗职业高级中学

辅导老师:郭鹏云

2011-12-1

一阶微分方程的斜率场

作者:刘丽娟

单位:内蒙古鄂尔多斯市伊金霍洛旗职业高级中学

摘要:定义一个一阶微分方程,并解出此方程,画出其斜率场.根据其斜率场得到此微分方程的近似积分曲线.

关键字:微分方程 导数 斜率场

Abstract: to define a first-order differential equation, and work out the equation, draw the slope. According to the slope of the field integral curve approximate differential equation.

Key words: differential equation derivation slope

一阶微分方程的斜率场

一阶微分方程dy/dx=f(x,y)的解y=g(x)在Oxy平面上的图形为一条曲线，我们称它为方程dy/dx=f(x,y)的积分曲线，而方程dy/dx=f(x,y)的通解y=g(x,c)对应于Oxy平面上的一族曲线，我们称这族曲线为dy/dx=f(x,y)的积分曲线族。满足初始条件y(x0)=y0的特解就是通过点(x0,y0)的一条积分曲线。

方程dy/dx=f(x,y)的积分曲线上的每一个点(x,y)的切线斜率dy/dx正好等于f(x,y)在这点的值；反之，如果一条曲线上的每一点的切线斜率等于f(x,y)在这点的值，则这一条曲线就是dy/dx=f(x,y)的积分曲线。

设dy/dx=f(x,y)的右端函数f(x,y)在区域G内有定义，在G内任一点(x,y)处画上一个“一个小线段”，它以点(x,y)为起点，斜率等于f(x,y)在该点的值，我们把带有这种“小线段”的区域G称为由方程dy/dx=f(x,y)规定的斜率场。

于是，求微分方程dy/dx=f(x,y)经过点(x0,y0)的一条积分曲线，就是在区域G内求一条经过点(x0,y0)的曲线，使其上每一个点处切线的斜率与斜率场在该点的方向相吻合。或者形象地说，就是始终顺着斜率场中的方向行进的曲线。

设一阶微分方程的形式y’=f(x,y)(y是x的函数)即研究导数已经

解出的一阶方程，其中f(x,y)是已知函数。由导数的几何意义，未知函数y的斜率f(x,y)是平面上点（x,y）的函数。因此可以在Oxy平面上作出过该点的以f(x,y)为斜率一条很短的直线（即是未知函数y的切线）, 记为EF,其中EF=3*h/（8*cosα）或3*k/8(h=(xmax-xmin)/21, k=(ymax-ymin)/21)。这样得到的一个图形就是微分方程y’=f(x,y)的斜率场。为了方便观察，实际上只要在Oxy平面上取适当多的点，作出这些点的函数切线，观察这样的斜率场，就可以得到方程y’=f(x,y)的近似积分曲线。

由于Mathmatic没有直接作出斜率场的命令,因此在这里定义一个斜

率

场

的

命

令

：

slopefield[f,x_,y_,xmin,xmax,ymin,ymax,initcond:Automatic] 在 slopefield命令方括号中总有八项：第一项为方程y’=f(x,y)中等式右边的函数；第二项为微分方程的自变量x；第三项为微分方程的因变量y；第四项为自变量x的最小值xmin；第五项为自变量x的最大值xmax；第六项和第七项分别为因变量y最小值ymin及最大值ymax；而第八项为方程y’=f(x,y)的初始条件（如给出初始条件，则方程y’=f(x,y)的近似积分曲线有有限条，否则积分曲线存在无数条）。

分别定义xloc, yloc, floc ,h, k, segs为程序中的全局变量,flag为逻辑变量,其中h=(xmax-xmin)/21 ，k=(ymax-ymin)/21. xloc为自变量: xloc= xmin+i*h, yloc为因变量: yloc= ymin+j*k, f( xloc, yloc)为未知函数y的斜率在点（xloc, yloc）处的值。

E点的坐标:(xmin+i*h, ymin+j*k)

一．当有初始条件时，icloc为其初始条件，icloc[i]表示有i个初始值,即可画出i条满足条件的积分曲线, 此时 flag=0 Soln=table[NDSolve[{u

’

[xloc]==floc[xloc,u[xloc]],icloc[[i]]},u[xloc],{xloc,xmin,xmax}][[1,1,2]],{i,1,Lenggth[icloc]}] 二．当没给定初始条件时，此时 flag=1

①:当f( xloc, yloc)的分母=0, 即未知函数y的切线的倾斜角α=π/2时, 此时过E（ E点的坐标:(xmin+i*h, ymin+j*k)）点的切线垂直于X轴,因此过E点,以f( xloc, yloc)为斜率做一条直线,并在其上面截取线段EF,使其长度为3*k/8,F点的坐标: F:(xmin+(i+3/8)*h ymin+（j+3/8）*k),

② :当f( xloc, yloc)的分母≠0, 即未知函数的倾斜角α≠π/2时,过E点,以f( xloc, yloc)为斜率做一条直线,并在其上面截取线段EF,使其长度为3h/(8*cosα),（此时EF的长度随α的不同而不同）。F点的坐标:

F:( xmin+(i+3/8)*h, ymin+j*k+ f( xloc, yloc)* h*3/8 ). 将满足①②的所有的线段作成一个集合segs:

Segs=table[line[If[(Denominator[floc[xloc,yloc]]/.{xloc->xmin+i*h,yloc->ymin+j*k})!=0,{{xmin+i*h,ymin+j*k},{xmin+(i+3/8)*h,ymin+j*k+floc[xmin+i*h,ymin+j*k]*3*h/8}},{{xmin+i*h,ymin+j*k},{xmin+i*h,ymin+(j+3/8)*k}}]],{i,0,21},{j,1,21}]

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tj4h.html