2017中考数学专题总复习 专题十一 四边形的综合应用试题

专题十一 四边形的综合应用

(针对四川中考特殊四边形的综合应用)

1．(导学号 14952502)(2017·广元预测)在?ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD.

(1)如图①，求证：BP＋BQ＝BC；

(2)请直接写出图②，图③中BP，BQ，BC三者之间的数量关系，不需要证明； (3)在(1)和(2)的条件下，若DQ＝1，DP＝3，则BC＝__2或4__．

解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ，∵AD＝BD，AD＝BC，∴BD＝BC，∵BD＝BP＋DP，∴BC＝BP＋BQ (2)图②，BQ－BP＝BC，理由：∵AP∥CQ，∴∠APB＝∠CQD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠ABP＝∠CDQ，∵AB＝CD，∴△ABP≌△CDQ，∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；图③，BP－BQ＝BC，理由：同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ (3)图①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4，图②，BC＝BQ－BP＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2或4

2．(导学号 14952503)(2016·南平)已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点(其中EP＜PD)．

(1)如图1，若点F在CD边上(不与D重合)，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD，PF分别交射线DA于点H，G.

①求证：PG＝PF；

②探究：DF，DG，DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；

(2)拓展：如图2，若点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为(1)中DF，DG，DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

解：

(1)①∵∠GPF＝∠HPD＝90°，∠ADC＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠

PDF＝∠ADP＝45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠PDF＝45°，在△HPG和△DPF∠PHG＝∠PDF，??

中，∵?PH＝PD，∴△HPG≌△DPF(ASA)，∴PG＝PF；②结论：DG＋DF＝2DP，由①

??∠GPH＝∠FPD，知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD＝2DP，HG＝DF，∴HD＝HG＋DG＝DF＋DG，∴DG＋DF＝2DP (2)不成立，数量关系式应为：DG－DF＝2DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF＝∠HPD＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠HDP＝∠EDC＝45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠EDC＝45°，且PH＝PD，HD＝2DP，∴∠GHP＝∠FDP＝180°－45°＝∠GPH＝∠FPD，??

135°，在△HPG和△DPF中，?∠GHP＝∠FDP，∴△HPG≌△DPF，∴HG＝DF，∴DH＝DG－HG

??PH＝PD，＝DG－DF，∴DG－DF＝2DP

3．(导学号 14952504)(2017·自贡预测)如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE.

(1)求证：BG＝AE；

(2)将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时(如图②所示)． ①求证：BG⊥GE；

GM

②设DG与AB交于点M，若AG∶AE＝3∶4，求的值．

MD

解：

(1)∵AD为等腰直角△ABC的高，∴AD＝BD，∵四边形DEFG为正方形，∴∠GDE＝90°，BD＝AD，??

DG＝DE，在△BDG和△ADE中，?∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE(SAS)，∴BG＝AE (2)①

??DG＝DE，如图，连接AD，∵四边形DEFG为正方形，∴△DEG为等腰直角三角形，∴∠1＝∠2＝45°，

由(1)得△BDG≌△ADE，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°，即∠BGE＝

90°，∴BG⊥GE；②设AG＝3x，则AE＝4x，即GE＝7x，∴DG＝

2

2

272GE＝x，∵△BDG≌△22

2

2

ADE，∴BG＝AE＝4x，在Rt△BGA中，AB＝BG＋AG＝（4x）＋（3x）＝5x，∵△ABD为等腰直角三角形，∴∠4＝45°，BD＝△DBM∽△DGB，∴BD∶DG＝DM∶BD，即

252

AB＝x，∴∠3＝∠4，而∠BDM＝∠GDB，∴22

527252252x∶x＝DM∶x，解得DM＝x，∴GM22214

122

x7

72252122GM24

＝DG－DM＝x－x＝x，∴＝＝ 2147MD25225

x14

4．(导学号 14952505)(2016·扬州)已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC，DC的延长线交于点E，F，连接EF.设CE＝a，CF＝b.

(1)如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a，b的值； (2)当△AEF是直角三角形时，求a，b的值；

(3)如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．

解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCF＝∠DCE＝90°，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ACF＝∠ACE，∵∠EAF被对角线AC平分，∴∠CAF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACE，??

在△ACF和△ACE中，?AC＝AC，∴△ACF≌△ACE(ASA)，∴CF＝CE，∵CE＝a，CF＝b，

??∠CAF＝∠CAE，∴a＝b，又∵△ACF≌△ACE，∴AF＝AE，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠EAF＝45°，∴∠AEF＝∠AFE

＝67.5°，∵CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠AEC＝∠AFC＝22.5°，∵∠CAF＝∠CAE＝22.5°，∴∠CAE＝∠CEA，∴CE＝AC＝42，即a＝b＝42 (2)当△AEF是直角三角形时，①当∠AEF

222

＝90°时，∵∠EAF＝45°，∴∠AFE＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝2FE＝2(CE

2222222222222

＋CF)，AF＝2AE＝2(AB＋BE)，∴2(CE＋CF)＝2(AB＋BE)，∴CE＋CF＝AB＋BE，∴2222

CE＋CF＝16＋(4＋CE)，∴CF＝8(CE＋4)①，∵∠AEB＋∠BEF＝90°，∠AEB＋∠BAE＝ABBE4CE＋4

90°，∴∠BEF＝∠BAE，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴＝，∴4CF＝CE(CE＋4)②，

CECFCECF联立①②得，CE＝4，CF＝8，∴a＝4，b＝8；②当∠AFE＝90°时，同①的方法得，CF＝4，

CE＝8，∴a＝8，b＝4

(3)ab＝32，理由：如图，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠AFC，∵∠BAC＝45°，∴∠BAG＋∠CAF＝45°，∴∠AFC＋∠CAF＝45°，∵∠AFC＋∠AEC＝180°－(∠CFE＋∠CEF)－∠EAF＝180°－90°－45°＝45°，∴∠CAF＝∠AEC，∵∠ACF＝∠ACE＝135°，∴△ACF∽△ECA，ACCF22

∴＝，∴EC×CF＝AC，即ab＝2AB＝32，∴ab＝32 ECAC

5．(导学号 14952506)(2017·南充预测)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB

2

＝90°且OA＝AB，OB，OC的长分别是一元二次方程x－11x＋30＝0的两个根(OB＞OC)．

(1)求点A和点B的坐标；

(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m.已知t＝4时，直线l恰好过点C.当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式；

(3)当m＝3.5时，请直接写出点P的坐标． 解：

(1)∵方程x－11x＋30＝0的解为x1＝5，x2＝6，∴OB＝6，OC＝5，∴B点坐标为(6，0)，作AM⊥x轴于M，如图，∵∠OAB＝90°且OA＝AB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴OM

2

1

＝BM＝AM＝OB＝3，∴A点坐标为(3，3)

2

(2)作CN⊥x轴于N，如图，∵t＝4时，直线l恰好过点C，∴ON＝4，在Rt△OCN中，CN＝OC－ON＝5－4＝3，∴C点坐标为(4，－3)，设直线OC的解析式为y＝kx，把C(4，

33

－3)代入得4k＝－3，解得k＝－ ，∴直线OC的解析式为y＝－x，设直线OA的解析式

44为y＝ax，把A(3，3)代入得3a＝3，解得a＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，∵P(t，0)(03377

＜t＜3)，∴Q(t，t)，R(t，－t)，∴QR＝t－(－t)＝t，即m＝t(0＜t＜3)

4444

??3p＋q＝3，

(3)设直线AB的解析式为y＝px＋q，把A(3，3)，B(6，0)代入得?解得

?6p＋q＝0，?

2

2

2

2

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