高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

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高中数学解三角形题型目录一．正弦定理

1.角角边

2.边边角

3.与三角公式结合

4.正弦定理与三角形增解的应对措施

5.边化角

6.正弦角化边

二．余弦定理

1.边边边

2.边角边

3.边边角

4.与三角公式结合

5.比例问题

6.余弦角化边

7.边化余弦角

三．三角形的面积公式

1.面积公式的选用

2.面积的计算

3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用

四．射影定理

五．正弦定理与余弦定理综合应用

1.边角互化与三角公式结合

2.与平面向量结合

3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状

4.三角形中的最值问题

(1)最大(小)角

(2)最长(短)边

(3)边长或周长的最值

1

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2 (4)面积的最值

(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值

(6)基本不等式与余弦定理交汇

(7)与二次函数交汇

六．图形问题

1.三角形内角之和和外角问题

2.三角形角平分线问题

3.三角形中线问题

4.三角形中多次使用正、余弦定理

5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用

6.四边形与正、余弦定理

六．解三角形的实际应用

1.利用正弦定理求解实际应用问题

2.利用余弦定理求解实际应用问题

3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题

一．正弦定理

1.角角边

30,45,2,.ABC A B a ?=?=?=例.在中,解三角形

,30,45, .ABC A B a c ?=?=?==练习1.在中则

30.ABC C A a b ?=?=?=练习2.在中,已知45,,求

2.边边角

.45,.ABC a ?===?例中，解这个三角形

. 1,2,sin ABC a b A C B C ?==+==练习1中,

则,3,60,_____ABC c b C A ?===?=练习2.中则

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3 3.与三角公式结合

45,,,,,cos ,cos ,1,513例.△的内角的对边分别为若则ABC A B C a b c A C a b ====

11.5,45,sin ,______3ABC b B A a ?====练习在中，则 1tan ,150,1. 3

ABC A C BC AB ?==?==练习2.在中,若,则

4.正弦定理与三角形增解的应对措施

.ABC b c B C ?===?例.在中,已知1,45,求

例2．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )．

A ．有一种情形

B ．有两种情形

C ．不可求出

D ．有三种以上情形 .ABC b c B A ?===?练习1.在中,已知1,45,求

2,30,.ABC a c A C ?===?练习2.在中,求

5.边化角

.::3:2:1,::____________ABC A B C a b c ?=例已知的三个内角之比为那么对应的三边之比

等于.,,.)cos cos ,

________.ABC A B C a b c c A a C A ?-==练习1在中角??所对的边分别为?若则

.,,,,,,2cos(60),.o ABC A B C a b c b c a C A ?-=+练习2在中设所对的边分别为若求

.,,,,,2cos (cos cos ),练习3△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C

+=

6.正弦角化边

.,,ABC A B C A B C B ?==222sin 2sin cos sin sin sin 例在中,若且＋求

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4 0sin sin .

(1);

(2)75,2,,asinA csinC C b B B A b a c

?+-===练习1.在ABC 中,求若求

,,,,,sin ,cos _____ABC a b c a c B C A ?-=

==练习2.在中角所对的边分别为若则 ,,,,2(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C A ?=+-=-=练习3.已知分别为的三个内角的对边,,

且则________.

二．余弦定理

1.边边边

.1,2,__________ABC a b c A ====例在三角形中，若则

()537254A. B. C. D. 3633

ABC AB AC BC A ππππ?====练习.在中,,,,则

2.边角边

.,3,30,ABC b c A B C a ?==∠=例在中已知求角、和边的值

.3,1,60,________b c A a ====练习若则

3.边边角

,,,,2.,,cos ,2,_____3

a b ABC A B C c A a c b ?====例在中已知角所对的边分别为

则311cos ,_____4

ABC AB BC C AC ?====练习.在中,，则

,3,120,().1.2.3.4练习2在△中若则ABC AB BC C AC A B C D ==∠=?=

30,312,A. 4 B. 8 C. 4,8 D. ABC A a c ?=?==练习3.在中,已知且则 的值为

或无解

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5 4.与三角公式结合

1tan ,150,1. 3

ABC A C BC AB ?==?==例.在中,若,

则,,,,2,sin cos ABC a b c a b B B A ?==+=练习1.在中角所对的边分别为若则角的大小为____

2,,,,23cos cos 20,7,6,_____

ABC a b c A A a c b ?+====练习2.在锐角中角所对的边分别为若

则,,,sin 02,ABC A B C a b c A A a b c

?+===练习3.在中角??所对的边分别为??已知求

5.比例问题

::2:1),.ABC a b c A B C ?=+例.已知中,求、、

,,,,,2,cos _____ABC a b c a b c c a B ?==练习1.在中角所对的边分别为若、、成等比数列则2,,,___3练习2.在△中则b ABC A a c c

π∠=

==

6.余弦角化边 cos 2.,,,,cos C a c ABC A B C a b c B B b

-=例在三角形中,角,,所对的边分别为若求角 22,,,,2sin cos 3cos sin ,.

ABC a b c a c b A C A C b ?-==练习1.在中角所对的边分别为已知且求

7.边化余弦角

(

)222,A B C D ABC a c b ab C ?-+=?????例.中,则角大小为.60.45,或135.120.30

22210,cos 2

ABC a c b bc A ?---==练习1.中,则 (

)222,,,,tan _____,ABC a b c a c b B B ?+-==练习2.在中角所对的边分别为若则角

()()3ABC a b c a b c ab C ?+++-=练习3.在中,,求.

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6 三．三角形的面积公式

1.面积公式的选用

6016 ABC ABC A b S c ??=?===例.在中,,,则

1.,1,_____2

ABC AB BC B ?===练习已知的面积是则 ()()2

,,3sin sin sin 6cos cos 13.

,,,a ABC A B C a b c ABC A

B C

B C a ABC ??==?练习2.在中角??所对的边分别为??已知的面积为Ⅰ求Ⅱ若求的周长

2.面积的计算

30,2,ABC B AC AB ABC ?∠=?==?例.在中,若求的面积.

160, ABC ABC AB AC A S ??===?=练习.在中,,则

3.

sin cos ,2,3,tan .ABC ABC A A AC AB A S ??+===例.在中,求

的值和

120,4,.ABC ABC B b a c S ??=?=+=练习1.在中,若

求

12.,1,______2

ABC AB BC AC ===练习钝角三角形的面积是则 ()22,,,,6,,3ABC a b c c a b C ABC π

?=-+=?练习3.在中角所对的边分别为若

则的面积为_____

30,2,ABC B AC AB ABC ?∠=?==?练习4.在中,若求的面积.

四．射影定理

.,,,,,2cos (cos cos ),;例△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C += ,,.2cos cos cos ,_______

ABC A B C a b c b B a C c A B ?=+=练习1.在中角??所对的边分别为?

若则 ),,,,cos cos ,cos ______

ABC a b c c A a C A ?-==练习2.在中角所对的边分别为若

则

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7 五．正弦定理与余弦定理综合应用

1.边角互化与三角公式结合

,,,,cos sin 0,

ABC a b c a C C b c A

?+--=例.在中角所对的边分别为求 21.,,,,,,

2,23,ABC A B C a b c A C B b ac A +==练习在△中内角所对的边分别是求角的大小

2.,,,,,.

2cos .:2;练习在△中内角所对的边分别是已知证明ABC A B C a b c b c a B A B +== B C 3.,,,,,,

cos cos sin .:sin sin sin 练习在△中角所对的边分别是且证明ABC A B C a b c A A B C a b c

+==

4.sin()sin().244

2ABC A b C c B a B C πππ?=+-+=-=

练习在中,cos 求证

2.与平面向量结合 2.,2

33ABC AB AC AB AC BC A,B,C ??=?=例在已知,求角的大小 3.

tan 3tan cos ,5ABC AB AC BA BC B A C A ??=?==练习1.在中,(1)求证(2)若求的值

ABC ,,36,

3.,,ABC A B C a b c b AB AC S A a ??==-=练习2.在中角??所对的边分别为??已知求和

,,,,(,),(,) _,//____

,ABC a b c p a c b q b a c a p q C ?=+=--=练习3.在中角所对的边分别为若若则角,,,,(31),(cos ,sin ),cos cos sin ,_____

ABC a b c m n A A m n a B b A c C B ?=-=⊥+==练习4.在中角所对的边分别为向量，若且则角5.(22sin cos sin ),

(sin cos ,1sin ),ABC A B C p A A A q A A A p q A ?=-+=-+练习已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小

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8 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状

22sin cos ,cos sin a A B ABC ABC b A B

?=?例.在中,若判断的形状 cos sin ABC c a B b a C ?==练习1.在中,,,判断三角形形状.

cos cos ,ABC a A b B ABC ?=?练习2.在中,若判断的形状

(

),,,,,1,cos 1cos ,

. ... ABC A B C a b c b a B A A ABC B C D ?==-?等腰三角练习3.已知的内角的对边分别为若则的形状为直角三角形

形等腰直角三角形

等腰或直角三角形

4.三角形中的最值问题

(1)最大(小)角

_________

ABC ?例.已知,

则其最大角的余弦值为::2::1),ABC a b c ABC ?=+?练习.已知中,求的最大内角的大小

(2)最长(短)边

()(

)13,tan ,tan 45

ABC A B C ABC ?==?例.在中Ⅰ求角的大小Ⅱ若求最小边的边长

1,,tan ,c ,,,os 2,ABC A B C A B ABC a b c ?==?练习1.在中若最短边的边长角所对的边分别为求最长边的边长

0120ABC ABC ??的一个内角为,并且三边长构成公练习2.已知最长边的差为4的等差数列边长为_,

则_____

(3)边长或周长的最值

3,,,12

ABC B C A ABC AB ??例1.在中,角成等差数列且的面积为则边的最小值是_______

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9 ()()()()()()272cos sin 261? 2,,,,,3,2,2f x x x f x f x x ABC A B C a f A b c a b c π=

+=??=-- ???

?练习1.已知函数求函数的最大值

,并写出取最大值时的取值集合已知中,角的对边分别为若求实数的取值范围

060,2_____

ABC B AC AB BC ?==+练习2.在中,则

的最大值为,,,,,2cos 2,,ABC A B C a b c c B a b ABC S ab ?=+?=练习3.在中,角的对边分别是且若的面积为则的最小值为__________.()()()2

5,,cos 224121,A A B C ABC B C sin A AB AC BC AD ?++=?=-练习4.设角为的三个内角,已知求角的大小若求边上的高长的最大值

()()()()() 5.sin 0,02

12223f x p x p f x B ABC AC f C ABC ωωπ

π=>>???=

=? ???练习函数的最大值为2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为求函数的解析式

在中,,,求周长的最大值 ()()()()(

)6.sin 2cos 2.3

12,,,,2,.2

x f x m x x f x c ABC a b c f B b a π==-?==-练习已知是函数的图象的一条对称轴求函数的单调递增区间；在中角所对的边分别为若且求的取值范围 练习7．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若C p B sin sin =，且ABC ?是锐角三角形，求实数p 的取值范围．

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10 (4)面积的最值

,,,,,2,(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C ABC ?=+-=-?例.已知分别为的三个内角的对边且则面积的最大值为______

()()1.,,,,cos sin .

122,ABC a b c A B C a b C c B B b ABC ?=+=?练习在中，分别为所对的边,且求角的大小；

若求面积的最大值.

()() 2.,,,,cos cos .124,ABC a b c A B C a b C c B C c ABC ?-==?练习在中，分别为所对的边,且(2)求角的大小；

若求面积的最大值.

tan 33,,,,,1,tan .,,2B AB a b c c C B C C A C AB ?=?=角所对的边分练习在中的面积最大值为_别为且

则____ 222.,,,,,48,

sin 2sin 6sin sin ,ABC A B C a b c b c B C b A C ABC a ?+=+=?=练习4在锐角中,内角的对边分别是已知则的面积取最大值时有___.

练习5．已知锐角ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a=3，

A=60°,求面积的取值范围；

(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值

222,,,,,2cos a b c ABC A B C a b c C ?+=例1.已知分别为的三个内角的对边若则的最小值为

______sin 2sin ,cos ABC A B C C ?+=练习1.已知的内角满足则的最小值为______

tan tan ,,,,,,2(tan tan ).cos c 2;(2os (1):)cos .练习2.在△中角的对边分别为已知求证求的最小值a b c A B ABC A B C a b c A B B A

C +++==

,sin 2sin sin ,tan tan tan .练习3.在锐角三角形中则的最小值是ABC A B C A B C = ()(),,3cos 2cos ,

11tan ,3

2tan ,,,,ABC A B C a C c a b A A B B c ?==练习4.在中若若求角角所对的边分求别为的最小值

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11 22,,,,sin (1);(2)sin cos .

例2.在中角所对的边分别为且求的大小求的取值范围ABC a b c a b C B

A B C ?-==+

()()222,,,,,)4

sin sin ABC a b c S ABC S a b c C A B ??=

+-+练习1.在中角所对的边分别为设为的面积满足

Ⅰ求角的大小Ⅱ求

的最大值222,.

(1);(2)cos .

练习2.在△中求的大小的最大值ABC a c b B A C +=+∠+

(5)基本不等式与余弦定理交汇

()(

)22,,,,,12ABC A B C a b c tanA a b c ABC ?=A =+例.已知在锐角中角所对的边分别为且求角的大小

当,求的最大值并判断此时三角形的形状

()()(),,,,sin sin sin 125,ABC A B C a b c c C b B a b A C

c ABC ?-=-=?练习.在中,内角所对的边分别为且求角若求的面积的最大值

(5)与二次函数交汇

()()2.(22sin cos sin ),

(sin cos ,1sin ),32()2sin cos 2ABC A B C p A A A q A A A p q A C B f B B B ?=-+=-+-=+1例已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求

的大小

函数取最大值时,的大小

()()1.ABC ,,(2)cos cos (sin ,cos 2)(4,1)(1)5A B C a b c a c B b C

B m A A n k k m n k ?-===>?12练习在中角、、所对的边分别为、、且求的大小

设，

且的最大值为，求的值 练习2．设函数()cos cos21f x a x b x =++．

（1）当1,1b a ==时，求函数()f x 的值域；

（2）若1a =，对任意的实数x 函数()0f x ≥恒成立，求实数b 的取值范围；

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12 （3）若1b =，存在实数x

使得函数()2f x a ≥

成立，求实数a 的取值范围．

练习3．ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos

2

B C A ++取得最大值，并求出这个最大值。

六．图形问题

1.三角形内角之和和外角问题 53.,,sin ,cos ,135ABC D BC B ADC AD ?=

∠=例在中点在边上求 1,,,8,,2,cos ,37

sin ABC B AB D BC CD ADC BAD

π?∠=

==∠=∠练习1.如图在点在边上且求

,,,::2:3:6,ABC AD BC D BD DC AD BAC ?⊥=∠练习2.在中垂足为求

练习3．如图，在四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，7AC =．

（1）求cos CAD ∠的值；

（2）若7cos BAD ∠=-，21sin CBA ∠=，求BC 的长． 练习4如图，在凸四边形ABCD 中，D C ,为定点，3=CD ,B A ,为动点，满足1===DA BC AB ．

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13

（1）写出C cos 与A cos 的关系式；

（2）设BCD ?和ABD ?的面积分别为S 和T ，求22S T +的最大值．

2.三角形角平分线问题

()(),sin 21sin 2..

12ABC D BC AD BAC ABD ADC B AD DC BD AC C ?∠??∠==∠例中,是上的点,平分面积是面积的2倍求若,,求和的长

0,3,5,120,_______ABC D BC AD BAC AB AC BAC AD ?∠==∠==练习1.在中,在上,平分若则,2,1,1,____ABC ABC AB AC A AD S ??====练习2.在中的角平分线则

0,120,2,3,____ABC B AB A AD AC ?====练习3.在中的角平分线则

3.三角形中线问题

4665,sin .ABC AB B AC BD A ?===例.在中,已知边上的中线求 的值2,3,2,.ABC AB AC BC AD ABC S ?===?练习1.在中,已知边上的中线求的面积

()(),,,,,,,32,

2

cos =4

13,sin 23,ABC A B C a b c D AC a ABC c ACB BD ABC ?=∠=∠=?练习2.在中内角所对的边分别是为边的中点若求的值；若求的面积.

4.三角形中多次使用正、余弦定理

3,,6,32,,,4

ABC A AB AC D BC AD BD AD π∠====例.在△中点在边上求的长 0,45,,10,14,6,

_____

B D B AB

C C A

D AC DC AB ===?=已知是边上的一点且练习1.在中则的长为

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14 0,21,45,,9,15,_____

AB C D BC BD AD ABC AC =?===已知点在边上且

则的长为练习2.在中 3,sin ,2,,2,243,_____3ABC A ABC B D AC AD DC BD BC ∠====?已知点在线段上且则的长练为习3.在中

0,,3,

2,135,2,

ABC D BC BC BD AD ADB AC AB BD ?==∠===练习4.如图在中,为边上一点若则______

()()90,3,

1,,90,

1,2

150,tan ABC ABC AB BC P ABC BPC PB PA APB PBA

?∠===?∠==∠=∠练习5.如图在中为内一点Ⅰ若求Ⅱ若求

5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 2,6,4,.

ABCD AB BC CD DA ABCD ====例.已知圆内接四边形的边长分别为求四边形的面积 ()(),,,,.

1cos 1tan 2sin 2180,6,3,4,5,

tan

tan tan tan .2222A B C D ABCD A A A A C AB BC CD AD A B C D -=∠+∠=====+++练习1.如图所示为平面四边形的四个内角求证：若求的值

A B C

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15

1,3,2

.

ABCD A C AB BC CD DA C BD ABCD ====练习2：四边形的内角与互补,(1)求和；(2)求四边形的面积

6.四边形与正、余弦定理 ,75,2,ABCD A B C BC AB ∠=∠=∠==例.在平面四边形中则的取值范围是_____ 00,,5,7,60,15,ABCD AD CD AD AB BDA CBD BC ⊥==∠=∠=练习.在四边形中求

六．解三角形的实际应用

1.利用正弦定理求解实际应用问题

例.一艘船以32.2n mile / h 的速度向正北航行.在A 处看灯塔S 在船的北偏东20o 的方向，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65o 的方向，已知距离此灯塔6.5nmile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？

练习1.如下图所示,A 、B 两点都在河的对岸(不可到达),在河岸边选定两点C 、D ,测得CD

＝

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16 400米,并且在C 、D 两点分别测得∠BCA ＝60°,∠ACD ＝30°,∠CDB ＝45°,∠BDA ＝60°,求AB 长．

练习2.如下图所示,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得∠BCD ＝α,∠BDC ＝β,CD ＝s ,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB

.

2.利用余弦定理求解实际应用问题

02(sin 380.62,28784)A B ??≈150121010练习:缉私巡逻艇在一小岛南偏西的方向,距小岛海里的处,

发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向小岛北偏西的方向行驶,

测得其速度为每小时海里,问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向

航行才能恰在两个小时后截获该走私船？参考数据：=

练习1.如下图所示，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°方向航行67.5海里后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0海里后达到海岛C .如果下次行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到

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17 0.01海里

)

3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题

1.()

2(cos )30020/10

45.6010/.O km P km h km km h θθ=?例某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市如图东偏南方向海面处,并以的速度向西偏北方向移动台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为,并以的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

练习1.某沿海四个城市A 、B 、C 、D 的位置如图所示，其中60ABC ∠=?，

135BCD ∠=?，80AB =n mile ，40303BC =+n mile ，2506CD =n mile .现在有一艘轮船从A 出发以50n mile/h 的速度向D 直线航行，60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市C 的距离是 n mile ．

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18

练习2.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点. 从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=. 已知山高100BC =m ，则山高MN =________m. N

A B

M

C

练习3.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tiy1.html