2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 平面解析几何(教师版

- 1 - 平面解析几何

一、高考预测

解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用． 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．

解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．

二、知识导学

(一)直线的方程

1.点斜式：)(11x x k y y -=-；

2. 截距式：b kx y +=；

3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；

4. 截距式：1=+b y a x ；

5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.

(二)两条直线的位置关系

两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

设直线1l ：y =1

k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则 1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.

(三)圆的有关问题

1.圆的标准方程 222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.

特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+.

2.圆的一般方程

022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程， 其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.

- 2 - 当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（

2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.

3.圆的参数方程

圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

222r y x =+ ? cos sin x r y r θθ=??=? （θ为参数）

222)()(r b y a x =-+- ? cos sin x a r y b r θθ=+??=+? （θ为参数）

(四) 椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .

2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122

22=+b x a y （a ＞b ＞0）.

3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大

于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

(五)椭圆的简单几何性质

1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）.

⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.

线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

- 3 - ⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比

a c e =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程

度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、

a c e =两个关系，因此确定椭圆的标

准方程只需两个独立条件.

(六)椭圆的参数方程 椭圆122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?（θ为参数）.

说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b =；

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程122

22=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而

得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

(七)双曲线及其标准方程

1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.

若

1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”

.

- 4 - 2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122

22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，

其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同

.

1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线122

22=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，

0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是

c a x 2-=和c a x 2

=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有a c e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立

的条件.

(九)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。

需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线。

2．抛物线的方程有四种类型：22y px =、22y px =-、22x py =、

22x py =-. 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。

3．抛物线的几何性质，以标准方程y 2=2px 为例

（1）范围：x ≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；

（5）准线方程

2p x =-

；

- 5 - （6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1），F

为抛物线的焦点，对于四种抛物线的的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.

注意事项

1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k 反映了直线相对于x 轴的倾斜程度.当斜率k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a （a ∈R ）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k 存在与否，要分别考虑.

⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a 、b 分别是直线在x 轴、y 轴上的截距，因为a ≠0，b ≠0，所以当直线平行于x 轴、平行于y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.

⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.

⑷当直线1l 或2l 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.

2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x 轴上还是y 轴上，还是两种都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a 、b 、c 、e 间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标

准方程后，运用待定系数法求解.⑷双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为

02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是

x n m y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2

222，其中k 是一个不为零的常数.⑸双曲线的标准方程有两个12222=-b y a x 和122

22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p 的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.

解题的策略有：1、注意直线倾斜角范围 、设直线方程时注意斜率是否存在，可以设成 ，

- 6 - 包含斜率不存在情况，但不包含斜率为0情况。注意截距为0的情况；注意点关于直线对称问题（光线的反射问题）；注意证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离；注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。3、注意圆与椭圆、三角、向量（注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化）结合；4、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最大值，只有当三点共线时才取得最值；5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在轴上时为 ，焦点在 轴上时为 ；注意化抛物线方程为标准形式（即2p 、p 、的关系）；注意利用比例思想，减少变量，不知道焦点位置时，可设椭圆方程为 。6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题；熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一般有：①“ 法”；②离心率 的范围；③自变量 的范围；④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围；注意寻找两个变量的关系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法， 注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常见方法：①直接法；★②几何法；★③定义法；★④相关点法； 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；注意将有关向量的表达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。

三、易错点点睛

命题角度1对椭圆相关知识的考查

1．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F l PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) 12.22.21

2.22

.---D C B A

[考场错解] A

[专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把|||

|21PF PF 当作离心率．

[对症下药] D 设椭圆的方程为

22

22b y a x +=l (a ，b >0) 由题意可设|PF 2|=|F 1F 2|=k ，|PF 1|=2k ，则e=12222-=+=k k k a c 2．设双曲线以椭圆

9252

2y x +=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )

A ．±2

B ．±34

C ．±21

D ．±43

[考场错解] D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆

9252

2y x +=1长轴的两个端点为焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=43±=±a

b [专家把脉] 没有很好理解a 、b 、

c 的实际意义．

[对症下药] C 设双曲线方程为22

22b y a x -=1，则由题意知c=5，c a 2=4 则a 2=20 b 2=5，而a=25 b=5∴双曲线渐近线斜率为±a b =21±

- 7 -

3．从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程2

2

n y m x +

=1中的m 和n ，则能组成落

在矩形区域B={(x ，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( ) A ．43 B ．72 C ．86 D ．90

[考场错解] D 由题意得，m 、n 都有10种可能，但m ≠n 故椭圆的个数10310-10=90． [专家把脉] 没有注意，x 、y 的取值不同．

[对症下药] B 由题意得m 有10种可能，n 只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m ≠n ，故椭圆的个数：1038-8=72．

4．设直线l 与椭圆16252

2y x +=1相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2-y 2=1

相交于C 、D 两点，C 、D 三等分线段AB ，求直线l 的方程 ( )

[考场错解] 设直线l 的方程为y=kx+b 如图所示，l 与椭圆，双曲线的交点为A(x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有,==3

由)1(0)40025(50)2516(116252222

2

=-+++?????=+

+=b bkx x k y x b

kx y 得所以

x 1+x 2=-.2516502

k bk

+ 由?????=-+=122y x b kx y 得(1-k 2)x 2-2bkx-(b 2+1)=0

(2) 若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1

所以x 3+x 4=212k bk

-、由?=x 3-x 1=x 2-x 4 ?x 1+x 2=x 3+x 4?-?

-=

+2

212251650k bk k

bk

bk=0或b

=0

①当k=0时，由(1)得x 1、2=±2

1645

b - 由(2)得x 3、4=±12+b 由123x x CD AB -?==3(x 4-x 1)即1316

16164

1022±

=?+=-b b b 故l 的方程为y=±1316 ②当b=0时，由(1)得x 1、2=±2251620

k +，由(2)得x 3、4=

211

k -±

由123x x CD AB -?==3(x 4-x 3)

即.25

16,251616

251640

2

2

x y l k k k

±=±

=?-=

+的方程为故综上所述：直线l 的方程为：y=x

y 2516

,13

16=±

[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解． [对症下药] 解法一：首先讨论l 不与x 轴垂直时的，情况．

设直线l 的方程为y=kx+b ，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x 1，y 1)、B(x 2， y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有CD AB BD AC 3,==．由?????=+

+=.11625,2

2y x b kx y 得

(16+25k 2)x 2+50bkx+(25b 2-400)=0．(1) 所以x 1+x 2=-.2516502k bk

+由?????=-+=.1,

22y x b kx y 得

(1-k 2+x 2-2bkx-(b 2

+1)=0．

若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1．所以x 3+x 4=2

12k bk

- 由?-=-?=4213x x x x BD AC x 1+x 2=x 2+x 4

012251650=?=?-=

+-

?k bk k bk k bk 或 b=0．

- 8 - ①当k=0时，由(1)得.164522,1b x -±=由(2)得x 3、4=±12+±b 由3312=-?=x x CD AB (x 4-x 3)． 即.13161164

1022±=?+=-b b b 故l 的方程为 y=±1316 ②当b=0时，由(1)得x 1、2=2251620k +±

自(2)得x 3、4=33,11

122

=-?=-±x x k 由(x4-x3)．即.25161625164022±=?-=+k k k 故l 的方程为y=x 2516±．再讨论l 与x 轴垂直时的情况．

设直线l 的方程为x=c ，分别代入椭圆和双曲线方程可解得y l 、2=

.25542c -±

y 3、4=.||3||||3||.134122y y y y c -=-?=-±由即.24125,2412516255822=±=?-=-x l c c c 的方程为故

综上所述，直线l 的方程是：y=2516±x 、y=±1316和x=24125±

x 3、4=.12+±b ∵x 2-x 1=3(x 4-x 3)

410?1316161622±=?+=-b b b ．故l 的方程为y=±1316 ②当y 0=0，x 0≠0，由(2)得x 4=x 3≠0，这时l 平行y 轴．设l 的方程为x=c ，分别代入椭圆、双曲线方程得：y l 、2=

,25542c -±y3、4=.12-±c ∵y 2-y 1=3(y 4-y 3)2412516255

822±=?-=-?c c c 故l 的方程为：

24125±=x ③当x 0=0，y 0=0时，这时l 通过坐标原点且不与x 轴垂直．设l 的方程为y=kx ，分别代入椭

圆、双曲线方程得：x 1、2=

.11,251620

24,32k x k -±

=+±.2516)(33412±=?-=-k x x x x 故l 的方程为

- 9 - y=

.2516x y ±=综上所述，直线l 的方程是：y=x 2516±、y=1316±和x=.24125±

5．设A 、B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线

与椭圆相交于C 、D 两点． (1)确定A 的取值范围，并求直线AB 的方程； (Ⅱ)试判断是否存在这样的A ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)

[考场错解] (1)设A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)则有:??????=+=+λλ2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y l -y 2)(y l +y 2)=0 依题意，x 1≠x 2 ∴k AB -2121)

(3x x y y ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2,y l +y 2=6从而k AB =-9又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<3312+32

=12 ∴λ的取值范围是(-∞，12)直线AB 的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0

[专家把脉] ①用“差比法”求斜率时k AB =

2)(3121y y x x ++-这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3312+32=12应用结论时也易混淆．

[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB 的方程为y=A(x-1)+3，代入3x 2+y 2=λ，整理

得(k 2+3)x 2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．① 设A(x 1，y 1)、B(x 2、y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个

不同的根，

∴△=4[λ(k 2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x 1+x 2=3)

3(22+-k k k ，由N(1，3)是线段AB 的中点，得1221=+x x ，

∴A(k-3)=k 2

+3．解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)．于是，直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．

解法2：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有??????=+=+λλ2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0 依题意，x 1≠x 2，∴k AB =-2121)

(3y y x x ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y l +y 2=6，从而k AB =-1．又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3312+32

=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．

(Ⅱ)解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，

整理得4x 2+4x+4

又设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为M(x 0，y 0)，则x 3， x 4是方程③的两根，∴x 3+x 4=-1，

且x 0=21(x 3+x 4)=-21，y 0=x 0+2=23，即M(-21，23

)．于是由弦长公式可得|CD|=.)3(2||)1(1432-=-?-+λx x k ④将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x 2-8x+ 16-

λ=0 ⑤同理可得|AB|=

.)12(2||.1212-=-+λx x k ⑥ ∵当λ>12时，)3(2-λ>)12(2-λ,∴|AB|<|CD|

假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心．点M 到直线

AB 的距离为d=.2232|42321|2|4|00=-+-=-+y x ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d 2+.|2|2321229|2|

22CD AB =-=-+=λλ

故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|2|CD 为半径的圆上． (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A 、B 、C 、D 共圆?△ACD 为直角三角形，A

- 10 - 为直角?|AN|2 =|CN|2|DN|，即)2||)(2||()2(

2d CD d CD AB -+=. ⑧

由⑥式知，⑧式左边=212

-λ,由④和⑦知，⑧式右边=

,212)29232232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-λλλλ

∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，

∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③

将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得4x 2-8x+16-λ=0．⑤

解③和⑤式可得 x l ，2=.231,21224,3-±-=-±λλx 不妨设A(1+)233,231(),233,231(,12213,1221-+-+---------λλλλλλD C

)2

1233,23123()21233,23123(

-------+=---+-+-+=∴λλλλλλλλCA 计算可得0=?CA CA ,∴A 在以CD 为直径的圆上．又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．

(注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD)

专家会诊 1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等．

命题角度2对双曲线相关知识的考查

1．已知双曲线x 2-22

y =1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且021=?MF MF ，则点M 到x 轴的距离为 ( )

3.332.35.3

4.D C B A

[考场错解] B

[专家把脉] 没有理解M 到x 轴的距离的意义． [对症下药] C 由题意得a=1，b=2，c=3可设M (x 0，y 0)|MF 1|=|ex 0+a|=|3x 0+1|，

|MF 2|= |ex 0-a|=|3x 0-1| 由|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2得 x 02=.332||,343

5020==y y 则 即点M 到x 轴的距离为.332 2．已知双曲线22

22

b y a x -=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22

a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

[考场错解] B

[专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．

[对症下药] D 由题意得A(c ab c a ,2)s △OAF =212c 2b a a ab c ab =?==2212

，则两条渐近线为了

- 11 - y=x 与y=-x 则求两条渐近线的夹角为90°．

解不等式，得.525,01.5452≤≤>>≤≤e e e e 的取值范围是所以由于

专家会诊 1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏． 3．掌握参数a 、b 、c 、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用．

命题角度3对抛物线相关知识的考查。

1．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，

则这样的直线 ( )

A.有且仅只有一条 B ．有且仅有两条 C.有无穷多条 D ．不存在

[考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 234=8 5<8，故不存在这样的直线．

[专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p 的意义．

[对症下药] B 解法一：由题意得P=2，通径长为4，而|AB|=x 1+x 2+p=7，由7>4，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k 有两个值，即直线有且仅有两条．

2．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点在抛物线y=2x 2上，l 是AB 的垂直平分线． (1)当且仅当x 1+x 2

取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F?证明你的结论； (Ⅱ)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．

[考场错解] (Ⅱ)，设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y=2x+b ，过点A 、B 的直线方程可写为y=

,21m x +-与y=2x 2联立得2x 2+21x-m=0．得x 1+ x 2=-41；设AB 的中点N 的坐

标为(x 0，y 0) 则x 0=21(x 1+x 2)=-81,y 0=-21x 0+m=161+m ．由N ∈l,得161+m=-41+b ，于是b=16516

5≥+m 即得l 在y

- 12 - 轴上截距的取值范围为[+∞,165].

[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m>

321-，无法进一步求出b 的范围，只好胡乱地把

m 当作大于或等于0．

[对症下药] (1)F ∈l ?|FA|=|FB|?A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的

准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意 y 1、y 2不同时为0， ∴上述条件等价于y l =y 2?x 12

=x 22 (x 1+x 2)(x 1-x 2)=0；

∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于 x 1+x 2=0． 即当且仅当x 1+x 2=0时，l 经过抛物线的焦点F 。 (Ⅱ)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y=2x+b 过点A 、B 的直线方程可写为y=-21x+m ，所以x 1、x 2满足方程2x 2+21x-m=0，得x 1+x 2=-41

； A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式

41=?+8m>0，即m>321-设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0=21(x 1+x 2)=-81，y 0=-21x 0+m=161

+m

由N ∈l ，得161+m=-41+b ，于是b=165+m>329321165=- 即得l 在y 轴上截距的取值范围为(329，+∞)．

3．如图，过抛物线y 2

=2px(p>0)上一定点p(x 0，y 0)(y 0>0)，作

两条直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．(1)求该抛物线上纵坐标为2P

的点到其焦点F 的距离； (Ⅱ)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求02

1y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．

[考场错解] (1)当y=2p 时，x=8p

又抛物线的准线方程为

x=-P ，由抛物线定义得，所求距离为.89)(8

p p p =-- (Ⅱ)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y 21=2px 1,y 2

0=2px 0

相减得(y l -y 0)(y 1+y 0)=2P(x 1-x 0) 故k PA = 012y y P

+(x 1≠x 0)．

同理可得k pB =012y y P +(x 2≠x 0)由k PA =-k PB 得y 0=-2 (y l +y 2

)故.21021-=+y y y 设直线AB 的斜率为k AB 。由y 22=2px 2,y 21=2px 1 相减得 (y 2-y 1)(y 2+y 1)=2P(x 2-x 1)

故k AB =).

()(221211212x x y y p x x y y ≠+=--将y 1+y 2=-21y 0(y 0>0)代入得k AB =-04y p 故k AB 是非零常数． [专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确．

[对症下药] (1)当y=2p 时，x=8p ，又抛物线y 2= 2px 的准线方程为x=2p

， 由抛物线定义得，所求距离为8p -(-2p )=.85p

(Ⅱ)设直线PA 的斜率为kPA ，直线PB 的斜率为k PB

由y 12=2px 1，y 20=2px 0相减得(y 1-y 0)(y l +y 0)=2P(x 1-x 0)，

故k PA =0101012y y p x x y y +=

--(x 1≠x 0)．同理可得k PB =012y y p +(x 2≠x 0)．

由PA 、PB 倾斜角互补知k PA =-k PB ，即012y y p +=-022y y p

+，所以y l +y 2=-2y 0，

- 13 - 故02

1y y y +=-2. 设直线AB 的斜率为k AB

由y 22=2px 2，y 21=2px l

相减得(y 2-y 1)(y 2+y 1)=2p(x 2-x 1)， 所以

).(221211212x x y y p x x y y k AB ≠+=--= 将y l +y 2=-2y 0(y 0>0)代入得

,2021y p y y p k AB -=+=所以k AB

是非零常数． 4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO(如

图所示)．

(1)求△AOB 的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方

程；

(Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；

若不存在，请说明理由．

[考场错解]（Ⅰ）设△AOB 的重心为G(x,y)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)

则

)1(332121???????+=+=y y y x x x ∵OA 0=?∴⊥OB OA OB x 1x 2+y l y 2=0(2)

又点A 、B 在抛物线上，有y 1=x 12，y 2=x 22

代入(2)化简得x l x 2=0或-1

∴y=31)(313

222121=+=+x x y y [（x 1+x 2）2-2x 1x 2]=3x 2+32或3x 2，故重心为G 的轨迹方程为y=3x 2或y=3x 2+32

. [专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB 不存在

[对症下药] （Ⅰ）设△AOB 的重心为G(x,y)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)则)1(332

121???????+=+=y y y x x x

)2(0,12121=+-=?∴⊥y y x x k k OB OA OB OA 即 又点A 、B 在抛物线上，有y 1=x 12，y 2=x 22

代入(2)化简得x l x 2=-1

∴y=31)(313

222121=+=+x x y y [（x 1+x 2）2-2x 1x 2]=32)3(312+?x =3x 2+32所以重心为G 的轨迹方程为y=3x 2+ 32

(Ⅱ)S △AOB =22211222222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA +++=++=

由(1)得S △AOB =12212)1(2212221221662616261=?=+-=+?≥++x x x x

当且仅当x 16=x 26

即x 1=-x 2=-1时，等号成立。所以△AOB 的面积存在最小值，最小值为1。

- 14 - 专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

∴(x 1，y l -1)=125(x 2，y 2-1)由此得x 1=125

x 2，由于x 1， x 2都是方程①的根，且1-a 2≠0，所以

222222212125,121217a a x a a x -=--=消去x 2得.1317602891222±=∴=--a a a

[专家把脉] (1)没有考虑到1-a 2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0．

[对症下药] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组?????=+=-1,1222

y x y a x

有两个不同的实数解，消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x +2a 2x-2a 2=0所以?????>-+≠-0)1(84012242a a a a 解

得026

且e

≠

e 的取值范围为(26

)∪(2)．

(Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0，1)．∵PB PA 125=∴(x 1,y 1-1)=125(x 2,y 2-1)由此得x 1=125x 2，

由于x 1，x 2都是方程①的根，且1-a 2≠0，所以1217x 2=-

22222212125,12a a x a a --=-，消x 2，得-602891222

=-a

a ，由a>0，所以a=1317

2．给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点 (1)设l 的斜

率为1，求OA 与OB 夹角的大小； (Ⅱ)设AF FB λ=，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围．

- 15 - [考场错解] (1)设OA 与OB 夹角为α；由题意l 的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y 2=4x 得x 2

-6x+1=0设A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)则有x 1+x 2=6，x 1x 2=1．易得OA 2OB =x 1x 2+y 1y 2=-3，41||||22222121=+?+=y x y x OB OA cos α=41413-

=∴α=-arccos

(Ⅱ)由题意知AF FB AF FB λλ=∴=，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'． ∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'| ∴|BB ’|=λ|AA'|，λ∈[4， 9]

设l 的方程为y=k(x-1)由?????=-=x y x k y 4)1(2得k 2x 2-(2k 2 +4)x+k 2=0

∴x=

222122k k k +±+∴|AA'|=222122k k k +-++l =

2221

2)1(2k k k +-+ |BB'|=2

2222212)1(2122k k k k k k +++=+++ ]43,34[)0(912)1(21

2)1(241

2)1(212)1(2|'||'|22222222--∈∴<≤+-++++≤∴=+-++++=∴k k k k k k k k k k AA BB λ

[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义．(Ⅱ)思路不清晰．

[对症下药] (1)C 的焦点为F(1，0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为了y=x-1．

将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有x l +x 2=6，

x 1x 2=1．

OB OA ?=(x 1，y 1)2(x 2,y 2)=x 1x 2+y l y 2=2x 1x 2-(x 1 +x 2)+1=-3．

所以O 与O 夹角的大小为π-arc cos 4141

3(Ⅱ)由题设AF FB λ=得 (x 2-1，y 2)=λ(1-x 1，-y 1)，

即???-=-=-1212),1(1y y x x λλ由②得y 22=λ2y 21．∵y 21=4x 1，y 22=4x 2，∴x 2=λ2x 1 ③

联立①、③解得x 2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直线

- 16 - .

3212+-=e λ

(2)当|PF 1|=|F 1F 2|时，同理可得222222]1)3([]1

)3([c e c e c e c

e -+--+-解得e 2=3于是λ=1-3=-2．

(3)当|PF 2|=|F 1F 2|时，同理可得2222]1)3([]1)3([c e c

e c e c e -+---+-=4c 2 解得e 2=1 于是λ=1-1=0

综上所述，当λ=32

或-2或0时△PF 1F 2，F 2为等腰三角形．

[专家把脉] (1)没有注意到因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围．

[对症下药] (1)证法一：因为A 、B 分别是直线l ：y= ex+a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、

B 的坐标分别是(-0,e a )(0,a). 由.,,,1,2222222b a c c b y c x b y a x a ex y +==-=?????=++=这里得

所以点M 的坐标是(-c,a b 2

)，由AB AM λ=得(-c+a b e a 2,)=λ(e a ，a)． 即

221e a a b e a c e a -=???????==-λλλ解得 证法二：因为A 、B 分别是直线l:y=ex+a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是(-e a ，

0)，(0，a)，设M 的坐标是(x 0，y 0)，由AB AM λ=得(

a e a x ,0+)，

- 17 - 所以

?????=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以220220b y a x +=1， 即.11)1(,1)()]1([22222222

=-+-=+-e e b a a e a λλλλ所以e 4-2(1-λ)e 2+(1-λ)2=0，解得e 2=1-λ 即λ

=1-e 2

．

(Ⅱ)解法一：因为PF 1⊥l ，所以 ∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|,即21|PF 1|=c. 设点F 1到l 的距离为d ，由21|PF 1|=d ， =

c e ec a e a c e =+-=+++-221||1|0)(|,得 2211e e +-=e ．所以e 2=31，于是λ=1-e 2=32.即当λ=32时，△PF 1F 2为等腰三角形．

解法二：因为PF 1⊥l ，所以，∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|,设点P 的坐标是(x 0，y 0)， 则???????+-=+-=+-a c x e y e c x y 220100000解得???????+-=+-=.1)1(2,13220220e a e y e e x 由|PF 1|=|F l F 2|得222222]1)1(2[]1)3([+-+++-e a e c e c e =4c 2，

两边同时除以4a 2，化简得1)

1(12+-e e =e 2．从而e 2=31于是λ=l-e 2=32．即当λ=32

时，△PF 1F 2为等腰三角形．

4．抛物线C 的方程为y=ax 2(a<0)，过抛物线C 上一点P(x 0，y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1，k 2的两条

直线分别交抛物线C 于A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)两点(P 、A 、B 三点互不相同)，且满足k 2+λk 1=0(λ≠0且λ≠-1)．

(Ⅰ)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)设直线AB 上一点M 满足BM =λMA ，证明线段PM 的中点在y 轴上 (Ⅲ)当A=1时，若点P 的坐标为(1，-1)，求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围．

[考场错解] (1)抛物线C 的方程y=ax 2

(a<0)得，焦点坐标为(4a ，0)准线方程为x=-4a

(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax 2上，故a=-1∴y=-x 2

由(Ⅱ)易得y 1=-(k 1+1)2，y 2=(k 2+1)2，因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标

为A(-k 1 -1,-k 21-2k 1-1)，B(k 1-1，-k 21+2k 1-1) 于是AP = (k 1+2,k 21+2k 1)，AB =(2k 1，4k 1)，=AB AP ,2k 1(k 1+2)(2k 1+1)因∠PAB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有AP 2AB <0易得k 1的取值范围是 k 1<-2或21

故当k 1<-2时，y<-1;当-21

即y 1∈ ．

[专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念．

[对症下药] (1)由抛物线C 的方程y=ax 2

(a<0)得，焦点坐标为(0，a 41)，准线方程为y=-a 41

． (Ⅱ)证明：设直线PA 的方程为y-y 0=k 1(x-x 0)，直线 PB 的方程为y-y 0=k 2(x-x 0)． 点P(x 0，y 0)和2点A(x 1，y 1)的坐标是方程组?????=-=-)2()1()(2010ax y x x k y y

的解．将②式代入①式得ax 2-k 1x+k l x 0-y 0=0，于是 x 1+x 0=a k 1，故x 1=a k 1

-x 0③

- 18 - 又点P(x 0，y 0)和点B(x 2，y 2)的坐标是方程组?????=-=-)5()4()(2010ax y x x k y y

的解．将⑤式代入④式得ax 2-k 2x+k 2x 0-y 0=0．于是x 2+x 0=a k 2，故x 2=a k 2

-x 0, 由已知得，k 2=-

λk l ，则x 2=01x k a --λ⑥设点M 的坐标为(x M ,y M )，由BM =λMA ，则x M =λλ++112x x .将③式和⑥式代入上式得-=+--=λλ100x x x M x 0，即x M +x 0=0．所以线段PM 的中点在y 轴上．

(Ⅲ)因为点P(1，-1)在抛物线y=ax 2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x 2

．由③式知x 1=-k 1-1，

代入y=-x 2得y 1=-(k 1+1)2．将λ=1代入⑥式得x 2=k 1-1，代入y=-x 2得y 2=- (k 2+1)2．因此，直

线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为 A(-k 1，-1，-k 21-2k 1-1)，B(k 1-1，-k 12+2k 1-1)． 于是AP =(k 1+2，k 12+2k 1)，AB =(2K 1，4K 1)，AB AP ?=

2k 1(k 1+2)+4k l (k 12+2k 1)=2k 1(k 1+2)(2k 1+1)．因∠PAB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有

AB AP ?<0．求得k 1的取值范围是k 1<-2或-21

当k 1<-2时， y 1<-1；当-21

)． 专家会诊 1．判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆．2．涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错．3．涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。

命题角度5对轨迹问题的考查

1．(典型例题)已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x 的准线重

合，则该双曲线与抛物线y 2=4x 的交点到原点的距离是 ( ) A.263+ B ．21 C ．18+122 D ．21

[考场错解] C

[专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻．

[对症下药] B 设双曲线方程为22

22

b y a x -=1，由题意得1,32

-=-=c a a c 则a=3b=6，则双曲线方程为6322y x -=1,由?????==-x y y x 416322

2得A （3，23），故交点到原点的距离为

.21)32(322=+

2．(典型例题)已知点A （-2，0）、B(3，0)，动点P(x ，y)满足PB PA ?=x 2

，则点P 的轨迹是

- 19 - (Ⅱ)直线l 1:kx-y=0 直线l 2:kx+y=0由题意得 1|

|2+-k y kx 21||2++k b kx =d 2即1||2222+-k y x k =d 2

∴k 2x 2-y 2±(k 2+1)d 2=0故动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2±(k 2+1)d 2=0

(Ⅲ)略

[专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成．

[对症下药] 解：(I)W 1={(x ，y)|kx0}，

(Ⅱ)直线l 1:kx-y=0 直线l 2:kx+y=0，由题意得1||2+-k y kx 21||2++k b kx =d 2，即12

22+-k y x k =d 2，

由P(x ，y)∈W ，知k 2x 2-y 2>0，所以122

22+-k y x k =d 2，即k 2x 2-y 2-(k 2+1)d 2

=0，

所以动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2-(k 2+1)d 2=0；

(Ⅲ)当直线J 与，轴垂直时，可设直线J 的方程为，x=a (a ≠0)．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为(a ，0)，所以△OM 1M 2，△OM 3M 4

的重心坐标都为(32

a ，0)，即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线J 的方程为y=mx+n(n ≠0)．

- 20 - 由?????+==+--n mx y d k y x k 0)1(22222, 得(k 2-m 2)x 2-2mnx-n 2-k 2d 2-d 2=0

在△QF 1F 2中a Q F OT ==||211故有x 2+b 2= a 2(x=±a)

(Ⅲ)C 上存在M(x 0，y 0)使s=b 2的充要条件是：?????=?=+)2(||221)1(2022020b y c a y x

又1=(-C-x 0-y 0)，2MF =(c-x 0,y 0)由1MF 22MF =x 02-c 2+y 20=a 2-c 2=b 2

即||||21MF cos ∠F 1MF 2=b 2又s=||||2121MF MF sin ∠F l MF 2得tan ∠F l MF 2=2

[专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面．

[对症下药] (1)证法一：设点P 的坐标为(x ，y)．由P(x ，y)在椭圆上，得 .)()()(||2222

22221x a c a x a b b c x y c x P F +=-++=++= 2

由|x|≤a ，知a+x a c ≥-c+a>0，所以||1P F =a+a c x ．

证法二：设点P 的坐标为(x ，y)．记,||,||2211r F r F ==

则r 1=22)(y c x ++，r 2=22)(y c x ++.

由r 1+r 2=2a ，r 2

1-r 2

2=4cx ，得||1P F =r 1=a+x a c ． 证法三：设点P 的坐标为(x ，y)．椭圆的左准线方程

a+x a c =0．

- 21 - 由椭圆第二定义得a

c c a x P F =+|||

|2

1即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=

由x ≥-a ，知a+x a c ≥-c+a>0，所以||1P F =a+x a c (Ⅱ)解法一：设点T 的坐标为(x ，y)．当||PT =0时，点(a ，0)和点(-a ，0)在轨迹上．当0||≠PT 且0||2≠TF 时，由||||2TF PT ?=0，得.||2TF TP ⊥又||||2PF PQ =，所以T 为线段F2Q 的中点．在

△QF 1F 2中，||21||1F =

=a ，所以有x 2+y 2=a 2综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2+y 2=a 2 解法二：设点T 的坐标为(x ，y)．当||||=0时，点(a ，0)和点(-a ，0)在轨迹上． 当0||≠PT 且02≠TF 时，由02=?TF PT 又|PQ |=|2PF |，所以T 为线段F 2Q 的中点．

设点Q 的坐标为(x'，y')，则,.2'2'?

??????=+=y y c x x 因此???=-=.2',2'y y c x x ①由||1Q F =2a 得(x'+c)2+y'2=4a 2．② 将①代入②，可得x 2+y 2=a 2．综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2+y 2=a 2

(Ⅲ)解法一：C 上存在点M(x 0，y 0)使S=b 2的充要条件是??????=+)4.(||221)3(,2022020b y c a y x

由③得，|y 0|≤a ，由④得，|y 0|≤c b 2，所以，当a ≥c b 2

时，存在点M ，使S=b 2；

当a

， .2tan ,sin ||||21,

cos ||||2122121212121=∠=∠?=∠?=?MF F b MF F MF MF S MF F MF MF MF MF 得

解法二：C 上存在点M(x 0，y 0)使S=b 2的充要条件是?????=?=+)4.(||221)3(,2020202b y c a y x

由④得|y 0|c b 2≤，上式代入③得x 20=a 2-4c b =(a-c b 2) (a+c b 2

)≥0．

于是，当a ≥c b 2时，存在点M ，使s=b 2;当a

时，不存在满足条件的点M ．

当a ≥c b 2时，记k 1=k F1M =,,002200c x y k k c x y M F -==+ 由|F 1F 2|<2a,知∠F 1MF 2<90°，所以tan ∠F 1MF 2=|1|212

1k k k k +-=2．

专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起．(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除．

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