高三数学一轮复习精品导学案：第八章 平面解析几何（8.2直线与圆

高三数学一轮复习精品导学案：第八章 平面解析几何

第二节 直线与圆

【高考目标定位】

一、圆的方程 （一）考纲点击

1、掌握确定圆的几何要素；

2、掌握确定圆的标准方程与一般方程。 （二）热点提示

1、能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程； 2、直线和圆的位置关系是考查的热点；

3、本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现，属中低档题目。 二、直线、圆的位置关系 （一）考纲点击

1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；

2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 （二）热点提示

1、直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题，主要考查： （1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断； （2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围； （3）利用相切或相交求圆的切线或弦长。

2、本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。

【考纲知识梳理】

一、圆的方程 1．圆的定义

（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。 2．圆的方程 方程 圆心坐标 半径 r 圆的标准方程 圆的一般方程 (x?a)2?(y?b)2?r2(r?0) （a,b） x2?y2?Dx?Ey?F?0 ?DF???,?? 2??21D2?E2?4F 222注：方程x?y?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是D2?E2?4F?0

3．点与圆的位置关系

已知圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，点M(x0,y0)。则： （1）点在圆上：(x0?a)2?(y0?b)2?r2； （2）点在圆外：(x0?a)2?(y0?b)2?r2； （3）点在圆内：(x0?a)2?(y0?b)2?r2。 4．确定圆的方程方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组； （3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。

注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）

二、直线、圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 几何特征（圆心到直线的距离d，半相离 0个 相切 1个 相交 2个 d?r d?r d?r 径r） 代数特征（直线与圆的方程组成的方程组） 无实数解 有两组相同实数解 有两组不同实数解 注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。

2．圆与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 几何特征（圆心距d，两圆半径R，r，外离 0 外切 1 相交 2 内切 1 内含 0 d?R?r d?R?r R?r?d?R?r d?R?r d?R?r R?r） 代数特征（两个圆的方程组成的方程组） 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 【热点难点精析】

一、圆的方程 （一）圆的方程的求法 ※相关链接※

1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.

2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为：x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0),由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。

3．以

为直径的两端点的圆的方程为

2222(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0

注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在任一弦的中垂直上；

（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 ※例题解析※

〖例〗求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程。

思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐。 解答：（方法一） 设所求的圆的方程是(x?a)2?(y?b)2?r2， 则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为|a?b|， 2∴

即2r2?(a?b)2?14………………………………………………① 由于所求的圆与x轴相切，∴r2?b2………………………………② 又因为所求圆心在直线3x-y=0上，

∴3a-b=0………………………………………………………………③ 联立①②③，解得a=1,b=3,r=9或a=-1,b=-3, r=9.

故所求的圆的方程是：(x?1)?(y?3)?9或(x?1)?(y?3)?9 （方法二）设所求的圆的方程是

=0，圆心为

222222，半径为

与x轴相切，得⊿=0，即

……④

令y=0，得=0，由圆

又圆心到直线x-y=0的距离为

由已知，得即

…………………………………………⑤

又圆心

联立④⑤⑥，解得

在直线3x-y=0上，∴3D-E=0…………………………⑥

D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1。 故所求圆的方程是

（二）与圆有关的最值问题 ※相关链接※

1．求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。

=0或

如（1）形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by

的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m=

的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。

2．特别要记住下面两个代数式的几何意义：

表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率，

距离。

※例题解析※

〖例〗已知实数x、y满足方程x?y?4x?1?0。

22表示点（x,y）与原点的

y的最大值和最小值； x（2）求y-x的最大值和最小值；

（1）求

（3）求x?y的最大值和最小值。

思路解析：化x，y满足的关系为(x?2)?y?3?理解何意义?根据几何意义分别求之。

解答：（1）原方程可化为(x?2)?y?3，表示以（2，0）为圆心，3为半径的圆，222222y22，y-x，x?y的几x

yy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=k，即y?kx。当直线y?kx与xx圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k?0|k?12?3，解得k=±3。

y的最大值为3，最小值为﹣3 x（2）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距

所以

b取得最大值或最小值，此时|2?0?b|?3，解得b??2?6。所以y-x的最大值为2?2?6，最小值为?2?6。

（3）x2?y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为

(2?0)2?(0?0)2?2，所以x2?y2的最大值是(2?3)2?7?43，x2?y2的最小值

是(2?3)2?7?43。

（三）与圆有关的轨迹问题 ※相关链接※

1．解决轨迹问题，应注意以下几点：

（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。

（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为(x0,y0)等。 （3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。

2．求轨迹方程的一般步骤： （1）建系：设动点坐标为（x,y）； （2）列出几何等式； （3）用坐标表示得到方程； （4）化简方程；

（5）除去不合题意的点，作答。 ※例题解析※

〖例〗设定点M（-3，4），动点N在圆x2?y2?4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。

思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。

解答：如图所示，

设P（x,y），N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为(,)，线段MN的中点坐标为

xy22(x0?3y0?4,)。因为平行四边形的对角线互相平分，故22?x0?x?3xx0?3yy0?4。N（x+3,y-4）在圆上，故(x?3)2?(y?4)2?4。?,?,从而?2222?y0?y?4因此所求轨迹为圆：(x?3)2?(y?4)2?4，担应除去两点：(?,在OM所在的直线上时的情况）。

（四）有关圆的实际应用

〖例〗有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？

思路解析：根据条件，建立适当坐标系，求出点P的轨迹方程，进而解决相关问题。 解答：如图，

9122128)和(?,)（点P5555

以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，∵|AB∣=10，∴A（-5，0），B（5，0）。设P（x,y）,P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）。当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，

2222∴3a·(x?5)?y=a·(x?5)?y. 25215)?y2?()2 442515（1）当P点在以（-，0）为圆心、为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总44化简整理，得(x?费用相等。

（2）当P点在上述圆内时，

(x?25215)?y2?()2,4425215)?y2?()2]?0 44?[9(x?5)2?9y2]?[(x?5)2?y2]?8[(x??3(x?5)2?y2?(x?5)2?y2.故此时到A地购物合算.当P点在上述圆外时，

(x?25215)?y2?()2,4425215)?y2?()2]?0 44?[9(x?5)2?9y2]?[(x?5)2?y2]?8[(x??3(x?5)2?y2?(x?5)2?y2.故此时到B地购物合算.注：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决。

二、直线、圆的位置关系 （一）直线和圆的位置关系 ※相关链接※

直线和圆的位置关系的判定有两种方法

（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式⊿来讨论位置关系，即

⊿>0?直线与圆相交; ⊿=0?直线与圆相切; ⊿<0?直线与圆相离.

（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即 dr?直线与圆相切； d=r?直线与圆相离。 ※例题解析※

〖例〗已知圆x2?y2?6mx?2(m?1)y?10m2?2m?24?0(m?R). （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上； （2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。

思路解析：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。

解答：（1）配方得：(x?3m)2?[y?(m?1)]2?25,设圆心为(x,y)，则?消去m得l:x?3y?3?0,则圆心恒在直线l:x?3y?3?0,。

（2）设与l平行的直线是：x?3y?b?0，

?x?3m，

?y?m?1当?510?3?b?510?3时，直线与圆相交；b??510?3时，直线与圆相切；

b??510?3或b?510?3时，直线与圆相离.（3）对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x?3y?b?0，由于圆心到直线l1的距离

d?|3?b|22（与m无关）。弦长=2r?d且r和d均为常量. 10∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。 （二）圆与圆的位置关系 ※相关链接※

1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；

2．若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项即可得到；

3．两圆公切线的条数（如下图）

O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2

（1）两圆内含时，公切线条数为0； （2）两圆内切时，公切线条数为1； （3）两圆相交时，公切线条数为2； （4）两圆外切时，公切线条数为3； （5）两圆相离时，公切线条数为4。

因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。

※例题解析※

〖例〗求经过两圆(x?3)?y?13和x?(y?3)?37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程 222222??(x?3)?y?13思路解析：根据已知，可通过解方程组?2得圆上两点，由圆心在直线2??x?(y?3)?37x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为(x?3)?y?13??(x?(y?3)?37)?0，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程 解答：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，

2222所以设所求圆的方程为(x?3)?y?13??(x?(y?3)?37)?0 2222323?24?28?9(1??2))+(y?)=展开、配方、整理，得(x?+ 21??1??1??(1??)

圆心为(?33?,?)，代入方程x－y－4=0，得λ=－7 1??1??127289故所求圆的方程为(x?)?(y?)? 222注：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆

（三）圆的切线及弦长问题 ※相关链接※ 1．求圆的切线的方法

（1）求圆的切线方程一般有两种方法： ①代数法：设切线方程为

与圆的方程组成方程组，消元后得

到一个一元二次方程，然后令判别式⊿=0进而求得k。

②几何法：设切线方程为

心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。

两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。

注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况。

（2）若点M(x0,y0)在圆x?y?r上，则M点的圆的切线方程为x0x?y0y?r2。 2．圆的弦长的求法

222利用点到直线的距离公式表示出圆

（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则。

（2）代数法：设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，解方程组

?y?kx?b消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1?x2,x1,x2,则弦?222(x?x)?(y?y)?r00?长为

|AB|?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2](k为直线斜率)。

（四）直线、圆位置关系的综合应用

〖例〗如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为

x?3y?6?0, 点T(?11)，在AD边所在直线上．

（I）求AD边所在直线的方程；

（II）求矩形ABCD外接圆的方程；

（III）若动圆P过点N(?2， 0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的方程．解答：（I）因为AB边所在直线的方程为x?3y?6?0，且AD与AB垂直，

所以直线AD的斜率为?3．又因为点T(?11)，在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y?1??3(x?1)．3x?y?2?0．-----------------3分

?x?3y?6?0，（II）由?解得点A的坐标为(0，?2)， ------------4分

3x?y?2=0?因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)．

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． -----------------6分

又AM?(2?0)2?(0?2)2?22．

22从而矩形ABCD外接圆的方程为(x?2)?y?8．----------------------9分

（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切， 所以PM?PN?22，即PM?PN?22．------------------------11分

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长a?2，半焦距c?2．

22所以虚半轴长b?c?a?2．

x2y2??1(x≤?2)． -----------------14分 从而动圆P的圆心的轨迹方程为

22【感悟高考真题】

1．（2010江西理数）8.直线y?kx?3与圆?x?3???y?2??4相交于M,N两点，若

22MN?23，则k的取值范围是

3???3??，0??，?????44????A. B.

【答案】A

【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用. 解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当|MN|?23时，由点到直线距离公式，解得[??33??2?，???????，0??0，?33? D. ?3? C. ?3,0]； 4解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取??，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A

2．（2010安徽理数）9、动点A?x,y?在圆x2?y2?1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t?0时，点A的坐标是(,13)，则当0?t?12时，动点A的22纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A、?0,1? 9.D

【解析】画出图形，设动点A与x轴正方向夹角为?，则t?0时??在t??0,1?上??[递增的。

【方法技巧】由动点A?x,y?在圆x?y?1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与

22B、?1,7? C、?7,12? D、?0,1?和?7,12?

?3，每秒钟旋转

?，6??3?7?,]，在?7,12?上??[,]，动点A的纵坐标y关于t都是单调3223三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0,12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.

3．（2010全国卷2文数）（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB?4，若

O B N E A M OM?ON?3，则两圆圆心的距离MN? 。

【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识

∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为7，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，

∴ NE=3，同理可得ME?3，在直角三角形ONE中，∵ NE=3，ON=3，∴

?EON??6，

?MON?∴

?3，∴ MN=3

24．（2008·江苏卷18）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f?x??x?2x?b?x?R?的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）； 令f?x??x?2x?b?0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

2（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0

22令y＝0 得x?Dx?F?0这与x?2x?b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b．

令x＝0 得y?Ey＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1． 所以圆C 的方程为x?y?2x?(b?1)y?b?0. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）． 同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

22222【考点精题精练】

一、选择题

x?1??y2?1?ax?y?1?01．直线与圆相切，则a的值为（ A ）

A. 0 B. 1 C.2 D. ?1

2．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为（C） A.(x＋1)2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1 C.x2＋(y＋1)2＝1 D.x2＋(y－1)2＝1

23．（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知圆x2?y2?1与x轴的两个交点为

A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则PA?PB的取值范围为

--------------（ B ）

（A） ?0,? （B）??,0? （C）(?,0) （D）[?1,0)

222??1???1???14．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科） 已知AC,BD为圆O:x2?y2?4的两条互相垂直的弦，AC,BD交于点M1,2，则四边形ABCD面积的最大值为-----（ B ）

A 4 B 5 C 6 D 7

5．直线x+y+1=0与圆?x?1??y2?2的位置关系是 （ C ）

2?? A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 答案：C提示：圆心?1,0?,d?1?0?12?2?r，

?x??3?2cos??x?3cos?与?6．两圆?的位置关系是（ B ）

y?4?2sin?y?3sin???A．内切 B．外切 C．相离 D．内含

7．已知点P（x，y）是直线kx + y + 4 = 0（k > 0）上一动点，PA、PB是圆C：x2?y2?2y?0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ D ） A．3 答案：D

8．经过圆C:(x?1)2?(y?2)2?4的圆心且斜率为1的直线方程为（A）

A．x?y?3?0 B．x?y?3?0 C.x?y?1?0 D．x?y?3?0 9．已知圆的方程为x?y?6x?8y?0，设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB、

22B．21 2C．22 D．2

CD，则直线AB与CD的斜率之和为（B）

(A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) ?2

10．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x?4y?4?0相切，则圆的方

程是（ A ）

A．x?y?4x?0

22B．x?y?4x?0

22

C．x2?y2?2x?3?0 D．x2?y2?2x?3?0

11．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为（A）

133

A、± B、± C、± D、±3 223

12．如图，点P(3，4)为圆x2?y2?25上的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sin∠DAO的值为 ( A )

A．

2343 B． C． D． 5554二、填空题

?x?1?cos?,?y?sin?.

13．圆C:?（?为参数）的圆心坐标是 (1,0) ；若直线ax?y?1?0与

圆C相切，则a的值为 0 .

14．如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，?ACB?30，则圆O的面积等于16?

o

15．（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知实数a,b,c成等差数列，点P(?1,0)在直线ax?by?c?0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是____x?(y?1)?2____。 16．(上海市松江区2010年4月高考模拟文科)已知直线l:ax?by?c?0与圆

22O:x2?y2?1相交于A、B两点，|AB|?3，则OA·OB= ?三、解答题

1 222x?y?4上任一点，AB垂直于x轴，交x轴于点B．以A为圆心、AB为17．已知A是圆

半径作圆交已知圆于C、D，连结CD交AB于点P. (1)求点P的轨迹方程;

(2)若(1)所求得的点P的轨迹为M,过点Q(?3,0)作直线l交轨迹M于E、G两点，O为坐标原点，求△EOG的面积的最大值，并求出此时直线l的倾斜角. 解答:(1)设点A的坐标为A(2cos?，2sin?)，

则以A为圆心、AB为半径的圆的方程为

(x－2cos?)2 + (y－2sin?)2 = 4sin2?．……………… 1分 联立已知圆x2 + y2 = 4的方程，相减， 可得公共弦CD的方程为

xcos? + ysin? = 1+ cos2?． (1) ………………3分 而AB的方程是 x = 2cos?． (2)

所以满足(1)、(2)的点P的坐标为(2cos?，sin?)，消去?，即得 点P的轨迹方程为x2 + 4y2 = 4． ……………… 5分 说明： 设A(m，n)亦可类似地解决．

(2) △EOG的最大面积为1. ……………… 9分 此时直线l的倾斜角为45o或135o. ……………… 10分

18．设P?a,b??a?b?0?、R?a,2?为坐标平面xoy上的点，直线OR（O为坐标原点）与

2抛物线y?4x交于点Q(异于O). ab2（1） 若对任意ab?0，点Q在抛物线y?mx?1?m?0?上，试问当m为何值时，点P在某一圆上，并求出该圆方程M；

（2） 若点P(a,b)?ab?0?在椭圆x?4y?1上，试问：点Q能否在某一双曲线上，若

22能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；

（3） 对（1）中点P所在圆方程M，设A、B是圆M上两点，且满足OA?OB?1，

试问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切.

2?y?x???a2?a?Q?,?，-------------2分 解答：（1）??bb??y2?4x?ab?2?a?代入y?mx2?1??m???1?ma2?b2?2b?0-非所问------ 4分

b?b?2当m?1时，点 P(a,b)在圆M:x??y?1??1上- --------5分

22（2）

P?a,b?在椭圆x2?4y2?1上，即a2??2b??1

21?可设a?cos?,b?sin?-- -------------------7分

2a?x?2222?2a42cos??Qb?a2?????????22又Q?,?，于是???yQ?mxQ????m??????m??

2bbbbsin?sin????????????y?Q?b?164mcos2????16（令m?4） 22sin?sin??点Q在双曲线y2?4x2?16上 ------------10分

（3）

2圆M的方程为x??y?1??1

2设AB:x?ky??,A?x1,y1?,B?x2,y2?,由OA?OB?1

222x12?y12?x2?y2?1??y1?1??y12?1??y2?1??y2?2y1?2y2?122

?y1y2?--------------------------12分

22??x??y?1??1又?

??x?ky?114??k2?1?y2?2?k??1?y??2?0，

?y1y2??2k2?1??11??------------14分 4k2?12又原点O到直线AB距离d??1?k2 ?d?11，即原点O到直线AB的距离恒为 22?直线AB恒与圆S:x2?y2?1相切。 4

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