动能和势能物理力学答案

第四章动能和势能

思考题

4.1起重机起升重物。问在加速上升，匀速上升，减速上升，以及加速下降，匀速下降，减速下降六种情况下合力之功的正负。 又：在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所作的功是否一样多？

答：1）加速上升：合力做正功，合力与速度方向相同；

2）匀速上升：合力为零，做功也为零；

3）减速上升：合力做负功，合力与速度方向相反； 4）加速下降：合力做正功，合力与速度方向相同； 5）匀速下降：合力为零，做功也为零；

6）减速下降：合力做负功，合力与速度方向相反； 又：不一样多，因为两种情况的拉力不一样。 4.2弹簧A和B，劲度系数kA?kB ，（1）将弹簧拉长同样的距离;(2)拉长两个弹簧到某个长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧作的功更多？ 答：1）对弹簧A做功更多。由于位移相同, kA大,则用力大;

2）力相同，劲度系数越大，位移越小，对弹簧B做功更多。 4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹性势能总是正的。”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹性势能会是负的。

答：不正确。如果选弹簧伸长量或压缩量最大时弹性势能为0，则会使弹性势能为负。 4.4一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想不通”。你能否给他解决这个疑难？

答：两质点由相距很远到相距很近,引力作正功,引力势能减少。

4.5人从静止开始步行，如鞋底不再地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否作了功？人体的动能是从哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？

答：做功。摩擦力做功等于动能的增量。能量守恒定律。

4.6一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？ 答：不是。

4.7力的功是否与参考系有关？一对作用力和反作用力所做功的代数和是否和参考系有关？答：力的功与参考系有关，一对作用力和反作用力所做功的代数和参考系无关。

4.8取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸（或压缩）到某一程度时为势能零点，画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能和万有引力势能也可如此作。研究一下.

习题

4.2.2本题图表示测定运动体能的装置,绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮,下悬重物50kg,人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动,设传送带上侧以2m/s的速率向后运动,问运动员对传送带做功否?功率如何? 解：运动员对传送带做功：P = FV=50×10×2 W=1000W

4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹力的大小为f?k1l?k2l.l表示弹簧的伸长量,k1为正.(1)研究当k2＞0, k2＜0和k2=0时弹簧的劲度有何不同;(2)求出弹簧由l1拉长至l2时弹簧对外界所作的功. 解：f?k1l?k2l

33dfdl?k1?3k2l， k1>0

2f?k1?3k2l,k2?0,dfdldfdldfdl2?6k2l?0,k随l的增大而增大?6k2l?0,k随l的增大而增大?k1 k与l无关

3,

k2?0,,k2?0,A??l2l1(k1l?k2l)dl?12k1(l2?l1)?2214k2(l2?l1)

444.2.4一轻细线系一小球,小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动,绳穿过桌中心光滑圆孔,用力向下拉绳.证明力对线做的功等线作用于小球的拉所做的功.线不可伸长.

证明：设绳作用于小球的拉力为T，用dr表示小球的元位移，则线绳作用于小球的拉力对小球作的元功为：

???dA?T?dr dr ??????dr?d1r?d2r T d1r r

??????dA?T?d1r?T?d2r?T?d1r

????A??T?dr??T?d1r??Tdr

sssF = T

????dA?F?dl?Fdl?T?dr

4.2.5一辆卡车能够沿着斜坡以15kg/h的速率向上行驶,斜坡与水平面夹角的正切tgα=0.02,所受阻力等于卡车重

量的0.04,如果卡车以同样的功率匀速下坡,卡车的速率是多少?

解：以卡车为研究对象。建立OX坐标轴，平行于斜面，方向沿斜面向上。 上坡时 F?f?mgsin??0 F?f?mgsin??0.04?mgsin? sin??tg??0.02

上坡的功率：p?F?v?(0.04mg?mgsin?)?v?0.06mgv 下坡时，?F?f?mgsin??0，

F?f?mgsin??0.04mg?0.02mg?0.02mg p?Fv?， v??''??'0.06mg?150.02mg?12.5m/s

4.3.1 质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与以不可伸长的轻绳相连．绳跨过一固定的光滑小环．绳端作用着大小不边的力T=50N.木块在点A时具有向右的速率v0=6m/s.求力T将木块自A点拉至B时的速度． 解：研究对象《木块》

???? 受力分析：W,N,T?, 只有T?做功

?? dA?T??dr（可将力向位移上投影，也可将位移向力上投影）

B?4?A??T??dr??T?cos?dx

A0o x

??4050?4?x(4?x)?31212222dx

?100J由动能定理：vB?v0?2mv2B?mv02?A

2mA?6?2*1000.5?20.9m/s

4.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上．不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离．绳端作用于恒力F，F=60N.木块在A处有向上的速度v0=2m/s，求木块被拉至B时的速度．

解：以A为原点建O-y坐标系 y

?B?0.5?A??(T?W)?dr??(Tcos??mg)dy

A0cos??0.5?y(0.5?y)?0.522,T?60N,m?1.2kg

vA?2m/s O

12mv2B?12mv2A?A?vB?3.86m/s

4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既

未压缩也为伸长的位置，并以速度v0向右运动．弹簧的劲度系数为k，物体与支承面之间的滑动摩擦系数为μ．求证物体能达到的最远距离l为

?mg??k??kv0222l?1? 证明：由动能定理

A1?A2??Ek?0??mg??1???c

12mv0

12kl

22弹性力做功：A1?阻力做功：A2??12kl2?ll0(?kx)dx???0(??mg)dx???mgl

1222??mgl??mv0

2l??mgk(1?kv02?mg?1)

4.3.4圆柱形容器内装有气体容器内壁光滑。质量为m的活塞将气体密封。气体膨胀前后的体积各为v1和v2,膨胀前的压强为p1.活塞初速度为v0.(1)求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀是气体的体积和压强满足pv=恒量。（2)若气体的体积和压强满足PV=恒量.，活塞的末速率又如何？（本题用积分）

?解：1)气体膨胀后对外做功：A??v2v1pdv??Ek?12mv2?12mv0

2 pv?c(常数),则p? 即 p1V1ln 则，v?V2V1?12mv2p1V1V12代入上式，

2?2mv0

2p1V1mln?V2V1V2V12?12v0

2）若气体的体积和压强满足PV=恒量

即 A??v2v1pdv?p1V1?ln???12mv2?12mv0

2 v?2p1V1m?lnV2V112?12v0

4.3.5 O’坐标系与O坐标系各对应轴平行，O’相对于O沿x轴以v0作匀速直线运动，对于O系,质点动能定理为F?x?mv22?12mv1. v1和v2沿x轴,根据伽利略变换证明:相

2对于O’系动能定理也取这种形式.

证明：两个惯性系：o-xyz, oˊ-xˊyˊzˊ

伽利略变换：由o系到oˊ系的变换： ?x??x?ut???y?y ???zz??t??t??x?x(t2)?x(t1)

??x?(t2)?ut2???x?(t1)?ut1???x?(t2)?x?(t1)??u(t2?t1)??x??u?t?速度变换：vx?vx?u

?ax 加速度变换：a?x

作用力不因参考系而改变：F??F

F??x??F(?x?u?t)?F?x?Fu?t =

?12x12mv2?21212mv1?Fu?t ??mv222??u)?m(v2212??u)?Fu?t?m(v1212??mu(v2??v1?)?Fu?tmv12 由

F?ma??v1??a?v2?tx12

??mv22 则：F??x??12? 具有形式不变性。 mv124.3.6带电量为e的粒子在均匀磁场中的偏转A表示发射带电粒子的离子源,发射出的粒

子在加速管道B中加速,得到一定速率后于C处在磁场洛伦兹力作用下偏转,然后进入漂移管道D,若离子质量不同或电量不同或速率不同,在一定磁场中偏转的程度也不同,在本题装置中,管道C中心轴线偏转的半径只有一定质量的离子能自漂移管道D中引出,这种装置能将特定的粒子引出,称为 “质量分析器”,各种正离子自离子源A引出后,在加速管中受到电压为U

的电场加速,设偏转磁感应强度为B,偏转半径为R,求证在D管中得到的离子的质量为m?BqR2UqU?22

12mv22解：由

Bqv?mvR

2U4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体,圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内,框架槽沿铅直方向,框架质量为200g,自悬线静止于铅直位置开始,框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置,求圆柱体的速度,线长20cm ,不计摩擦. 解： 利用质点系动能定理

研究对象《圆柱体和框架》

??? 受力分析：W,F,T

坐标系：o-x

设圆柱体速度为v1,框架速度为v2

???则：v1?v12?v2

在x轴上投影：v1x?0?v2x 即 v1cos30??v2

动能增量：?Ek?(m1v1?212则： m?BqR2212m2v2)?0

2合外力的功：A=Flsin30??mgl(1?cos30?) 则 A??Ek , v1 = 2.4 m/s

4.4.1二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组,弹簧1和2的劲度系数各为k1和k2.它们自由伸展的长度相差l坐标原点置于弹簧2自由伸展处,求弹簧组在0≤x≤l 和x<0时弹性势能的表示式

解：坐标原点置于弹簧2自由伸长处， 弹簧组的势能为两个弹簧的势能和

1）0?x?l时弹簧2不可伸长，故Ep2?0 只有弹簧1起作用：Fx??k1(x?l)

Ep?Ep1????k1(x?l)dx

0x ?12k1x?k1lx

22）x?0时 Fx?F1x?F2x??k1(x?l)?k2x

Ep????k1(x?l)dx?0x?x0?k2xdx

?12(k1?k2)x?k1lx

2

4.5.1滑雪运动下，经B越过宽为d台C时,其速度vc刚

员自A自由滑的横沟到达平好在水平方向，

已知A,B两点的垂直高度为25m.坡道在点B的切线方向与水平面成30°角，不计摩擦.求(1)运动员离开B处的速率vB，(2)B,C的垂直高度差h及沟宽d,(3)运动员到达平台时的速率

vc.

解：仅内保守力做功，机械能守恒

EA = EB = EC

（1）mghAB?12mv2B?vB?2ghAB?22.4m/s

?（2） vc?vBcos30,gt?vBsin30 t?h?12vBsin30t?6.28m

0??vBsin30g01.12s

d?vBCOS30?1.12?22.4?32?1.12?21.75m

（3）vc?vB0cos300?19.2m/s

4.5.2装置如图所示.球的质量为5kg,杆AB长1m,AC长0.1m,A点距O点0.5m,弹簧的劲度系数为800N/m,杆在水平位置时恰为弹簧自由状态,此时释放小球,小球由静止开始运动.求小球到铅直位置时的速度.不计弹簧质量及杆的质量,不计摩擦.

解：把球、杆、弹簧、地球看成一个系统

整个过程中系统只有内保守力做功，系统机械能守恒

mgAB?12mv2?12k?x

2Δx=0.1m,AB=1m,m=5kg,k=800N/m 得 v=4.28m/s

4.5.3物体Q与一劲度系数为24N/m 的橡皮筋连结,并在一水平圆环轨道上运动,物体Q在A处的速度为1.0m/s。已知圆环的半径为0.24m，物体Q的质量为5k。由橡皮筋固定端至B为0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度求(1)物体Q的最大速度;(2) 物体Q能否达到D点,并求出在此点的速度.

解：研究对象《质点与橡皮筋》。支持力过圆心O不作功，在水平面运动，重力不作功

仅内保守力弹力做功，机械能守恒。B点为弹力势能的零点

122mm（1） 当?l=0时，既B点，物体的速度最大 mv2?1k(?l)2?E， v2?2E?k(?l)

2EPA?EKA?12mv122max

2EPA?EKA?k(OA?OB)?212mv2A

2

?12*24*(0.46?0.16)?12*5*1.0

?3.58J5（2）假设Q能到D点，则 EPA?EKA?EPD?EKD

EPA?EKA?12vmax?2?3.58m/s?1.2m/s

k(OD?OB)?212mv22D

12*5*vD2

?12*24*(0.64?0.16)?

?3.58JVD = 0.58 m/s，所以可以到达D点。

4.6.1卢瑟夫在一篇文章中写道:可以预言,当α粒子和氢原子相碰时,可使之迅速运动起来.按正碰撞考虑很容易证明.氢原子速度可达α粒子碰撞前速度的1.6倍,即占入射α粒子能量的64%,试证明此结论(碰撞是完全弹性的,且α粒子质量接近氢原子质量的四倍) .证明：Ek?12?14m1(1.6v10)2?12m1v10(214?1.6)?64%Ek0

24.6.2 m为静止车厢的质量,质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率V滑行并与碰撞挂钩.挂钩后前进距离s然后静止.求轨道作用于车的阻力.

解：以两个车厢的系统为研究对象，挂钩时系统满足动量守恒

Mv?(M?m)v1

?fs?0?122(M?m)v122

则 f?Mv2s(M?m)

4.6.3两球具有相同的质量和半径,悬挂于同一高度.静止时,两球恰好能接触且悬线平行,碰撞的恢复系数为 e,若球A自高度h1释放,求该球弹回后能达到的高度.又问若二球发生完全弹性碰撞,会发生什么现象,试描述之. 解：恢复系数：e?v2?v1v10?v20（

），v20?0

1） 由动量守恒m1v10?m1v1?m2v2

由机械能守恒联立得 v1?所以 h?v112212m1v102?m1gh1

(1?e)v10

2g?h114(1?e)

22） 在完全弹性碰撞中，两球交换速度，则摆的高度相同。

4.6.4质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg用1m长的绳子悬挂着的摆.子弹穿过摆后仍有100m/s的速度.问摆沿铅直方向升起若干. 解：分两个阶段考虑

1） 子弹射入摆并穿过，水平方向动量近似守恒： m1v10?m1v1?m2v2 可得 v2?m1(v10?v1)m2?2?10?3(500?100)1m/s?0.8m/s

2） 摆的上升：由机械能守恒

v2212m2v22?m2gh

可得h?2g?0.822?10m?0.032m

4.6.5一质量为200g的框架,用一弹簧悬挂起来,使弹簧伸长10cm.今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落进框架.求此框架向下移动的最大距离.弹簧质量不计.

解：参考系《地面》

坐标系：以框架平衡位置为原点建O-X

1） m1自由下落阶段

研究对象《m1与地球》

仅内保守力做功，机械能守恒 m1gh?12m1v0?v0?22gh

2）研究对象《m1与m2》 碰撞过程无限短，内力》外力 而m1?m2,m1v0?(m1?m2)v v?12v0?122gh

3) 碰后铅快与框架一起下落过程

研究对象《m1+m2,地球，弹簧》 仅内保守力做功，机械能守恒

以o点为重力势能零点，弹簧自由伸展状态为弹性势能零点， E0?12(m1?m2)v?21212k(?l0) k(?l0?xm)

22 E??(m1?m2)gxm?k?m1g?l0,E?E0

xm?0.3m4.6.6质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连,置于光滑水平桌面上.最初弹簧自由伸张.质量为0.01kg的子弹以速率v=100m/s沿水平方向射于m1内,问弹簧最多压缩了多少? 解：第一阶段：子弹射入m1 研究对象《m1，m》

碰撞时间无限短，此时弹簧压缩很小，可忽略，系统动量守恒： mv0?(m?m1)v1

第二阶段：一起运动

研究对象《m1+m, m2，弹簧》 仅内保守力做功，系统机械能守恒

12(m1?m)v1?212k(?x)?212(m1?m?m2)v2

2动量守恒：(m?m1)v1?(m?m1?m2)v2 解得 Δx = 0.25 m

4.6.7一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。 解：由动量守恒 mv10?(m1?m2)v1 v1?m1v10(m1?m2)?0.01?1100.11m/s?10m/s

落地所需时间：t?2hg?2?4910?0.72s

水平距离 l?v1t?10?0.72m?12.11m

4.6.8在一铅直平面内有一光滑的轨道,左边是一个上升的曲线,右边是足够长的水平直线,二者平滑连接,现有A,B两个质点,B在水平轨道上静止,A在曲线部分高h处静止滑下,与B发生完全弹性碰撞.碰后A仍可返回上升到曲线轨道某处,并再度滑下,已知A,B二质点的质量分别为m1和m2.求A,B至少发生两次碰撞的条件. 解：第一阶段：A下滑，

研究对象《A，地球》

仅内保守力做功，系统机械能守恒

m1gh?12m1v0?v0?22gh

第二阶段：A与B发生完全弹性碰撞，

研究对象《A，B》

动量守恒：m1v10?m1v1x?m2v2x

动能守恒：

12m1v102?12m1v1x?212m2v2x

2v1x??v1,v2x?v2

解得：v1? v2?m2?m1m2?m12m1m2?m12gh 2gh

第三阶段：A返回某高度又滑下，仍满足机械能守恒，返回后的速度仍为v1，只要v1?v2就能再碰。

m2?m12m12gh?2gh

m2?m1m2?m1m2?3m1

4.6.9一刚球静止的方在铁箱的光滑底面上,如图示.CD长L铁箱与地面间无摩擦.铁箱被加速至v0时开始做匀速直线运动.后来刚球与箱壁发生完全弹性碰撞.问碰后再经过多长时间刚球与BD壁相碰 解：研究对象

Mv0?Mv1x?mv2x1动量守恒,动能守恒 12v1x?v2x?M?mM?m2MM?mv0 v0

Mv0?212Mv1x?212mv2x2

车与箱的相对速度：v12?|v1x?v2x|?|?M?mM?mv0|?v0

所以，再次相碰：t = L/v0

4.6.10二车厢质量均为M.左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以v0运动.另一车厢以2v0从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩,货箱在地板上滑行的最大距离为L. 求: (1)货箱与车厢地板间的摩擦系数; (2)车厢地间摩擦.

在挂钩后走过的距离,不计车

解：研究对象

碰撞时间很短，只考虑车厢间的碰撞，货物的速度还没有来得及变化，

动量守恒 Mv0?M2v0??2Mv2

则 v2?v02碰后系统的动能全部用来克服摩擦力作功，

1122由动能定理：?Mgl?2Mv2?Mv0

221112 ?Mgl?2M(v0)2?Mv0

222

??3v024gl

122M(12v0)

2 对两车厢运动的动能定理： ?Mgd?则： d?l3

4.7.1质量为M的氘核的速率u与静止的质量为2M的α粒子发生完全弹性碰撞,氘核以与原方向成90度角散射,(1).求α粒子的运动方向,(2).用u表示α粒子的末速度,(3)百分之几的能量上氘核传给α粒子?

解：以氘核和α粒子为研究对象，设碰后α粒子与水平方向夹角为θ， 由动量守恒

m1v10?m2v2cos?0?m1v1?m2v2sin?12m1v102 其中m1?M,m2?2M,v10?u

122由机械能守恒?12m1v1?2m2v2

解此方程组可得：θ=30? v2?氘核初始能量为Ek?1233u

2Mu，传给α粒子的能量为

1321?2Ek?2M(u)?Mu23322?23Ek

4.7.2参考3.8.7图,桑塔纳空车质量为m1=106*10kg,载质量为70kg一人,身北行驶,另一总质量为m2=152*10kg的切诺基汽车向东行驶,二车相撞后连成一体,沿东北偏北θ=30度滑出d=16m而停止.路面摩擦系数为μ=0.8 ,该坡段规定车速不得超过80km/h,问哪辆车违北交通规则?又问因相撞损失多少动能? 解：建o-xy 坐标系 由动量守恒：

x方向：m2v20?(m1?m2)vcos?y方向：m1v10?(m1?m2)vsin?

由动能定理：?(m1?m2)gd?v?2?gd?12(m1?m2)v可得

22?0.8?10?16m/s?16m/s

?(1130?1520)?16?sin301130(1130?1520)?16?cos301520??则：v10?(m1?m2)vsin?m1(m1?m2)cos?m1m/s?18.76m/s

v10??m/s?24.16m/s

限速22.22m/s,显然是切诺基汽车超速。

4.7.3球与台阶相撞的恢复系数e,每级台阶的宽度和高度相同,均等于l,该球在台阶上弹跳,每次弹起同样高度且在水平部分的同一位置.即AB=CD,求球的水平速度和每次弹起的高度,球与台阶问无摩擦. 解：恢复系数：e?v2?v1v10?v20（

），

由于 v20?0，v2?0，分别为竖直方向的速度，所以 e?v1v10。

设球的水平速度为v平，弹起的高度为h, 碰撞时的竖直速度为v10

h?l?v10?12gt2

2(h?l)g12mv1?2由动能定理：mgh?12m(ev10)2?12me2(h?l)g

2则 h?e(h?l)?h?2el1?e22

2(h?l)gev10g由最高点落到某级台阶所需时间：t1?

从某级台阶弹起到最高点所需时间：t2?

则相邻两次落点间水平距离应为：l?v平t1?v平t2 可得：v平?

le?1g2(h?l)?l1?eg(1?e)2l2

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