2019版高考数学一轮复习第四章平面向量与复数课时训练

第四章 平面向量与复数

第1课时 平面向量的概念与线性运算

一、 填空题

1. 下列命题中正确的是________．(填序号)

① 单位向量的模都相等；

② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；

③ 若a ，b 满足|a|＞|b|且a 与b 同向，则a ＞b ；

④ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

⑤ 对任意非零向量a ，b ，必有|a ＋b|≤|a|＋|b|.

答案：①④⑤

解析：单位向量的模均为1，故①正确；共线包括同向和反向，故②不正确；向量不能比较大小，故③不正确；根据向量的表示，知④正确；由向量加法的三角形法则知⑤正确．

2. 若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________．

答案：2

解析：|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.

3. 已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 答案：－8

解析：若A ，B ，D 三点共线，则AB →∥BD →，设AB →＝λBD →.因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，所以

2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2，所以λ＝2，k ＝－4λ，所以k ＝－8.

4. 在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，设AB →＝a ，AD →＝b ，E 为BC 的中点，则AE →＝

________．(用a ，b 表示) 答案：23a ＋12b 解析：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12? ????AD →－23AB →＝23AB →＋12

AD →＝23a ＋12

b .

5. 如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝________．

答案：CF →

解析：由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.

6. (2017·泰州模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43

AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝________．

答案：－3

解析：由AD →＝－13AB →＋43

AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3.

7. 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|a|，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为__________．

答案：2π3 解析：由|a ＋b|＝|a －b|可知a⊥b .设AB →＝b ，AD →＝a ，作矩形ABCD ，可知AC →＝a ＋b ，BD

→＝a －b .设AC 与BD 的交点为O ，结合题意可知OA ＝OD ＝AD ，∴ ∠AOD ＝π3，∴ ∠DOC ＝2π3

.又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角，故所求夹角为2π3

.

8. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，且CD →＝13

CA →＋λCB →，则实数λ＝__________． 答案：23

解析：如图，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F ， 则CD →＝CE →＋CF →.

因为CD →＝13CA →＋λCB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝λCB →.由△ADE∽△ABC，得DE BC ＝AE AC ＝23

， 所以ED →＝CF →＝23CB →，故λ＝23

.

9. 在?ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝____________．(用a ，b 表示)

答案：23a ＋13

b 解析：如图，∵ △DEF ∽△BEA ，∴ DF ∶BA ＝DE∶BE＝1∶3，过点F 作FG∥BD 交AC

于点G ，∴ FG ∶DO ＝2∶3，CG ∶CO ＝2∶3，∴ GF →＝13b .∵ AG →＝AO →＋OG →＝23AC →＝23

a ，∴ AF →＝AG →＋GF →＝23a ＋13

b .

10. 向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：① A，

B ，

C 共线；② A，B ，

D 共线；③ B，C ，D 共线；④ A，C ，D 共线．其中所有正确的结论是________．(填序号)

答案：④

解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，e 1＋e 2不共线，得AB →与CB →不共线，A ，C ，D 共线，

且B 不在此直线上．

11. 已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →

＋λ? ?????AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的________．(选填“外心”“内心”“重心”或“垂心”)

答案：内心

解析：作∠BAC 的平分线AD.∵ OP →＝OA →＋λ? ?????AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴ AP →＝λ? ??

???AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴ AP →＝λ′|AD →|

·AD →， ∴ AP →∥AD →.∴ P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．

二、 解答题

12. 如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与边AB ，AC 分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求x ＋y 的最小值．

解：由点G 是△ABC 的重心，知GA →＋GB →＋GC →＝0，得－AG →＋(AB →－AG →)＋(AC →－AG →)＝0，则

AG →＝13

(AB →＋AC →)．又M ，N ，G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λx AB →＋μyAC →＝13

(AB →＋AC →)， 所以?

????λ＋μ＝1，λx ＝μy＝13，于是得1x ＋1y ＝3. 又由题意x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＝13(x ＋y)? ????1x ＋1y ＝13? ????2＋y x ＋x y ≥43

(当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y 时，等号成立)，即x ＋y 的最小值为43

. 13. 如图，已知△OCB 中，点C 是点B 关于点A 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内

分点，DC 和OA 交于点E.设OA →＝a ，OB →＝b .

(1) 用a 和b 表示向量OC →，DC →；

(2) 若OE →＝λOA →，求实数λ的值．

解：(1) 由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23

OB →. 由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →.

∴ OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，

∴ DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b.

(2) 如题图，EC →∥DC →.∵ EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53

b ， ∴ 2－λ2＝－1－53

，∴ λ＝45.第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示 一、 填空题

1. 已知在?ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，则AC →＝____________.

答案：(－1，12)

解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1，12)．

2. 若e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能看作基底的是________．(填序号)

① e 1＋e 2和e 1－e 2；② 3e 1－2e 2和4e 2－6e 1；③ e 1＋3e 2和e 2＋3e 1；④ e 2和e 1＋e 2. 答案：②

解析：∵ 3e 1－2e 2＝－12(4e 2－6e 1)，

∴ 3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线．

3. (2017·苏北四市联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是

________．

答案：? ????35

，－45 解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴ 与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|

＝? ????35

，－45. 4. 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案：(3，3)

解析：(解法1)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ

－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，

解得λ＝34，所以OP →＝34

OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． (解法2)设点P(x ，y)，则OP →＝(x ，y)，

因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4

，即x ＝y.又AP →＝(x －4，y)，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，

3)．

5. 若三点A(1，－5)，B(a ，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a 的值为________．

答案：－54

解析：∵ AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴ 4(a －1)－3×(－3)

＝0，即4a ＝－5，∴ a ＝－54

. 6. (2017·衡水中学月考)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，

则r ＋s ＝________．

答案：0

解析：因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋? ??

??－23＝0. 7. 设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝____________．

答案：(－2，－6)

解析：设d ＝(x ，y)，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．

8. 如图，在?ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H.记AB →，BC →分别为a ，

b ，则AH →＝__________．(用a ，b 表示)

答案：25a ＋45b 解析：设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH ＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ? ??

??b ＋12a .DH →＝μDE →＝μ?

????a －12b . 因此μ? ????a －12b ＝－b ＋λ? ??

??b ＋12a . 由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得?????μ＝12λ，－12μ＝λ－1，解得?????λ＝45，μ＝25.

故AH →＝λAF →＝λ? ????b ＋12a ＝25a ＋45

b . 9. 若三点A(2，2)，B(a ，0)，C(0，b )(ab≠0)共线，则1a ＋1b

的值为________． 答案：12

解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab

－2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12

. 10. 如图，|OA →|＝|OB →|＝1，OA →与OB →的夹角为120°，OC →与OA →的夹角为30°.若OC →＝λOA

→＋μOB →(λ，μ∈R )，则λμ

＝____________.

答案：2

解析：过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于点D.由题意可知，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴ OD ＝2CD.

∵ OD →＝λOA →，DC →＝μOB →，∴ λ|OA →|＝2μ|OB →|，即λ＝2μ，故λμ

＝2. 11. 在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的充要条件

为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和

OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3，1)，P 2(－1，3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与

向量a ＝(1，－1)共线，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为________．

答案：－1

解析：设P 3(x ，y)，由条件易得P 1P 2→＝(－4，2)，P 2P 3→＝(x ＋1，y －3)；由P 1，P 2，P 3三

点共线，得12－4y ＝2x ＋2；由OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，得x ＋y ＝0.

联立方程组解得x ＝－5，y ＝5.

由OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，解得λ＝－1.

12. (2017·苏北四市期末)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m)，m ∈R ，则“m＝－6”是“a∥(a ＋b )”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

答案：充要

解析：由题意得a ＋b ＝(2，2＋m)，由a∥(a ＋b )，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m ＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a ＋b )”的充要条件． 二、 解答题

13. 如图，已知△ABC 的面积为14，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD∶DB＝BE∶EC

＝2∶1，AE 与CD 交于点P.设存在λ和μ使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .

(1) 求λ及μ；

(2) 用a ，b 表示BP →；

(3) 求△PAC 的面积．

解：(1) 由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13

a ＋

b . AP →＝λAE →＝λ? ????a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ? ??

??13a ＋b ， AP →＝AD →＋DP →＝23

AB →＋DP →， 即23a ＋μ? ????13a ＋b ＝λ? ??

??a ＋23b . ?????λ＝23＋13μ，μ＝23λ，解得?

????λ＝67，μ＝47. (2) BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67? ????a ＋23b ＝－17a ＋47

b . (3) ∵ S △PAB ：S △CAB ＝|PD →|∶|CD →|＝μ＝47，∴ S △PAB ＝47

S △ABC ＝8. ∵ S △PBC ：S △ABC ＝|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17，S △PBC ＝17S △ABC ＝2，

∴ S △PAC ＝4.第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例

一、 填空题

1. 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝________． 答案：－3

解析：由已知得a ＋2b ＝(3，3)，故(a ＋2b )·c ＝(3，3)·(k，3)＝3k ＋33＝0，解得k ＝－3.

2. (2017·南京、盐城模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________．

答案：π6

解析：因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝|a|2

－|a||b|·cos 〈a ，b 〉＝3－23×cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝32.由〈a ，b 〉∈[0，π]，则向量a ，b 的夹角为π6

. 3. (2017·南京模拟)设向量|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝________.

答案：2

解析：|a －b|＝|a ＋b|2－4a·b ＝20－4×4＝2.

4. 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为____________．

答案：5

5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝π2

，AC ＝3，取点D 使BD →＝2DA →，那么CD →·CA →＝________． 答案：6

解析：如图，CD →＝CB →＋BD →.∵ BD →＝2DA →，

∴ CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23

(CA →－CB →)， 即CD →＝23CA →＋13

CB →. ∵ ∠C ＝π2

，∴ CA →·CB →＝0， ∴ CD →·CA →＝? ????23

CA →＋13CB →·CA →＝23CA → 2＋13CB →·CA →＝6. (本题还可建立平面直角坐标系利用向量的坐标求解)

6. (2017·扬州中学质检)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13

AC →，则∠BAC＝________．

答案：60°

解析：取BC 的中点D ，连结AD ，则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴ AD 为BC 的

中线，且O 为重心．又O 为外心，∴ △ABC 为正三角形，∴ ∠BAC ＝60°.

7. (2017·苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．

答案：4

解析：由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ? ????θ＋π6，则|2a －b |＝（2a －b ）2

＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝

8－8cos ?

????θ＋π6∈[0，4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 8. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13

AB ，则DM →·DB →＝________．

答案：1 解析：因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13

AB →，DB →＝DA →＋AB →， 所以DM →·DB →＝?

????DA →＋13AB →·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12

＝1. 9. (2017·第二次全国大联考江苏卷)A ，B ，C 为单位圆上三个不同的点，若∠ABC＝π4

，OB →＝mOA →＋nOC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的最小值为________． 答案：－ 2

解析：因为∠ABC＝π4，所以∠AOC ＝π2

.不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(cos θ，sin θ)，θ∈? ????π2，2π，则cos θ＝m ，sin θ＝n ?m ＋n ＝cos θ＋sin θ＝2sin ?

????θ＋π4≥－2，当且仅当θ＝5π4

时取等号． 10. (2017·苏州调研)在梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，|BC →|＝6，P 为梯形ABCD 所在平面上

一点，且满足AP →＋BP →＋4DP →＝0，DA →·CB →＝|DA →||DP →|，Q 为边AD 上的一个动点，则|PQ →|的最

小值为________．

答案：423

解析：设AB 中点为E ，则四边形BCDE 为平行四边形，且AP →＋BP →＝2EP →，所以PE →＝2DP →，

D ，

E ，P 三点共线，|DE →|＝6，|DP →|＝2.又DA →·CB →＝DA →·DE →＝3DA →·DP →＝3|DA →||DP →|cos ∠ADE

＝|DA →||DP →|，所以cos ∠ADE ＝13，sin ∠ADE ＝23

2. 要使|PQ →|最小，即PQ⊥AD.

此时|PQ →|＝|DP →|sin ∠ADE ＝423

. 二、 解答题

11. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.

(1) 求a 与b 的夹角θ；

(2) 求|a ＋b|；

(3) 若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．

解：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61，

∴ 4|a|2－4a·b －3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，∴ 64－4a·b －27＝61，

∴ a ·b ＝－6.∴ cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，∴ θ＝2π3

. (2) |a ＋b|2＝(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴ |a ＋b |＝

13.

(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3

. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，

∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32

＝3 3. 12. 如图，在平面直角坐标系xOy 上，点A(1，0)，点B 在单位圆上，∠AOB ＝θ(0＜θ＜π)．

(1) 若点B ? ????－35，45，求tan ? ????θ＋π4的值； (2) 若OA →＋OB →＝OC →，OB →·OC →＝1813，求cos ? ??

??π3－θ.

解：(1) 由于B ? ??

??－35，45，∠AOB ＝θ， 所以cos θ＝－35，sin θ＝45

， 所以tan θ＝－43

， 所以tan ?

????θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝－17. (2) 由于OA →＝(1，0)，OB →＝(cos θ，sin θ)，

所以OC →＝OA →＋OB →＝(1＋cos θ，sin θ)，

OC →·OB →＝cos θ×(1＋cos θ)＋sin 2 θ＝cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝1813

. 所以cos θ＝513，所以sin θ＝1213

， 所以cos ? ??

??π3－θ＝cos π3cos θ＋sin π3sin θ＝5＋12326. 13. (2017·如皋中学调研)如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴(含坐标原点)上滑动，其中AD ＝4，AB ＝2.

(1) 若∠DAO＝π4

，求|OC →＋OD →|； (2) 求OB →·OC →的最大值．

解：(1) 由题意可知，

点A(22，0)，D(0，22)，B(32，2)，C(2，32)，

所以|OC →＋OD →|＝|(2，52)|＝213.

(2) 过点B 作BM⊥AO，垂足为M ，过点C 作CN⊥OD，垂足为N ，设∠DAO＝θ，则∠CDN ＝θ，∠ABM ＝θ，

所以点A(4cos θ，0)，D(0，4sin θ)，B(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)，C(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)，

则OB →·OC →＝(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)·(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)＝16sin θ

cos θ＋4sin 2θ＋4cos 2θ＝4＋8sin 2θ.

∵ θ∈?

????0，π2，∴( OB →·OC →)max ＝12. 第4课时 复 数

一、 填空题

1. (2017·第二次全国大联考江苏卷)已知复数z ＝(1－2i)(2＋i)，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限．

答案：四

解析：因为z ＝(1－2i)(2＋i)＝4－3i ，对应点为(4，－3)，位于第四象限．

2. 已知2＋3i i

＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________． 答案：1

解析：2＋3i ＝ai －b ，则a ＝3，b ＝－2，a ＋b ＝1.

3. (2016·苏北三市二模)已知复数z 满足(3＋i)z ＝10i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是________．

答案：1－3i

解析：z ＝10i 3＋i

＝1＋3i ，z 的共轭复数是1－3i. 4. 记复数z ＝a ＋bi(i 为虚数单位)的共轭复数为z －＝a －bi(a ，b ∈R )．已知z ＝2

＋i ，则z 2＝________．

答案：3－4i

解析：z 2＝3＋4i ，则z 2＝3－4i.

5. (2017·镇江一模)已知复数z 满足z ＝(1－2i)(3＋i)，其中i 为虚数单位，则|z|＝________．

答案：5 2

解析：z ＝(1－2i)(3＋i)?|z|＝5·10＝5 2.

6. 设复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则2z

＋z 2＝________． 答案：1＋i

解析：∵ z＝1＋i ，∴ 2z ＋z 2＝21＋i

＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i. 7. (2017·第三次全国大联考江苏卷)已知复数z 1＝2＋ai(a>0)，z 2＝3－i ，其中i 为虚数单位．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝________．

答案：2－6i

解析：∵ 4＋a 2＝9＋1，∴ a 2＝6.∵ a>0，∴ a ＝6，z 1＝2－6i.

8. 已知复数z ＝ai 1＋2i

(a ＜0)，其中i 为虚数单位，|z|＝5，则a 的值为________． 答案：－5

解析：z ＝2a 5＋a 5i ，|z|＝? ????2a 52＋? ??

??a 52＝5，则a ＝－5. 9. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知复数z ＝3－i 1＋i

，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________．

答案： 5

解析：因为z ＝（3－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－4i 2

＝1－2i ，所以|z|＝12＋（－2）2＝ 5. 10. 若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ，则|z|的最大值为________．

答案：2

解析：∵ z－1＝cos θ＋isin θ，∴ z ＝(1＋cos θ)＋isin θ，

∴ |z|＝（1＋cos θ）2＋sin 2θ＝2（1＋cos θ）≤2×2＝2.

11. 复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，

并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．

答案：????

??－916，7 解析：由复数相等的充要条件可得?

????m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ， 化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin

2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4?

????sin θ－382－916. 因为sin θ∈[－1，1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈????

??－916，7. 二、 解答题

12. 设复数z ＝－3cos θ＋2isin θ.

(1) 当θ＝4π3

时，求|z|的值； (2) 若复数z 所对应的点在直线x ＋3y ＝0上，求2cos 2θ2－12sin ?

????θ＋π4的值． 解：(1) ∵ θ＝4π3

， ∴ z ＝－3cos 4π3＋2isin 4π3＝32

－3i ， ∴ |z|＝? ??

??322＋（－3）2＝212. (2) 由条件得－3cos θ＋3×2sin θ＝0，∴ tan θ＝12

. ∴原式＝cos θsin θ＋cos θ＝1tan θ＋1＝23

. 13. 若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根．

(1) 试求b ，c 的值；

(2) 1－2i 是否是所给方程的根，试给出判断．

解：(1) 由于1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则(1＋2i)2

＋b(1＋2i)＋c ＝0，整理得(b ＋c －1)＋(22＋2b)i ＝0，则???22＋2b ＝0，b ＋c －1＝0，

解得?????b ＝－2，c ＝3，

即b ＝－2，c ＝3.

(2) 由(1)得方程为x 2－2x ＋3＝0，把1－2i 代入方程左边得(1－2i)2－2(1－2i)

＋3＝1－22i ＋2i 2－2＋22i ＋3＝1－2－2＋3＝0，即1－2i 满足方程x 2－2x ＋3＝0，

所以1－2i 是所给方程的根．

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