信号检测与估计理论第一章习题讲解

1-9 已知随机变量X的分布函数为

?0?FX(x)??kx2?1?,x?0,0?x?1

,x?1求：①系数k； ②X落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X的概率密度。 解：

第①问 利用FX(x)右连续的性质 k＝1 第②问

P?0.?3X?0?.7?P??F?0.?7?F??0?0?.X3.3X.?70.?7??P?0

dFX(x)?2x第③问 fX(x)?dx???00?x?1else

1-10已知随机变量X的概率密度为fX(x)?ke普拉斯分布），求：

?x(???x???)（拉

①系数k ②X落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X的分布函数 解： 第①问

?????f?xx?1d?x11?k 2??F?2x??????F1?xx1第②问 P?X??2xx2 fxdx随机变量X落在区间(x1,x2]的概率P{x1?X?x2}就是曲线y?f?x?下的曲边梯形的面积。

P?0?X?1??P?0?X?1???f?x?dx011?1?e?12??

第③问

?1xe??2f?x????1e?x??2x?0x?0

F?x???x??f(x)dx?1xx?0?e???21?x?x?01?e??2x?0?x1xedx???????2?01exdx?x1e?xdx?02?????2

x?01-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？

?????????(0-1)分布n??,p?0,np=?二项分布?????????泊松分布n??成立,p，q?0不成立?????????高斯分布

汽车站出事故的次数不小于2的概率

P(k?2)?1?P?k?0??P?k?1? ?0.1P(k?2)?1?1.1e答案

P?X?k?＝n=1

实际计算中，只需满足n?10?ke??k!p?0.1，二项分布就趋近于泊松分布?＝np1-12 已知随机变量(X,Y)的概率密度为

?(3x?4y)??kefXY(x,y)??0??,x?0,y?0 ,其它求：①系数k？②(X,Y)的分布函数？③P{0?X?1,0?X?2}？

第③问 方法一：

联合分布函数FXY(x,y)性质：

若任意四个实数a,a,b,b，满足

1212a1?a2,b1?b2，则

P{a1?X?a2,b1?Y?b2}?FXY(a2,b2)?FXY(a1,b1)?FXY(a1,b2)?FXY(a2,b1)

?P{0?X?1,0?Y?2}?FXY(1,2)?FXY(0,0)?FXY(1,0)?FXY(0,2)

方法二：利用

P{(x,y)?D}???fXY?u,v?dudvD20

P{0?X?1,0?Y?2}??

?0fXY?x,y?dxdy

11-13 已知随机变量(X,Y)的概率密度为

?1,0?x?1,y?xf(x,y)?? 0,其它?①求条件概率密度fX(x|y)和fY(y|x)？②判断X和Y是否独立？给出理由。

先求边缘概率密度fX(x)、fY(y)

注意上下限的选取

f)???????f??x?xdy,0?x?1?2xX(xXY?x,y?dy??????0,else?0???1ydx,0?y?1f(y)????f?1Y??XY?x,y?dx?????ydx,?1?y?0???0,else,0?x?1else??1?|y|?0?1?y?1else，

1-14 已知离散型随机变量X的分布律为

X 3 6 7 P 0.2 0.1 0.7 求：①X的分布函数 ②随机变量Y?3X?1的分布律

1-15 已知随机变量X服从标准高斯分布。求：①随机变量Y?e的概率密度？②随机变量Z?X的概率密度？ 分析:①fY(y)?h'(y)?fX?h(y)?

②fY(y)?|h'1(y)|?fX[h1(y)]?|h'2(y)|?fX[h2(y)] 答案:

?lny??1??e2fY(y)??2?y??02Xy?0else?2?z?e2fZ(z)????0?2z?0else

1-16 已知随机变量X和X相互独立，概率密度分别为

12

?1?1x1?e2fX1(x1)??2?0?,x1?0,x1?0 ，

?1?1x2?e3fX2(x2)??3?0?,x2?0,x2?0

求随机变量Y?X1?X2的概率密度？

?Y1?Y?X1?X2解：设?Y?X (任意的)?21?1?1y1?1y2?e36fY1Y2?y1,y2???6?0? 求反函数，求雅克比J＝－1

y1?y2?0else1??1y1?y1?3?e2y1?0?fY1?y1???e ?else?0

1-17 已知随机变量X,Y的联合分布律为

3m2ne?5P?X?m,Y?n??,m,n?0,1,2,?m!n! P?X?m?(m?0,1,2,?)求：①边缘分布律

和P?Y?n?(n?0,1,2,?)？

②条件分布律P?X?m|Y?n?和P?Y?n|X?m?？

3m2ne?53me?32ne?2分析：P?X?m,Y?n????,m,n?0,1,2,?

m!n!m!n!泊松分布 P?X?k???ke??k!,k?0,1,2,?

??P?X?k??e???e???e???1k??0??kk?0k!???kk!?e?k?0 P19

??3me?3?2ne?2解：①PX?m???P?X?m,Y?n??n?1m!?n?1n!

??X?m,Y?n??2ne?2同理P?Y?n???Pn?1n! ②P?X?m,Y?n?＝P?X?m??P?Y?n? 即X、Y相互独立

1－48）

（1-18 已知随机变量X,X12,?,Xn相互独立，概率密度分别为

f1(x1),f2(x2),?,fn(xn)。又随机变量

?Y1?X1??Y2?X1?X2? ??????????Yn?X1?X2???Xn证明：随机变量Y,Y,?,Y的联合概率密度为

12nfY(y1,y2,?,yn)?f1(y1)f2(y2?y1)?fn(yn?yn?1)

?Y1?X1??Y2?X1?X2??Y2?X1?X2?X3??????????Yn?1?X1?X2???Xn?1???Yn?X1?X2???Xn?1?Xn?X1?Y2?Y1?X?Y?Y?232???? ??Xn?Yn?Yn?1

1?1?J?0001?00?????00?10?110?10000?001?1

00?

因为|J|＝1,故 已知随机变量

f1(x1),f2(x2),?,fn(xn)fY(y1,y2,?,yn)?fX(y1,y2?y1,?,yn?yn?1)X1,X2,?,Xn相互独立，概率密度分别为

fY(y1,y2,?,yn)?fX(y1,y2?y1,?,yn?yn?1)?f1(y1)f2(y2?y1)?fn(yn?yn?1)

1-19 已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为

1?xfX(x)?e2求其数学期望与方差？

,???x???

解:

1?xE?X???xfX(x)dx??xedx?0奇函数????2?2?21?x2?E??X?????xfX(x)dx????x2edx偶函数????xedx??xe00?2?x?2?x???0??edx20

??x??e??x?2xdx?x??2xe????0?2?edx?20??x

1-20 已知随机变量X可能取值为{?4,?1,2,3,4}，且每个值出

现的概率均为15。求：①随机变量X的数学期望和方差？②随机变量Y?3X2的概率密度？③Y的数学期望和方差？

①③ ?E[X]??xkpk k?1

E[g(X)]??g(xk)pkk?1??E[X2]2 2D?X??E[X]?E[X] 答案: ② Y P

3 1/5

12 1/5

27 1/5

48 2/5

4462142E[X]?E[X]?D?X??552513884062E[Y]?E[Y]?1098D?Y??525

离散型随机变量的概率密度表达式 P12，1-25式

?f?x???pk??x?xk? 其中??x????k?1??0,x?0 ,x?0为冲激函数

1fY?y?????y?3????y?12????y?27??2??y?48??

5

1-22 已知两个随机变量X,Y的数学期望为mX?1,mY?2，方

22??4,?差为XY?1，相关系数?XY?0.4。现定义新随机变量

V,W为

?V??X?2Y? ?W?X?3Y求V,W的期望，方差以及它们的相关系数？

E?V??3E?W??7E?aX?bY??aE?X??bE?Y?D?V??4.8D?W??17.8D?aX?bY??a2D?X??b2D?Y??2abCXY

?XY?

CXY?X?Y 0.13

1-23 已知随机变量X,Y满足Y?aX?b，a,b皆为常数。证明： ① CXY?a?；②

2X?XY?1a?0??；③ ?1a?0?aE[X2]当mX?0且b??E[X]时，

随机变量X,Y正交。

m① CXY?RX?YmX

E?Y??E?aX?b??amX?b2??E?XY??E?XaX?b?aEX????????bmX

?CXY＝a?X2

②?XY???

XYD?Y??D?aX?b??a2D?X??a2?X2

CXY?XY?

CXY?X?Y?a?X2?X?a2?X2a?a

③正交?RXY＝0

?E?XY??aE?X2??bmX????aE[X2]?b??E[X]?

?得证

1-25 已知随机变量X,Y相互独立，分别服从参数为?1和?2的泊松分布。①求随机变量X的数学期望和方差？②证明

Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布。

解：① 泊松分布

e???kP?X?k???k!k?0?

juk特征函数的定义 QX?u??E??e????e?k!?e?e??k?0k?0juX??????k???e?k!juk

xk由e??k!(1-17

k?0x?题用过) 可得QX?u??e?eju?1???e?eju?e?(eju?1)??dQX?u?deE?X????j????j?duu?0du2E?X??????j?22??u?0

??2??

??dQX?u?2de???j?2duu?0d2uju2?e?1u?0

②根据特征函数的性质，X Y相互独立，

QZ?u??QX?u??QY?u??e(?1??2)(eju?1)

表明Z服从参数为?1??2的泊松分布

1-26 已知随机变量X,Y的联合特征函数为

6QXY(u,v)?6?2ju?3jv?uv

求：①随机变量X的特征函数 ②随机变量Y的期望和方差

3QX(u)?QXY(u,0)?解：①3?ju

2QY(v)?QXY(0,v)?②2?jv

kdQX(u)E[Xk]?(?j)kduku?0

dQY(v)2j?2dv?2?jv?d2QY(v)4jv?8?24dv?2?jv?

dQY(v)1E[Y]?(?j)?duv?022dQY(v)1E[Y2]?(?j)2?du2v?02

1-28 已知两个独立的随机变量X,Y的特征函数分别是QX(u)和

QY(u)，求随机变量Z?3(X?1)?2(Y?4)特征函数QZ(u)？

解：

特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积

X、Y独立，

因此有 3(X?1)和2(Y?1)独立

独立的等价条件（充分必要条件）

① fXY(x,y)?fX(x)?fY(y)

knkn?k?1,n?1?E(XY)?E(X)E(Y) ②

③ QX(u1,u2)=QX?u1??QX?u2?

121-29 已知二维高斯变量(X,X)中，高斯变量X,X的期望分别为

12122m1,m2，方差分别为?12,?2，相关系数为?。令

X1?m1Y1?,?1?X2?m2X1?m1?Y2????? 2??21?1???1① 写出二维高斯变量(X1,X2)的概率密度和特征函数的矩阵形

式，并展开； ② 证明(Y1,Y2)相互独立，皆服从标准高斯分布。

X1?m1X1?,解：?1X2?m2X2??2

?X1X2?? X1~N(0,，1X)2~N(0,1)，

Y1?X1,Y2?11??2?X2??X1?

??1? 1??2??01??A?系数矩阵????1??2????Y?AX，线性变换，故Y也服从高斯分布

???0?MY?AMX???

?0??1CY?ACXA?A???T???10??A??? 1?01??TCij?0(i?j)，故Y1Y2不相关，

高斯变量不相关和独立等价，Y1Y2独立

1-30 已知二维高斯变量(X1,X2)的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为?。令

?Y1??X1??X2??Y2??X1??X2

其中??0,??0为常数。①证明：(Y1,Y2)服从二维高斯分布； ②求(Y1,Y2)的均值和协方差矩阵； ③证明：Y1,Y2相互独立的条件为????。

复习： n维高斯变量的性质

1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的 2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。 3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布

2

解：① ? Y 1 ? ? ? ? ? ? ? X 1????????

?Y2???????X2? 22???????????0????T2C?ACA??M?AM??2YX② YX?0?2???????

③Y1,Y2相互独立、二维高斯矢量 因此Y1,Y2互不相关 只要证CY为对角证

22????0?????即

?2??2??22?????

1-31

?X?????1??X?X?2?均值为常矢量a，已知三维高斯随机矢量方差阵??X3???22?2??B??25?4?? 为

???2?44??证明：X1,X2?X1,X13?2X23?X3相互独立。

复习： n维高斯变量的性质

1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的 2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。 3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布

????Y1??X1??????Y??Y2????X1?X2? 思路：设随机矢量

????Y3???1X?2X?X?1233?3?

????由性质可得Y为三维高斯变量，求得方差阵CY为对角阵

CY?ACXA

??1?A???1?1??30123?0??0??0????2?CY??0??0??00??30?2?0?3?T

1-32 已知三维高斯随机变量(X1,X2,X3)各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。求Y1?X1?X2和Y2?X1?X3的联合特征函数？

?????0??100M??0???X???C?X???010?

?0???001??

思路：Y??是?X??线性变换故也服从高斯分布，求得可以写出联合特征函数

??Y?X1??X1?1?X1?X2?Y???Y1?????110???2?X1?X3?Y2??101??X??2?AX????X3??2? ???X3?Y??AX?，线性变换，故Y??也服从高斯分布

??M??AM?????0YX??CACT??21??0??Y?XA??12??

N维高斯变量的联合特征函数

QjU???TY????????T??UTC??Y??1,?,?n??E??YU???e???exp??jMYU???2?????22??

?exp??1??1?2??2?

??M?YCY就

2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?6xy(2?x?y)0?x?10?y?1 fXY(x,y)??0else?

(1)条件概率密度f(xy),f(yx)

(2)X和Y是否独立？给出理由。

解题思路：f(x,y)?fX(x),fY(y)?f(xy),f(yx)

解：(1)

fX(x)?????12???06xy(2?x?y)dy?4x?3x0?x?1fXY(x,y)dy???else?0?6y?2?x?y?fXY(x,y)?0?x?10?y?1fY(yx)???4?3xfX(x)?0else??6x?2?x?y?0?x?10?y?1?同理fX(xy)??4?3y?0else?

(2) fX(xy)?fX(x)orX和Y不相互独立

fXY?x,y??fX?x?fY?y?

4、已知 (X1,X2,X3) 是三维高斯变量，其期望和方差为

?X1???X??X?2??m1??0?????0?MX??m?2????732??CX??341?? Y1?X1?X2 Y2?X3

??X3????m3????0????212??求：(1) (X1,X2)的边缘特征函数。

(2) (Y1,Y2)的联合概率密度

高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布

所以(X?1,X2)、Y服从高斯分布

(1) E??X1??X????0??C?73?X1X2???2??0??34? ?22Qexp??7u1?6u1u2?4u2?X?u1,u2???2??

(2) A???110???0??17?001??MY???0??CY???3C?1?1?2?3?Y?25CY25???317??

3?2?? 22??2Y?6Y?Y?17Y?1112?2fY?y1,y2??exp???

10?50??

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