2019-2020中考数学专题复习试卷及答案解析：三角形（含解析）

三角形

一、选择题

1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A

【解析】 ：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为 故答案为：A．

【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（ ） A.8

∵?ABCD，AC=8，BD=10， ∴OB=BD=5，OC=AC=4 ∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9 故答案为：D

【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（ ）

A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° 【答案】B

【解析】 如图，延长BC交AD于点E，

∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B， ∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，

∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°， ∴∠BCD=50°+20°+30°=100°， 故答案为：B.

【分析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。 4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（ ）

A. 105° B. 115° C. 125° D. 135° 【答案】C

【解析】 ：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。 5.如图，在Rt

ABC中，∠ACB=900，BC=2．将

的中点，连接BM，CM，

ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ BCM的面积为（ ）

，使点B’落

在AC边上．设M是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A

【解析】 ：过点M作MD⊥AB于点D

∴∠MDA=90° ∵M是 B′C′ 的中点 ∴A'M=A′B′

∵△ ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A ′B ′C ′ ∴BC=BC=2，∠ACB=∠ACB=90°=∠MDA ∴MD∥AC ∴∴MD=1

∴S△BCM=BCMD=×2×1=1 故答案为;A

【分析】过点M作MD⊥A ' B于点D，根据旋转的性质，可证得BC=B 'C=2，∠ACB=∠A ' CB ' =90°=∠MDA '，再根据平行线分线段成比例及线段中点的定义，可得线段成比例，求出MD的长，然后利用三角形的面积公式，求解即可。 6.如图，

ABC中，正方形DEFG的顶点D，G分别在AB，AC上，顶点E，F在BC上．若△ADG、△BED、

△CFG的面积分别是1、3、1，则正方形的边长为（ ）

A. 【答案】C

【解析】 ：过A作AM⊥BC于M，交DG于N，

设正方形DEFG的边长是a，AN=b， ∵四边形DEFG是正方形， ∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC， ∵S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1， ∴S△ADG=ab=1，即a=

S△BDE=BE?a=3，S△FCG=CF?a=1， ∴BE=3b，CF=b，

∴BC=3b+a+b=4b+a，AM=a+b

∴BCAM=（4b+a）（a+b）=4b2+5ab+a2 ∴S△ADG+S△BED+S△CFG=1+3+1=5 ∴ab=2，

C. D. 2

B.

2

∵S正方形DEFG=S△ABC?(S△ADG+S△BDE+S△CFG)=a BCAM-5=a

（4b+5ab+a）-5=a ∵ab=2

（4b2+10+a2）-5=a2 ∴a=2b（取正）， ∴2b2=2

解之：b=1（取正） ∴a=2×1=2

即正方形的边长是2，【分析】过A作AM⊥BC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，根据已知及三角形的面积公式，可得出ab=2，用含b的代数式分别表示出BE、CF、AM、BC的长，再根据S正方

形DEFG

2

2

2

2

2

=S△ABC?(S△ADG+S△BDE+S△CFG)=a2 ， 得出a=2b，结合ab=2，求出a、b的值即可求解。

7.如图，点P为⊙O外一点,PA为⊙0的切线,A为切点,PO交⊙0于点B，∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为（ ）.

A. 3 B.

C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 ：连接OA

∵PA为⊙0的切线 ∴OA⊥AP ∴∠OAP=90°

∵∠P=30°

∴OP=OB+BP=2OA=2OB=6 ∴BP=3 故答案为：A

【分析】已知圆的切线。因此连半径OA，可证得△OAP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出BP的长。

8.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是（ ）

A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 【答案】D

【解析】 ∵AB=AC，∠B=40°， ∴∠B=∠C=40°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°， 又∵AC边的垂直平分线交BC于点E， ∴AE=CE，

∴∠CAE=∠C=40°，

∴∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=60°． 故答案为：D．

【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°，根据线段的垂直平分线的性质可得AE=CE，所以由等腰三角形的性质可得∠CAE=∠C=40°，所以∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=60°．

9.在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，OF⊥AD于F，若BE：ED=1：3，OF=3cm，则BD的长是（ ）cm．

A. 6 B. 8 C.

10 D. 12 【答案】D

【解析】 ∵ABCD是矩形， ∴BO=OD=OA． ∵BE：ED=1：3， ∴BE=EO． 又AE⊥BD， ∴OB=OA=AB． ∴∠ABD=60°． ∴∠FDO=30° ∵OF⊥AD，OF=3， ∴OD=6．

∴BD=2?OD=12．故答案为：D．

【分析】先证得三角形ABO为等边三角形，从而解得∠BAO=60o，即∠ODA=∠OAD=30o，进而解直角三角形OFD求得OD=6，即可求得BD=12.

10.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（ ）。

A. 24° B. 59° C. 60° D. 69° 【答案】B

【解析】 ：∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°， 又∵DE∥BC， ∴∠D=∠DBC=59°. 故答案为：B.

【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.

11.如图，等边三角形 边长是定值，点 是它的外心，过点 任意作一条直线分别交 ， 于

点 ， ，将

沿直线

折叠，得到

，若

，

分别交

，

，则下列判断错误的是（ ）

A. B. 的周长是一个定值

C. 四边形

的面积是一个定值 的面积是一个定值

【答案】D

【解析】 ：A、连结OA、OC，

∵点O是等边三角形ABC的外心， ∴AO平分∠BAC，

∴点O到AB、AC的距离相等， 由折叠得：DO平分∠BDB'， ∴点O到AB、DB'的距离相等， ∴点O到DB'、AC的距离相等， ∴FO平分∠DFG，

∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），

由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），

∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°， ∴∠DOF=60°，

于点 ， ，连接

D. 四边形

同理可得∠EOG=60°， ∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG, ∴△DOF≌△GOF≌△GOE ∴OD=OG,OE=OF,

∠OGF=∠ODF=∠ODB,∠OFG=∠OEG=∠OEB， ∴△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE, ∴AD=CG,AF=CE, ∴△ADF≌△CGE. 故A不符合题意；

B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE, ∴DF=GF=GE,

∴△ADF≌△B'GF≌△CGE, ∴B'G=AD,

∴△B'FG的周长-FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值）， 故B不符合题意；

C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值）， 故C不符合题意；

D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+S△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG, 过点O作OH⊥AC于H， ∴S△OFG=

,

由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化。 故D符合题意。

故答案为：D【分析】A、根据等边三角形ABC的外心的性质可知，AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,可得AD=CG,AF=CE,从而得△ADF≌△CGE；

B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE,所以△ADF≌△B'GF≌△CGE,可得结论；

C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE ， 依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=S△ABC（定值），据此判断；

D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG,根据S△OFG=·FG·OH,FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，据此判断； 12.如图，在 交 交

中，

，

.以点 为圆心，适当长为半径画弧，交

于点 ，

于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的延长线于点 ，则

的长是（ ）

的长为半径画弧，两弧相交于点 ，射线

A. B.1 C. D. 【答案】B

【解析】 ：由射线CN的尺规作图的方法可知CN是∠BCD的平分线，则∠BCN=∠DCN．在□ABCD中，AB∥CD，∴∠E=∠DCN=∠BCN， ∴BE=BC=3， ∴AE=BE-AB=3-2=1. 故答案为：B.

【分析】首先由尺规作图的步骤可知这是作∠BCD的角平分线CN；由平行四边形的性质可得AB∥CD，则∠E=∠DCN=∠BCN，由“等角对等边”可知△BCE是等腰三角形即可求得AE的长度． 二、填空题

13.若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于________． 【答案】65°

【解析】 ：∵等腰三角形的顶角等于50°，∴它的底角为：（180°-50°）÷2=65°. 故答案为：65°.

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出答案.

14.在△ABC中, AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为________. 【答案】90o或130o

【解析】 ：∵AB=AC，∠BAC=100° ∴∠C=∠B=（180°-100°）÷2=40° 如图1，

当Rt△ABD的∠CAD=90°时

∠ADB=∠C+∠CAD=40°+90°=130°； 如图2，

Rt△ABD中∠ADB=90° 故答案为：90°或130°

【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理，可求出∠C的度数，再分情况讨论：当Rt△ABD的∠CAD=90°时，利用三角形外角的性质可求出∠ADB的度数；Rt△ABD中∠ADB=90°；即可求解。 15.如图，在边长为4的等边

的中点，连接

，则

中， ， 分别为 的长为________．

，

的中点，

于点 ， 为

【答案】

【解析】 连接DE，

∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC，DE= AC

∵ΔABC是等边三角形，且BC=4 ∴∠DEB=60°,DE=2 ∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2 ∴∠FEC=30°，EF=

∴∠DEG=180°-60°-30°=90° ∵G是EF的中点， ∴EG=

.

在RtΔDEG中，DG=

故答案为： .

AC，根据等边三角形的性质由ΔABC是

【分析】连接DE，根据三角形的中位线定理得出DE∥AC，DE=

等边三角形得出∠DEB=60°,DE=2，根据含30o直角三角形的边之间的关系，及中点定义得出EF的长，进而判断出ΔDEG是直角三角形，根据勾股定理得出DG的长。

16.如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线BD延长线上一点，BD＝4，DE＝1，∠BAE＝45°，则AB长为 ________．

【答案】

【解析】 ：连接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N．

∵∠BAE=45°，∠BMA=90°，∴∠MAB=∠MBA=45°，∴AM=BM， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠AOE=90°，设AM=BM=b，ME=a， ∵∠E=∠E，∠AOE=∠BME=90°，∴△AOE∽△BME，∴ ∴a+ab=15 ① 又∵a+b=25 ②

①×5﹣②×3得到：2a2+5ab﹣3b2=0，∴（a+3b）（2a﹣b）=0， ∴b=2a代入②得到a=

，∴b=2

，∵AB=

AM=2

．故答案为2

．

2

2

2

= ，∴ = ，

【分析】连接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N．根据三角形的内角和判断出∠MAB=∠MBA=45°，根据等边对等角得出AM=BM，根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠AOE=90°，设AM=BM=b，ME=a，然后判断出△AOE∽△BME，根据相似三角形对应边成比例得出 O E∶ E M = A E∶ B E，从而得出关于a,b的方程，a2+ab=15 ①，根据勾股定理得出a2+b2=25 ②，①×5﹣②×3得到：2a2+5ab﹣3b=0，求解得出，a,b的值，根据等腰直角三角形边之间的关系由AB=

2

AM得出答案。

17.如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AB=8，则DE的长为________。

【答案】4

【解析】 ：∵点D，E分别是BC，AC的中点 ∴DE是△ABC的中位线 ∴DE=AB=×8=4 故答案为：4

【分析】根据已知可得出DE是△ABC的中位线，再根据中位线定理，可求出DE的长。

18.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________cm.

【答案】7

【解析】 ：依题可得：AE=CE, 在Rt△ABC中， ∵AB＝3cm，AC＝5cm， ∴BC=4,

∴C△ABE=AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7， 故答案为：7.

【分析】根据折叠的性质可知AE=CE,在Rt△ABC中，根据勾股定理可求得BC长，再根据三角形周长即可求得答案. 19.如图，在正方形

中，

，点 ， 分别在

，

上， ，则

，

，

相

交于点 .若图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 的周长为________．

【答案】

的面积之比为

，∴空白部分的面积=

【解析】 ：∵阴影部分的面积与正方形 在△BCE和△CDF中，

∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴

，∠BEC=∠CFD，

∴ 即 ∴

，

，

，

∵∠BEC=∠CFD，∠CFD+∠DCF=90°， ∴∠BEC+∠DCF=90°， 则∠BGC=90°， 在Rt△BCG中， 设BG=x，CG=y， 则

可得 ∴

，

，

∴△BCG的周长为BC+BG+CG= 故答案为：

.

【分析】阴影部分的面积与正方形 ≌△CDF，则可得

的面积之比可求得空白部分的面积，由CE=DF，不难证得△BCE，求得

；由△BCE≌△CDF，全等三角形的性质可证明∠

BGC=90°；问题是求△BCE的周长，BC已知，所以只需要求出BG+CG的即可，由三角形面积公式及勾股定理，根据代数式的运算求出BG+CG值即可．

20.如图，在矩形ABCD中，AB=6，E，H分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BH上的F处，则AD＝________

【答案】

【解析】 ：连接EH．

∵点E、点H是AD、DC的中点，∴AE=ED，CH=DH= CD= AB=3，由折叠的性质可得AE=FE，∴FE=DE．在Rt△EFH和Rt△EDH中，∵

，∴Rt△EFH≌Rt△EDH（HL），∴FH=DH=3，∴

=

=

，∴AD=BC=

．故答案

BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9．在Rt△BCH中，BC= 为：

．

【分析】连接EH．根据三角形的中位线定理可得，AE=ED，CH=DH=CD=AB=3，由折叠的性质可得AE=FE，所以FE=DE．用斜边直角边定理可证得Rt△EFH≌Rt△EDH，所以FH=DH=3，由线段的构成可得BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9，在Rt△BCH中，由勾股定理可求得BC==6

=AD.

三、解答题 21.如图，

，

，

、

相交于点 .求证：

.

【答案】解：∵∠A=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△DCB中 BC=CB AC=DB ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL） ∴∠ACB=∠DBC ∴OB=OC

【解析】【分析】根据直角三角形的全等判定定理，可证得Rt△ABC≌Rt△DCB，得出∠ACB=∠DBC，再根据等角对等边，可证得结论。

22.如图，点D，C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BD=CF．求证：AB=EF．

【答案】证明：∵AB∥EF， ∴∠B=∠F． 又∵BD=CF， ∴BC=FD． 在△ABC与△EFD中 ∴△ABC≌△EFD（AAS）， ∴AB=EF

【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠F．用角角边可证得△ABC≌△EFD，所以AB=EF。 23.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE.

，

【答案】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC

又∵∠EAC＝90°＋∠CAD，∠DAB＝90°＋∠CAD， ∴∠DAB＝∠EAC. ∵在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC(SAS)， ∴BD＝CE.

【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可证得AD＝AE，AB＝AC，再证明∠DAB＝∠EAC，然后根据全等三角形的判定方法，证明△ADB≌△AEC，从而可证得结论。 24.已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.求证：BC＝ED.

【答案】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD， 即：∠EAD＝∠BAC. 在△EAD和△BAC中，

∴△ABC≌△AED(ASA)， ∴BC＝ED

【解析】【分析】根据∠1＝∠2，证得∠EAD＝∠BAC，再利用全等三角形的判定证明△ABC≌△AED，然后根据全等三角形的性质可证得结论。

25.已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．

（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=________

（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？ （3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）

【答案】（1）5

（2）解：如图2，过点P作PF∥AC交BC于F，

∴△FPB是等边三角形，

∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4，∠BPF=60°， ∵△PDE是等边三角形， ∴PD=PE，∠DPE=60°， ∴∠BPE=∠FPD， ∴△PBE≌△PFD， ∴BE=DF，

∴BD+BE=BD+DF=BF=4；

（3）解：如图3，过点P作PF∥AC交BC于F，

∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C， ∵AB=AC，∠BAC=70°， ∴∠ABC=∠C=55°， ∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°， ∴PF=PB=a，

∵∠BPF=∠DPE=70°， ∴∠DPF=∠EPB， ∵PD=PE， ∴△PBE≌△PFD， ∴BE=DF，

过点P作PG⊥BC于G， ∴BF=2BG，

在Rt△BPG中，∠PBD=55°， ∴BG=BP?cos∠PBD=a?cos55°，

∴BF=2BG=2a?cos55°，

∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2a?cos55°．

【解析】 ：（1）∵△ABC和△PDE是等边三角形， ∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°， ∴∠BPE=∠CAD， ∴△PBE≌△ACD， ∴BE=CD，

∴BD+BE=BD+CD=BC=5， 故答案为5；

【分析】（1）由已知条件用边角边易证得△PBE≌△ACD，所以可得BE=CD，所以BE+BD=BD+CD=BC ; （2）由（1）的方法可作辅助线，过点P作PF∥AC交BC于F，将问题转化为（1）的形式，同理可证△PBE≌△PFD，则BE=DF，所以BE+BD=BD+FD=BF;由题意得BF=BC-1=4，问题得解；

（3）由（1）和（2）的思路可作辅助线，过点P作PF∥AC交BC于F，过点P作PG⊥BC于G，根据已知条件易证得△PBE≌△PFD，BE=DF，则BF=2BG，在Rt△BPG中，解直角三角形即可用含a的代数式表示BG，则BF=2BG也可用含a的代数式表示，所以BD﹣BE=BD﹣DF=BF可得结论。

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