第三章 离散线性系统随机振动

第三章 离散线性系统随机振动

3.1 离散线性系统的表示法 实际的机械(结构)系统几乎都是连续的、非线 性的，离散线性系统是实际系统经过离散化与 线性化两个步骤后得到的一种理想化模型。 对许多实际系统，当激励比较小时，离散线性 系统的模型在定性与定量方面都已能很好地反 映原系统，而且容易得到离散线性系统的随机 响应统计量。因此这种离散线性系统模型被广 泛采用着。

描述离散线性系统的运动方程为线性常微分方 程。一个n自由度的离散线性系统常用n个二阶 方程的方程组描述。这是根据动力学的基本原 理或定律导出的运动方程的最初形式。

对机械(结构)系统，最一般的运动方程形为： MY (t ) + (C + G )Y (t ) + (K + N )Y (t ) = X (t ) Y (t ) = Y ,Y (t ) = Y0 0 0 0

(3.1-1)

式中X(t)与Y(t)是n维矢量过程，分别表示激励 与响应；M为质量矩阵；C为阻尼矩阵；G为陀 螺矩阵；K为刚度矩阵；N为非保守矩阵。M和 K为对称矩阵， G与N为反对称矩阵。 在很多情形下，G= N =0,(3.1-1)化为 MY (t ) + CY (t ) + KY (t ) = X (t ) Y (t ) = Y ,Y (t ) = Y0 0 0 0

(3.1-2)

作用在系统上的激励矢量维数可与响应维数不 相等，并可能与其一阶导数过程有关，此时可 表为 X (t ) = B1 X1 (t ) + B2 X1 (t )

(3.1-3) . 式中Bl与B2为n m矩阵；X1(t)与X1(t)为m维矢 量，表示实际的激励。

离散线性系统的运动方程也常表示成一阶方程 组形式，即 Z (t ) = AZ (t ) + F (t ), Z (t0 ) Z0 (3.1-4) (3.1-4)常称为状态方程，因为，如果引入状 态矢量 Z (t ) = [Y (t ) Y (t )]T (3.1-5) (3.1-1)可化成(3.1-4)的形式，其中0 I A= - M -1 ( K + N ) - M -1 (C + G ) 0 F (t ) -1 M X (t )

(3.1-6)

若Z(t)的维数为n,F(t)维数为m n,则可引入 n m矩阵B,从而(3.1-4)改写成 Z (t ) = AZ (t ) + BF (t ), Z (t0 ) Z0 (3.1-7) 有时离散线性系统的运动方程是一个高阶常微 分方程bmY ( m ) + bm-1Y ( m-1) + + b0 = an X (n ) + an -1 X ( n -1) + + a0 Y (t0 ) Y0 , Y (t0 ) Y0 , , Y ( m-1) (t0 ) Y0( m-1)

(3.1-8)

有时为方便计，上述各方程还写成算子形式。 (3.1-1),(3.1-2)及(3.1-4)可写成 LY(t)=X(t) (3.1-9) Y(t0)=Y0, , Y(l-1)(t0)=Y0 (l-1) 其中L为线性均方微分算子；l为其最高阶导数 的阶数。而(3.1-8)可写成 DmY(t)=PnX(t) (3.1-10) . Y(t0)=Y0, DY(t0)=Y0, , D(m-1)Y (t0)=Y0 (m-1) ak D k。 式中D=d/dt,Dm b j D , Pnm j j 0k 0 n

算子方程的一个优点是，它的形式解可用算子 简单地表示。 例如(3.1-9)与(3.1-10)的解分别为 Y(t)= L-1X (t) (3.1-11)

与Y(t)= Dm-1PnX (t) (3.1-12) 式中L-1与Dm-1表示线性均方积分算子。

上述方程中的系数矩阵的元素可以是常数、随 机变量、随时间确定性或随机地变化的量等多 种情形。这里将系数随时间周期性变化或随机 地快变情况放在后面讨论。

这里假定系数为常数，或随时间非周期确定性 地变化。

离散线性系统的动态特性还可用系统对某种典 型的激励的响应来描述。脉冲响应矩阵与频率 响应矩阵是最常用的两种。 此外，时不变线性系统还可用模态(固有频率 与振型)来描述，所有这些描述的理论依据是 叠加原理。 脉冲响应矩阵，频率响应矩阵及模态可由给定 的运动方程得到，也可用实验方法直接测量得 到。因此，这些描述方法具有独立的意义。 容易证明，各种描述方法是等价的。

在随机振动中，对应于离散线性系统的每一种 表示法，都有一种或几种预测随机响应的方法， 各种方法各有其优缺点。 预测方法的选择取决于系统的动态特性是用什 么方式给出的，也取决于所要求的响应量及其 精度。

3.2 应用脉冲响应矩阵的相关分析 一个离散线性系统，其上作用m个激励，有n 个响应量，可用如下一个n m脉冲响应矩阵描 述 h11 (t , ) h12 (t , ) h1m (t , ) h (t , ) h (t , ) h (t , ) 22 2m h(t , ) 21 hn1 (t , ) hn 2 (t , ) hnm (t , )

(3.2-1)

式中hjk(t, )表示在 时刻在第k个激励处作用单 位脉冲而在t时刻的第j个响应，即hjk(t, )是下 列方程之特解 L h(t, )=BId(t- ) (3.2-2) 式中L为与均方微分算子L对应的确定性微分算 子；B为n m矩阵；I为m维单位矩阵；d(t- ) 为狄拉克d函数。 基于因果关系，当t< 时， h(t, )=0。当系统为时不变时， h(t, )=h(t- )

有了脉冲响应矩阵，离散线性系统对任意激励 X(t)的响应可用卷积积分得到，即 (3.2-3) 对时不变线性系统，瞬态响应可表示为Y (t ) h(t - ) X ( )d t0 t t - t0 0

Y (t ) h(t, ) X ( )d h(t, ) X ( )d t0 t0

t

h( ) X (t - )d

t -t0

(3.2-4)

-

h( ) X (t - )d

若X(t)是平稳的，则当t0 - 时，渐近稳定的 时不变线性系统的响应也是平稳的，于是Y (t ) h(t - ) X ( )d h( ) X (t - )d - 0

h( ) X (t - )d -

(3.2-5)

基于激励与响应关系式(3.2-3)-(3.2-5),并 注意期望运算与均方积分次序的可交换性，不 难得出各种响应统计量。

一般离散线性系统对任意随机激励的响应统计 量为平均矢量E[Y (t )]

h(t , ) E [ X ( )]d t0 t

相关矩阵RYY (t1 , t2 ) t2 t0

h(t , ) E [ X ( )]d t0

(3.2-6)

t1

t0

h(t1 , 1 ) RXX ( 1 , 2 ) hT (t2 , 2 ) d 1d 2 h(t1 , 1 ) RXX ( 1 , 2 ) hT (t2 , 2 ) d 1d 2

t0

t0

(3.2-7)

激励与响应互相关矩阵RXY (t1 , t2 ) RXX (t1 , 2 )hT (t2 , 2 )d 2t0 t2

(3.2-8)

方差矩阵

RXX (t1 , 2 )hT (t2 , 2 )d 2t0

Var[Y (t )] RYY (t , t ) - E[Y (t )]E[Y T (t )]

(3.2-9) 时不变离散线性系统对平稳激励的瞬态响应统 计量为平均函数E[Y (t )] t -t0 0

h( )d E[ X ]

t -t0

-

h( )d E[ X ]

(3.2-10)

相关矩阵RYY (t1 , t2 )

0 t2 - t0 -

t2 - t0

t1 -t 0 t1 -t 0

0

h( 1 ) RXX (t 2 - t1 + 1 - 2 )hT ( 2 )d 1d 2 h( 1 ) RXX (t2 - t1 + 1 - 2 )hT ( 2 )d 1d 2

-

(3.2-11) 激励与响应互相关矩阵RXY (t1 , t2 ) t2 -t0 0

RXX (t2 - t1 - 2 )hT ( 2 )d 2 RXX (t2 - t1 - 2 )hT ( 2 )d 2

方差矩阵

t2 -t0

-

(3.2-12)

Var[Y (t )] RYY (t , t ) - E[Y ]E[Y T ]

(3.2-13)

渐近稳定的时不变离散线性系统对平稳激励的 平稳响应统计量为 均值矢量 相关矩阵RY ( ) E[Y ] h( )d E[ X ] h( )d E [ X ] (3.2-14)0 -

0

0

h( 1 ) RX ( + 1 - 2 )hT ( 2 )d 1d 2 h( 1 ) RX ( + 1 - 2 )hT ( 2 )d 1d 2

- -

(3.2-15)

激励与响应互相关矩阵RXY ( ) RX ( - 2 )hT ( 2 )d 20

RX ( - 2 )hT ( 2 )d 2-

(3.2-16)

方差矩阵Var[Y ] RY (0) - E[Y ] E[Y T ]

(3.2-17) 如果激励是高斯矢量随机过程，那么响应也将 是高斯矢量随机过程，以上给出的响应统计量 完全描述了响应过程。如果激励是非高斯随机 过程，响应一般亦是非高斯过程，上述统计量 只给出关于响应过程的近似描述，可以用脉冲 响应矩阵建立激励与响应的高阶统计量之间关 系，例见后。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ti24.html