新版线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

线性代数习题及答案all in

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n(n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n)(2n 2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n 1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n 1)=

n(n 1)

;

2

(4) τ(13…(2n 1)(2n)(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n(n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.

5x12

4. 本行列式D4

323

的展开式中包含

x1x

x12

x

x3和x4的项.

122x

(i1i2i3i4)

解： 设

D4

i1i2i3i4

( 1)

ai11ai22ai33ai44 ，其中i1,i2,i3,i4分别为不同列中对应元素的行下标，则D4展

开式中含

x3项有

( 1) (2134) x 1 x 2x ( 1) (4231) x x x 3 2x3 ( 3x3) 5x3

D4展开式中含x4项有

( 1) (1234) 2x x x 2x 10x4.

5. 用定义计算下列各行列式.

0200

(1)

1230

； (2)

001030000004

τ

002030450001

.

【解】(1) D=( 1)

(2314)

4!=24; (2) D=12.

6. 计算下列各行列式.

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2

14 13 12 1ab ac ae(1)

123 2； (2)

bdcd de；

506 2 bf

cf

ef

a 1

001234(3)

1b 10234101c 1； (4)

3412.

1d4123

5

06 22 1【解】(1)

D

r1 r2

3 1123 2 0;

5

06 21

1 1(2)

D abcdef 11

1 4abcdef

;

1 1 1

b 1

01 1

(3)D a1

c 1 ( 1)20

c 1 a bc 1 1 1

1

d

01d 1d0d cd 1

abcd ab ad cd 1;

234

234

2

34cr(4)D1 c

23412 r111

3r3 2r20

11 3cc1 c3

r1 c4

412

0 r3 rr14 1

02 2 2r

4 r20

0 4

4 160.123

1 1 1

47. 证明下列各式.

a2

abb2(1)

2aa b2b (a b)2； 1

1

1

a2

(a 1)2(a 2)2(a 3)2(2)

b2(b 1)2(b 2)2(b 3)2c

2

(c 1)2

(c 2)

2

(c 3)

2

0；

d2(d 1)2(d 2)2(d 3)2

a2

a3aa2

(3)

b2b3 (ab bc ca)bb2

c2

c3

c

c2

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a00b

(4)

D

0ab02n0cd0 (ad bc)n；

c

d

1 a1

1 111 a2

1(5)

n

1 n

1 i ai. i 1ai 1

1

1

1 an

【证明】(1)

cc(a b)(a b)b(a b)b2

左端1 c

3

2(a b)a b2b2 c3

001

(a b)(a b)b(a b)2(a b)

a b

(a b)2

a bb2

1

(a b)3 右端.

a2

2a 14a 46a 9a22a 126c-c2(2)

左端2

1

b22b 14b 46b 9c3-2c2c2c 1

4c 4

6c 9

c

b2b 126 0 右端.

c3 cc14 3c2

41

c

2

c

2

2c 126d2

2d 14d 46d 9

d2

2d 126

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

xx2

x3f(x)

aa2a3bb2

b

3

(x a)(x b)(x c)(a b)(a c)(b c)(*)c

c2

c3

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

aa2

(ab bc ac)(a b)(a c)(b c) (ab bc ac)bb2,

c

c2

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

a2

a3( 1)1 1b2

b3, c2

c3

(4) 对D2n按第一行展开，得

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ab00a

b

a

ba

bD2n a

cd b

c

d

cd00cd0

d

c0

ad D2(n 1) bc D2(n 1) (ad bc)D2(n 1),

据此递推下去，可得

D2n (ad bc)D2(n 1) (ad bc)2D2(n 2)

(ad bc)n 1D2 (ad bc)n 1(ad bc) (ad bc)n

D2n (ad bc)n.

(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立. 按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

a1 101

1 11 a1D11 a

1111 a2

102n

1

1

1

1

11 1 an 1

01

1

1

an

a1a2 an 1 anDn 1.

但由归纳假设

n 1D1

n 1 a1a2 an 1

1

i 1a , i

从而有

n 1D aa1

n1a2 n 1 ana1a2 an 1 1 i 1a

i

a n1 n1 n

1a2 an 1an 1 a 1 ai.i 1i i 1ai i 1

8. 计算下列n阶行列式.

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x1 1

122 2 12

22 2(1)

D1xn

(2)

Dn 2

23 2；

11 x

2

2

2

n

xy0

000

xy 00

(3)Dn

. (4)Dn aij

其中aij

i j(i,j 1,2, ,n) ；

000 xyy

x

210 00121 00

(5)D12 00n

0

.

000 21000 12

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n 1),得

1 1

Dn [x (n 1)]

x 1

,

1 x

将第一行乘（ 1）后分别加到其余各行，得

1

1 1Dn [x (n 1)]

1x 1

0 1

(x n 1)(x 1)n.

x 1

222 2000

0222 2r010 010 0D2 r1

(2)

0nr

3 r1002 0002 0 2(n 2)!.

r n r1

000

n 000 n 2

(3) 行列式按第一列展开后，得

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x0Dn x

0y

yx 00

0 00y 00

0 x0 0

yx

yx 0

0yx 0

0 000 00y 00

y

y( 1)n 10

0 x

x x(n 1) y ( 1)(n 1) y(n 1) xn ( 1)n 1yn.

(4)由题意，知

a11

a12 a1na22 a2n

an2 ann

01 11

01 2

11 11

2

101

210

n 1 n 2 n 3

0

Dn

a21 an1

n 1n 2n 3

n 2n 1

1 1

11

1 1 1 1

1 1 1

后一行减去前一行

1 11

00 00

12 00

20 00

n 2n 1

10

02

10 00

20 002 0

00 2

1 1 1

12 n 2n 120

按第一列展开 02

00

00 2

00 0

按第n-1列展开( 1)

n 1

(n 1)

( 1)n 1(n 1)2n 2.

210 00121 00

(5)

200 00121 00

012 00

000 21000 12

010 00121 00012 00

000 21000 12

Dn

012 00

000 21000 12 2Dn 1 Dn 2.

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即有

Dn Dn 1 Dn 1 Dn 2 D2 D1 1

由

Dn Dn 1 Dn 1 Dn 2 D2 D1 n 1 得

Dn D1 n 1, Dn n 1 2 n 1.

9. 计算n阶行列式.

a1

a2

anDa11 a2

ann

a1

a2

1 an

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1

n

a

i，得

i 1

a2a3 ann

1 a2

a3

anD n 1 aia21 a3

an, i 1

a2

a3

1 an

将第一行乘（ 1）后加到其余各行，得

1a2

a3 ann

010 0n

D n 1 ai01

0 1 1

i ai.

i 10

1

10. 计算

n阶行列式（其中ai 0,i 1,2, ,n）.

an 11an 12an 1

3

an 1n

an 21b1

an 22b2

an 2 an 23b3nbn

Dn

.

an 2abn 2

1b122abn 2n 2

33 anbn

bn 1

1bn 1 1

2

bn3

bn 1n

【解】行列式的各列提取因子an 1

j

(j 1,2, ,n),然后应用范德蒙行列式.

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111 1b1b2b3a

bn1

a2a3an2

2

D 2

2

n (a1a2 an)n 1

b1 a1 b2 b3 a2 a3 bn an

n 1n 1n 1

b1 n 1

a 1

b2 a2

b3 a3

bn an

(a bi1a2 a 1

n)n1 bj .j i n ai

aj 11. 已知4阶行列式

1234D33444

1567;

1122

试求

A41 A42与A43 A44，其中A4j为行列式D4的第4行第j个元素的代数余子式.

【解】

234134A41 A42 ( 1)4 1344 ( 1)4 2344 3 9 12.

567

167

同理

A43 A44 15 6 9.

12. 用克莱姆法则解方程组.

x1 x2 x3 5,

5x1 6x2 1,

2x x x x 1,

x1 5x2 6x3 0,

(1)

1234

x x2 5x3 6x4 0, 1 2x (2) 2 x3 x4 2, x2 2x3 3x4 3.

x3 5x4 6x5

0,

x4 5x5 1.

【解】方程组的系数行列式为

11101110

D

21 11

0 1 31

1 31 1 31

12 1101 21 1 21 0

52 18 0; 01

2

3

1

2

3

1

2

3

14

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51101510D11 1121 111

22 11 18;

D2

12 11 36;

31

2

3

03231150

11

1

5

D1111 113

21221 36;

D4

212 12 18.

0133

01

2

3

故原方程组有惟一解，为

xD11

1,xD 2,xD3D

4D2 2D3 D 2,x4 D

1.2)D 665,D1 1507,D2 1145,D3 703,D4 395,D5 212. x1507665,x2293779212

1 2 133,x3 35,x4 133,x5 665

.

13. λ和μ为何值时，齐次方程组

x1 x2 x3 0,

x1 x2 x3 0, x1

2 x2 x3 0

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

11

1

1 0,

12 1

即

(1 ) 0.

故

0或 1时，方程组有非零解.

14. 问：齐次线性方程组

x1 x2 x3 ax4 0,

x1 2x2 x3 x4

0, x1 x2 3x3 x4 0, x1 x2 ax3 bx4 0

有非零解时，a,b必须满足什么条件？ 【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足

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121

11a

a1b 0,

1 31

即(a+1)2=4b. 15. 求三次多项式

f(x) a0 a1x a2x2 a3x3，使得

f( 1) 0,f(1) 4,f(2) 3,f(3) 16.

【解】根据题意，得

f( 1) a0 a1 a2 a3 0;f(1) a0 a1 a2 a3 4;f(2) a

0 2a1 4a2 8a3 3;f(3) a0 3a1 9a2 27a3 16.

这是关于四个未知数a0,a1,a2,a3的一个线性方程组，由于

D 48,D0 336,D1 0,D2 240,D3 96.故得a0

7,a1 0,a2 5,a3 2

于是所求的多项式为

f(x) 7 5x2 2x3

16. 求出使一平面上三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直线上的充分必要条件.

【解】设平面上的直线方程为

ax+by+c=0 (a,b不同时为0)

按题设有

ax1 by1 c 0, ax 2 by2 c 0, ax3

by3 c 0,

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

x1y11x2y21 0 x3

y31

上式即为三点(x1,y1),(x2,

y2),(x3,y3)位于同一直线上的充分必要条件.

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习题 二

1. 计算下列矩阵的乘积.

1 1

32 10 ； （2） （1）= 2 3

500 1 031 2 ； 021 3

a11

x3 a21

a31

a12a22a32

a13 x1

x ； a23 2 a33 x3

（3）

3

2

； （4） x1

1234

1 0

a12a22a32

a13 100

011 ； （6） a23 a33 001

x2

a11

（5） a21 a31

【解】

1

0 0 0210 1

0101

021 0

003 01

12 1 . 0 23

00 3

03

(1)

32 1 3 21

64 2

96 3

2111

2222

0

5

0 ; (2) 3 ; (3) (10);

0

1

0

2333

3

3

(4)

ax ax ax (a12 a21)x1x2 (a13 a31)x1x3 (a23 a32)x2x3 aijxixj

i 1j 1

a11 (5)a21 a31

a12a22a32

a12 a13

a22 a23 ; (6) a32 a33

1

0 0 02

12 4 . 0 43

00 9

25

2.

111 121 ，B 13 1 ，

11 设A 1 1 11 214

求(1)

AB 2A;(2) AB BA；(3) (A+B)(A B) A2 B2吗?

242 440 AB 2A 400 ; (2) AB BA 5 3 1 ;

024 31 1

【解】(1)

(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A B)≠A2 B2. 3. 举例说明下列命题是错误的.

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(1) 若A2 O， 则A O； (2) 若A2 A， 则A O或A E；

(3) 若AX=AY，A O， 则X=Y.

【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取A 001 000 ,A2

0,但A≠0

000 1 (2) 令A 10

000 ,则A2=A,但A≠0且A≠E

001

(3) 令A 110 011 2 1 0,Y= 1 ,X 2

101 1 0

则AX=AY,但X≠Y.

4.

设A 1 , 求A2，A3，…，Ak.

01

【解】

A2 12 3 1 01 ,A 3 01 , ,Ak 1k 01

. 5.

A= 10 0 1 ，

求

A2,A3并证明：

00

k k 1

k(k 1)k 2Ak= k

2

0 k

k k 1 .

00

k

2

2

1 33 2

3 【解】A2

=

0 2

2 3 2 ,A3=

0 3

.

00

2

00 3

今归纳假设

k

k k 1

k(k 1)k 2Ak=

2

0 k

k k 1

00

k

那么

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Ak 1 AkA

k = 0 0k k 1

k(k 1)k 2

10 2

0 1 kk 1

k

00 0 k

k 1(k 1) kk(k 1)k 1

2

0 k 1(k 1) k

,

00 k 1

所以，对于一切自然数k,都有

k

k k 1

k(k 1)k 2Ak=

2

0 k

k k 1

.

00

k

6. 已知

AP=PB，其中

100 B= 000 100

,P= 2 10

1

00 1 21

求

A及A5.

【解】因为|P|= 1≠0,故由AP=PB,得

100

A PBP 1 200 ,

1 1

6

而

A5 (PBP 1)5 P(B)5P 1

100 100 100 2 10 000 10 1 2 10 20 211 00 411 6 1 abcd b

ad

c 7. 设A=

cda b ，求|A|. d

c

b

a

解：由已知条件，

A的伴随矩阵为

0

0 A. 1

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a

bbc ad

d c A = (a2 b2 c2 d2)

cda b (a2 b2 c2 d2)A d

c

b

a

又因为

A A=AE，所以有

(a2 b2 c2 d2)A2=AE，且A 0，

即

(a2 b2 c2 d2)A2=(a2 b2 c2 d2)4AA=A4

E

于是有

A (a2 b2 c2 d2)2.

8. 已知线性变换

x1 2y1 y2, y1 3z1 z2, x 2y

2 1 3y2 2y3, y2 2z1 z3, x3 4y1 y2 5y3; y3

z2 3z3,

利用矩阵乘法求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换. 【解】已知

x1 10 X x 22 232 x3 415 y1

y 2 AY, y3 y1 10 z1Y y 32 01

z Bz, 2 y3

0 1

3 2z 3 4

21

X AY ABz 12

49 z, 10

116

从而由z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换为

x1 4z1 2z2 z3,

x2 12z1 4z2 9z3, x3

10z1 z2 16z3.

9. 设

A，B为n阶方阵，且A为对称阵，证明：B AB也是对称阵.

【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A, 所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故B AB也为对称阵.

10. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA. 【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.

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则 AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则

(AB)′=B′A′=BA=AB,

所以，AB为对称阵.

11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明： (1) B2是对称矩阵.

(2) AB BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 【证明】

因A′=A,B′= B,故

(B2)′=B′²B′= B²( B)=B2; (AB BA)′=(AB)′ (BA)′=B′A′ A′B′ = BA A²( B)=AB BA;

(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′ = BA+A²( B)= (AB+BA).

所以B2是对称矩阵，AB BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.

12. 求与A=

11

01可交换的全体二阶矩阵.

【解】设与A可交换的方阵为

a

b c

d ,则由 11 ab b

01

cd = a

c

d 11 01 ,

得

a cb d aa b cd cc d .

由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如

ab

0a的方阵，其中a,b为任意数.

1013. 求与A= 0 012 可交换的全体三阶矩阵.

01 2

【解】由于

A=E+ 000

002

,

01 3

而且由

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

a1b1c1 b1c1

ac 000 000 a1

2b20b2c 2 a3

b3

c 02 3 002 2 a23 01 01 3 a3bc , 33

可得

0c1

2b1 3c1 00

0c

22b 0

2 3c22a2b32c 3 2bc

3 . 0c3

3 33 a2 3a3

b2 3b3

c2 3c3

由此又可得

c1 0,2b1 3c1 0,2a3 0,a2 3a3 0,c2 2b3,c3 b2 3b3,2b2 3c2 2c3,

2b3 3c3 c2 3c3,

所以

a2 a3 b1 c1 0,

c2 2b3,c3 b2 3b3.

a10

即与A可交换的一切方阵为 0b22b 3 其中a1,b2,b3为任意数. 0b3

b2 3b3 14. 求下列矩阵的逆矩阵.

(1)

12

(2) 123 25 ；

012 ； 001

12 1 1

000 (3) 34 2； (4)

1200 5 4 1

130

； 2 1214

5200 100 a1 (5)

2 0083

； (6) a

2

a1,a2, ,an

0 ，

0052

a n

未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】

(1) 5 2 ; 1 21

21(2)

01 2 ; 001

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

1

10100 (3)

1 1260 6

74 1; (4)

2200 2 3214

1 2 11630 ; 11 8

524

1124

1

a1 1 200 (5)

2500 1

00 ; (6) a2

2 3 00 58

.

1

a n

15. 利用逆矩阵，解线性方程组

x1 x2 x3 1,

2x2 2x3 1, x1 x2

2. 【解】因 111 022 x1 1 111x 1 ,而022 0

1 10 2 x3

2 1 10故

1

x1 111

0

1 x 022 1 1

122 1

0 1

1 2 x3

1 10 1 1 3 . 2

2 2 111 2 2

16. 证明下列命题：

(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*. (2) 若A可逆，则A*可逆且（A*） 1=（A 1）*. (3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*) 1.

【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|²|B|²B*A*=|AB|E(B*A*)

=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A* =(AB) *A|B|EA*=|A|²|B|(AB) *.

∵ |A|≠0,|B|≠0, ∴ (AB) *=B*A*.

(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A 1,从而(A 1) *=|A 1|(A 1) 1=|A| 1A. 于是

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

A* (A 1) *=|A|A 1²|A| 1A=E,

所以

(A 1) *=(A*) 1. (3) 因AA′=E，故A可逆且A 1=A′. 由(2)(A*) 1=(A 1) *,得

(A*) 1=(A′) *=(A*)′.

17. 已知线性变换

x1 2y1 2y2 y3,

x2 3y1 y2 5y3, x3

3y1 2y2 3y3,

求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.

【解】已知

x1 X x 221 y1

2 315 x y 2

AY, 3 323 y3

且|A|=1≠0,故A可逆，因而

7 49

Y A 1X 63 7 X,

32 4

所以从变量x1,x2,x3到变量y1,

y2,y3的线性变换为

y1 7x1 4x2 9x3,

y2 6x1 3x2 7x 3, y3

3x1 2x2 4x3,

18. 解下列矩阵方程.

(1)

12 4 6

13 X= 21 ；

(2)X 21 1 210 21 1 210 ；

11 1 1 11

(3)

14 20 31 12 X 11 = 0 1 ； 010 100 0 4(4)

3 100 1 X 001 0 20 1 . 00 01 1 20

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

【解】(1) 令A=

12 ;B= 4 6 . 13 21 由于 A 1

3 2 11

故原方程的惟一解为

X A 1

B 3 2 4 6 11 8 20

21 27

.

同理

101

2 10 (2) X= 0 010 1

; (3) X= ; (4) X= 03 4 01 1 0

40

.

10 2

19. 若

Ak=O (k为正整数)，证明：

(E A) 1=E+A+A2+ +Ak 1.

【证明】作乘法

(E A)(E+A+A2+ +Ak 1)

E+A+A2+ +Ak 1 A A2 Ak 1 Ak E Ak E,

从而E A可逆，且

(E A) 1=E+A+A2+ +Ak 1

20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A 1及(A+2E) 1. 【证】因为A2 A 2E=0, 故

A2 A 2E 1

2

(A E)A E.

由此可知，A可逆，且

A 1 1

2

(A E).

同样地

A2 A 2E 0,A2 A 6E 4E,(A 3E)(A 2E) 4E,

1

4

(A 3E)(A 2E) E.由此知，A+2E可逆，且

(A 2E) 1 14(A 3E) 1

4

(A E)2.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ti1i.html