第3章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

《数学分析（1，2，3）》教案

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

§1. 关于实数的基本定理

前面我们粗略地了解了实数集的确界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准则.这三个

命题以不同方式反映了实数集R的一种特性，通常称为实数的完备性、实数的连续性或实数的稠密性。有关实数集完备性的基本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个基本定理。共有六个基本定理：

1实数戴德德公理 确界原理

2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理

5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理

一 子列

定义 设?an?为数列，?nk?为正整数集N?的无限子集，且n1?n2???nk??,则数列

an1,an2,?,ank,?

称为数列?an?的一个子列,简记为{ank}.

注1 保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列。

注2 由定义可见，?an?的子列ank的各项都选自?an?，且保持这些项在?an?中的先后次序．ank中

的第k项是?an?中的第nk项，故总有nk?k．实际上?nk?本身也是正整数列?n?的子列．

例如，子列?a2k?由数列?an?的所有偶数项所组成，而子列?a2k?1?则由?an?的所有奇数项所组成．又?an?本身也是?an?的一个子列，此时nk?k，k?1,2，?.

注3 数列?an?本身以及?an?去掉有限项后得到的子列，称为?an?的平凡子列；数列?an?与它的任一

平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．不是平凡子列的子列，称为?an?的非平凡子列．例如?a2k?和?a2k?1?都是?an?的非平凡子列．

注4 子列的下标不是nk而是k,表示在子列的第k项。所以子列收敛的定义是针对k的。 定理 数列?an?收敛的充要条件是：?an?的任何非平凡子列都收敛．

???? 3-1

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证 必要性 设liman?a，ank是?an?的任一子列．任给??0，存在正数N，使得当k?N时有

n????ak?a??．由于nk?k，故当k?N时更有nk?N，从而也有ank?a??，这就证明了ank收敛(且

与?an?有相同的极限)．

充分性 考虑?an?的非平凡子列?a2k?，?a2k?1?与?a3k?．按假设，它们都收 敛．由于{a6k}既是?a2k?，又是?a3k?的子列，故由刚才证明的必要性，

??lima2k?lima6k?lima3k． （9）

k??k??k??又?a6k?3?既是?a2k?又是?a3k?的子列，同样可得

lima2k?1?lima3k. （10）

k??k??(9)式与(10)式给出

lima2k?lima2k?1.

k??k??所以?an?收敛

若数列?an?的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与?an?必收敛于同一个极限．于是，若数列?an?有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列?an?一定发散．例如数列??1?成的子列??1??n?，其偶数项组

?2n?收敛于

1，而奇数项组成的子列??1??2k?1?收敛于—1，从而???1??发散.再如数列

n?n???2k?1??n??k?1???1，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列发散，故数列sinsin??????sin?发

2?22???????散.由此可见，定理是判断数列发散的有力工具． 例：证明 ?sin??n???不收敛。 3?推论：若对任何?xn?：xn?x0,xn?x0,都有f?xn?收敛，那么f?x?在x0的极限存在。

证明：若存在着两个不同的极限，选两个不同的子列，共同组成一个数列，则此列不收敛，与前提矛盾。 注意与归结原则的区别。 二 上确界和下确界

1 区间与邻域

设a、b? R，且a?b．我们称数集{x|a?x?b}引为开区间，记作(a,b)；数集{x|a?x?b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a?x?b}和{x|a?x?b}都称为半开半闭区间，分别记作[a,b)和(a,b]．以上这几类区间统称为有限区间．

3-2

??《数学分析（1，2，3）》教案

无限区间:[a,??)?xx?a ,(??,a]?{x|x?a},(a,??)?{x|x?a},

??(??,a]?{x|x?a},(??,??)?{x|???x???}?R都称为无限区间．

有限区间和无限区间统称为区间．

设a?R，??0．集合U(a;?)?{x|x?a??}?(a??,a??).称为点a的?邻域，记作U(a;?)，或简单地写作Ｕ(a).

?点a的空心?邻域定义为U(a;?)?{x|0?x?a??},或简单地记作U(a) ，注意

?U?(a;?)与U(a;?)的差别在于: U?(a;?)?{x|0?x?a??}不包含点a．

此外，我们还常用到以下几种邻域：

点a的?右邻域U?(a;?)?[a,a??)，简记为U?(a); 点a的?左邻域U?(a;?)?(a??,a]，简记为U?(a);

(U?(a)与U?(a)去除点a后，分别为点a的空心?左、右领域，简记为U??(a)与U??(a)．)

?邻域U(?)?{x|x?M}，其中M为充分大的正数(下同)； ??邻域U(??)?{x|x??M}，??领域U(??)?{x|x??M}．

2 有界集.确界原理

定义 设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切x?S，都有x?M(x?L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集． 例 证明数集N??{n|n为正整数}有下界而无上界．

证 显然，任何一个不大于1的实数都是N?的下界，故N?为有下界的数集．

为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数no(?N?)，使得no?M事实上，对任何正数M(无论多么大)，取n0??M??1，则no?N?，且no?．这就证明了N?无上界．

同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集． 定义 设S是R中的一个数集．若数?满足： （i）对一切x?S，有x??，即?是S的上界；

（ii）对任何???存在xo?S，使得xo??即?又是S的最小上界 则称数?为数集S的上确界，记作??supS

定义 设S是R中的一个数集．若数?满足： （i）对一切x?S，有x??，即?是S的下界

（ii）对任何???，存在xo?S，使得xo??,即?又是S的最大下界，则称数?为数集S的下确界，记作 ??infS

上确界与下确界统称为确界．

例 设S?{x|x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、下确界的定义验证： supS?1,infS?0.

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解 先验证supS?1:

（i）对一切x?S，显然有x?1即1是S的上界．

(ii)对任何??1，若??0，则任取xo?S都有xo??；若??0，则由有理数集在实数集中的稠密性，在(?,1)中必有有理数xo即存在xo?S，使得xo??．

类似地可验证infS?0

定理2 由上(下)确界的定义可见，若数集S存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数集S存在上、下确界，则有infS?supS．

注2 数集S的确界可能属于S，也可能不属于S． 例 设数集S有上确界．证明:??supS?S???maxS

证 ?)设??supS?S，则对一切x?s有x??，而??S，故?是数集S中最大的数，即，

??maxS．

?)??maxS，则??S；下面验证??supS． （i）对一切x?S，有x??，即?可是S的上界；

（ii）对任何???，只须取xo???S，则xo??从而满足??supS的定义．

可达与不可达

定理3(确界原理) 设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界． 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．

为叙述的方便起见，不妨设S含有非负数．由于S有上界，故可找到非负整数n，使得 1?对于任何x?S有x?n?1; 2?存在a0?S,使a0?n.

对半开区间?n,n?1?作10等分,分点为n.1,n.2,?,n.9,则存在0,1,2,?,9中的一个数n1,使得 1)对于任何x?S有x?n.n1?1； 10 2)存在a1?S，使a1?n.n1．

1)作10等分，则存在0,1,2,?9中的一个数n2使得 101 1)对于任何x?S有x?n.n1n2?2

10 再对半开区间[n.n1,n.n1?2)存在a2?S，使a2?n.n1n2.

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继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在0,1,2,?9中的—个数nk，使得 1)对于任何x?S有x?n.n1n2?nk?1 k10 2)存在ak?S，使 ak?n.n1n2?nk.

将上述步骤无限地进行下去，得到实数??n.n1n2?nk?.．以下证明??supS．为此只需证明： （i）对一切x?S有x??；（ii）对任何???，存在?'?S使??a'．

倘若结论（i）不成立，即存在x?S使x??，则可找到x的k位不足近似xk，使

xk??k?n.n1n2?nk?从而得

1， 10kx?n.n1n2?nk?但这与不等式(1)相矛盾．于是（i）得证．

1， k10 现设???，则存在k使?的k位不足近似?k??k，即

n.n1n2?nk??k，

根据数?的构

a'?S使a'??k，从而有

a'??k??k??，

即得到??a'，．这说明（ii）成立．

例 设A,B为非空数集，满足：对一切x?A和y?B有x?y．证明：数集A有上确界，数集B下确界，且

supA?infB ?2?

证 由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B 的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界．

现证不等式(2)对任何y?B，y是数集A的一个上界，而由上确界的定义 知，supA是数集A的最小上界，故有supA?y．而此式又表明数supA是数集

B的一个下界，故由下确界定义证得supA?infB．

例 设A,B为非空有界数集，S?A?B．证明： （i）supS?max{supA,supB}；

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《数学分析（1，2，3）》教案

（ii）infS?min{infA,infB}.

证 由于S?A?B显然也是非空有界数集，因此S的上、下确界都存在．

（i）对任何x?S，有x?A或x?B?s?supA或x?supB，从而有x?max?supA,supB?，故得supS?max?supA,supB?.

另一方面，对任何x?A，有x?S?x?supS?supA?supS;；同理又有supB?supS．所以

supS?max?supA,supB?．

综上，即证得supS?max?supA,supB?．

(ii)可类似地证明．

推论：若把??和??补充到实数集中，并规定任一实数a与??、??的大小关系为：a???，a???,?????,则确界概念可扩充为：若数集S无上界，则定义??为S的非正常上确界，记作

supS???；若S无下界，则定义??为S的非正常下确界，记作infS???．相应地，前面定义2和定

义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界．

推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的). 定理4 单调有界数列必收敛.

证明 不妨设?an?为有上界的递增数列．由确界原理，数列?an?有上确界，记a?sup?an?．下面证明事实上，任给??0，按上确界的定义，存在数列?an?中某一项aN，使得a???aN．又a就是?an?的极限．

由?an?的递增性，当n?N时有

a???aN?an．

另一方面，由于a是?an?的一个上界，故对一切an都有an?a?a??．所以当n?N时有

a???an?a??，

即liman?a．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．

n??三 区间套定理

区间套: 设{ [ an , bn ] }是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ> 对? n, 有 [ an?1 , bn?1 ]?[ an , bn ]; ⅱ> bn?an?0, (n??).

则称该闭区间序列??an,bn??为闭区间套，简称区间套。

这里性质（?）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：

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a1?a2???an???bn???b2?b1. （1） 注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.

( ?1 )n2111例：{ [ ? , ] }和{ [ 0 , ] }都是区间套.但{ [ 1? , 1? ] }不是.

nnnnn定理5（区间套定理） 若??an,bn??是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点?，使得???an,bn?，

n?1,2,?，即

an???bn， n?1,2,?. （2） 证 由（1）式，?an?为递增有界数列，依单调有界定理，?an?有极限?，且有 an??,n?1,2,?. （3） 同理，递减有界数列?bn?也有极限，并按区间套的条件（??）有

limbn?liman??， （4）

n??n??且 bn??,n?1,2,?. （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。

最后证明满足（2）的?是唯一的。设数??也满足 an????bn,n?1,2,?, 则由（2）式有

?????bn?an,n?1,2,?. 由区间套的条件（??）得 故有????.

由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：

推论 若???an,bn?(n?1,2,?)是区间套??an,bn??所确定的点，则对任给的?>0，存在N>0，使得当n>N时有

?????lim(bn?an)?0，

n???an,bn??U??；??．

????1??n?? 注 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如??0,??，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且lim??0??0，但不存在属于所有开区间的公共点.

?

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?1n??n??《数学分析（1，2，3）》教案

四 致密性定理

定义2 设S为数轴上的点集，?为定点(它可以属于S，也可以不属S)．?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点．

例如，点集S??(?1)n??有两个聚点?1??1和?2?1；点集S???只有一个聚点??0；又若S为

??1?n??1??n?开区间?a,b?，则?a,b?内每一点以及端点a、b都是S的聚点；而正整数集??没有聚点，任何有限数集也没有聚点．

聚点概念的另两个等价定义如下：

定义2’ 对于点集S，若点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点，即U0(?;?)?S??，则称?为S的一个聚点．

定义2” 若存在各项互异的收敛数列?xn??S，则其极限limxn??称为S的一个聚点

n??关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下．

定义2?定义2’是显然的，定义2” ?定义2也不难得到；现证定义2’ ?定义2” 设?为S(按定义2’)的聚点，则对任给的??0，存在x?U??;???S．

?令?1?1，则存在x1?U??;?1??S；

?令?2?min?,??x1?，则存在x2?U??;?2??S，且显然x2?x1；

??1?2????

令?n?min??1?,??xn?1?，则存在xn?U???;?n??S，且xn与x1,?,xn?1互异。 ?n? 无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列?xn?，且由??xn??n?1，易见limxn??。

n??n 下面我们应用区间套定理来证明聚点定理．

定理 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点． 证 因S为有界点集，故存在M?0，使得S???M,M?，记?a1,b1????M,M?

现将?a1,b1?等分为两个子区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为?a2,b2?，则?a1,b1???a2,b2?且

b2?a2?1?b1?a1??M 2 再将?a2,b2?等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为?a3,b3?，则?a2,b2???a3,b3?，且

b3?a3?1?b2?a2??M 223-8

《数学分析（1，2，3）》教案

将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列??an,bn??，它满足

?an,bn???an?1,bn?1?,n?1,2,?,

bn?an?M?0 ?n??? n?12 即??an,bn??是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点．

由区间套定理，存在唯一的一点???an,bn?，n?1,2,?,．于是由定理5的推论，对任给的??0，存在N?0，当n?M时有?an,bn??U??;??．从而U??;??内含有S中无穷多个点，按定义2，?为S的一个聚点．

推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列．

证 设?xn?为有界数列．若?xn?中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.

若?xn?不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集?xn?至少有一个聚点，记为?。则存在?xn?的一个收敛子列(以?为其极限). 推论 若?xn?是一个无界数列，则存在子列xnk??。

证明 取界为k ,则存在着一个项xnk位于xnk?1之后，则有xnk?k。（前面有限个项是有界的）。 五 Cauchy收敛原理

定理6 数列{ xn }收敛 ? ???0,?N?N?,当n,m?N时，有xn?xm??。

证 充分性

设数列?an?满足柯西条件．先证明?an?是有界的．为此，取??1,则存在正整数N，当m=N+1及n>N时有

an?aN?1?1.

由此得an=an?aN?1?aN?1?an?aN?1?aN?1?aN?1?1.令 M=maxa1,a2,?,aN,aN?1?1, 则对一切正整数n均有an?M.

于是，由致密性定理，有界数列?an?必有收敛子列ank,设limank=A．对任给的?>0，存在K>0，当

k??????m,n,k>K时，同时有

an?am??2(由柯西条件)，

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《数学分析（1，2，3）》教案

ank?A?因而当取m=nk(?k?K)时，得到

?2(由limank?A).

k?? an?A?an?ank?ank?A?这就证明了liman?A.

n???2??2??.

注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。 例：设xn?1?111????，证明?xn?发散。 23n取1/2，N，m=2n.

六 有限覆盖定理

复盖: 先介绍区间族G?{ I? , ??? }.

定义 (复盖 )：设E是一个数集,G是区间族.若对? x?E, ????, 使得x?I?, 则称区间族G复盖了E, 或称区间族G是数集E的一个复盖. 记为E??I?, ???.

?定义 (开复盖 )：数集E的一个开区间族复盖称为E的一个开复盖,简称为E的一个复盖. 子复盖、有限复盖、有限子复盖.

例 若函数f在（a,b）内连续，则给定?>0，对每一点x?(a,b)，都可确定正数?x(它依赖于?与x)，使得当

x??U(x;?x)时有f(x?)?f(x)〈?．这样就得到一个开区间集

H=(x??x,x??x)x?(a,b), 它是区间(a,b)的一个无限开覆盖．

定理8 (海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理) 设H为闭区间?a,b?的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖?a,b?

证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖?a,b?．

将?a,b?等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为?a1,b1?，则?a1,b1???a,b?，且b1?a1???1?b?a?． 2 再将?a1,b1?等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为?a2,b2?，则?a2,b2???a1,b1?，且b2?a2?1?b?a?． 22重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列??an,bn??，它满足

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ti13.html