第五章 相交线与平行线典型例题及拔高训练

第五章 相交线和平行线典型例题及强化训练

课标要求

①了解对顶角，知道对项角相等。

②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 ④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质

⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 典型例题 1.判定与性质 例1 判断题：

1)不相交的两条直线叫做平行线。 ( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ( ) 3)两直线平行，同旁内角相等。 ( ) 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。 ( ) 答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。

(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 例2 已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。 分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证

EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。 证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。

A BECDF

又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。

变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°－（∠B+∠D）。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。 又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。 ∴∠BED==360°－（∠B+∠D）（等式的性质）。 变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D－∠B。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠BED=∠FED－∠FEB， ∴∠BED=∠D－∠B（等量代换）。

变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B－∠D。 分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。

证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴∠1+∠2+∠D=180°。

∴∠1+∠2+∠D－（∠1+∠B）=180°－180°（等式的性质）。 ∴∠2=∠B－∠D（等式的性质）。 即∠BED=∠B－∠D。

例3 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。 证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。 过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。 ∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），

∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 又∵EH∥CD （已知），

∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。 ∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质） 即∠BFE=∠FEC。

证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。 ∵AB∥CD（已知），

∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠ABF=∠DCE（已知）， ∴∠1=∠DCE（等量代换）。

∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。 ∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。

证法三：（如图12）连结BC。 ∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠ABF=∠DCE（已知），

∴∠ABC－∠ABF =∠BCD－∠DCE（等式的性质）。 即∠FBC=∠BCE。

∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

强化训练

一.填空

1.完成下列推理过程 ①∵∠3= ∠4（已知），

__∥___（ ） ②∵∠5= ∠DAB（已知），

A4B5D3C∴____∥______（ ） ③∵∠CDA + =180°（ 已知 ）， ∴AD∥BC（ ）

2. 如图,已知DE∥BC,BD是∠ABC的平分线，∠EDC＝109°，

EAB ∠ABC＝50°则∠A 度，∠BDC＝ 度。 3. 如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC，∠BCD, 则∠AEB＋∠CED= 。

4、将点P(－3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，－1)，则xy=___________ 。 5、已知：如图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠BOC， 且∠AOC=68°，则∠BOE= 二、选择题

1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）

A 南偏西50度方向； B南偏西40度方向 ； C 北偏东50度方向 ； D北偏东40度方向

2.如图,AB∥EF∥DC，EG∥BD, 则图中与∠1相等的角共有( )个 A 6个 B .5个 C .4个 D.2个

3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是（ ） A、 a∥d B 、b⊥d C、a⊥d D、b∥c 4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( ) A. 50° B. 60° C.70° D.80° 5.已知：AB∥CD，且∠ABC=20°，∠CFE=30°,

AE1GBHFDCDC

则∠BCF的度数是 ( )

A、 160° B.150° C.70° D.50°

6判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l1∥l2的是（ ） （A）∠1＝∠3 （B）∠2＝∠3 （C）∠4＝∠5 （D）∠2＋∠4＝180°

7.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)?1??2； (2)?1??3；(3)?3??2中正确的个数为（ ） A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

8.下列命题正确的是（ ）

A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B、两线与第三线相交，内错角相等； C、两直线平行，内错角相等； D、两直线平行，同旁内角相等。 9.如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有……（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.如图，已知直线AB∥CD，当点E直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE＋∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是 （ ） A、∠BED＝∠ABE＋∠CDE或∠BED＝∠ABE－∠CDE; B、∠BED＝∠ABE－∠CDE

C、∠BED＝∠CDE－∠ABE或∠BED＝∠ABE－∠CDE; D、∠BED＝∠CDE－∠ABE

三、解下列各题：

C A

E

D B 1.如图，已知OA⊥OC，OB⊥OD，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。

D3CB21OA

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tht2.html