2011高考 - 概率统计与排列组合二项式定理

概率统计与排列组合二项式定理

安徽理

（12）设(x??)???a??a?x?a?x??La??x??，则 . 11（12)C20【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.

10101111【解析】a10?C21，a11?C21，所以 (?1)11??C21(?1)10?C21????????????. a???a???C???C???C???C???C???C??（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别

p?,p?,p?p?,p?,p?，假设p?,p?,p?互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q?,q?,q?，其中求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX； q?,q?,q?是p?,p?,p?的一个排列，

（Ⅲ）假定??p??p??p?，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分

布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.

解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1?p1)(1?p2)(1?p3)，

所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于

1?(1?p1)(1?p2)(1?p3)?p1?p2?p3?p1p2?p2p3?p3p1?p1p2p3.

（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时，随机变量X的分布列为

X P

1 2 3 q1 (1?q1)q2 (1?q1)(1?q2) 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是

- 1 -

EX?q1?2(1?q1)q2?3(1?q1)(1?q2)?3?2q1?q2?q1q2.

（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，

EX?3?2p1?p2?p1p2.

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明：对于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3，都有

3?2q1?q2?q1q2?3?2p1?p2?p1p2,……………………（*）

事实上，??(3?2q1?q2?q1q2)?(3?2p1?p2?p1p2)

?2(p1?q1)?(p2?q2)?p1p2?q1q2?2(p1?q1)?(p2?q2)?(p1?q1)p2?q1(p2?q2)

?(2?p2)(p1?q1)?(1?q1)((p2?q2)?(1?q1)[(p1?p2)?(q1?q2)]?0.

即（*）成立.

（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为3?(q1?q2)?q1q2?q1,若交换前两人的

派出顺序，则变为3?(q1?q2)?q1q2?q1,.由此可见，当q2?q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值.

（ii）也可将（II）中所求的EX改写为3?2q1?q2?q1q2，或交换后两人的派出顺序，

则变为3?2q1?q3?q1q3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3?q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.

综合（i）（ii）可知，当(q1,q2,q3)?(p1,p2,p3)时，EX达到最小. 即完成任务概率大的

人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的. 安徽文(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 （A）

???? (B) (C) (D)

?????（9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.

【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为

31?.故选D. 155（20）（本小题满分10分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

2002 2004 2006 2008 2010 - 2 -

需求量（万吨） 236 246 257 276 286 （Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y?bx?a;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。 温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明. （20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下： 年份—2006 需求量—257 －4 －21 －2 －11 0 0 2 19 4 29 对预处理后的数据，容易算得

x?0,y?3.2,(?4)?(?21)?(?2)?(?11)?2?19?4?29260b???6.5, 2222404?2?2?4a?y?bx?3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为

?

y?257?b(x?2006)?a?6.5(x?2006)?3.2, )?260.2. ①即y?6.5(x?2006

（II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

?6.5(2012?2006)?260.2?6.5?6?260.2?299.2（万吨）≈300（万吨）.

北京理

12.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答)

【解析】个数为2?2?14。

17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

4

（1）如果X?8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（2）如果X?9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。

2（注：方差s?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]，其中x为x1，x2，?，xn的平均n- 3 -

数） （17）（共13分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为

x?8?8?9?1035?;

44方差为

13535353511s2?[(8?)2?(8?)2?(9?)2?(10?)2]?.

4444416（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同

学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得P(Y?18)?21?. 1681111;P(Y?19)?;P(Y?20)?;P(Y?21)?. 444818 19 20 21 所以随机变量Y的分布列为： Y P 17 1 81 41 41 41 8EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×

11111+18×+19×+20×+21× 84448=19

北京文

7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时

间为

x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储8费用之和最小，每批应生产产品 B A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 16．（本小题共13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.

- 4 -

（注：方差s?21[(x1?x)2?(x2?x)2??(xn?x)2],其中x为x1,x2,?,xn的平均n数） （16）（共13分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为

8?8?9?1035?;方

44135353511s2?[(8?)2?(9?)2?(10?)2]?.

444416x?差为

（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：

（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），

用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P(C)?41?. 164福建理6．（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于

B A．80 B．40 C．20 D．10

13．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。

3 519．（本小题满分13分）

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，??，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

5 6 7 8 x1 P 0．4 a b 0．1 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；

（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系

数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．

（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购

- 5 -

买性？说明理由． 注：（1）产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学期望；

产品的零售价 （2）“性价比”大的产品更具可购买性．

19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，

考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。

解：（I）因为EX1?6,所以5?0.4?6a?7b?8?0.1?6,即6a?7b?3.2. 又由X1的概率分布列得0.4?a?b?0.1?1,即a?b?0.5. 由??6a?7b?3.2,?a?0.3, 解得?a?b?0.5.b?0.2.??6 0．1 7 0．1 8 0．1 （II）由已知得，样本的频率分布表如下： 3 4 5 X2 f 0．3 0．2 0．2 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：

X2 P 所以

3 0．3 4 0．2 5 0．2 6 0．1 7 0．1 8 0．1 EX2?3P(X2?3)?4P(X2?4)?5P(X2?5)?6P(X2?6)?7P(X2?7)?8P(X2?8)

?3?0.3?4?0.2?5?0.2?6?0.1?7?0.1?8?0.1

?4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

6?1. 64.8?1.2. 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为

据此，乙厂的产品更具可购买性。

福建文4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级B

A．6 B．8 C．10 D．12

- 6 -

的学生中应抽取的人数为

7．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点。若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于

1112A．4 B．3 C．2 D．3 C

19．（本小题满分12分）

ABDEC某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5。现从一

批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X f 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c （Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件；求a、b、c的值。

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件记为x1、x2、x3，等级系数为5的2件记为y1、y2。现从这五件日用品中任取2件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。 解：（I）由频率分布表得a?0.2?0.45?b?c?1,即a+b+c=0.35，

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b?等级系数为5的恰有2件，所以c?所以a?0.1,b?0.15,c?0.1.

（II）从日用品x1,x2,y1,y2中任取两件，所有可能的结果为：

3?0.15, 202?0.1，从而a?0.35?b?c?0.1 20{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}，

设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：

{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共4个，又基本事件的总数为10，故所求的概率

P(A)?4?0.4. 10广东理6甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A.

1323 B. C. D. 2534- 7 -

解析:设Ai(i?1,2)表示继续比赛时,甲在第i局获胜; B事件表示甲队获得冠军,

1113则B?A1?A1A2,?P(B)?P(A1)?P(A1A2)????,故选D.22242x

710.x(x?)的展开式中，x4的系数是______ (用数字作答).

22解析:所求x4的系数即(x?)7展开式中x3项的系数,(x?)7展开式的通项为 xxr7?rr7?2r2Tr?1?C7x(?2x?1)r?(?2)rC7x,由7?2r?3得r?2,?x4的系数是(?2)2C7?84.13.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿

子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. 解析:根据题中所提供的信息,可知父亲与儿子的对应数据可列表如下: 父亲的身高(x) 儿子的身高(y)

173 170 170 176 176 182

x?173,y?176,?b??(xi?133i?x)(yi?y)?i?(xi?1?x)23?6?1,a?y?bx?176?173?1, (?3)2?32?所以回归直线方程为y?x?3,从而可预测也他孙子的身高为182?3?185(cm).17.（本小题满分13分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估

计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分布

列及其均值（即数学期望）.

- 8 -

解:(1)乙厂的产品数量为:98?5?35;14(2)从乙厂抽取的5件产品中,编号为2,5的产品是优等品,2故可估计出乙厂生产的优等品的数量为:?35?14;5112C32C2C3C2361(3)?可以取值:0,1,2 ,P(??0)?2?,P(??1)??,P(??2)??,2210C510C5C510故?其分布列为:

? P 0 1 2 1 103614?1??2??. ??的数学期望为E(?)?0?10101053 106 10广东文7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，

那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A A．20 B．15 C．12 D．10

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1

号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系： 时间x 命中率

1 0．4 2 0．5 3 0．6 4 0．6 5 0．4 小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________．0.5，0.53 17．（本小题满分13分） 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学

所得成绩，且前5位同学的成绩如下： 1 2 3 4 5 编号n 成绩xn 70 76 72 70 72 （1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s; （2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。 17．（本小题满分13分）

516解：（1）?x??xn?75,?x6?6x??xn?6?75?70?76?72?70?72?90,

6n?1n?1

161s??(xn?x)2?(52?12?32?52?32?152)?49，?s?7.

6n?162 （2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：

{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：

- 9 -

{1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}， 故所求概率为.

25湖北理5.已知随机变量?服从正态分布N2,?2，且P???4??0.8，则P?0???2?? A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】C 解析：

如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线x?2对称，所以P???2??0.5，并且

??y P?0???2??P?2???4?

则P?0???2??P???4??P???2?

O 2 4 x ?0.8?0.5?0.3

所以选C.

7.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系A1 统正常工作的概率为

K

A2

A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576 【答案】B

解析：A1、A2至少有一个正常工作的概率为1?PA1PA2

?????1??1?0.8???1?0.8??1?0.04?0.94，

系统正常工作概率为P?K?1?PA1PA2?0.9?0.96?0.864，所以选B.

???????1?15x??11.在???展开式中含x的项的系数为 .（结果用数值表示）

3x??【答案】17

【解析】二项式展开式的通项公式为Tr?1118?r?r?1?1?r18?r?r2?C18x????Cx???，令18???3??3x?2r18r11?2?18?r?r?15?r?2，含x15的项的系数为C18????17，故填17.

2?3?

- 10 -

fn(k)?1的情形，由1?b?a?3k?n?3k知fn(k)?n?3k.且k?

设n?1?3m?r,其中m?N*,r?|0,1,2|,则k?m. 所以Bn?将m?n?1. 3?fn(k)??(n?3k)?mn?k?1k?1mm3m(m?1)m(2n?3m?3)?. 22

n?1?r(n?1)(n?2)r(r?1)?代入上式，化简得Bn?

366

?n(n?3)n,是整数,??63所以Bn??

(n?1)(n?2)n?,不是整数.?63?江西理6. 变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U 与V相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则 A. r2?r1?0 B. 0?r2?r1 C. r2?0?r1 D.r2?r1 【答案】C

——0?1.3?1.8?2.5?31?2?3?4?5?11.72，Y?V??3，【解析】X?U?10?55——∴r1?(?1.72)?(?2)?(?0.42)?(?1)?0?0.78?1?1.28?2(?0.72)?(?0.42)?0.08?0.78?1.2822222(?2)?(?1)?0?1?2222?0

r2?(?1.72)?2?(?0.42)?1?0?0.78?(?1)?1.28?(?2)(?0.72)?(?0.42)?0.08?0.78?1.2822222(?2)?(?1)?0?1?2222?0

∴r2?0?r1，选C

12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机的往单位圆内投掷一点，若此点到圆心

的距离大于

11，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在24家看书.则小波周末不在家看书的概率为 . ．【答案】

13 16122【解析】P?[1?()]?()?1423113?? 4161616.（本小题满分12分）

某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料.公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500

- 16 -

元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力. （1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望. 【解析】（1）X的所有可能取值为：0, 1, 2, 3, 4

i4?iC4C4P(X?i)?(i?0,1,2,3,4)

C84即

X P 0 1 2 3 4 1 7016 7036 7016 701 70（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500

Y的分布列为：

2100 2800 3500 Y 53161 P 707070

EY?2100?53161?2800??3500??2280 707070所以新录用员工月工资的期望为2280元.

江西文7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为x，则（ ）

A.me?mo?x B.me?mo?x C.me?mo?x D.mo?me?x

答案：D 计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D

8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x（cm） 174 儿子身高y（cm） 175 则y对x的线性回归方程为

A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+

n176 175 176 176 176 177 178 177 1x D.y = 176 2iiC 线性回归方程y?a?bx，b???x?x??yi?1nii?1?y2?，a?y?bx

??x?x?16.(本小题满分12分）

- 17 -

某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工 一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． （1）求此人被评为优秀的概率；

（2）求此人被评为良好及以上的概率． 解：（1）员工选择的所有种类为C35，而

3杯均选中共有C33种，故概率为

3C31. ?3C51033 （2）员工选择的所有种类为C5，良好以上有两种可能?：3杯均选中共有C3种；

31C3?C32C27. ?3C510 ?：3杯选中2杯共有CC2312种。故概率为

解析：本题考查的主要知识是排列组合与概率知识的结合，简单题。

辽宁理5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和 为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）= B

1 82C．

5A．1 41D．

2B．

14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显

示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：

??0.254x?0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均y增加____________万元． 19．（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．

（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上

的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

397 390 404 388 400 412 406 品种甲 403 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为

应该种植哪一品种？ 附：样本数据

2x1,x2,???,xn11P(X?0)??,4的的样本方差C8701s?[(x1?x)2?(x2?x)2?????(xn?x)2]，其中x为样本平均

n数． 19．解：

13C4C48P(X?1)??,4C83522C4C418P(X?2)??,4C83531C4C48P(X?3)??,4C835- 18 -

P(X?4)?11?.C8470

（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

即X的分布列为

??????4分 X的数学期望为

E(X)?0?181881?1??2??3??4??2. ??????6分 7035353570 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x甲?(403?397?390?404?388?400?412?406)?400,8

12S甲?(3?(?3)2?(?10)2?42?(?12)2?02?122?62)?57.25.8 ??????8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x乙?(419?403?412?418?408?423?400?413)?412,8

12S乙?(72?(?9)2?02?62?(?4)2?112?(?12)2?12)?56.8 ??????10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 19．（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙． （I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

397 390 404 388 400 412 406 品种甲 403 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为

应该种植哪一品种？

1附：样本数据x1,x2,???,xn的的样本方差s2?[(x1?x)2?(x2?x)2?????(xn?x)2]，其中xn为样本平均数． 19．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，

令事件A=“第一大块地都种品种甲”.

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个； （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.

- 19 -

而事件A包含1个基本事件：（1，2）. 所以P(A)?1. ??????6分 6 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x甲?(403?397?390?404?388?400?412?406)?400,8

12S甲?(3?(?3)2?(?10)2?42?(?12)2?02?122?62)?57.25.8 ??????8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x乙?(419?403?412?418?408?423?400?413)?412,8

12S乙?(72?(?9)2?02?62?(?4)2?112?(?12)2?12)?56.8 ??????10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 全国Ⅰ理

（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A）A

1123 （B） （C） （D）[来源:学& 3234a??1??（8）?x???2x??的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

x??x??（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40

D

（19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于

或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 [90，94） 8 [90，94） [94，98） 20 [94，98） [98，102） 42 [98，102） [102，106） 22 [102，106） [106，110] 8 [106，110] 5B配方的频数分布表

- 20 -

4 12 42 32 10 频数 （I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

??2,t?94?y??2,94?t?102

?4,t?102?从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）．求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）． （19）解

（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为生产的产品的优质品率的估计值为0.42

[来源:学.科.网Z.X.X.K]22?8=0.3，所以用A配方10032?10?0.42，所以用B配方100

（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间

?90,94?,?94,102?,?102,110?的频率分别为0.04，,054,0.42，因此

P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为

X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

全国Ⅰ文

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90，94） 8 [90，94） 4 [94，98） 20 [94，98） 12 [98，102） 42 [98，102） 42 [102，106） 22 [102，106） 32 [106，110] 8 [106，110] 10 B配方的频数分布表 （I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

- 21 -

（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

??2,t?94?y??2,94?t?102

?4,t?102?估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润． （19）解

（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为生产的产品的优质品率的估计值为0.3．

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为生产的产品的优质品率的估计值为0.42

（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.

用B配方生产的产品平均一件的利润为

22?8=0.3，所以用A配方10032?10?0.42，所以用B配方1001?(4?(?2)?54?2?42?4)?2.68（元） 100山东理

7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 2 广告费用x（万元） 4 销售额y（万元） 49 26 3 39 5 54 ?为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额??a??bx?中的b 根据上表可得回归方程y为

(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B

4?2?3?5749?26?39?547?,y??42,因为点(,42)在回归

42427??9.1,故回归方程为?为9.4，所以42?9.4?, 解得a?????a直线y上,且bbx??a2【解析】由表可计算x???9.4x?9.1, 令x=6得y??65.5,选B. y14. 若(x?【答案】4

ax2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为 .

- 22 -

【解析】因为Tr?1?C6?x18.（本小题满分12分）

r6?r?(?ax22)r,所以r=2, 常数项为a?C6?60,解得a?4.

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用?表示红队队员获胜的总盘数，求?的分布列和数学期望E?.

【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为

0?.6?0.?50?.?4?0.05??.6?0=0.55. .（Ⅱ）?取的可能结果为0,1,2,3,则

P(??0)?0.4?0.5?0.5=0.1;

P(??1)?0.6?0.5?0.5+0.4?0.5?0.5+0.4?0.5?0.5=0.35; P(??2)?0.6?0.5?0.5?2?0.4?0.5?0.5=0.4; P(??3)?0.6?0.5?0.5=0.15.

所以?的分布列为

? P 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15 数学期望E?=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0. 15=1.6. 山东文

8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元） 销售额y（万元） 4 49 2 26 3 39 5 54 ?为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销??a??bx?中的b根据上表可得回归方程y B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元

B

（13）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 . 16 （18）（本小题满分12分）

- 23 -

售额为

A．63．6万元

甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率. 18．解：（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；

乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为： （A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种。

从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，

选出的两名教师性别相同的概率为P?4. 9 （II）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F）， （C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： （A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种，

选出的两名教师来自同一学校的概率为P?62?. 155陕西理4．（x?R）展开式中的常数项是 （ ） (4x?2?x)6（A）?20 （B）?15 （C）15 （D）20

【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.

rrr【解】选C Tr?1?C6(4x)6?r(2?x)r?C6?22x(6?r)?2?xr?C6?212x?3xr， 4令12x?3xr?0，则r?4，所以T5?C6?15，故选C．

9．设(x1,y1),(x2,y2)，?，(x3,y3)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） （A）x和y的相关系数为直线l的斜率 （B）x和y的相关系数在0到1之间

（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 （D）直线l过点(x,y)

【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断． 【解】选D 选项 A 具体分析 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 结论 不正确

- 24 -

B C 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在?1到0之间时，两个变量负相关 不正确 不正确 l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布 回归直线l一定过样本点中心(x,y)；由回归直线方程的计算公式D 正确 ??y?bx?可知直线l必过点(x,y) a 10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4

个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） （A）

1151 （B） （C） （D）

963636【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问

题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．

44【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有A6（种）；最后一小时他们同在?A633A5?A5?61一个景点的情形有A?A?6（种），所以P??． 44A6?A66353520．（本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：

时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 L2的频率 0.1 0 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 . 【分析】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望．

【解】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”， Bi表示事件“甲选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i?1，2． 用频率估计相应的概率，则有：

P(A1)?0.1?0.2?0.3?0.6，P(A2)?0.1?0.4?0.5；

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∵P(A1)?P(A2)，∴甲应选择路径L1；

P(B1)?0.1?0.2?0.3?0.2?0.8，P(B2)?0.1?0.4?0.4?0.9；

∵P(B2)?P(B1)，∴乙应选择路径L2．

（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P(A)?0.6，P(B)?0.9，又事件A，B相互独立，X的取值是0，1，2，

∴P(X?0)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.4?0.1?0.04，

P(X?1)?P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.4?0.9?0.6?0.1?0.42P(X?2)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.6?0.9?0.54，

∴X的分布列为

X P 0 1 2 0.04 0.42 0.54 ∴EX?0?0.04?1?0.42?2?0.54?1.5．

陕西文9．设(x1,y1),(x2,y2),··· ，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ） (A) 直线l过点(x,y)

（B）x和y的相关系数为直线l的斜率 （C）x和y的相关系数在0到1之间

（D）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断． 【解】选A 选项 具体分析 回归直线l一定过样本点中心(x,y)；由回归直线方程的计算公式A 正确 结论 ??y?bx?可知直线l必过点(x,y) aB C D 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在?1到0之间时，两个变量负相关 不正确 不正确 不正确 l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布

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20.（本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 选择L2的人数 6 0 12 4 18 16 12 16 12 4 （1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； ．．

（2 ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，

为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

【分析】（1）读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．

【解】（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，

?用频率估计相应的概率为0.44.

（2 ）选择L1的有60人，选择L2的有40人， 故由调查结果得频率为：

所用时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 选择L2的人数 0.1 0 0.2 0.1 0.3 0.4 0.2 0.4 0.2 0.1 （3）用A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；用B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．

由（2）知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1)? P(A2)，

?甲应选择路径L1；

P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）＞P（B1），

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∴ 乙应选择路径L2. 上海理

9.马老师从课本上抄录一个随机变量?的概率分布律如下表：

x P(??x) 1 ？ 2 ！ 3 ？ 请小牛同学计算?的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E?= . 2

12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）. 0.985

上海文

10、课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 2 四川理

1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18

[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是

1112（A） （B） （C） （D）

6233答案：B

221解析：数据落在[31.5，43.5)的频数为22，频率为?，选B．

66318．（本小题共l2分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙

1111不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；

4224两人租车时间都不会超过四小时．

（Ⅰ）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量?，求?的分布列和数学期望E?． 本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．

11解：（Ⅰ）依题意得，甲、乙在三小时及以上且不超过四小时还车的概率分别为、．

441111115记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A，则P(A)???????．

422444165答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．

16

- 28 -

（Ⅱ）?可能的取值有0,2,4,6,8．

1111151111115P(??0)?；P(??2)?????；P(??4)???????；

84422164424241611113111P(??6)?????；P(??8)???．

4424164416甲、乙两人所付的租车费用之和?的分布列

? 0 2 4 6 8 15531 161616168155317所以E??0??2??4??6??8??．

8161616162四川文

2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18

[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3

根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占

2112（A） （B） （C） （D）

23113答案：B

221解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占?，选B．

66313．(x?1)9的展开式中x3的系数是_________．（用数字作答）

答案：84

63解析：∵(x?1)9的展开式中x3的系数是C9?C9?84． 17．（本小题共l2分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设

11甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率

4211分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．

24（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．

本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则

111111P(A)?1???，P(A)?1???．

42424411答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．

44（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则

1111111111113P(C)?(?)?(???)?(?????)?．

42442224424443答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为

4天津理

P

- 29 -

10．如图，用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（ ）．

A Ａ．288种 Ｂ．264种 Ｃ．240种 Ｄ．168种

【解】解法1．首先考虑除E,F外，相邻两端点不同色的情形：此时

DEA有4种涂法，与A相邻的点B有3种涂法，D有3种涂法，E有2种涂法，

B此时，C有2种涂法，F有2种涂法，因此共有 4?3?3?2?2?2?288（种）．

FC但是，这是有可能E,F同色，且当B,D同色，A,C不同色时，E,F同色．此时的涂法有同色的E,F有4种，对于点E，点A,D共有3?2?6种，由对称性B,C只有1种涂法．

所以共有4?3?2?1?24（种）．

因此，符合题目要求的涂法有288?24?264（种）．故选Ｂ．

解法2．分两种情形讨论：点A,F同色和点A,F不同色，涂法数如下表：

点A,F同色 点A,F不同色 A,F 4 B E D C 1 2 合 计 4?3?3?2?1?72 3 3 2 2 2 4?3 2 4?3?2?2?2?2?192 因此，符合题目要求的涂法有72?192?264（种）．故选Ｂ． 解法3．先对B,F,C涂色，有4?3?2?24（种）．

固定其中一种涂法，设四种不同的颜色为颜色①，②，③，④．且设B涂颜色①，F涂颜色②，C涂颜色③．

则根据题意A,E,D的涂法可用下表枚举： ② A ② ③ E ③ ① D ④ 以上共11种，

② ④ ① ② ① ④ ③ ④ ② ③ ④ ① ③ ① ④ ③ ① ② ④ ③ ① ④ ③ ② ④ ① ② 因此符合题目要求的涂法有24?11?264（种）．故选Ｂ． 解法4．分两种情形讨论：

（1）全部使用四种不同的颜色．

第一步：对B,F,C涂色，只能用三种颜色，有A3， 4?24（种）

第二步：从A,E,D三点中选一点涂第四种颜色，有C13?3种，再对另两点涂色有3种涂法，共有3?3?9种涂法，

所以全部使用四种不同的颜色的涂法有24?9?216（种）； (2) 只使用三种颜色．

- 30 -

3第一步：对B,F,C涂色，有C3， 4A3?24（种）

第二步：对A,E,D三点涂色，由于只用三种颜色，则点A有2种涂法，此时E和D只有1种涂法．

所以只使用三种颜色的涂法有24?2?48（种）． 由（1），(2) 符合题目要求的涂法有216?48?264种）．故选Ｂ． 解法5．为研究问题方便,不妨把平面图形变换成三棱柱,如右图所示,

染色规则: 在三棱柱的六个顶点中,相同颜色的顶点可连接同一颜色的线段,依题意,三棱柱的九条棱都不能染色. 下面分情况进行讨论:

(1) 当六个顶点只用三种颜色涂色时,相同颜色 顶点的连线为三棱柱侧面上的对角线,如图 (甲)或(乙),图中字母的角码表示颜色编号,

3则不同的涂色方法共有:C12A4?48(种)；

A1E3D2A1E3D2B2F1(图甲)C3B3F2(图乙)C1 (2) 当六个顶点用四种颜色涂色时,又可分为 在(1)的条件下,用第四种颜色替换掉六个

顶点中的一个或两个:

①用第四种颜色替换掉六个顶点中的一个, 如图(丙),此时相当于在(1)的条件下,去掉 一条侧面上的对角线,有C13种方法,因此,

13 不同的涂色方法共有:C13(C2A4)?144(种)；

A4E3D2A1E4D2B2F1(图丙)C3B3F2(图丁)C4 ②用第四种颜色替换掉六个顶点中两个,显然被替换掉的两个顶点的颜色编号

不能相同,否则与(1)重复,被替换掉的两个顶点也不能在同一底面上或同一侧 棱上,因此被替换掉的两个顶点与被保留的两个同颜色顶点在同一侧面上,如 图(丁), 此时相当于在(1)的条件下,保留一个侧面上的对角线,考虑到重复情 况,不同的涂色方法共有:

1113C3(C2A4)?72(种). 2 综上所述,不同的涂色方法共有: 48?144?72?264(种).故选B.

11．甲、乙两人在10天中每天加工的零件的个数用茎叶图表示如下图．中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字零件个数的个位数，则这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 ．

- 31 -

【解】24，23．

设甲的平均数为a，乙的平均数为b，则

?1?2?0?1?3?2??0?15?11?11?24．

10?1?3?9?1?4?2?4?10?12?10b?20??23．

10则这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为24和23

218．（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影

3a?20?响．

（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中的概率．

（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率． （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记

?为射手射击3次后的总得分数，求?的分布列．

【解】（Ⅰ）设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~B?5,?． 在5次射击中恰有2次击中的概率为

??2?3?40?2?2?2? P?X?2??C5． ?????1???33243????（Ⅱ）设“第i次击中目标”为事件Ai?i?1,2,3,4,5?，“射手在5次射击中有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A．则

23P?A??P?A1A2A3A4A5??P?A1A2A3A4A5??P?A1A2A3A4A5?

1?12?2??? ?????????3?33?3???32381?2?1??????????81?． ?333?????23（Ⅲ）由题意，?的所有可能取值为0,1,2,3,6．

1?1?； P???0??P(三次均未中）?P?A1A2A3??????3?273P???1??P(仅击中1次）?P?A1A2A3??P?A1A2A3??P?A1A2A3? 2?1?121?1?22????????????； 3?3?333?3?392124； P???2??P(击中2次但未连续击中）?P?A1A2A3?????33327

- 32 -

22

P???3??P(有

22次

2连续击中）

8?2?11?2?； ?P?A1A2A3??P?A1A2A3??????????333327????8?2?． P???6??P(3次连续击中）P?A1A2A3??????3?27或P???6??1?P???0??P???1??P???2??P???3?

3?1?12488????． 279272727所以?的分布列为

? P 天津文

18．（本小题满分12分）有编号为A，得1,A2,L,A10的10个零件，测量其直径（单位：cm）到下面数据： 编号 直径 0 1 2 3 6 1 272 94 278 278 27A1 1.51 A2 1.49 A3 1.49 A4 1.51 A5 1.49 A6 1.51 A7 1.47 A8 1.46 A9 1.53 A10 1.47 其中直径在区间?1.48,1.52?内的零件为一等品．

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率． （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．

(ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求这2个零件直径相等的概率 【解】（Ⅰ）由所给的数据可知，一等品的零件共有6个． 设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P?A??所以从10个零件中，随机抽取一个零件为一等品的概率为（Ⅱ）(ⅰ)一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6． 从这6个一等品零件种随机抽取2个，所有可能的抽取结果有

63?． 1053． 5?A1,A2?，?A1,A3?，?A1,A4?，?A1,A5?，?A1,A6?，

?A2,A3?，?A2,A4?，?A2,A5?，?A2,A6?，?A3,A4?， ?A3,A5?，?A3,A6?，?A4,A5?，?A4,A6?，?A5,A6?．

- 33 -

共15种．

(ⅱ) 记“从一等品零件中，随机抽取2个直径相等”为事件B，则事件B的所有可能结果有

?A1,A4?，?A1,A6?，?A4,A6?，?A2,A3?，?A2,A5?，?A3,A5?

62?． 1552． 5共6种．所以P?B??因此从一等品零件中，随机抽取2个直径相等的概率为

浙江理9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排

摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 B

A．

1 5B．

2 5C．

34 D 5513．设二项式（x-a）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B，若B=4A，则a的值x是 。2

15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生

2，得到乙丙公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试31是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若P(X?0)?，则随机变量X

12得到甲公司面试的概率为的数学期望

E(X)? 5 3浙江文（8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白

球的概率是

A．

13 B． 1010C．

3 5D．

9 10D

（13）某小学为了解学生数学课程的学习情

况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____________________600

重庆理（4）(1?3x)(其中n?N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n=

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

n- 34 -

B

（13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率 为__________

11 32(17) (本小题满分13分)（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数?的分布列与期望。 17．（本题13分）

解：这是等可能性事件的概率计算问题.

2 （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式C4?22种，

2C4?228?. 从而恰有2人申请A片区房源的概率为

2734解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)?1. 3从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为

821222P4(2)?C4()()?.

3327 （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又

31?,4273 1322C32(C2C4?C4C2)14C32(24?2)14P(??2)??(或P(??2)??)44272733P(??1)?12123C3C4C24C4A34P(??3)??(或P(??3)??). 449933综上知，ξ有分布列

1 2 3 ξ 1144 27279114465?2??3??. 从而有E??1?2727927P 重庆文4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）

125 120 122 105 130 114 116 95 120 134

则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为 C

- 35 -

A．0.2 B．0.3

4C．0.4 D．0.5

11．(1?2x)6的展开式中x的系数是 240

17．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）

某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （I）没有人申请A片区房源的概率；

（II）每个片区的房源都有人申请的概率。 17．（本题13分）

解：这是等可能性事件的概率计算问题。

（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。

记“没有人申请A片区房源”为事件A，则

2416P(A)?4?.

813解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)?1. 3由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为

1601024P4(0)?C4()()?.

3381 （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有

12123C3C4C2(或C4C3)种.

记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有

12123C3C4C2364C4A34P(B)???(或P(B)??).

93434934

- 36 -

A．0.2 B．0.3

4C．0.4 D．0.5

11．(1?2x)6的展开式中x的系数是 240

17．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）

某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （I）没有人申请A片区房源的概率；

（II）每个片区的房源都有人申请的概率。 17．（本题13分）

解：这是等可能性事件的概率计算问题。

（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。

记“没有人申请A片区房源”为事件A，则

2416P(A)?4?.

813解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)?1. 3由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为

1601024P4(0)?C4()()?.

3381 （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有

12123C3C4C2(或C4C3)种.

记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有

12123C3C4C2364C4A34P(B)???(或P(B)??).

93434934

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