《直线与圆锥曲线的位置关系》集体备课

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直线与圆锥曲线的位置关系（文） 主备人：贺可勤 记录人：宋树霞

一、教材分析

本节课是平面解析几何的核心内容之一.在此之前,学生已学习了直线的基本知识,圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质,这为本节复习课起着铺垫作用.本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》第二轮复习的第一节课,着重是教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化学生的解题思维,提高学生解题能力.这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础.这节复习课还是培养学生数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一. 二、考情分析

本节内容在高考中的地位:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 三、数学思想方法分析

本节复习课在教学中力图让学生动手操作,自主探究,发现共性,类比归纳,总结解题规律.同时还需要强化学生的分类讨论的数学意识以及寻找分类讨论标准的方法. 四、教学目标 1.基础知识目标

巩固直线与圆锥曲线的基本知识和性质;掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法,主要是利用判别式法,以及分类讨论法.会求参数的值或范围. 2.能力训练目标

直线与圆锥曲线位置关系的问题始终是解析几何的一个主要问题.是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材.要求学生能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系,并会用方程法讨论直线与两类(封闭与非封闭)曲线的位置关系;弦长公式的理解与灵活运用;通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理,能运用圆锥曲线的第二定义以求简化运算,使解题过程得到优化.同时使得学生树立通过坐标法用方程思想解决问题的观念,培养学生直观、严谨的思维品质;灵活运用数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法,提高解题能力.

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3.情感目标

让学生感悟数学的统一美、和谐美,端正学生的科学态度,进一步激发学生自主探究的精神.

五、教学重点、难点

1.直线与曲线的位置关系,掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法,注意数形结合思想的渗透;

2.非封闭曲线,尤其是双曲线与直线位置关系的讨论;

3.理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系,感悟方程组的解的个数等于直线与圆锥曲线公共点的个数.

4.充分运用新旧知识的迁移,从数与形两方面深刻理解相关结论,构建完整的知识体系；

5.在掌握共性的(方程法)基础上,注意个性(距离法),防止负迁移，做到特殊问题能特殊处理. 六、教法

我们在以师生既为主体,又为客体的原则下,展现获取知识和方法的思维过程.为了体现以学生发展为本,遵循学生的认知规律,体现由特殊到一般,采用循序渐进的启发式教学原则.可以预先由学生通过自主探究直线与圆、直线与椭圆位置关系的判断,在解题过程中体会解决的数学方法,再由教师引导,自然过渡到直线与抛物线、直线与双曲线的位置关系如何判断,激发学生的学习兴趣.同时基于本节课的特点:运算量比较大,应着重采用:点拨思路,发散思维,小组分类讨论的教学方法. 七、学法与学情

在教学中要特别重视学法的指导.因为本班的学生逻辑思维有了较好基础,注意力能够集中较长时间,学习目的明确,内驱力是主要的学习动力.我以建构主义理论为指导,采用着重于学生探索研究的启发式教学方法,结合师生共同讨论、归纳.在课堂结构上,根据学生的认知水平,我设计了: 1.本节要点扫描;2.引出主题,精讲例题;3.能力训练,总结结论,强化认识;4.变式延伸,进行重构这四个个层次的学法,它们环环相扣,层层深入,从而顺利完成教学目标.

八、教学程序及设想

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把教学内容转化为具有潜在意义的问题,让学生产生强烈的问题意识,使学生的整个学习过程成为“猜想”,继而紧张地沉思,期待寻找理由和证明过程.在实际情况下进行学习,可以使学生利用已有知识与经验,同化和索引出当前学习的新知识,这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移到陌生的问题情境中. 1.本节要点扫描

设直线),若消去 (1)若

得

,圆锥曲线.

,由,消元(或

,此时圆锥曲线不是椭圆.当圆锥曲线为双曲线时,直线与双曲线渐进线平行或

重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线与抛物线的对称轴平行或重合. (2)若 ① ② ③ (3)设直线

与圆锥曲线:

相交于

,则弦长

时,直线与圆锥曲线相离,没有公共点. 时,直线与圆锥曲线相切,有唯一的公共点; 时,直线与圆锥曲线相交,有两个不同的交点;

,

,则

.

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若直线过圆锥曲线的焦点,当焦点弦垂直于对称轴(椭圆的长轴、双曲线的实轴)时称为通径,

其中.(为焦准距).若椭圆的弦过焦点

,则,且

在左支,则

;若双曲线

;若抛物线

的弦过焦点的弦

过焦点

,则.

2.引出主题,精讲例题

由实例得出本节主要的知识点是:将直线与圆锥曲线的方程联立起来,消去或的情况,求解实题中的问题.

我们在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力.在题中:怎样使计算更加简单是关键点.

3.能力训练,总结结论,强化认识

课后练习 使学生能巩固羡慕自觉运用所学知识与解题思想方法.

知识性内容的小结,可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质;数学思想方法的小结,可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用,并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标.

4.变式延伸,进行重构

重视课本例题,适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工,从而达到举一反三的效果.

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,结合

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5.简述板书设计

6.布置作业

针对学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,从而达到拔尖和“减负”的目的.

7.课后回顾

（１）直线与曲线的位置关系的讨论,不管高考当中以何种方式出题,哪怕是不直接考查,都是学生所必须掌握的基础知识,也不管题目的难易,其基本原理与解题思路是不会改变的;

（２）师者,传道、授业、解惑也,如何解数学之惑?在下以为:关键在于把最基本的原理告诉学生.象本节课,为什么直线与双曲线、抛物线的位置关系变得复杂,从形上看是因为曲线不封闭(封闭这一名词高中教材中没有出现,但因为其直观性,学生并不难理解),从数上看是因为消元后方程的形式不确定;

（３）本节课内容较多,也是解析几何当中的一个难点,我之所以将每一步都深深地植根于韦达定理、求根公式、勾股定理、三角函数、两点之间的距离等学生所应该熟悉的基楚知识之上,其目的:一是化难为易,二是构建最完整的知识体系,让学生了解知识的形成过程,最终形成能力,驰骋考场而游刃有余!

[知识梳理]

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［知识盘点］

一．直线与圆锥曲线的位置关系

1．代数法：判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时，通常将直线l的方程

Ax?By?C?0(,A不同时为B0)代入圆锥曲线r的方程F(x,y)?0，消去y(也可以消去

Ax?By?C?0F(x,y)?0x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程，即???消去y后得ax?by?c?0，

(1)当a?0时，则有??0，直线l与曲线r ；??0，直线l与曲线

r ；??0，直线l与曲线r 。

(2)当a?0时，即得到一个一次方程，则l与r相交，且只有一个交点，此时，若r为双曲线，

则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若r是抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 。

2．几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类：

(1)直线与圆锥曲线没有公共点?直线与圆锥曲线 ；

(2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点?对椭圆而言，直线与椭圆 ；对双曲线

而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线 ，对于抛物线而言，表示直线与其 或与其对称轴平行；

(3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点?直线与圆锥曲线 ，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。 二．中点弦问题

已知弦AB的中点，研究AB的斜率与方程. 3． AB是椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的一条弦，中点M坐标为(x0,y0)，则直线的斜率

为 。运用点差法求AB的斜率：设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B都在椭圆上，

2?x12y12222?2?2?1x1?x2y1?y2?ab??0， 则?2，两式相减，得222ab?x2?y2?122?b?a2?(x1?x2)(x1?x2)a2?(y1?y2)(y1?y2)b2?0，从而

y1?y2x1?x2??b(x1?x2)a(y1?y2)2? ，

故kAB? 。

xa22运用类比思想，可以推出已知AB是双曲线?yb22?1的弦，中点M(x0,y0)，则kAB? ；

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已知抛物线y2?2px(p?0)的弦AB的中点M(x0,y0)，则kAB? . 三．弦长问题.

4．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则所得的弦长 或 ，其中求|x2?x1|与|y2?y1|时，常使用韦达定理，即做如下变形：|x2?x1|?(x1?x2)?4x1x2，|y2?y1|?2(y1?y2)?4y1y2. 2(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为 ，往往比利用弦长公式简单。 ［特别提醒］

直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质与直线的基本知识中的点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时要借助于数形结合思想、设而不求法及弦长公式及韦达定理综合考虑，这样就加强了对数学各种能力的考查。因此要注意对数学思想、数学方法的归纳与提炼，达到优化解题的目的。

1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，常会出现漏解的情况，用代数法求解时，易忽视消元后一元二次方程的二项式系数是否为零的讨论；在利用几何法解题时，易忽视特殊情况的讨论，如与双曲线的渐近线平行，与抛物线的对称轴平行等特殊情况；这些情况要特别加以注意；

2．解决直线与圆锥曲线相交问题时，不要忽视??0这一条件；

3．在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意数形结合，以形辅数的方法；

4．与焦点弦有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义，涉及到中点的问题，除利用韦达定理以外，用“点差法”也较为简单。

[基础闯关]

1．过点P(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有( ) (A)1条 (B)2 条 (C)3条 (D)4条

2．与直线2x?y?4?0平行的抛物线y?x的切线方程为( )

(A)2x?y?3?0 (B) 2x?y?3?0 (C) 2x?y?1?0 (D) 2x?y?1?0 3．抛物线y?4x过焦点的弦的中点的轨迹方程是( )

22(A) y?2(x?1) (B) y?x?1 (C) y?x?222212 (D) y?2x?1

24．(2005年济南模拟试题)直线

x4169使?ABC的面积等于12，这样的点C共有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

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?y3?1与椭圆

x2?y2?1相交于A,B两点，椭圆上的点C沂水县第三中学高三数学组集体备课 集思广益 群策群力

5．过抛物线y2?4x的焦点F作垂直与x轴的直线，交抛物线于A,B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆的方程是 .

6．已知直线l与抛物线y2?8x交于A,B两点，且l过抛物线的焦点F，点A的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到抛物线准线的距离是 .

[典例精析]

例1．已知直线y?(a?1)x?1与曲线y2?ax恰有一个公共点，求实数a的值。

［剖析］首先考虑曲线y2?ax是否是抛物线，当a?0时，是直线y?0，因此要对a进行讨论，然后就a?0时，联立直线与抛物线组成的方程组进行求解。 ［解］联立方程???y?(a?1)x?1y?ax2

(1)当a?0时，此方程组恰有组解?(2)当a?0时，消去x，得

a?1aa?1aa?1a2?x?1?y?0 ；

y?y?1?0；

①当

?x?1?0，即a??1时，方程变为一元一次方程?y?1?0，方程恰有一组解?；

?y??1?0，即a??1时，令??0，得1?4(a?1)a?0，解得a??45②若，此时直线与曲

线相切，有且只有一个公共点. 综上所述，当a?0，a??1或a??45时，直线与曲线y?ax恰有一个公共点。

2［警示］本题设计了两个思维陷阱，第一个就是同学们在审请的过程中往往视a?0的情况，误认为y?ax对应的曲线就是抛物线；第二个是在解答的过程中不讨论二次项系数

a?1a?0即a??1的可能，从而漏掉两个解.另外，在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，

2应特别注意??0并不是直线与曲线有且只有一个公共点的充要条件.事实上，求曲线与曲线的点的个数，就是它们的方程组成的方程组解的个数。在具体解方程时，需要比较消去x与消去y哪个简单，从而选择恰当的消参方式，还要注意??0只是是直线与曲线有且只有一个公共点的充分不必要条件. ［变式训练］：

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1．对于抛物线C:y2?4x，称满足y02?4x0的点有抛物线的内部.若点M(x0,y0)在抛物线

C的内部，试求直线l:y0y?2(x?x0)与抛物线C的公共点的个数.

例2．过点P(?1,1)作直线与椭圆

x24?y22?1交于A,B两点，若线段AB的中点为P，求直

线AB所在的直线方程和线段AB的长度.

［剖析］由点差法可容易求解出直线方程，知道直线方程，借助弦长公式可求出线段AB的长度。本题采用了设而不求的方法，即设点，代入，作差，借助于直线的斜率解题方法，这种方法称为“点差法”，是解析几何解决直线与圆锥曲线问题的常用的技巧之一，应在理解的基础上进行训练.

?x12?2y12?4［解］设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?2得(x1?x2)(x1?x2)?2(y1?y2)(y1?y2)?0，2?x2?2y2?4显然x1?x2不合题意，?x1?x2，(x1?x2)?2(y1?y2)?kAB?0，?kAB?的方程为y?1?12(x?1)，即x?2y?3?0.

12，从而直线AB?x?2y?3?01?2由?x2y2，得3x?6x?1?0，?x1?x2??2,x1?x2?

3??1??422?|AB|?1?k|x1?x2|?1?14?243?303. ［警示］本题还可以设出直线的方程y?1?k(x?1)代入椭圆方程，运用韦达定理，求出直线的斜率.直线与椭圆相交，出现中点弦问题的常规处理方法有三种：(1)通过方程组转化为一元二次方程，结合韦达定理及中点坐标公式进行求解；(2)点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解；(3)中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的

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坐标，而后消去二次项. ［变式训练］

1． 椭圆a2x2?b2y2?1与直线x?y?1?0相交于A,B两点，C是A,B的中点.若

22|AB|?22，直线OC的斜率为，求椭圆的方程。

例3．过点(?2,0)的直线l与抛物线y?x2相交于A,B两点，求AB中点的轨迹方程。 ［剖析］求中点的轨迹方程，可以借助于点差法与韦达定理来解决。

［解］易知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y?k(x?2)，再设A(x1,y1),B(x2,y2)，?y1?x12 AB的中点坐标为(x,y)，则x1?x2?2x，则?2y?x?22两式作差，得

y1?y2?(x1?)x2(x?，)x那么1y1?y2x1?x2?2x，由于

kAB?yx?2?y1?y2x1?x2?2x，得y?2x(x?2)，即y?2x?4x.

2又由于???y?k(x?2)y?x22?x?kx?2k?0，由??(?k)?4?(?2k)?0，得k?0或k??8，

2由于kAB?yx?2?y1?y2x1?x2?2x，可得x?0或??4

2从而所得轨迹方程为y?2x?4x(x?0或??4).

［警示］整体运算，本题可以作为一典型题目，它通过整体推理、整体代换等有效地绕过许

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多中间环节使运算直指结论。它既可优化解题过程又可以给我们带来一种赏心悦目的解题享受.本题借助于整体运算产生中点的轨迹方程，其过程简练、运算简单.

在欣赏整体运算的同时，需要注意解析的后部分，借助方程组产生k的范围，这是多同学容易漏掉的地方，少了它，结论的完备性就不存在了。 ［变式训练］

3.对于每个正整数n，An(xn,yn)是抛物线x2?4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn)

(1)求证：xnsn??4(n?1)；

(2)取xn?2n，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点. 试证：|FC1|?|FC2|??|FCn|?2n?2?n?1?1.

例4．已知椭圆E:??1，试确定m的取值范围，便得椭圆E上存在不同的两点关于43直线l:y?4x?m对称。

x2y2［剖析］直接设出这两个不同点的坐标，由点的坐标适合椭圆方程、经过这两点的直线斜率的表示、这两点的中点在椭圆内几个已知条件，列出关系式，联立求解m范围；也可以把这两个不同的点所确定直线的方程设出来与椭圆方程联立，运用一元二次方程判断式及韦达定理分析求解。

［解］解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E上关于直线l:y?4x?m的两个对称点，则

22?x1y1??1?43?22x2y2???1?43??y1?y21 ???x1?x24??y1?y2x?x2?41?m?22??x1?x22y1?y223()?4()?12??22① ② ③ ④ ⑤ - 11 -

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由①②③得

x1?x24?y1?y23?(?14)?0，?y1?y2?3(x1?x2)

⑥ ?x1?x2??m??2联立④⑥得?代入⑤，得3(?m)2?4(?3m)2?12

?y1?y2??3m??2??21313?m?21313.

解法二：把对称点视为直线l垂直平分弦之两端.设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E上关于l对称的两点，则AB所在的直线方程为y??得13y2?24by?3(4b2?1)?0.

13213214消去xx?b与椭圆方程3x?4y?12联立，

22解之得：????(?24b)?12?13(4b?1)?0，?此方程有二个实根，由韦达定理，得y1?y2?24b1322?b?(*)

，?弦AB中点纵坐标是

1413b12.

又弦AB中点是直线y?4x?m与y??x?b的公共点，

?y?4x?m4(b?m)16b?m16b?m12b?(,)??，得弦中点为，，即AB?解方程组?117171713y??x?b??4134b??m，代入(*)式，得?132??134m?132，即?21313?m?21313.

［警示］本题把点和直线放在椭圆中考查，又运用了椭圆的有关几何性质，常见有两种思考

方法：一是由条件联立方程组整体分析和代换求解；二是应用一元二次方程的判别式及韦达定理，进行分析求解.对于圆锥曲线上存在两点关于某一条直线对称，求有关参数的问题，可以用参数表示弦的中点的坐标，利用中点在曲线的内部和在直线上等条件，建立不等式或不等式组来求出参数的范围；或者利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判断式大于零，建立不等式进行求解。 ［变式训练］

4.直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.

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例5．设椭圆方程为x?点，点P满足OP?122y24?1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原

11,)，当l绕点M旋转时，求： 22(OA?OB)，点N的坐标为( （1）动点P的轨迹方程； （2）|NP|的最小值与最大值.

［剖析］本题分成了两个小问题，第一个小问题是求轨迹问题，可借助于求轨迹的方法处理；对于第二小问，结合题目的特点可以借助函数的单调性来加以解决。

［解］（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y?kx?1. 记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组 ① ?y?kx?1?222 的解. 将①代入②并化简得，(4?k)x?2kx?3?0，所以 ?2y?1?x?② 4?2k?x?x??,122?x1?x2y1?y21?k4?4?kOP?(OA?OB)?(,)?(,). 于是?2222284?k4?k?y?y?.122?4?k??k?x?,2??4?k22设点P的坐标为(x,y),则?消去参数k得4x?y?y?0 ③

4?y?.2?4?k?当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方 程为4x?y?y?0.

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解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上，所以

21x?y142?1, ④ x?1422y242?1. ⑤

142④—⑤得x12?x2?(y1?y2)?0，所以(x1?x2)(x1?x2)?22(y1?y2)(y1?y2)?0.

当x1?x2时，有x1?x2?14(y1?y2)?y1?y2x1?x2?0. ⑥

?x1?x2x?,?2?y?y2?并且?y?1 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2?y2?y?0. ⑧ ,2?y1?y2?y?1?.?x1?x2?x当x1?x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）

x2(y??141,即?212)2也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

116?1.

（2）解：由点P的轨迹方程知x?|NP|?(x?22141612?x?214.所以

16)?212)?(y?212)2?(x?)?1414?4x??3(x?16712

故当x?14，|NP|取得最小值，最小值为

216;当x??时，|NP|取得最大值，

最大值为.

［警示］本题主要考查圆锥曲线的最值问题，此类问题的求解策略主要有两种：(1)几何法：若题目条件和结论能明显体现某一曲线的几何特征及意义，则可以考虑结合图形来加以解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可以首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用

y A 的方法有配方法、判别式法及函数的单调性法等。

［变式训练］

5．(2005年辽宁卷)如图所示，已知O为坐标原点，P(a,0)(a?0)P - 14 -

O x B 沂水县第三中学高三数学组集体备课 集思广益 群策群力

为x轴上一动点，过点P作直线交抛物线y2?2px(?p0于)A,B两点，

S?ABC?t?tan?AOB，试问：当a为何值时，t取得最小值，并求出这个最小值。

例6．给定双曲线x??1. 2(1)过点A(2,1)的直线l与所给的双曲线交于P1,P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；

2y2(2)过点B(1,1)能否作直线m，使m与所给的双曲线交于Q1,Q2，且B是线段Q1Q2的中点？若存在，求出直线方程.如果不存在，请说明理由。

［剖析］本题是探索性问题，考查方程思想，韦达定理及解析几何中的“设而不求”的思想。 ［解］(1)解法一：设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)，

?y?1?k(x?2)?2(i)若k存在，则由?可得(2?k2)x2?2k(1?2k)x?(1?2k)2?2?0， y2?1?x??2x1?x2k(1?2k)?① x??2??22?k ??y?yk(x?x)?4k?22(1?2k)212②?y?1??2?222?k?2xyy(y?4x)①?②，得k?，代入②，得? 22y22y?4x?y?0,?有2x?y?4x?y?0

22(ii)当k不存在时，有x?2，则P(2,0)也合符合上式。 综合(i)(ii)可知点P的轨迹方程为2x?y?4x?y?0. ?2x12?y12?2解法二：设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则?2， 2?2x2?y2?2两式相减，得2(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2).

22当x1?x2，y?0时，

2xy2?y?1x?22，即2x?y?4x?y?0；

2222当x1?x2时，x?2,y?0也满足2x?y?4x?y?0.

故点P的轨迹方程为2x?y?4x?y?0.

(2)假设满足题设条件的直线m存在，设Q1(x3,y3),Q2(x4,y4)

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可得2(x3?x4)(x3?x4)?(y3?y4)(y3?y4).

?x3?x4?2,y3?y4?

2,?y3?y4x3?x4?2，

直线的方程为y?1?2(x?1)，即y?2x?1

?y?2x?1?2由于方程组?无解，故满足条件的直线m不存在。 y2?1?x??2［警示］探索性试题常见的题型有两类：一类是给出问题对象的一些特殊关系，要求解题者

探索出一般规律，并能论证所得规律的正确性；通常要求对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律。第二类是只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论，这类问题常以适合某种条件下的结论“存在”、“不存在”与“是否存在”等词语表述.解决这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性也随之解决；若推导出矛盾，则否定了存在性。 ［变式训练］ 6．已知双曲线

x24?yb22?1(b?N)的左右焦点分别为F1,F2，问双曲线上是否存在一点P，使

*2(1)|PF1|?|PF2|?|F1F2|；(2)5?|F1F2|?|PF2|?8同时成立？若存在，求出双曲线方程；若

不存在，请说明理由。

[能力提升]

????????1．设坐标原点为O，抛物线y?2x与过焦点的直线交于A,B两点，则OA?OB?( )

2(A)

34 (B) ?234 (C)3 (D)?3

2．已知抛物线y?2px(p?0)的焦点在直线y?x?2上，现让抛物线作平行移动，当抛物线的焦点沿直线y?x?2移动点(2a,4a?2)时，抛物线的方程应为( )

(A)(y?6)?8(x?6) (B) (y?6)?8(x?6) (C) (y?6)?8(x?6) (D) (y?6)?8(x?6)

xa2222223．如果以原点为圆心的圆，经过双曲线?yb22?1的焦点，而且被直线l:x?a2c分成弧长

为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率为( )

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(A)5 (B)

52 (C)3 (D)2

4．(2006年山东菏泽模拟试题)不论k取值何值，直线y?k(x?2)?b与曲线x2?y2?1总有公共点，则实数b的取值范围是( )

(A) (?3,3) (B) [?3,3] (C)(?2,2) (D)[?2,2]

5．（2006年四川卷）直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为（ ）

（A）48 （B）56 （C）64 （D）72 6．(2006年湖北卷)已知双曲线

x212?y24若过点F的直线与双曲线的右支?1的右焦点为F，

有且只有一个交点，则直线斜率的取值范围是( ) (A)(?33,33) (B)(?3,3) (C) [?33,33] (D) [?3,3]

7．直线x?y?1?0与抛物线y?ax2相切，则a?_________.

x28．椭圆

4?y22?1中过点P(1,1)的弦恰好被P点平分，则此弦所在的直线方程是

9．已知椭圆的离心率为e，焦点F到其相应准线的距离为p，弦AB过焦点F，若AB的倾斜角为?，则|AB|?__________.

10．在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，

且点B的纵坐标大于零. （1）求向量AB的坐标；

（2）是否存在实数a，使抛物线y?ax?1上总有关于直线OB对称的两个点？若不

存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.

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11. （2006年福建卷） 已知椭圆

x22 （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； （II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

?????????2,0，12. （2006年四川卷）已知两定点F1?2,0,F2满足条件PF2?PF1?2的点P?y?1的左焦点为F，O为坐标原点。

2????的轨迹是曲线E，直线y?kx?1与曲线E交于A,B两点，如果AB?63，且曲线E上

????????????存在点C，使OA?OB?mOC，求m的值和?ABC的面积S?.

第五讲 曲线与方程

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[知识梳理]

［知识盘点］

1．曲线的方程与方程的曲线

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个一元二次方程f(x,y)?0的实数解建立如下关系：

(1) ；(2) ，那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。另外，平面上所有满足条件的动点的集合，也称为 。

2．坐标法与解析研究的对象

(1)坐标法：借助于坐标系，用 表示点，把曲线看成 或轨迹，用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这种方法称为坐标法.

(2)用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做 ，解析几何主要研究以下问题： ①根据已知条件，求出曲线的方程；②通过曲线方程，研究曲线的性质. (3)利用坐标法求曲线方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用有序的实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标； ②写出适合条件P的点M的集合 ； ③用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)?0； ④化方程f(x,y)?0为最简形式；

⑤说明化简后的方程的解为坐标的点都在 上. 3.求曲线方程(或轨迹)常用的方法

(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成x,y的等式就可以得到曲线的方程.由于这种求曲线(轨迹)方程的过程不需要其它步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法； (2)定义法：其动点的轨迹符合某本曲线的定义，则可根据曲线的定义直接求出曲线方程； (3)几何法：若所求的曲线方程满足某些几何性质(如线段的垂直平分线、角平分线的性质等)，则可利用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较为方便；

(4)相关点法(代入法)：有些问题中，其动点满足的条件不便于用等式列出，但其动点是承受着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的.这时我们可以用动点的坐标表示出相关点的坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程；

(5)参数法：有时动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可以发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(如角度、斜率、比值、截距或时间等)

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的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法称之为参数法，如需要得出普通方程，只要消去参数即可。在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.

(6)交轨法：在求动点的轨迹方程时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参考求出所求的曲线方程，该法经常与参数法并用.

(7)整体法：当探求的曲线方程问题较为复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成是一个整体，从整体出发运用整体思想、注重整体结构的挖掘和分析。 ［特别提醒］

1．求曲线的方程问题是解析几何学的两大基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹，其实质就是利用题设中几何条件，通过“坐标互化”将其转变为寻求变量间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程时的作用，只要动点满足已知曲线的定义时，就可以直接得出方程.

2．要注意一些轨迹问题，都包括一定的隐含条件，也就是曲线上的点的取值范围.

3．解答曲线的方程问题，首先要明确圆锥曲线的性质，作好对图形变化可能性的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，如参数的选取，相关点的变化规律及限制条件等等，注意将动点的几何性质用数学语言表述。

4．在求轨迹方程问题中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出轨迹方程以后，应仔细检查有无“不法份子”掺杂其中，将其删除；另一方面，还应注意圾无“漏网之鱼”逍遥法外，将其捉回，即轨迹上点不能含有杂点，也不能少点，也就是曲线上点不多也不少。

[基础闯关]

1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是（ ）

A.圆

2．x=1?3y表示的曲线是（ ）

A.双曲线 C.双曲线的一部分

B.椭圆

D.椭圆的一部分

2

B.椭圆 D.抛物线

C.双曲线的一支

3．在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）

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4．若ac?1，则y?ax2?2x?c的焦点F的轨迹方程是( )

A.y?0(x?0)B.x?0(y?0) C.x?4y?0(x?0) D.4x?y?0(x?0) 5．△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－

a2,0),C(

a2,0)，且满足条件sinC－sinB=

12sinA,

则动点A的轨迹方程为

_________

6．高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________

[典例精析]

例1．在△PMN中，tan∠PMN=

12，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐

标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程. ［剖析］如右图，以直线MN为x轴，线段MN的垂直平分线 为y轴，建立平面直角坐标系，则所求椭圆方程为xa22P+yb22=1. M N 显然a2、b2是未知数，但a2、b2与已知条件没有直接联系，因 此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件. ［解］解法一：如上图，过P作PQ⊥MN，垂足为Q，

令|PQ|=m，于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m，|QN|=|PQ|cot∠PNQ=

y12m.

∴|MN|=|MQ|－|NQ|=2m－于是S△PMN=431212m=123232m. m2m=1. 13M ON QP|MN|2|PQ|=432x 因而m=，|MQ|=2，|NQ|=，|MN|=3. - 21 -

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|MP|=|MQ|2?|PQ|2=

163?43=

2153，|NP|=|NQ|2?|PQ|2=

13?43=

153.

以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为

4x152xa22+

yb22=1

（a＞b＞0）.则2a=|MP|+|NP|=15，2c=|MN|=3，故所求椭圆方程为

解法二：设M（－c，0）、N（c，0），P（x，y），y＞0， 则

yx?cyx?c+

y23=1.

=

12，

=2，

y2c=1，

解之，得x=

536，y=

233，c=

32.

设椭圆方程为bx+ay=ab，则 b2（

2

222

22222

536）+a（，

2

2

233）=ab，

22

a2－b2=

34解之，得a=

154，b=3.故所求椭圆方程为

2

4x152+

y23=1.

［警示］解法一选择了与a较接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x、y、c.本题解法较多，但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法. ［变式训练］：

1．如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

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例2．如下图，P是抛物线C：y=

12x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若

直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程. ［剖析］欲求PQ中点M的轨迹方程，需知P、Q的坐标.思路一，P、Q是直线l与抛物线C的交点，故需求直线l的方程，再与抛物线C的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M的轨迹方程；思路二，设出P、Q的坐标，利用P、Q的坐标满足抛物线C的方程，代入抛物线C的方程相减得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的轨迹方程. yQMTPOlSx ［解］设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），依题意知x1≠0，y1>0，y2>0.

由y=

12x2， ① 得y′=x.

1k切∴过点P的切线的斜率k切=x1，∴直线l的斜率kl=－=－

1x1，

直线l的方程为y－

12x12=－

1x1（x－x1） ②

方法一：联立①②消去y，得x2+

2x1x－x12－2=0.∵M为PQ的中点，

x0=∴

y0=

x1?x2212=－

1x1，

x12－

1x1（x0－x1）.

消去x1，得y0=x02+

12x02+1（x0≠0），

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∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+方法二：由y1=得y1－y2=则x0=

122

12x2+1（x≠0）.

，

12x12，y2=

1212x22，x0=

x1?x22x1－x2=

1x12

12（x1+x2）（x1－x2）=x0（x1－x2），

1x012x012x2y1?y2x1?x2=kl=－，∴x1=－.

将上式代入②并整理，得y0=x0+

2

2+1（x0≠0），

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+

+1（x≠0）.

［警示］本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法. 与弦的中

点有关的问题，可采用“消参法”，即设出弦中点坐标，代入圆锥曲线方程，根据斜率公式，消去参数，得弦中点的轨迹方程；或直接设出弦的两个端的坐标及中点坐标，根据端点坐标适合圆锥曲线方程，联立方程，采用“设点作差”的方法，分析轨迹方程.这种方法相比较而言，“设点作差”(即点差法)的计算过程更为简单，但是一般要知道相交弦的中点坐标时方可采用，有一定的限制性. ［变式训练］

2．求过点M(1,0)所作椭圆

例3．如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

［剖析］本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程利

x24?y?1的弦的中点的轨迹方程.

2yBQRAoPx用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程

［解］设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|=|AO|－|OR|=36－(x+y)

22222

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又|AR|=|PR|=(x?4)2?y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x+y－4x－10=0,得

(x?42)?(x?42,y1?y?02,

22

2y2)?4?2

2x?42－10=0

整理得 x+y=56,这就是所求的轨迹方程

2

［警示］对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程

［变式训练］ 3. 已知直线l与椭圆

x22abR、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

例4．给出定点A（a，0）（a＞0）和直线l：x=－1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系. ［剖析］由直接法得出曲线的方程，再作进一步化简，并判断曲线的形状。 ［解］解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx.设点C（x，y），则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到

?y22且与x轴、y轴分别交于?1(a?b?0)有且仅有一个交点Q，

OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得

|y|=

|y?bx|1?b2 ①

依题设，点C在直线AB上，故有：y=－

b1?a（x－a）

由x－a≠0，得b=－

(1?a)yx?a ②

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将②式代入①式得：y［1+

2

2

2

(1?a)y(x?a)222］=［y－

2

(1?a)xyx?a］.

2

整理得：y［（1－a）x－2ax+（1+a）y］=0

若y≠0，则（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）；

若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）.满足上式.

22

综上得点C的轨迹方程为：（1－a）x－2ax+（1+a）y=0（0≤x＜a）.

(x?∵ a≠1

，∴

a1?aa2()1?a)2?ya222?1（0≤r＜a)

③

1?a由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段. 解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足

（Ⅰ）当|BD|≠0时，设点C（x，y）， 则0＜x＜a，y≠0. 由CE∥BD，得|BD|=

|CE|?|DA||EA|?|y|a?x（1+a）

∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD ∴2∠COA=π－∠BOD ∵tan（2∠COA）=

，tan（π－∠BOD）=－

2tanCOA1?tanCOA2tanBOD，tanCOA=

|y|x，tanBOD=

|BD||OD|?|y|a?x（1+a）

2?∴

|y|22x??|y|（1+a）整理得：（1－a）x－2ax+（1+a）y=0（0＜x＜a） 2ya?x1?x2（Ⅱ）当|BD|=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为（0，0），满足上式

综合（Ⅰ）（Ⅱ），得点C的轨迹方程为（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）. ∵ a≠1，

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(x?∴

a1?aa2()1?a)2?ya222?1（0≤r＜a)

(*)

1?a由此知，当0＜a＜1时，方程(*)表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程(*)表示双曲线一支的弧段.

［警示］本题主要考查了曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一利用设点法引入参数b，消参数得方程.解法二则利用角之间关系，使用二倍角公式得出等式，化简较简捷，但分析时不容易想. ［变式训练］

4．已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列，

（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？

（Ⅱ）若点P坐标为(x0,y0)，?为PM与PN的夹角，求tanθ。

2

例5．如图所示，已知抛物线y＝4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程.

［剖析］点M是OM与AB的交点，点M随着A、B两点的变化而变化，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数.

［解］解法一：设M（x0，y0），则kOM=

y0x0，kAB=－

x0y0，

直线AB方程是y=－

x0y0（x－x0）+y0.由y=4px可得x=

①

2

y24p，将其代入上式，整理，得

x0y2－（4py0）y－4py02－4px02=0.

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，∴A（

y124p，y1）、B（

y224p，y2）.

∵OA⊥OB，∴kOA2kOB=－1.∴

4py12

4py2=－1.∴y1y2=－16p2.

根据根与系数的关系，由①可得y12y2=

?4p(x0?y0)x022，∴

?4p(x0?y0)x022=16p2.

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化简，得x02+y02－4px0=0，即x2+y2－4px=0（除去原点）为所求.

∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点. 解法二：设A、B两点坐标为A（pt12，2pt1）、B（pt22，2pt2）. ∴kOA=

2t1，kOB=

2t2，kAB=

2t1?t2.∵OA⊥OB，∴t12t2=－4.

∴AB方程是y－2pt1=

2t1?t2（x－pt1），

2

①

直线OM的方程是y=－

2

t1?t22x. ②

①3②，得（px）t1+2pyt1－（x2+y2）=0. ③ ∴直线AB的方程还可写为y－2pt2=

2t1?t2（x－pt22）. ④

由②3④，得（px）t22+（2py）t2－（x2+y2）=0. ⑤

222

由③⑤可知t1、t2是方程（px）t+（2py）t2－（x+y）=0的两根. 由根与系数的关系可得t1t2=

2

2

?(x2?y)2px.又t12t2=－4，

∴x+y－4px=0（原点除外）为所求点M的轨迹方程.

故M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点. 解法三：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，由OM⊥AB得k=－由y2=4px及y=kx+b消去y，得k2x2+x（2kb－4p）+b2=0. 所以x1x2=

bk22xy.

.消去x，得ky2－4py+4pb=0.所以y1y2=

4pbk.由OA⊥OB，

得y1y2=－x1x2，所以

4pkk=－

bk22，b=－4kp.

故y=kx+b=k（x－4p）.用k=－

xy代入，得x2+y2－4px=0（x≠0）.

解法四：设点M的坐标为（x，y），直线OA的方程为y=kx， 显然k≠0，则直线OB的方程为y=－ y=kx， 由 解得A点的坐标为（

1kx. ，

4p4p2 k - 28 - k），

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y2=4px，

类似地可得B点的坐标为（4pk2，－4pk）， 从而知当k≠±1时， 4p(1ykAB=4p(k12?k)=?k)211k?k Ak故得直线AB的方程为y+4pk=11k?k（x－4pk）， B2OMx. 即（1k－k）y+4p=x， ①

直线OM的方程为y=－（

1k－k）x. ②

可知M点的坐标同时满足①②，由①及②消去k便得4px=x2+y2，即（x－2p）2+y2=4p2，

但x≠0，当k=±1时，容易验证M点的坐标仍适合上述方程.

故点M的轨迹方程为（x－2p）+y=4p（x≠0），

它表示以点（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆.

［警示］本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性”.此题是综合考查学生能力的一道好题. ［变式训练］

5．已知椭圆C的方程为x+

2

2

2

2

y22=1，点P（a，b）的坐标满足a+

2

b22≤1，过点P的直线l

与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：

（1）点Q的轨迹方程；

（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.

????例6．已知常数a?0，向量c?(0,a),i?(1,0)，经过原点O以c??i为方向向量的直线与

??经过定点A(0,a)，以i?2?c为方向向量的直线相交于点P，其中??R.试问：是否存在

两个定点E,F，使得|PE|?|PF|为定值，若存在，求出点E,F的坐标，若不存在，说明理由。

［剖析］由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的

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斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。从求点P的轨迹方程入手，进而讨论轨迹方程的性质，便可获得本题的解答.

????［解］因为c??i?(0,a)??(1,0)?(?,a)，i?2?c?(1,0)?2?(0,a)?(1,?2?a)

所以直线OP与AP的方程分别为：?y?ax和y?a??2?ax，其中a?0,??R. 消去实数?，得点P(x,y)的坐标满足方程y(y?a)??2a2x2，

x2(y??aa22)2整理得：

1?1 ①

8?a?0，所以

()2(1)当a?22时，方程①是圆的方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

22(2)当0?a?时，方程①表示椭圆，故焦点坐标E(1212?a,2a2)和F(?121212?a,2a2)为

合乎题意的两个定点； (3)当a?22时，方程①也表示椭圆，故焦点E(0,12(a?a?212))和F(0,(a?a?212))为符合题意的两个定点.

［警示］本题以向量为载体考直线，消元法求轨迹，以圆与椭圆的有关知识，考查了分类讨论思想。以向量为载体考查圆锥曲线问题是最近几何高考的热点问题，要正确认识向量等式所表示的几何意义，将向量运算的数量化是解决本类问题的关键. ［变式训练］

6．已知点H(?3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满

???????????????3????足HP?PM?0,PM??MQ.

2(1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

(2)过点T(?1,0)作直线l与轨迹C交于A,B两点，若x轴上存在一点E(x0,0)，使得?ABE是等边三角形，求x0的值。

[能力提升]

1．设k＞1，则关于x、y的方程（1－k）x2+y2=k2－1所表示的曲线是（ ）

A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆

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C.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在x轴上的双曲线

2．经过抛物线y2?4x的焦点的弦的中点轨迹方程是

12 A.y2?x?1 B.y2?2(x?1)

2

2

C.y2?x? D.y2?2x?1

3．若θ∈［0，

?2］，则椭圆x+2y－22xcosθ+4ysinθ=0的中心的轨迹是（ ）

4．（2007江西）一动点到两坐标轴的距离之和的2倍等于动点到原点距离的平方，则动点P的轨迹方程为（ ） A.x2?y2?2x?2y

B.x2?y2?2x?2y D.x?y?2x?2y

22 C.x2?y2??2x?2y

5．（2005年佛山）点P(a,b)是单位圆的动点，则点Q(a?b,ab)的轨迹方程是 。

????6．（2005年广州）已知点P是抛物线y?2x?1上的动点，定点A(0,?1)，若点M分PA所

2成的比为2：1，则点M的轨迹方程是 。 7．（2006年兖州）设P为双曲线

x24?y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，

则点M的轨迹方程是 ．

8．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x－4y=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.

9．已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程。

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O'DABCEF2

2

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10．已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=－kx.

（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆； （2）求到l1、l2的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹.

11．（2007年曲师附中）已知点G是?ABC的重心，A(?1,0),B(0,1)在x轴上，有一点M??????????????????满足|MA|?|MC|,GM??AB(??R)，求点C的轨迹方程.

12. （2005年太原市模拟题）已知椭圆的焦点为F1（－1，0）、F2（1，0），直线x=4是它的一条准线.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A1、A2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|PA1|－|PA2|=2的一点，求tan∠A1PA2的值；

（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A2为焦点的抛物线相交于点M、N，求MN中点Q的轨迹方程.

教学反思

对建构主义学习来说,活动是第一位的,强调要在“做数学中学数学”,由于主体自身的智力参与,特别是主体高水平的智力参与,使外部的活动过程内化为主体内部的心理活动过程.并从中产生出主体的个人体验.充分体现了新课标的精神,以学生为主体,吸引学生动手实践、自主探索、合作交流.学生以积极主动、勇于探索的学习方式体验了双曲线的形成过程,学生对所学内容会理解更深更记忆更牢.

学生在认同与体验中建构知识技能的传授和能力的培养主要依靠解题训练,对此,波利亚揭示:“中学数学首要任务就是加强解题训练,掌握数学就是意味着善于解题”.对于课本例题,运用一题多变的方法可培养学生思维的灵活性及应变能力,设计必做和选做题,意在既

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巩固所学知识,又给学有余力的学生以更大发展空间,体现了因材施教的原则,整个教学环节都很完整.

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