指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①??

??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；

②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n a a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 1

0,,1)m

n m

n a a m n N n a -*==>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );

②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.

3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

2

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线

x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义

如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N

a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1

log 0a =，②l o

g 1a

a =，③l

o g N

a a N =，④l

o g N a a

N =。

3 （2）对数的重要公式： ①换底公式：log log (,1,0)log N N a b b a

a b N =>均为大于零且不等于； ②1log log b a a b

=。 （3）对数的运算法则：

如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么

①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N

M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=； ④b m

n b a n a m log log =。

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b.

4、反函数

指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，

1

2

y x

=，y=x-1方法：可画出x=x0；

当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，

1

2

y x

=，y=x-1；

当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，

1

2

y x

=，y=x，y=x2，y=x3。

三：例题诠释，举一反三

知识点1：指数幂的化简与求值例1.(2007育才A)

（1）计算：

25

.0

2

1

2

1

3

2

5.0

3

2

0625

.0

]

)

32

.0(

)

02

.0(

)

008

.0(

)

9

4

5(

)

8

3

3

[(÷

?

÷

+-

-

-

；

4

5 （2）化简：533233232332

3134)2(248a a a a a b a a ab b b

a a ???-÷++--

变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:

（1）;)(653

12121

132b a b a b a ????--

（2）.)4()3(6

521332121231

----?÷-??b a b a b a (3)

100.2563

71.5()86-?-+知识点2：指数函数的图象及应用

例2.(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )3

1()21(=，下列五个关系式：①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x 且)1≠a 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_______.

知识点3：指数函数的性质

例3.（2010省实B ）已知定义域为R 的函数

12()22

x x b f x +-+=+是奇函数。 （Ⅰ）求b 的值；

（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性;

（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围． 变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=x

x a a e e +是R 上的偶函数

. （1）求a 的值；

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数

.

知识点4：对数式的化简与求值

例4.（2010云浮A ）计算：（1）)32(log 32-+

（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2

+-;

6 （3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.

变式：（2010惠州A ）化简求值.

（1）log 248

7+log 212-21log 2

42-1; （2）(lg2)2+lg2·

lg50+lg25;

（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).

知识点5：对数函数的性质

例5.（2011深圳A ）对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();

a a a a a +<+ ②1log (1)log (1)a a a a +>+； ③1

11;a a a a ++< ④1

11;a a a a ++> 其中成立的是（ ）

（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④ 变式：（2011韶关A ）已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a

b b b b a 1log ,log ,1的大小关系是 （ ）

A.log a b

b b b a 1log log 1<< B.b b b b a a 1log 1log log << C.b

b b a b a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6.（2010广州B ）已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|

≥1成立，试求a 的取值范围.

变式：（2010广雅B ）已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.

知识点6：幂函数的图象及应用

例7.(2009佛山B)

已知点在幂函数()f x 的图象上，点124??- ??

?，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 变式：（2009揭阳B ）已知幂函数f(x)=x 322--m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上

是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F （x ）=a ）（）（x xf b x f -的奇偶性.

四：方向预测、胜利在望

1．（A ）函数4

1lg )(--=x x x f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．[1，4) C ．(－∞，1)∪(4，＋∞) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞)

2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ）

(A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln 2 (D) ln2

3（B ）设a>1，函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21则a=( ) (A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）4

7 4.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设

63(),(),52a f b f ==5(),2

c f =则（ ） （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<

5.（B ）设f (x )= 1232,2,log (1),2,

x e x x x -?<??-≥??则不等式f (x )>2的解集为（ ） (A)（1，2）?（3，+∞） (B)（10，+∞）

(C)（1，2）? （10 ，+∞） (D)（1，2）

6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）

Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q <<

7．(A)已知c a b 212121log log log <<，则( )

A ．c a b 222>>

B ．c b a

222>> C ．a b c 222>> D ．b a c 222>> 8．（B ）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ）

（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()

x x f x a a -=+ (D) 2()2x f x ln x

-=+ 9.（A ）函数y =的定义域是：（ ） A [1,)+∞ B 23(,)+∞ C 23[,1] D 23(,1]

10.(A)已知函数kx y x y ==与4

1log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）

A ．41-

B ．41

C ．2

1- D ．21 11．（B ）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定有（ ）

A ．010><<b a 且

B ．01>>b a 且

C ．010<<<b a 且

D ．01<>b a 且

12．(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=

（ ）

A. 42

B. 22

C. 41

D. 2

1 13.(A)已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有（ ）

（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a

（C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a

14.（A ）已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ）

（A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）2

1 15．（B ）函数y ＝lg|x| （ ）

A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

16.（A ）函数3

)4lg(--=x x y 的定义域是 ____________________________.

8 17．（B ）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线

10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n

+的最小值为 ． 18．（A ）设,0.(),0.

x e x g x lnx x ?≤=?>? 则1(())2g g =__________ 19．（B ）若函数f(x) =

1222--+a ax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________. 20．(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a = ．

21.(B)已知函数x

x x x f -+-=

11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

参考答案：

三：例题诠释，举一反三

例1. 解：（1）

92，（2）2a 变式：解：（1）1, （2）.4514545)(23232123

313

61

ab ab ab b a b a b -=?-=?-=÷----- (3)110 例2. 解：

B 变式：解：)21,0(；

例3. 解：（Ⅰ）1=b （Ⅱ）减函数。 （Ⅲ）31-

<k 变式：解：（1）a=1.（2）略

例4. 解：（1）-1.

2） 1.3）21. 变式：解：(1).232log 221log 242481272322-===???-（2） 2.（3）4

5 例5. 解：选D 。

变式：解： C

例6. 解：(1，3］∪［31，1）

变式：解：{a|2-23≤a ＜2}

例7. 解：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；

（2）当1x =±时，()()f x g x =；

（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．

变式：解：（1）f(x)=x -4.

（2）F （x ）=32bx x a

-， ∴F （-x ）=2x a

+bx 3.

①当a ≠0，且b ≠0时，F （x ）为非奇非偶函数；

9 ②当a=0,b ≠0时，F （x ）为奇函数；

③当a ≠0,b=0时，F （x ）为偶函数；

④当a=0,b=0时，F （x ）既是奇函数，又是偶函数.

四：方向预测、胜利在望

1—5 ADDDC ； 6—10 AADDA ； 11—15 CADDB.

16. (-∞, 3)?(3,4) 17. 4 18.2

1 19.[-1,0] 20. 2

2 21．[解]x 须满足,11011,0110<<->-+?????>-+≠x x x x

x x 得由 所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.

因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有

)()11log 1(11log 1)(22x f x

x x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则

,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(

11log 111log 1)()(1

222211222212

222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由 得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减，

由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/thm4.html