若尔当标准型的研究3

若尔当标准形的研究

中文摘要：

矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。 本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若尔当标准形的几种求解方法，对若尔当标准形进行探讨。 关键字：

若尔当标准形、相似矩阵、初等因子、循环向量

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目 录

目 录 ........................................................................................................................ 2

第一章：绪论 ................................................................................................................................................... 1 第二章：若尔当标准形 ................................................................................................................................... 2

2.1若尔当标准形的定义 .......................................................................................... 2 2.2矩阵最小多项式 .................................................................................................. 3 2.3定理的证明 .......................................................................................................... 6 本章小结： .............................................................................................................. 10 3.1利用初等因子求矩阵的若尔当标准型 ............................................................ 11 3.2利用矩阵的秩 .................................................................................................... 13 3.3用循环向量法求若尔当形 ................................................................................ 17 本章小结： .............................................................................................................. 19

第四章若尔当标准形的应用 ......................................................................................................................... 20

4.1 可逆矩阵P的求法 ........................................................................................... 20 4.2常系数齐次线性微分方程的解 ........................................................................ 24 本章小结： .............................................................................................................. 27 结论： ...................................................................................................................... 28

参考文献： ..................................................................................................................................................... 30 致谢： ............................................................................................................................................................. 29

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第一章：绪论

矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用，因此矩阵的若尔当标准形和过度矩阵的研究成为一个重要的研究课题。 在线性代数中，若尔当标准型（或称若尔当正规型）是矩阵的一类。若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。或者说，如果一个线性空间上的自同态特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当标准型。若尔当标准型几乎是对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方的对角线外系数都是零。谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况。

??,a?b?J(a,b)??0or1,b?a?1?0,other?在高等代数中我们知道形如，其中?是复数。由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵。每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。

本文在了解若尔当标准形的基础上，进一步做出探究，首先对若尔当标准性的定义（像这样

0?Jk1(?1)?Jk2(?2)?0?00?????00?00?0????Jk3(?3)?的矩阵，我们把它称为若尔当矩阵）进行分析。第二章主要是对矩阵的极小多项式进行分及

其求解过程，以及对可逆矩阵P的求法做出了探讨。并对矩阵相似的定理做出了证明。第三章主要是对若尔当标准形的求解方法做出了探讨，通过利用初等因子求解矩阵的若尔当标准型、利用矩阵的秩求解若尔当标准型和利用循环向量来求解若尔当标准性。通过以上三种方法对矩阵的若尔当标准性的求解过程做出了深刻详细的求解过程，引用鲜明的例子对以上求解方法做出相应的解释。第四章主要是对若尔当标准形在微分方程中的一个应用。

矩阵理论学习就是学习经典数学的基础，又是一门很有实用价值的理论。它不仅是高等代数的一个重要分支，而且已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的有力工具。矩阵的标准型具有结构简单、已与计算等优点，在解决矩阵问题中起着很重要的作用。因此，掌握矩阵的相似标准化的方法在解决实际问题时，往往可以起到事半功倍的效果。

??0?0??0?Jks(?s)??

0 1

第二章：若尔当标准形

2.1若尔当标准形的定义

定义：上三角矩阵

?c?00?0??defJ)??0k(c??0????0称为若尔当块（jordan block）。 由若尔当块构成的对角矩

??Jk1(?1)0?0Jk2(?2)??00?????00称为若尔当矩阵。

c0?0c????00?0?0?Jk3(?3)???0?2

0?0????c??

0?0??0?0??Jks(?s)?? 2.2矩阵最小多项式

定义2.21：设A?Mn(K) 是一个矩阵，如果多项式

f(?)?a0?m?a1?m?1?????am?1??am

mm?1f(A)?aA?aA?????am?1A?amEn?0 01使得：

则称f(?)是A的零化多项式。A的次数最小的首一零化多项式称为A的极小多项式（minimal polymial）,记为mA(?)。

引理2.21：mA(?)整除A的任意零化多项式。特别的mA(?)|fA(?)。

证明 设f(?)是A的任一零花多项式，则f(A)?0。由带余除法定理可知

f(?)?mA(?)q(?)?r(?)，r(?)?0或?0(r(?))??0(mA(?))。由r(A)?0及?0(mA(?))的最小性知r(?)?0

?mA(?)|fA(?)

引理2.22：mA(?)的根必是fA(?)的根。 证明 若A有特征根?0不是mA(?)的根，则

(???0,mA(?))?1。?存在u(?),v(?)?C[?]使得

u(?)(???0)?v(?)mA(?)?1

?u(A)(A??0Im)?In，取行列式知det(A??0Im)?0与?0是A的特征根矛盾。 由引理1、2知mA(?)与fA(?)有相同的根。

引理2.23 相似矩阵有相同的最小多项式，反之不真。

例2.21 设

?0?0A???0??0100000000?0?010????0?0000?B???0000?1????0? 0000??

mA(?)?mB(?)??2，但A、B不相似。 引理2.24 设A为n阶方阵且A 相似于

?B1B???0B2??B3?

3

致谢

四年的艰苦跋涉，五个月的精心准备，毕业论文终于到了划句号的时候，心头照例该如释重负，但写作过程中常常出现的辗转反侧和力不从心之感却挥之不去。论文写作的过程并不轻松，工作的压力时时袭扰，知识的积累尚欠火候，于是，我只能一次次埋头于图书馆中，一次次在深夜奋笔疾书。第一次花费如此长的时间和如此多的精力，完成一篇具有一定学术价值的论文，其中的艰辛与困难难以诉说，但曲终幕落后留下的滋味，值得我一生慢慢品尝。

敲完最后一个字符，重新从头细细阅读早已不陌生的文字，我感触颇多。虽然其中没有什么值得特别炫耀的成果，但对我而言，是宝贵的。它是无数教诲、关爱和帮助的结果。

我要感谢我的指导教师赵松泉老师。赵老师虽身负教学、科研重任，仍抽出时间，不时召集我和同门以督责课业，耳提面命，殷殷之情尽在谆谆教诲中。这篇论文更倾注了他的大量心血。从初稿到定稿，赵老师不厌其烦，一审再审，大到篇章布局的偏颇，小到语句格式的瑕疵，都一一予以指出。同时，我要感谢理学院所有给我上过课老师，是他们传授给我方方面面的知识，拓宽了我的知识面，培养了我的功底，对论文的完成不无裨益。我还要感谢学院的各位工作人员，他们细致的工作使我和同学们的学习和生活井然有序。

谨向我的父母和家人表示诚挚的谢意。他们是我生命中永远的依靠和支持，他们无微不至的关怀，是我前进的动力；他们的殷殷希望，激发我不断前行。没有他们就没有我，我的点滴成就都来自他们。

让我依依不舍的还有各位学友、同门和室友。在我需要帮助的时候，_你们么伸出温暖的双手，鼎立襄助。能和相遇、相交、相知是人生的一大幸事。

本论文的完成远非终点，文中的不足和浅显之处则是我新的征程上一个个新的起点，我将继续前行！ 最后再次感谢我的导师对我耐心的指导！

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参考文献

[1]3N.丹佛，J.T.施瓦茨, 《线性算子》第一章：一般理论（Linear Operators, Part I: General Theory）, Interscience, [2]高等教育出版社出版，陈志杰主编的《高等代数与解析几何》，2000 [3]张禾瑞，郝炳新。高等数学[M]。4版.北京.高等教育出版社，1999； [4]上海科学技术出版社出版的《代数学引论》，第十三章

[5]北京大学数学系几何与代数小组。高等代数[M]北京：高等教育出版社，1998； [6]徐仲，张凯院，陆全，等矩阵论简明教程【M】.北京：科学出版社，2008 [7]Daniel.T. Finkbeiner II,《矩阵与线性变换导论》第三版（ Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition）, Freeman, 1978. [8]Gene H. Golub，Charles F. van Loan, 《矩阵计算》第三版（Matrix Computations ）, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.

[9]Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., 矩阵分析（Matrix Analysis）, Cambridge University Press,1985, ISBN 978-0-521-38632-6 [10]Glenn James，Robert C. James, 《数学辞典》第四版（Mathematics Dictionary, Fourth Edition）, Van Nostrand Reinhold, 1976.

[11]Saunders MacLane，Garrett Birkhoff, 《代数学》（Algebra）, MacMillan, 1967. [12]Anthony N. Michel，Charles J. Herget, 《应用代数和泛函分析》（Applied Algebra and Functional Analysis）, Dover, 1993.

[13]Georgi E. Shilov, 《线性代数》（Linear Algebra）, Dover, 1977.

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本章小结：

本章主要是对若尔当标准形的研究，通过利用矩阵的初等变换、利用矩阵的秩和循环向量的方法来求若尔当标准形。利用矩阵的初等变换求若尔当标准形主要是对?E?A进行初等变换，求出A的不变因子，再利用不变因子求出相应的若尔当块，有这些初等因子组成的对角阵就是A的若尔当标准形；

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第四章若尔当标准形的应用

4.1 可逆矩阵P的求法

引理4.11：如果存在数字矩阵P,Q?Mn(K)使得对矩阵A与B的特征矩阵有：

?E?A?P(?E?B)Q 则矩阵A与B相似。

?1设A是一个n阶复矩阵。求A的若尔当标准型J，并确定过度矩阵T，使得TAT?J，我们

可以按以下步骤进行

第一步： 用初等变换求出?E?A 的标准型B(?)，同时求出相应的可逆?_矩阵U1(?)和

V1(?)，使得：U1(?)(?E?A)V1(?)?B(?).

第二步： 由B(?)知A的不变因子，由此得出A的初等因子，再由初等因子写出A的若尔当标准型J。

第三步： 用初等变换将?E?J化为标准型B(?)（因A?J，所以?E?A与?E?J等价，因而它们有相同的标准型），同时求出可逆?_矩阵U2(?)和V2(?)，使得：

U2(?)(?E?A)V2(?)?B(?)。

?1?1U(?)?U(?)U(?)V(?)?V(?)V1(?)， 则 212第四步：令，

U(?)?(?E?A)V(?)??E?J。 （2.31）

第五步：求出?_矩阵Q(?)、R(?)和数字矩阵U0和V0，使得

U(?)?(?E?A)Q(?)?U0； （2.32） V(?)?R(?)(?E?A)?V0. （2.33）

定理 设A是一个n阶方阵，则以上方法求得V0就是所要确定的过渡矩阵，即若令T?V0，

?1T则T可逆且AT?J。

证明 由 （2.31）式和（2.33）式得：

U(?)?1(?E?J)?(?E?J)V(?)?(?E?J)[R(?)(?E?J)?V0]

?1[U(?)??(E?A)R?()?]E(?J?)?E(?0J所以 . V) 20

?1T?[U(?)??(E?A)R?(，则)] 现令

T(?E?J)?(?E?J)V0 （2.34）

因V0是数字矩阵，比较（4）的两边即可知：T比为数字矩阵。

?1E?UTUTT?U0，从而0代入又因为E和0均为数字矩阵，所以上式右边第二项必为0，故

（2.34）得：

?1U0(?E?A)?(?E?J)V0

A0V??(0U0)V?0(?E?)所以 ?E?J?U所以 U0V0?E，且J?U0AV0

?1?1J?VAV0 U?V000所以 且?1因此，若令T?V0，则J?TAT。

0U，A V注：从以上步骤可以看出，在具体求T是，只需要求出V1(?)、V2(?)、V(?)和V0即可。从而

U1(?)、U2(?)、U(?)和U0可以不必计算。

08??3??A??3?16???20?5???，求A的若尔当标准型J，并求相应的可逆矩阵T。使得例4.11设

T?1AT?J。

解 第一步 ：求?E?A的标准形，

???08??100???3?????E?A??3??16???0??10??B(?)????20??5?1???0?02??2(??1)??，

1??1??1??2(??5)???100??3????E??010???01???V1(?)2?001??????001?????

第二步：由第一步知，A的初等因子为??1，(??1)，故A的若尔当标准形为

21

2??100???J??0?10??01?1???

第三步：因?E?A与?E?J有相同的标准形B(?)，故对?E?J施行初等变换将其化为B(?)。

00??100????1????E?J??0??10?0??10?????B(?)?0?0??1?0(??1)2????0?

0??100??01????E??010???10??1??V2(?)?001??001?????

所以

?01?(??1)???V2(?)?1??100??001???。

第四步：

?1??1?(??5)????11?(3??7)?2??01?(??1)??2????????3V(?)?V1(?)V2(?)?1??01?3?100?10???2??2????0??00?1??00101????????

第五步：

?11?7??10?3?2??2??V(?)??000????10?3??D0??D12????0???001??00?????

设R(?)?Q0，且D0??D1?Q0(?E?J)?V0?Q0??(V0?Q0J)，

?10?3?2??Q0?D0??000???0??00??， 所以

?11?7??10?3??0?3?2?22?100???????2???V0?D1?D0J??10?3???000???0?10???10?3?2??2??????000??00?1???1?01??00???0??????? 22

?013?2??V0?1???20?4???001????

且容易检验知

V0?1AV0T?J成立。

23

4.2常系数齐次线性微分方程的解

形如的

dX/dt?AX （4.21）

常系数其次线性微分方程组，其中A为已知的n阶常系数矩阵，X(t)为未知的n维列向量函数。

定义4.21 给定定义在区间[a,b]的m个向量函数X1(t),X2(t),?,Xm(t)，如果存在不全为零的常数c1,c2,?,cm，使恒等式c1X1(t)?c2X2(t)???cmXm(t)?0 （4.22） 成立，则称

X1(t),X2(t),?,Xm(t)在区间[a,b]上线性无关。

0(t),P1(t),?,Pm?1(t)线性引理4.21 设Pi(t)为t的i次向量系数多项式，i=0,1,2,……，m-1,则P无关。

1(t)???cm?1Pm?1(t)?0由多项式为零的条件是各次证明 若存在c0,c1,?,cm?1，使c0P0(t)?c1P项的系数为零可得m个等式，这m个等式可看作是相关c0,c1,?,cm?1的方程组。这个方程组的系数矩阵是对角线元素全部为零的上三角矩阵，矩阵的行列式不为零，故

c0P0(t)?c1P1(t)???cm?1Pm?1(t)?0

0(t),P1(t),?,Pm?1(t)线性无关。 当且仅当c0?c1???cm?1?0时成立，故P?t?tm?1?tP(t)P(t)e,(dP(t)/dt)e,?,(dP(t)/dt)e引理4.22设为m-1次向量系数多项式，则线性无

关。

i?t证明 P(t)为m-1次向量多项式，故(dP(t)/dt)e为m-i-1次多项式，i=0,1,…，m-1；由引

?t?tm?1?tP(t)e,(dP(t)/dt)e,?,(dP(t)/dt)e理1知线性无关。

?tP(t)e引理4.23 如果是方程（4.21）的一个解，其中P(t)为m-1次向量系数多项式，则

(dP(t)/dt)e?t也是方程组（4.21）的一个解。

?tP(t)e 证明 因是方程（4.21）的一个解，故P(t)满足

?t?t?P(t)e?(dP(t)/dt)?e ?tA(Pe4.23） ) t （

?t

两边同时除以e得： ?P(t)?(dP(t)/dt)?AP(t) （4.24） 22?dP(t)/dt?(dP(t)/dt)?AdP(t)/dt （4.25） 在两边对t求导得：

24

?t?t?t

d[(dP(t)/dt)e]/dt?A(dP(t)/dt)ee两边同时乘以整理得： （4.26） ?t(dP(t)/dt)e所以也是方程组（1）的解。

?tP(t)e定理4.21 如果是方程组（1）的一个解，，其中P(t)为m-1次向量系数多项式，则?是

?t?tm?1?tA的m重特征根，P(t)e,(dP(t)/dt)e,?,(dP(t)/dt)e是方程组（4.21）的m个线性无关

的解。

?t?tm?1?tP(t)e,(dP(t)/dt)e,?,(dP(t)/dt)e 证明：有引理3知都是方程组（4.21）的解。有引?t?tm?1?tP(t)e,(dP(t)/dt)e,?,(dP(t)/dt)e理4.22知是方程（4.21）的m个线性无关的解。

引理4.24 微分方程组（4.21）的系数矩阵A一定与一个若尔当标准形矩阵B相似，且

0?0??Jj1?B1????JBj22??B??Bj?????????????0?J0Bjlj?k??? 其中，

Jj1,Jj2,?,Jjlj都是对应于A的特征根

?j的若尔当块，j=1,2,…，k;

Bj的阶数等于

?j的

重数。 （前面已证明在此就不作证明了。）

定义4.22 设?为矩阵A的特征根，满足下列关系式：

AX0??X0AX1??X1?X0????AXm??Xm?Xm?1

的n维向量X0,X1,?,Xm称为A的相应于特征根?及特征向量X0的循环向量，m为正整数。 引理4.25 设J是m阶若尔当块，对角元素是?，则J有一个m 重特征根?，特征子空间

12mie,e,?,e是一维空间，它有m个线性无关的循环向量，其中e为m阶单位矩阵的第i列，mi=1,2,…，m, e是J的特征向量。

m(x??)证明： 因若尔当块J的特征多项式，故J有m重特征根?，因J??I（I表示单位

矩阵）的秩为m-1,故J的特征子空间是一维空间。由定义2知J有m个线性无关的循环向量

e1,e2,?,em，有特征根的定义可知em为J的特征向量。 引理4.26 n阶矩阵A为若尔当标准形时，每个若尔当块A的循环向量E

JjhiJjh对应的循环向量eJjh可以扩充为

，

j?1,2,?,k,h?1,2,?,lji?1,2,?,mjh25

;A存在n个线性无关的循环向量

E1,E2,?,En。 证明：设若尔当块

Jjh右上角元素位于A的第u列，eu?iJjh为

mjh阶单位矩阵的第i列，则eJjh可

以扩充为n阶单位矩阵的第u+i列，E，即A得循环向量。同理所有若尔当块对应得循环

向量可以扩充为A的n歌线性无关的循环线向量。

引理4.27 微分方程（4.21）的系数矩阵A一定存在n个线性无关的循环线向量。

?tX,X,?,XXP(t)e?01m?10引理4.28 若 为矩阵A相应于特征根及的循环向量，则为方程

的一个解；其中：

P(t)?X0tm?1/(m?1)!?X1tm?2/(m?2)!???Xm?2t?Xm?1 证明：由循环向量定义可知：X0,X1,?,Xm?1满足关系式

AX0??X0AX1??X1?X0????AXm?1??Xm?1?Xm?2

?t?tAP(t)??P(t)?dP(t)/dtP(t)P(t)eP(t)e故满足。从而满足微分方程组(1),即是微分方程组

（4.21）的一个解。

定理4.22： 微分方程组（4.21）的系数矩阵A与一个若尔当标准形矩阵B相似，即存在可逆

?1Jmu矩阵T，使得A?TBT，j是B的j阶若尔当块的第一行位于B的第j行，则

?t?t?t?tPuj?mj?1(t)e,P,,PP(t)euj?mj?2(t)e?uj?1(t)e,uj

是方程组（4.21）的

Puj?mj?1(t)?TEuj?mj?1mj个线性无关的解。其中：

uj?mj?2tmj?1/(mj?1)!?TEtmj?2/(mj?2)!???TEuj?1t?TEuj

Puj?mj?i?1(t)?diPuj?mj?1(t)/dt,i?1,2,?,mj?1证明：由引理4.27可知TE环向量；由引理4.28可知

kljmjh

uj?mj?1,TEuj?mj?2,?,TEuj?1,TEj为A对应?j及TEuj?mj?1，的mj个循

uPuj?mj?i?1(t)e?t为微分方程组（4.21）的

mj个线性无关解。

定理3 微分方程组（4.21）一定存在n个线性无关的解，且任一解可表示为：

X????CjhiPjhi(t)ej?1h?1i?1?jt

其中：根

?j为微分方程组（4.21）的系数矩阵A的特征根，

Cjhi为任意常数，

Pjhi(t)i-1

为对应特征阶导数

?j及

?j的第h个特征向量的循环向量多项式的

26

（

j?1,2,?,k,h?1,2,?,lji?1,2,?,mjhl）；k为A的不同特征根个数，j为与A相似的若尔当mjh

为若尔当矩阵B中与

矩阵B中于

?j对应的若尔当块的个数，

?j对应的第h个若尔当块的

阶数。

证明：由引理6知方程组（4.21）的系数矩阵A存在n个线性无关的循环向量。这n个循环向量由s?l1?l2???lk组成，由引理8可知每一组循环向量构成多项式，进而构成方程组（4.21）的

mjh

个线性无关的循环线向量

mjh

个线性无关解。S组成线性无关的解构成方程组（4.21）

的n个线性无关的解。因此方程组（4.21）的解空间是n维的，故成立。

本章小结：

本章主要是对若尔当标准形的应用，一方面是对可逆矩阵的求法作出探讨，利用矩阵的初等变换，求出不变因子，由于 ?E?A与?E?J有相同的标准形B(?)，故对?E?J施行初等变换将其化为B(?)，从而根据变换求出可逆矩阵P。另一方面是若尔当标准形在常系数线性微分方程dX/dt?AX中的一个应用，利用前一章所讲的循环向量求出方程的线性无关解。

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结论：

本文主要讨论的是若尔当标准形，矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用。

由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵，他是一个上三角阵，也是分块矩阵。每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。

本文先后讨论了矩阵的极小多项式的求法、若尔当标准形的求法、以及最后是对若尔当标准形的应用，可逆矩阵P的求法，和在常系数微分方程中的应用。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/thkh.html