江苏省盐城市南洋中学2015届高三上学期第二次诊断数学试卷 Word

2014-2015学年江苏省盐城市南洋中学高三（上）第二次诊断数

学试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 1．若集合M={y|y=2014}，N={y|y=

﹣x

}，则M∩N= ．

2．不等式|8﹣3x|＞0的解集是 ．

3．若函数f（x）=

4．已知{an}中a1=﹣3且an=2an﹣1+1；则an= ．

5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 ． 6．设

7．△ABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，则数m= ．

8．已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于 ．

，则实

，若

恒成立，则k的最大值为 ．

为奇函数，则a= ．

9．若实数x，y满足的最小值是 ．

10．已知函数是 ．

11．已知sin（x+

）=，则sin（

﹣x）+sin（

2

，则满足不等式f（1﹣x）＞f（2x）的x的范围

2

﹣x）的值为 ．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x+y﹣6x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=2则|

13．已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∪（0，2]时，

的个数为 ．

，则方程

+

|的最大值是 ．

22

，

．当x∈[﹣2，0）

的解

14．设m＞3，对于项数为m的有穷数列{an}，令bk为a1，a2，…，ak（k≤m）中最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查正整数1，2，…，m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}，则创新数列为等差数列的{cn}的个数为 ．

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．函数

（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若存在

，使不等式f（x0）＜m成立，求实数m的取值范围．

．

16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O． （Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）设E为线段PC上一点，若AC⊥BE，求证：PA∥平面BED．

17．给定椭圆C：

+

=1（a＞b＞0），称圆C1：x+y=a+b为椭圆C的“伴随圆”．已知

2

2

2

2

椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．

（1）请求出椭圆C的标准方程；

（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．

18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x+2（0≤x≤

2

）的图象，且点M到边OA距离为．

（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；

（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=

在（0，+∞）上为增函数，则称

f（x）为“一阶比增函数”；若y=比增函数”．

在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶

我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．

32

（1）已知函数f（x）=x﹣2hx﹣hx，若f（x）∈Ω1且f（x）?Ω2，求实数h的取值范围； （2）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，求证：d（2d+tx f（x） ﹣4）＞0；

（3）定义集合ψ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．

20．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列． （Ⅰ）证明dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值； （Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（cm）（cm＞0），求数列的前n项和Sn．

4

a d b d c t a+b+c 4

（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式

成立的所有N的值．

本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两项评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-1：几何证明选讲 22．（几何证明选讲）如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CA为半径的圆交BC的延长线于点E、F，且点B为线段CG的中点．求证：GE?GF=2BE?BF．

选修4-2：矩阵与变换 23．已知矩阵A=

属于特征值λ的一个特征向量为α=

．

（1）求实数b，λ的值；

（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x+2y=2，求曲线C的方程．

选修4-4：极坐标与参数方程 24．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标．

选修4-5：不等式选讲

25．设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a+b）＞（a+b）．

【必做题】第26题、第27题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 26．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，

，BC=4．

（1）求证：BD⊥PC；

（2）求直线AB与平面PDC所成角； （3）设点E在棱PC、上，

，若DE∥面PAB，求λ的值．

3

3

32

2

27．已知数集A={a1，a2，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．

（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）求证：an≤2a1+a2+…+an﹣1（n≥2）；

（Ⅲ）若an=72，求数集A中所有元素的和的最小值．

2014-2015学年江苏省盐城市南洋中学高三（上）第二次

诊断数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 1．若集合M={y|y=2014}，N={y|y=

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 利用交集的定义求解．

解答： 解：∵集合M={y|y=2014}={y|y＞0}， N={y|y=

}={y|y≥0}，

﹣x

﹣x

}，则M∩N= {y|y＞0} ．

∴M∩N={y|y＞0}． 故答案为：{y|y＞0}．

点评： 本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．

2．不等式|8﹣3x|＞0的解集是 {x|x≠} ．

考点： 绝对值不等式的解法．

专题： 计算题；不等式的解法及应用．

分析： 由绝对值的定义，|x|≥0恒成立，在x≠0时，|x|＞0恒成立，可将不等式|8﹣3x|＞0化为8﹣3x≠0，进而得到结论． 解答： 解：∵|8﹣3x|＞0 ∴8﹣3x≠0 即x≠

∴原不等式的解集是{x|x≠}． 故答案为：{x|x≠}．

点评： 本题考查绝对值的解法，正确运用绝对值的定义是关键．

3．若函数f（x）=

考点： 函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．

为奇函数，则a= ﹣ ．

分析： 根据函数f（x）=

出方程，求出a的值是多少即可． 解答： 解：因为函数f（x）=所以f（﹣x）=﹣f（x）， 即f（﹣x）=

可得（2x﹣1）（x﹣a）=（2x+1）（x+a）， 解得a=﹣． 故答案为：﹣．

为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），据此列

为奇函数，

=﹣，

点评： 本题主要考查了函数的奇偶性质的运用，属于基础题．

4．已知{an}中a1=﹣3且an=2an﹣1+1；则an= ﹣2﹣1 ．

考点： 数列递推式．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 把数列递推式两边加1得到新数列{an+1}，该数列为等比数列，求出其通项公式，则an可求．

解答： 解：由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1）， ∵a1+1=﹣2≠0，

∴数列{an+1}是以﹣2为首项，以2为公比的等比数列

n﹣1n

∴an+1=（﹣2）2=﹣2，

n

∴an=﹣2﹣1．

n

故答案为：﹣2﹣1

点评： 本题考查了数列递推式，对于an+1=pan+q型的数列递推式，常用构造等比数列的方法求解．

5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为

考点： 两角和与差的余弦函数． 专题： 计算题．

分析： 由题意两式相加平方求出sinC，判断C是否满足题意即可． 解答： 解：两式平方相加可得9+16+24sin（A+B）=37， sin（A+B）=sinC=， 所以C=

或π．如果C=π，则0＜A＜

，从而cosA＞

，3cosA＞1

．

n

与4sinB+3cosA=1矛盾（因为4sinB＞0恒成立）， 故C=

．

故答案为：．

点评： 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的判断，是本题的易错点． 6．设

，若

恒成立，则k的最大值为 8 ．

考点： 函数的最值及其几何意义． 专题： 综合题． 分析： 令t=

，

恒成立，等价于tmin≥k恒成立，利用基本不等式求

出最小值，即可求k的最大值． 解答： 解：令t=∵

恒成立，

∴tmin≥k恒成立 t=∵

=

=

=2（2+

）

∴2m＞0，1﹣2m＞0 ∴

（当且仅当

，即m=时取等号）

∴t≥8 ∴k≤8

∴k的最大值为8 故答案为：8

点评： 本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，解题的关键是求函数的最小值．

7．△ABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，则

，则实

数m= 1 ．

考点： 向量在几何中的应用．

专题： 计算题；数形结合；转化思想．

分析： 根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则表示出来为止．

，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用

，和

解答： 解：如图：作直径BD，连接DA、DC，由图得，

=﹣

，

∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC， ∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC

∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴又∵∴

=

=

，

，对比系数得到m=1．

=

，

故答案为：1．

点评： 本题考查三角形的五心，解答本题，关键是根据题意，构造出平行四边形，再利用向量运算，将三个向量的和表示出来，本题中选择入手的位置很关键，此类似于代数中的化简式证明．作题时注意构造法思想的运用，向量在几何中的运用．

8．已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于

考点： 平面向量数量积的运算；向量的模． 专题： 计算题．

分析： 由题意并且结合平面数量积的运算公式可得|﹣3|，通过平方即可求解，可得答案．

解答： 解：因为向量，均为单位向量，它们的夹角为60°， 所以|﹣3|=所以|﹣3|=

2

．

﹣6．

+9=10﹣3=7

故答案为：．

点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量数量积的运算性质与公式，以及向量的求模公式的应用，此题属于基础题主要细心的运算即可得到全分．

9．若实数x，y满足的最小值是 1 ．

考点： 简单线性规划． 专题： 计算题．

分析： 令t=x+2y，要求z的最小值，只要求解t的最小值，作出不等式组表示的平面区域，由于t=x+2y，可知直线在y轴上的截距越大，t越大，可求t的最小值，进而可求z的最小值

解答： 解：令t=x+2y

作出不等式组表示的平面区域，如图所示 由于t=x+2y可得y=

，根据直线在y轴上的截距越大，t越大

∴直线t=x+2y平移到点O（O，0）时，t取得最小值0，此时，z=1 故答案为：1

点评： 本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义

10．已知函数

，则满足不等式f（1﹣x）＞f（2x）的x的范围是

2

（﹣1，﹣1） ．

考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x）＞f（2x）的x需满足

2

，解出x即可．

解答： 解：由题意，可得故答案为：

点评： 本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．

11．已知sin（x+

）=，则sin（

﹣x）+sin（

2

﹣x）的值为 ．

考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由已知中sin（x+（

﹣x）=，sin（

2

）=，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，可得sin﹣x）=cos（x+）=，

）]=sin（x+）]=cos（x+

=

，

2

2

）=1﹣sin（x+

2

），代入可得答案．

解答： 解：∵sin（x+∴sin（sin（∴sin（故答案为：

2

﹣x）=sin[π﹣（x+﹣x）=sin[

22

）=， ）=1﹣sin（x+

2

﹣（x+）=，

﹣x）+sin（

﹣x）=+

点评： 本题考查的知识是诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，其中分析出已知角和

未知角的关系，进而选择恰当的公式，是解答的关键．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x+y﹣6x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=2则|

+

|的最大值是 8 ．

2

2

，

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出

转化为

，用根据AB=2

模的最大值，得到本题答案．

解答： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）． ∵∴

2

2

=

，

∵圆C：x+y﹣6x+5=0，

22

∴（x﹣3）+y=4，圆心C（3，0），半径CA=2． ∵点A，B在圆C上，AB=2，

∴，

即CM=1．

点M在以C为圆心，半径r=1的圆上． ∴OM≤OC+r=3+1=4． ∴

， ．

故答案为：8．

点评： 本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将

转化为

，用根据AB=2

得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出

模

的最大值，得到本题答案．

13．已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∪（0，2]时，

，则方程

．当x∈[﹣2，0）

的解

的个数为 2 ．

考点： 函数与方程的综合运用． 专题： 综合题．

分析： 由已知，g（x）的定义域为x∈[﹣2，6]，利用f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，且

通过转化可以 再求出x∈[2，6]时解析式，便确定了g（x），

最后结合函数大致图象得出交点个数，即为解的个数．

解答： 解：∵f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，由x﹣2∈[﹣4，4]，得g（x）的定义

域为x∈[﹣2，6]．∵①

∴f（x﹣2）=g（x）﹣= x﹣2∈[﹣4，0]，

当x∈[2，6]时，2﹣x∈[﹣4，0]

②

①②合起来即为函数g（x）在定义域x∈[﹣2，6]上的解析式，结合两图象交点个数是2 即方程

得出

的解的个数为 2

故答案为：2

点评： 本题考查函数的奇偶性的应用，分段函数，考查转化、计算、分类讨论、函数与方程的思想方法和能力．

14．设m＞3，对于项数为m的有穷数列{an}，令bk为a1，a2，…，ak（k≤m）中最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查正整数1，2，…，m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}，则创新数列为等差数列的{cn}的个数为 （m﹣1）!+1 ．

考点： 数列的应用．

专题： 综合题；等差数列与等比数列．

分析： 分类讨论：当d=0时，{em}为常数列，满足条件；数列{cn}是首项为m的任意一个排列，共有

个数列．当d=1时，符合条件的数列{em}只能是1，2，3…m，此时数列{cn}

是1，2，3…m，有1个．d≥2时，{em} 不存在．由此得出结论． 解答： 解：设数列{cn}的创新数列为{em}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em=m． 若 {em}为等差数列，设公差为d，

*

因为 ek+1≥ek （k=1，2，3…m﹣1），所以 d≥0．且d∈N． 当d=0时，{em}为常数列，满足条件，即为数列 em=m， 此时数列{cn}是首项为m的任意一个排列，共有

个数列；

当d=1时，符合条件的数列{em}只能是1，2，3…m，此时数列{cn}是1，2，3…m，有1个； 当d≥2时，∵em=e1+（m﹣1）d≥e1+2（m﹣1）=e1+m+m﹣2 又 m＞3，∴m﹣2＞0． ∴em＞m 这与 em=m矛盾，所以此时{em} 不存在． 综上满足条件的数列{cn}的个数为（m﹣1）!+1个． 故答案为：（m﹣1）!+1．

点评： 本题主要考查等差关系的确定，等比关系的确定，创新数列的定义，属于中档题．

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．函数

（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若存在

，使不等式f（x0）＜m成立，求实数m的取值范围．

．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值． 专题： 计算题．

分析： （1）利用三角函数的恒等变换化简函数函数f（x）的解析式为从而求出它的最小正周期． （2）根据2]，若存在

，可得 ，

，

，f（x0）的值域为[﹣1，

使不等式f（x0）＜m成立，m需大于f（x0）的最小值． 解答： 解：（1）∵=

∴最小正周期T=（2）∵

=π．

，∴

，∴

，

．

∴f（x0）的值域为[﹣1，2]． ∵

，使f（x）＜m成立，∴m＞﹣1，

故实数m的取值范围为（﹣1，+∞）．

点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的值域，注意理解“存在

，使不等式f（x0）＜m成立，”的意义，属于中档题．

16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O． （Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）设E为线段PC上一点，若AC⊥BE，求证：PA∥平面BED．

考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （I）利用线面垂直的性质定理可得PA⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；

（II）利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BED，可得AC⊥OE．在同一平面内，PA⊥AC，于是得到OE∥PA，再利用线面平行的判定定理即可证明． 解答： 证明：（I）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD． 又BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．

∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC． （II）∵AC⊥BE，AC⊥BD，BE∩BD=B， ∴AC⊥平面BED． ∴AC⊥OE．

在平面PAC中，PA⊥AC，OE⊥AC， ∴PA∥OE．

而PA?平面BED，OE?平面BED， ∴PA∥平面BED．

点评： 熟练掌握线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理、在同一平面内垂直与同一条直线的两条直线平行的性质、线面平行的判定定理是解题的关键．

17．给定椭圆C：

+

=1（a＞b＞0），称圆C1：x+y=a+b为椭圆C的“伴随圆”．已知

2

2

2

2

椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．

（1）请求出椭圆C的标准方程；

（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1，=（2）由（1）知，椭圆C的方程为

2

2

2

，由此能求出a，b．

+y=1，圆C1的方程为x+y=5．设直线l的方程为y=kx+m，

由，得（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0．由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到

222

直线的距离，结合知识点能求出m． 解答： 解：（1）记椭圆C的半焦距为c， 由题意，得b=1，=解得a=2，b=1， 故椭圆C的标准方程为：

+y=1．

+y=1，圆C1的方程为x+y=5．

2

2

2

2

，c=a+b，

222

（2）由（1）知，椭圆C的方程为

显然直线l的斜率存在．

设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0． 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

故方程组（*）有且只有一组解．

由（*）得（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0．

222

从而△=（8km）﹣4（1+4k）（ 4m﹣4）=0．

22

化简，得m=1+4k．①

22

因为直线l被圆x+y=5所截得的弦长为2， 所以圆心到直线l的距离d=

=

．

222

即=． ②

2

2

由①②，解得k=2，m=9． 因为m＞0，所以m=3．

点评： 本题主要考查实数值的求法，考查直线与椭圆、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，属于中档题．

18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x+2（0≤x≤

2

）的图象，且点M到边OA距离为．

（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；

（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

考点： 基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 不等式的解法及应用；直线与圆．

分析： （Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x+2（0≤x≤x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程； （Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．

2

解答： 解：（I）∵y=﹣x+2，∴y′=﹣2x，

2

2

）在

∴过点M（t，﹣t+2）的切线的斜率为﹣2t，

2

所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t+2）=﹣2t（x﹣t），

2

即y=﹣2tx+t+2，

当t=时，切线l的方程为y=﹣x+

，

2

即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0； （Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t+2， 令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（令y=0，得x=

，故切线l与线段OC交点为（

），

）．

2

地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，

则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．

∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米．

点评： 本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．

19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=

在（0，+∞）上为增函数，则称

）×2=4﹣t﹣=4﹣

f（x）为“一阶比增函数”；若y=比增函数”．

在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶

我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．

32

（1）已知函数f（x）=x﹣2hx﹣hx，若f（x）∈Ω1且f（x）?Ω2，求实数h的取值范围； （2）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，求证：d（2d+t﹣4）＞0；

（3）定义集合ψ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）x f（x） a d b d c t a+b+c 4

＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）根据：f（x）∈Ω1且f（x）?Ω2，可得y=

=x﹣2hx﹣h，利用二次

2

函数的单调性可得=h≤0；由=，y′=x+，对h分类讨论可

得：当h≥0，此时f（x）∈Ω2；当h＜0时，有极值点，可得f（x）?Ω2．即可得出． （2）由f（x）∈Ω1，取0＜x1＜x2＜x1+x2，可得

，函数在x∈（0，+∞）

．由

表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一阶比增函数”可得

，再利用不等式的性质即可得出．

（3）根据“二阶比增函数”先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解．即可得出． 解答： （1）解：y=

=x﹣2hx﹣h，若f（x）∈Ω1，则h≤0；

2

=

合题意，舍去； 当h＜0时，

，y′=x+，当h≥0，x＞0时，y′＞0，此时f（x）∈Ω2，不符

，此时函数在x∈（0，+∞）有极值点，因此f（x）?Ω2．

综上可得：当h＜0时，f（x）∈Ω1且f（x）?Ω2．

因此h的取值范围是（﹣∞，0）． （2）证明：由f（x）∈Ω1，若取0＜x1＜x2， 则

．

由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4， ∵0＜a＜b＜c＜a+b+c， ∴∴d＜0，∴2d+t＜4，

，，

，

，

∴d（2d+t﹣4）＞0．

（Ⅲ）∵集合合ψ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，

∴存在f（x）∈ψ，存在常数k，使得 f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立． 我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立． 假设存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0， 记

=m＞0

∵f（x）是二阶比增函数，即是增函数．

∴当x＞x0时，

2

＞=m＞0，

∴f（x）＞mx，

2

∴一定可以找到一个x1＞x0，使得f（x1）＞mx1＞k， 这与f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立矛盾． 即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．

∴存在f（x）∈ψ，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立． 下面我们证明f（x）=0在（0，+∞）上无解． 假设存在x2＞0，使得f（x2）=0， ∵f（x）是二阶增函数，即

是增函数．

一定存在x3＞x2＞0，使＞=0，这与上面证明的结果矛盾．

∴f（x）=0在（0，+∞）上无解．

综上，我们得到存在f（x）∈ψ，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立． ∴存在常数M≥0，使得存在f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立． 又令f（x）=﹣（x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，

又有=﹣在（0，+∞）上是增函数，

∴f（x）∈ψ，

而任取常数k＜0，总可以找到一个xn＞0，使得x＞xn时，有f（x）＞k． ∴M的最小值 为0．

点评： 本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大．

20．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．

（Ⅰ）证明dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值； （Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（cm）（cm＞0），求数列的前n项和Sn．

（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式

成立的所有N的值．

考点： 等差数列的性质；数列与不等式的综合． 专题： 综合题；压轴题．

分析： （Ⅰ）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，ann中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到dn是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出dm的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可； （Ⅱ）由d1=1，d2=3，代入dm中，确定出dm的通项，根据题意的分组规律，得到第m组中有2m﹣1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m﹣1个奇数，利用等差数列的前n项和公式表示出之和，从而表示出前m个奇数的和，又前m组中所有数之和为（cm）（cm＞0），即可得到cm=m，代入出数列

中确定出数列

的通项公式，根据通项公式列举

2

4

4

的前n项和Sn，记作①，两边乘以2得到另一个关系式，记作②，②﹣①

即可得到前n项和Sn的通项公式；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得到dn和Sn的通项公式代入已知的不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f（n），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n≥6时，其值大于0即原不等式成立，又N不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N从5开始到20的连续的正整数．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知amn=1+（n﹣1）dm．

则a2n﹣a1n=[1+（n﹣1）d2]﹣[1+（n﹣1）d1]=（n﹣1）（d2﹣d1）， 同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，ann﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（dn﹣dn﹣1）．

又因为a1n，a2n，a3n，ann成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=ann﹣a（n﹣1）n． 故d2﹣d1=d3﹣d2=…=dn﹣dn﹣1，即dn是公差为d2﹣d1的等差数列． 所以，dm=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2． 令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则dm=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．（4分）

*

（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，dm=2m﹣1（m∈N）． 数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），． 按分组规律，第m组中有2m﹣1个奇数，

所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）=m个奇数．

2

注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+（2k﹣1）=k，

2224

所以前m个奇数的和为（m）=m．

444

即前m组中所有数之和为m，所以（cm）=m． 因为cm＞0，所以cm=m，从而

．

2

下面，我们证明147是最小的和

假设数集A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2），满足

最小（存在性

显然，因为满足的数集A只有有限个）．

第一步：首先说明集合A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2）中至少有8个元素： 由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…

又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72， 所以n≥8

第二步：证明an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9： 若36∈A，设at=36，因为an=72=36+36，为了使得

最小，在集合A

中一定不含有元素ak，使得36＜ak＜72，从而an﹣1=36；

假设36?A，根据性质P，对an=72，有ai，aj，使得an=72=ai+aj 显然ai≠aj，所以an+ai+aj=144

而此时集合A中至少还有5个不同于an，ai，aj的元素， 从而S＞（an+ai+aj）+5a1=149，矛盾， 所以36∈A，进而at=36，且an﹣1=36； 同理可证：an﹣2=18，an﹣3=9

（同理可以证明：若18∈A，则an﹣2=18）． 假设18?A．

因为an﹣1=36，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣1=36=ai+aj 显然ai≠aj，所以an+an﹣1+ai+aj=144，

而此时集合A中至少还有4个不同于an，an﹣1，ai，aj的元素 从而S＞an+an﹣1+ai+aj+4a1=148，矛盾， 所以18∈A，且an﹣2=18

同理可以证明：若9∈A，则an﹣3=9 假设9?A

因为an﹣2=18，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣2=18=ai+aj 显然ai≠aj，所以an+an﹣1+an﹣2+ai+aj=144

而此时集合A中至少还有3个不同于an，an﹣1，an﹣2，ai，aj的元素 从而S＞an+an﹣1+an﹣2+ai+aj+3a1=147，矛盾， 所以9∈A，且an﹣3=9）

至此，我们得到了an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9ai=7，aj=2． 根据性质P，有ai，aj，使得9=ai+aj 我们需要考虑如下几种情形：

①ai=8，aj=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8， 则S＞148；

②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7， 则S＞148；

③ai=6，aj=3，此时集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，为147；

④ai=5，aj=4，此时集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和最小，为147．…（14分） 点评： 本题考查数列的求和，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想与转化思想，考查构造函数的思想，an﹣1=36，an﹣2=18的证明是难点，属于难题．

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