2010年哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验高三第二次联合模拟

师 大 哈附中 2010年高三第二次联合模拟考试

东北师大附中 数学试卷（文科）

辽宁省实验中学 第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．集合A?{x|y?3?x2,x?R},B?{y|y?x2?1,x?R}，则A?B?( )

A．{(?2,1),(2,1)} C．{z|?1?z?3}

B．{z|1?z?3} D．{z|0?z?3}

2．下列命题正确的是( ) A．单位向量都相等

B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

C．若|a?b|?|a?b|，则a?b?0 D．若a与b都是单位向量，则a?b?1

3．函数y?2sin2(

?4?x)?1是( )

B．最小正周期为?的偶函数 D．最小正周期为

A．最小正周期为?的奇函数 C．最小正周期为

?的奇函数 2?的偶函数 24．已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )

A．3 2 B．

1 2 C．3 3 D．3 65．设p:log2x?0;q:()x?1?1，则p是q的( )

A．充要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

126．已知A(2,4)、B(?1,2)、C(1,0)，点P(x,y)在?ABC内部及边界运动，则z?x?y的最大值及最小值分别是( )

A．?1,?3

2

B．1,?3

C．3,?1

D．3,1

x2y2??1的渐近线的距离为( ) 7．抛物线y?8x的焦点到双曲线

124

A．1

B．3

C．3 3 D．3 68．与圆x2?(y?2)2?1相切，且在每坐标轴上截距相等的距离有( )

A．2条

B．3条

C．4条

D．6条

9．函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x?1)是奇函数，若f(0.5)=9，则

f(8.5)等于( )

A．?9 B．9 C．?3 10．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( )

A．

D．0

1 3 B．

2 3 C．15 6 D．62 2411．定义方程f(x)?f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)?x,h(x)?ln(x?1),?(x)?x3?1的“新驻点”分别为?,?,?，则?,?,?的大小关系为( )

A．????? C．?????

B．????? D．?????

12．已知集合M?{1,2,3},N?{1,2,3,4}，定义函数f:M?N。若点A(1,f(1))、

????????????B(2,f(2))、C(3,f(3))，?ABC的外接圆圆心为D，且DA?DC??DB(??R)，则满足

条件的函数f(x)有( )

A．6个

B．10个

C．12个

D．16个

第II卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n的值是 。 14．设t是实数，且1?3i是实数，则t? 。 21?3i?t15．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽

出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15

至16周岁的男生的身高和体重之间有关系。 超重 4 3 7 0.025 5.024 2不超重 1 12 13 0.010 6.635 合计 5 15 20 0.005 7.879 2偏高 不偏高 合计 P(K2≥k0) k0

独立性检验临界值表 0.001 10.828 n(ad?bc)2独立性检验随机变量K值的计算公式：K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)?316．以下命题正确的是 。

①把函数y?3sin(2x?)的图象向右平移

?6个单位，得到y?3sin2x的图象；

②一平面内两条曲线的方程分别是f1(x,y)?0,f2(x,y)?0，它们的交点是P(x0,y0)， 则方程f1(x,y)?f2(x,y)?0表示的曲线经过点P；

③ABCD为长方形，AB?2，BC?1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一 点，取得的点到O距离大小1的概率为1??2；

④若等差数列{an}前n项和为Sn，则三点(10,S10SS),(100,100),(110,110)共线。 10100110三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的通项公式为an?n(n,a?N*) n?a(1) 若a1,a3,a15成等比数列，求a的值；

(2) 当k(k?3且k?N*)时，a1,a2,ak成等差数列，求a的值。

18．（本小题满分12分） 某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示（如图）。 (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值； (2)该班主任用公层抽样方法（按学习时间分五层）选出10个谈话，求在学习时间1个小时的学生中选出的人数； (3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知

甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率。 19．（本小题满分12分） 如图，在几何体P?ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA?平面ABCD，AB?PA?2。 (1)当AD?2时，求证：平面PBD?平面PAC；

(2)若PC与AD所成角为45°，求几何体P?ABCD的体积。 22．（本小题满分12分）

已知点A(2,0)，B、C在y轴上，且|BC|?4， (1)求?ABC外心的轨迹S的方程；

????????(2)若P、Q为轨迹S上两点，求实数?范围，使PA??AQ，且|PQ|?35。

13x?2ax2?3a2x?1,0?a?1。 321．（本小题满分12分）

设函数f(x)??(1)求函数f(x)的极大值；

(2)若x?[1?a,1?a]时，恒有?a?f'(x)?a成立（其中f'(x)是函数f(x)的导函数），

试确定实数a的取值范围。 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多作，则按所作第一题记分。 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图所示，AB为?O的直径，BC、CD为?O的切线，B、D为切点。 (1)求证：AD//OC； (2)若?O的半径为1，求AD·OC的值。

23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程

4?x?1?t??5在直角坐标第xOy中，直线l的参数方程为：?（t为参数），若以O为极点，

?y??1?3t?5??x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为??2cos(??)，求直线l被

4曲线C所截的弦长。 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知关于x的不等式|x?3|?|x?4|?a。 (1)当a?2时，解上述不等式；

(2)如果关于x的不等式|x?3|?|x?4|?a的解集为空集，求实数a的取值范围。

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数学答案（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个是符合题目要求的.

CCADB BACBA CC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 4 14. 2 15. 97.5 16.①②④ 三、解答题： 17．解：(1)a1?1315，a3?，a15?， 1?a3?a15?aa1，a3，a15成等比数列，∴a1a15?(a3)2，∴a?0或a?9 ??3分

*∵a?N，∴a?9． ??6分

(2) a满足条件，a1?12k，a2?，ak?， 1?a2?ak?aa1，a2，ak成等差数列，∴a1?ak?2a2，化简得(k?3)a?2 ??9分

*∵k，a?N，∴a?1时，k?5或a?2时，k?4． ??12分

18.解：（1）平均学习时间为

（2）20?20?1?10?2?10?3?5?4?1.8小时 ??4分

5010?4 ??7分 50（3）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区

面积S??2?3?6. 事件A表示“22??x,y?18?x?21,18?y?20?，

时甲、乙正在学习”，所构成的区域为A???x,y?20?x?21,19?y?20?，面域为??积为SA?1?1?1，这是一个几何概型，所以P?A??SA1? ??12S?6分

19.解：（1）当AD?2时，四边形ABCD是正方形，则BD?AC ??2分

∵PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA?BD ??4分 又PA?AC?A,∴BD?平面PAC，?BD?平面PBD

∴平面PBD?平面PAC. ??6分

（2）若PC与AD成45角，AD//BC，则?PCB?45. ??8分

∵BC?AB，BC?PA，AB?PA?A ∴BC?平面PAB，PB?平面PAB

∴BC?PB ??10分

∴?CPB?90?45?45，∴BC?PB?22 ∴几何体P?ABCD的体积为分

20.解：（1）设?ABC外心为G,且G(x,y)，B(0,a)，C(0,a?4)

由G点在BC的垂直平分线上知y?a?2 由|GA|2=|GB|2，得(x?2)?y?x?(y?a)

2222?????182 ??12?(2?22)?2?33故(x?2)2?y2?x2?22

即点G的轨迹S为：y2?4x ??4分 （2）设点P(1y2121,y1)，Q(y2,则???PA?44y2) ?(2?14y2????121,?y1)，AQ?(4y2?2,y2)

????2?14y21??(1y22?2) ??6分 ?4??y1??y2因为点A在抛物线y2?4x内，所以??0

?y2?8?,y28?2212??，不妨取y1?22?,y2??

则|PQ|=(14y2?122222214y22)?(y1?y2)=(2???)2?(22???) =4(?2?11?2)?8(???)?8=2(??1?)2?2(??1?) ??10分 由|PQ|?35及??0得??1??52，???2，或0???12 故?的取值范围是???|??2,或0???1??2?? 21.解：（1）∵f?(x)??x2?4ax?3a2，且0?a?1， 当f?(x)?0时，得a?x?3a；当f?(x)?0时，得x?a或x?3a； ∴f(x)的单调递增区间为(a,3a)；

f(x)的单调递减区间为(??,a)和(3a,??)． 故当x?3a时，f(x)有极大值，其极大值为f?3a??1． （2）∵f??x???x2?4ax?3a2???x?2a?2?a2，

①当0?a?13时，1?a?2a， ∴f?(x)在区间?1?a,1?a?内是单调递减． ??12分1分

??3分

??4分

?? ∴?f（?x）?max?f??1-a???8a2?6a?1,?x）?f（?min?f??1+a??2a?1．

??8a2?6a?1?a,∵?a?f?(x)?a，∴?

?2a?1??a.此时，a不存在． ??7分 ②当

12?a?1时，?f（．?f（?x）??x）?f2a?a????min?min?f?(1?a),f?(1?a)? max32??0?a?1,?a?a,???1∵?a?f(x)?a，∴?2a?1??a,即?

?a?,??8a2?6a?1??a.?3??7?177?17?a?.?16?16此时，

17?17． ??10分 ?a?316?17?17?综上可知，实数a的取值范围为?,?． ??12分

316??请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.

22．选修4—1：几何证明选讲 解：(1)如图，连接BD、OD.

A1D2O3BC∵CB、CD是⊙O的两条切线,

∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90° ……2分 又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°,

∴∠1=∠3，∴AD∥OC ……5分 (2)AO=OD，则∠1=∠A=∠3,∴Rt△BAD∽Rt△ODC,AD?OC=AB?OD=2 ……10分 23.选修4—4：坐标系与参数方程

4?x?1?t??5解：将方程?（t为参数）,化为普通方程3x?4y?1?0 ??3分

?y??1?3t?5?将方程??2cos(??1212?4)化为普通方程x2?y2?x?y?0, ??7分

21的圆，则圆心到直线的距离d? 210表示圆心为(,?)，半径为弦长＝2r2?d2?2117?? ??10分2100524.选修4—5：不等式选讲

解：（1）原不等式x?3?x?4?2

当x?3时，原不等式化为7?2x?2，解得x?55,??x?322当3?x?4时，原不等式化为1?2，?3?x?4

99当x?4时，原不等式化为2x?7?2，解得x?，?4?x?

22?59?综上，原不等式解集为?x?x?? ……5分

2??2（2）作出y?x?3?x?4与y?a的图象，

yy?x?3?x?41O34y?ax

若使x?3?x?4?a解集为空集只须y?x?3?x?4图象在y?a的图象的上方，或y?a与y?1重合，?a?1

所以，a的范围为???,1? ……10分

x?4?2x?7?3?x?4 另解：y?x?3?x?4??1?7?2xx?3? 当x?4时，y?1 当3?x?4时，y?1

当x?3时，y?1

综上y?1，原问题等价为a?[x?3?x?4]min

?a?1 ……10分

另解：∵x?3?x?4?|x?3?x?4|?1，当且仅当(x?3)(x?4)?0时，上式取等号

∴a?1

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