第六章_参数估计

第六章 参数估计

本章主要内容：第一节 点估计 第二节 区间估计 第三节 样本容量的确定

第一节 点估计一、点估计的定义 点估计就是根据总体参数与样本统计量 之间的内在联系，直接以样本统计量作 为相应总体参数的估计量，点估计又称 为定值估计。

在统计中经常使用的点估计量有： X P 2 S2 例6-1 等号 表示用样本统计量对 应总体参数估计量

X X n 1

2

点估计的优点—直接给出总体参数的估 计值 不足：不能提供估计误差的信息因此，需要对用于点估计总体参数的样 本统计量进行评价 无偏性 有效性 一致性5

点估计的评价标准

无偏性(unbiasedness)无偏性：总体参数估计量的抽样分布均值等于被

估计的总体参数 E ( ) 若 是总体参数， 是估计 的样本统计量。

P( )无偏 有偏

A

B

例证明:样本方差S2是总体方差σ2的无偏估计量,即E(S2)= σ2

证：

1 1 2 E ( S ) E[ ( xi x ) ] E{ [( xi ) (x )]2 } n 1 n 1 1 E{ ( xi ) 2 ( x ) 2 2 ( xi )( x )} n 12

其中：

总体的均值

2 ( xi )( x ) 2( x ) ( xi ) 2( x )n( x ) 2n( x ) 2

E (S 2 )

1 { E ( xi ) 2 E ( x ) 2 2nE ( x ) 2 } n 1

1 {n 2 nE ( x ) 2 2nE ( x ) 2 } n 1 1 1 2 2 {n nE ( x ) } {n 2 2 } 2 n 1 n 1

这就是为什么对总体方差进行估计时，样本方差 公式所除的不是样本量n,而是n-1的原因。

有效性(efficiency) 有效性：对于两个无偏估计量 1、 2

)< 2 ( ) ( 1 2 则说明估计量 比 更有效如果21 2

X 2

2

n

任意xi的方差

P( )

较大的样本量

B

A

较小 的抽样分布

一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量 的值越来越接近被估计的总体参数大数定理

lim p 1n

) 较大的样本容量 P(

BA较小的样本容量

由大数定理我们知道，样本容量越大， 该样本中获得的样本平均数更容易符合 无偏、有效且一致的要求； 因为成数是一个特殊的平均数，该结论 对成数估计也成立。

第二节 区间估计一、区间估计的含义区间估计，是估计总体参数的区间范围，并要 求给出区间估计成立的概率值。 设 1 和 2都是两个统计量 ( 1< 2 ),分 别作为总体参数 区间估计的下限与上限， 则要求： P(

1 2 ) 1

区间估计弥补了点估计只给出总体参数的具体估计 值而没有说明这个估计值的误差、可靠性的不足

区间估计中的α(0<α<1)是区间估计的显

著性水平，其取值大小由实际问题确定，经常取1%、5%和10%;1-α称为置信 度或置信水平。因此，总体参数的估计区 间也称为置信区间，其中区间的最小值称 为置信下限，最大值称为置信上限。

区间估计的图示

x z 2 x - 2.58 x

x

-1.65 x

+1.65 x

+2.58 x

x

-1.96 x

+1.96 x

90%的样本 95% 的样本 99% 的样本

理解置信区间例如：抽取100个样本，根据每一个样本构造 一个置信区间。这样，由100个样本构造的总体参数的100个置 信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真 值，而5%则没包含。

这里， 95%这个值称为置信度， 5%称为显著 性水平。

置信区间

样本统计量 (点估计)

置信下限

置信上限

4-18

我们用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的 置信区间为60-80分，如何理解？ 通常的理解：60-80区间以95%的概率包含全班 同学平均成绩的真值；或以95%的概率保证全班同 学平均成绩的真值落在60-80分之间。 正确的理解：如果做了多次抽样(如100次), 大概有95次找到的区间包含真值，有5次找到的区间 不包括真值。真值只有一个，一个特定的区间“总是 包含”或“绝对不包含”该真值。但是，用概率可以 知道在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含 了参数的真值。4-19

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