光学题解2

波动与光学

第4章光的衍射题解 (陈惟蓉 助教李炳忠)

4.1 有一单缝，缝宽a?0.10mm，在缝后放一焦距为50cm的汇聚透镜，用波长??546.1nm的平行光垂直照射单缝，试求位于透镜焦平面处中央明纹的宽度。

解：?x?2ftan?1?2fsin?1?2f?/a

?2?50?10?2?(546.1?10?9)/(0.1?10?3) ?5.46?10?3m

4.5 抽制细丝时，可用激光监控其粗细，使激光束越过细丝时所产生的衍射条纹和它通过遮光板上一条同样宽度的单缝时所产生的一样。设所用激光器为He-Ne激光器，所发激光波长为632.8nm,衍射图样承接在2.65m远的屏上。如果细丝直径要求1.37mm，屏上两侧的两个第10级极小之间的距离应是多大？

解：由衍射方程asin?k?k?，此处k=±10，所求距离为 l?2D?k?2Darcsin

ak? ?2?2.65?arcsin ?2.45?10?2m

10?632.8?101.37?10?3?9

4.7有一种利用太阳能的设想,是在3.5?104km的高空放置一块大的太阳能电池板，把它收集到的太阳能用微波形式传回地球。设所用微波波长为10cm，而发射微波的抛物天线的直径为1.5km。此天线发射的微波的中央波束的角宽度是多少？在地球表面它覆盖的面积的直径多大？

解：中央波束相当于圆孔衍射的中央亮斑，由圆孔衍射方程

sin?1?1.22?/D1，天线发射的中央波束的角宽度

为： ??2?1?2arcsin(1.22?/D1)

?2arcsin[1.22?0.1/(1.5?103)] ?1.6?10?4rad 如图所示微波在地面覆盖的圆面积的直径为：

D2?2r?1?D1?r??D1

1

?3.5?107?1.6?10?4?1.5?103 ?7.1?103m

4.10 据说间谍卫星上的照相机能清楚识别地面上的汽车牌照号码。 (1) 如果需要识别的牌照上的字划间的距离为5cm,在160km高空的卫星

上的照相机的角分辨率应多大？

(2) 此照相机的孔径需要多大？光的波长按500nm计。 解：(1)角分辨率为

?c?d/l?5?10?2/(160?103)?3?10?7rad

(2)照相机孔径为

D?1.22?/?c?1.22?500?10?9/(3?10?7)?2m

4.13 7?50双筒望远镜的放大倍数为7，物镜直径为50mm。

(1) 据瑞利判据，这种望远镜的角分辨率多大？设入射光波长为55.nm。 (2) 眼睛瞳孔的最大直径为7.0mm。求出眼睛对上述入射光的分辨率，用

得数除以7，和望远镜的角分辨率对比，然后判断用这种望远镜观察时实际起分辨作用的是眼睛还是望远镜。

解：(1) ?c?1.22?D?1.22?550?1050?10?3?9?1.34?10?5 rad

(2) ?c??1.22?D??1.22?550?107?10?5?3?9?9.6?10?5 rad

?c?7?1.37?10rad

由于?c?7??c，所以用此望远镜时，角分辨率实际为人眼所限制，实际起 分辨作用的还是眼睛。

4.15 用单缝试验来观察直射太阳光的衍射条纹。已知太阳的角直径为0.50。 (1) 如果单缝宽为0.1mm,并用透过波长为550nm的光的滤光片挡住单缝， 能否观察到条纹？

(2) 如果缝宽为0.01mm，仍然用上述滤光片，能否观察到条纹？ (3) 如果缝宽为0.1mm, 而不用滤光片，能否观察到条纹？

解：单缝衍射中央明条纹半角宽度?1??/d

(1) ?1??/d?550?10?9/(0.1?10?3)?5.5?10?3rad?0.30?0.50， 不能 (2) ?1??/d?550?10?9/(0.01?10?3)?5.5?10?2rad ?30?0.50， 能 (3) ?1??red/d?7.5?10?7/(0.1?10?3)?7.5?10?3rad?0.40?0.50，不能

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4.16 一 双缝，缝间距d?0.10mm，缝宽a?0.02mm，用波长??480nm的平行单色光垂直入射该双缝，双缝后放一焦距为50cm的透镜，试求：

(1) 透镜焦平面处屏上条纹的间距； (2) 单缝衍射中央亮纹的宽度；

(3) 单缝衍射的中央包线内有多少条干涉的主极大。 解：(1) 干涉条纹的间距

?x?f?/d?50?10?2?480?10?9/(0.10?10?3)

?2.4?10?3m (2) 单缝衍射中央宽度为

?x??2f?/a?2?50?10?2?480?10?9/(0.02?10?3) ?2.4?10?2m

(3) 中央亮纹内干涉主极大的数目 N?

3

?x??x?1?242.4?1?9

4.17 图4.2中，各图是多缝衍射的强度分布曲线，试根据图线回答： (1) 图线是几缝衍射，理由是什么？

(2) 那条图线相应的缝宽最大？(设入射光的波长相同) (3) 各图相应的d/a是多少，有无缺级？

(4) 标出各图横坐标以λ/d 和λ/a为标度的分度值。

解：(1) 由于干涉条纹被单缝衍射条纹调制后，如果缝数为N，则在两主极大之间有N?1个极小，如图所示，(a)双缝；(b)四缝；(c)单缝；(d)三缝。

(2) 缝宽由衍射包线可以判断，由于sin?d??/d，所以(c)图的单缝缝宽

最大。

(3) (a) d/a?sin?d/sin?i?2,?2 缺级 (b) d/a?4,?4 缺级 (d) d/a?3,?3 缺级 (4) 见图4.2。

4

4.22 波长为600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第2，3级明条纹分别出现在sin??0.20与sin??0.30处，第4级缺级。试求：

(1) 光栅常量；

(2) 光栅上狭缝宽度；

(3) 屏上呈现的全部级数。

解：(1)d?2?/sin?2?2?600?10?9/0.2?6.0?10?6m (2) 由缺级条件知d/a?4，所以a?d/4?1.5?10?6m (3) 由?max??2，得kmax?dsin?max/??6.0?10?6/(600?10?9)?10，则屏

幕上呈现的级数为0,±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9 .

4.25 北京天文台的米波综合孔径射电望远镜由设置在东西方向上的一列共28个抛物面组成(原书图4.27，并见封面彩图)。这些天线用等长的电缆连到同一个接收器上(这样各电缆对各天线接受的电磁波信号不会产生附加的相差)，接受由空间射电源发射的232MHz 的电磁波。工作时各天线的作用等效于间距为6m，总数为192个天线的一维天线阵列。接收器接收到从正天顶上的射电源发来的电磁波，将产生极大强度还是极小强度？在正天顶东方多大角度的射电源发来的电磁波将产生第一级极小强度？又在正天顶东方多大角度的射电源发来的电磁波将产生下一级极大强度？

解：从正天顶的射电源发来的电磁波到达各天线时同相，所以产生极大强度。

极小方位由dsin??m?/N决定，令m?1，得产生第一级极小的射电源的方位为偏东

??arcsin(?/(Nd))?c/(?Nd\\)

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