量子力学典型例题分析解答1

量子力学例题

第二章

一．求解一位定态薛定谔方程

1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数 [解] 薛定谔方程:

当 ,

故有

处的连续条件

利用波函数在

由 处连续条件:

由 处连续条件:

给定一个n 值,可解一个 ,

为分离能级.

2． 粒子在一维 势井中的运动

求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数 [解]体系的定态薛定谔方程为

当

时

对束缚态 解为

在

处连续性要求

将 代入得

又

相应归一化波函数为:

归一化波函数为:

3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为

求束缚态的能级所满足的方程

[解] 束缚态下粒子能量的取值范围为

当 时

当 时

薛定谔方程为

令

解为

当 时

令 解为

当 时

薛定谔方程为

令 薛定谔方程为

解为

由

波函数满足的连续性要求,有

要使 有非零解

不能同时为零

则其系数组成的行列式必须为零

计算行列式,得方程

例题

主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布. 一. 有关算符的运算 1.证明如下对易关系

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) [证]

(1)

(2)

(3)

一般地,若算符 是任一标量算符,有

(4)

一般地,若算符

是任一矢量算符,可证明有

(5)

=0

同理：

。

2. 证明哈密顿算符为厄密算符

[解]考虑一维情况

为厄密算符, 为厄密算符,

为实数

为厄密算符

为厄密算符

3已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为

,

取: 试证明: 也是 和

共同本征函数, 对应本征值

分别为:

。

[证]

。

是 的对应本征值为

的本征函数

又:

是 的对应本征值为

的本征函数

可求出:

二.有关力学量平均值与几率分布方面

1. (1)证明

征值；(2)求x在

态中的平均值

是 的一个本征函数并求出相应的本

[解]

即

是 的本征函数。本征值

2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值

【解】

宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数

注意:是否归一化波函数

能量本征值

出现 的几率 , 出现 的几率

能量平均值

另一做法

3 .一维谐振子在 时的归一化波函数为

所描写的态中式中，式中 在

是谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；2）

态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 ；（4）

时能量的可能值相应的概率及平均值

[解](1) , 归一化，

，

，

（2）

，

， ； ，

；

，

；

（3） 时，

所以：

时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。 4． 设氢原子处于状态

求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

[解] 能量本征值

能量本征态

当n=2 时

本征值为的

，

出现的几率为100％

可能值为 出现的几率分别为：

。

5 . 在轨道角动量 和 共同的本征态

下,试求下列期望值

(1). ; (2)

.

[解]：

三 测不准关系

1. 粒子处于状态

式中 为常数,求粒子的动量的平均值,并计算

测不准关系 [解]先归一化

(1) 动量平均值

(2)

(3)

附: 常用积分式：

（1）

（2）

（3）

第四章 例题

1．力学量的矩阵表示

由坐标算符的归一化本征矢 及动量算符 构造成算符 和

试分别：1）. 求 和 在态 下的期望值；2）. 给出 和 的物理意义

【解】（1）. 设态矢 已归一化

（粒子位置几率密度）

（2）

（利用 化到坐标表象）

又：

,

上式

2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符

（1）. 是厄密算符，（2）. 有 【证】（1）. 厄密算符的定义

，（3）. 的本征值为0和1

为厄密算符

(2) 已归一化

（3）. 由

的本征值方程

,

又：

即：

（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）

3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度 ）基

态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示） 【解】 所描述的状态，基态波函数 （1）. 在x表象：

（2）. 动量表象：

（3）. 能量表象

同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.

4.取 和 的共同表象，在 角动量空间中写出

）

, , 的矩

阵（本题主要考查算符矩阵的求法

同理算符 的本征值也为 .

② 在A表象，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即

设

利用

B为厄密算符

即

又

取：

第五章 例题

重点：微扰论

1． 一根长为 ，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的 质点 ，在重力作用

下，质点在竖直平面内摆动。i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级修正。

解：i ) 势能： 系统的哈密顿量

在小角近似下:

ii )若不考虑小角近似

又

利用公式

,

同样

2. 一维谐振子的哈密顿量为 ，假设它处于基态，若在加上一个弹力

作用 ，使用微扰论计算

对能量的一级修正，并与严格解比较。

解：i )

,

又

ii) 严格解

发生了变化

3． 已知体系的能量算符为

量算符。（1）求体系能级的精确值。（2）视 [解]：i) 精确解

, 其中 , 为轨道的角动

项为微扰项，求能级至二级近似值。

令 ， 并在 平面上取方向

：

与z轴的夹角为 ， 则

与

相互对易，它们的本征值分别为

体系能级为

ii)微扰法

的精确解为 本征函数

本征能量

按微扰论 利用了公式

能量二级修正为

在二级近似下

4． 三维谐振子，能量算符为 ，试写出能级和能量本征函

数。如这振子又受到微扰 并和精确值比较。 [解]：

， 的作用，求最低的两个能级的微扰修正。

（1设 的能量本征函数为

代入方程

(2).基态的微绕修正

对基态 波函数

基态能级的零级

, 无简并

能量的二级修正: 唯一不等于零的矩阵元为

(3).第一激发态

三度简并

计算

不为零的矩阵元为

久期方程

可求出能量的一级修正 (4).精确解

令

基态

第一激发态

5．设粒子的势能函数 是坐标的n次齐次函数， 即

试用变分法证明， 在束缚态下，动能T及势能V的平均值满

足下列关系

（维里定理）

[证] 设粒子所用的态用归一化波函数

描写 则

取试态波函数为

由归一化条件

当

时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。

应在

时， 取极值

6. 氢原子处于基态，加上交变电场 似计算氢原子每秒离几率。

, 电离能,用微扰论一级近

[解]：解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰矩阵元

?

初态：氢原子基态

末态: 自由状态

为能量为

, 在单位立体角的末态密度。

微扰

7． 转动惯量为 I, 电偶极矩为 D的平面转子，置于均匀场强E（沿x方向）中，总能量算符成

为

态能量近似值。

, 为旋转角(从x轴算起）如果电场很强， 很小，求基

[解]：方法一

与一位谐振子的能量本征方程

比较

有

方法二 用变分法，取归一化的试探波函数

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