ASK,FSK,PSK频谱特性分析

数字ASK、FSK、PSK调制的频谱分析

摘要：信号频谱是信号区别于其他信号一项非常基本的特征。将信号进行傅里叶变换（能量有限）或者傅里叶级数展开（能量无限），可以得到每一个频率点上信号功率的分布。各类调制的实质是将基带信号的低通频谱搬移到高频载波频率上，使得所发送的频带信号的频谱匹配于频带信道的带通特性。 关键字：ASK FSK PSK 频谱

数字基带信号通过正弦波调制成为带通型的频带信号，即调制器将二进制符号序列映射到与信道匹配的频带上去。数字调制的基本原理是用数字基带信号去控制正弦型载波的某参量，如：控制载波的幅度，称为振幅键控（ASK）；控制载波的频率，称为频率键控（FSK）；控制载波的相位，称为相位键控（PSK）。带通型数字调制有二进制及M进制（M>2）之分。二进制数字调制是将每个二进制符号映射为相应的波形之一，如2ASK。在M进制数字调制中，将二进制数字序列中每K个比特构成一组，对应于M进制符号之一（M=2K），如MFSK。

一、二进制启闭键控（OOK） 1、OOK信号的产生

二进制启闭键控(OOK：On-Off Keying)又名二进制振幅键控(2ASK)，它是以单极性不归零码序列来控制正弦载波的开启与关闭。

上图中，{an}的取值为1或0，Tb为二进制符号间隔，发送脉冲成形低通滤波器的冲激响应为gT(t)，gT(t)可能是升余弦滚降滤波器的冲激响应，现暂设其为矩形不归零脉冲。

二进制序列通过脉冲成形低通滤波器后的限带信号为

b(t)?其中b(t)为单极性不归零脉冲序列。

n????a?ngT(t?nTb)

将此b(t)与载波相乘，得到2ASK信号：

s2ASK(t)?A[?angT(t?nTb)]cos?ct

n????若gT(t)是矩形不归零脉冲，在0?t?Tb期间，2ASK信号也可表示为如下形式

?s(t)?Acos?ct(传号）s2ASK(t)??1(空号）s2(t)?0?

2、数字OOK调制信号的功率谱密度

数字调制信号s(t)的带通随机样本函数：

0?t?Tb

s(t)?Re[Ab(t)ejwct]

式中的Ab(t)是带通型数字调制信号的复包络。

带通信号s(t)的自相关函数为

Rs(t,t??)?E[s(t)s(t??)]?AE?Re[b(t)e2j(?ct??)]?Re[b(t??)ej((?ct??)??)]}[s(t??)cos?c(t??)]?

A2?Re{E[b?(t)?b(t??)]ej?c?}2

A2?Re[Rb(t,t??)ej?c?]2由上式可以看出，若Rb(t,t??)是周期为Tb的周期函数，则Rs(t,t??)也是周期

为Tb的周期函数。若数字基带信号或等效基带信号b(t)是广义循环平稳过程，则带通型数字调制信号s(t)也是广义的循环平稳过程。

s(t)的平均自相关函数为

1Rs(?)?Tb其中Rb(?)?A2j?c??j?c??R(t,t??)dt?[R(?)e?R(?)e] bb??Tb/2s4Tb/21Tb?Tb/2?Tb/2Rb(t,t??)dt

s(t)的平均功率谱密度（对平均互相关函数求傅里叶变换）为

Ps(f)??Rs(?)e????j2?f?A2d??[Pb(f?fc)?P?b(?f?fc)]

4?其中R?b(?)的傅里叶变换为Pb(?f)。由于b(t)的平均功率谱密度Pb(f)是频率f的实偶

函数，所以Pb(f)?Pb(f)?Pb(?f)， 故

?

A2Ps(f)?[Pb(f?fc)?Pb(f?fc)]

4又因为单极性不归零矩形脉冲序列b(t)的平均功率谱密度为

Pb(f)?1?fs为码速度。 Tb1?f1Sa2()??(f) 4RbRb4其中Rb ?故OOK信号的平均功率谱密度为

1Ps(f)?16Rb?2?(f?fc)12?(f?fc)???Sa()?Sa()???16??(f?fc)??(f?fc)? RRbb??由Pb(f)，Ps(f)绘得功率谱如下

对于数字基带信号b(t)，其双边平均功率谱密度只能够含有离散的直流分量及连续谱，如上图（a）所示。对于OOK调制信号，其双边平均功率谱密度只是将复包络b(t)的平均功率谱密度搬移到载频fc上，如上图（b）所示。其中，离散谱由载波分量确定，连续谱由数字基带信号波形gT(t)确定，OOK信号的带宽是数字基带信号波形带宽Rb的两倍, 即

BOOK?2Rb(主瓣宽度) ，其带宽利用率为?OOK?

二、二进制移频键控（2FSK）

Rb?0.5bit/s?Hz。 BOOK

用二进制数字基带信号去控制正弦载波的载频称为二进制移频键控（2FSK）。 1、2FSK信号的产生

1）相位不连续的2FSK信号

如下图左，用二进制数字基带信号去控制电开关，分别接入两载频振荡器之一，可产生相位不连续的2FSK信号。

相位不连续2FSK信号的数学表达式为

ft“传号”?s(t)?Acos2? 1sFSK(t)??10?t?Tbs(t)?Acos2?ft“空号”?22

2）相位连续的2FSK信号

将二进制数字信号对单一的载频振荡器进行调频，可以得到相位连续的2FSK信号。如下图右。

相位不连续2FSK信号的数学表达式为

sFSK(t)?Acos[?ct?2?Kf?t??b(?)d?]

2FSK信号的产生

2、2FSK两信号波形的互相关系数

考虑s1(t) s2(t)的相关性。则它们的互相关系数为

1?12?EbTb?s(t).s(t)dt120T2b?[cos(?ct???t)?cos(?ct???t)]dt?Tb0?Sa(2??Tb)?Sa(?cTb)?cos?cTb???2??f?2?(f1?f2)因为2?cTb??1，所以上式第二项Sa(?cTb)cos?cTb?Sa(2?cTb)?0，所以

?12?Sa(2??Tb)?Sa[2?(2?f)Tb]

根据互相关系数与频差2?f的函数，得二者关系图如下

在?12=0时，表示s1(t) 与s2(t)正交，此时的两载频的最小频率间隔为

f1?f2?R1?b 2Tb2若频差很大，两函数近似正交。

3、2FSK信号的功率谱密度及其信号带宽

对于相位不连续的2FSK信号，可以将其看做两个OOK信号的叠加，表达式如下

sFSK(t)??ang(t?nTb)cos(?1t??n)??ang(t?nTb)cos(?2t??n)

nn其中an对应二进制序列，an对应于二进制序列的反码。?1 ?2为不同载波的载频。?n ?n为对应不同载波的初始相位，可以忽略。

s2FSK?s1(t)cos?1t?s2(t)cos?2t

故相位不连续的2FSK信号的平均功率谱密度为

11P2FSK(f)?[Ps1(f?f1)?Ps2(f?f1)]?[Ps2(f?f2)?Ps2(f?f2)]

44其中Ps1(f) Ps2(f)分别为数字基带信号 s1(t) s2(t)的双边平均功率谱密度。

故2FSK信号的平均功率谱密度为

P2FSK(f)???(f?f1)?(f?f1)?(f?f2)?(f?f2)1[Sa2()?Sa2()?Sa2()?Sa2()]16RbRbRbRbRb1??(f?f1)??(f?f1)??(f?f2)??(f?f2)?16由此式可得相位不连续的2FSK信号的单边平均功率谱密度图如下

a.f2?f1?0.7fs?0.7Rb b.f2?f1?fs?Rb c.f2?f1?2fs?2Rb

对于相位不连续的2FSK信号的功率谱由离散谱和连续谱所组成。其中，离散谱位于两个载频f1和f2处，连续谱由两个中心位于f1和f2处的双边谱叠加形成。若两个载波频差小于Rb（如f2?f1?0.7fs?0.7Rb），则连续谱在f1和f2的中点处出现单峰，如上图a所示；若载频差大于等于Rb（如f2?f1?2fs?2Rb），则连续谱出现双峰，如上图b,c所示。

若以2FSK信号功率谱第一个零点之间的频率间隔计算其带宽，则2FSK信号的带宽为

B2FSK?f2?f1?2Rb。实际应用中一般f1?f2?2Rb ，取f2?f1?(3~5)Rb，故

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