傅里叶变换和拉普拉斯变换

一傅里叶变换在应用上的局限性

在第三章中，已经介绍了一个时间函数f?t?满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即

F?j?????f?t?e?j?tdt??? (正变换) (5.1)

f?t??

12?????F?j??ej?td? (反变换) (5.2)

但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号U?t?，斜变信号

tU?t?，单边正弦信号sin?tU?t?等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅

里叶变换。

at还有一些信号，例如单边增长的指数信号eU?t??a?0?等，则根本就不存在傅里叶变

换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求?从??到?区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。

实际上，信号f?t?总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号f?t?接入系统的时刻作为t?0的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即有f?t?=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为

F?j?????f?t?e?j?tdt0? (5-3)

?式(5-3)中的积分下限取为0，是考虑到在t?0的时刻f?t?中有可能包含有冲激函数

??t?。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是?)，不过此时要在公式后

面标以t＞0，意即只有在t＞0时f?t?才有定义，即

1f?t??2?

????F?j??ej?td? t＞0 (5-4a)

或用单位阶跃函数U?t?加以限制而写成下式，即

?1f?t????2? ?j?t??Fj?ed?U?t?????? (5-4b)

?二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

??t当函数f?t?不满足绝对可积条件时，可采取给f?t?乘以因子e（?为任意实常数)

的办法，这样即得到一个新的时间函数f?t?e??t。今若能根据函数f?t?的具体性质，恰当地

选取?的值，从而使当t??时，函数f?t?e??t?0，即满足条件

t??limf?t?e??t?0

??t??t??fte则函数即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子e??t起着使函数f?t?收敛的作用，故称e为收敛因子。

设函数f?t?e式(5-3)有

??t满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据

F?j?????f?t?ee??t0??j?tdt???f?t?e????j??tdt0?

在上式中，j?是以???j??的形式出现的。令s???j?，s为一复数变量，称为复频

1率。?的单位为s，?的单位为rad/s。这样，上式即变为

F?j?????f?t?e?stdt0?

由于上式中的积分变量为t，故积分结果必为复变量s的函数，故应将F?j??改写为F?s?，

即

F?s????f?t?e?stdt0? (5-5)

F?s?称为f?t?的像函数，f?t?称复变量函数F?s?称为时间函数f?t?的单边拉普拉斯变换。

为F?s?的原函数。一般记为

F?s??L?f?t??

?1???为一算子，表示对括号内的时间函数f?t?进行拉普拉斯变换。 L符号

利用式(5-4)可推导出求F?s?反变换的公式，即

f?t?e??t?12?????F?s?ej?td?

对上式等号两边同乘以e，并考虑到e不是?的函数而可置于积分号内。于是得

?t?t

f?t??12?????F?s?e?tej?td??12?????F?s?e???j??td??12?????F?s?estd? (5-6)

由于式(5-6)中被积函数是F?s?，而积分变量却是实变量?。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因

s???j?

故ds?d??????jd?(因?为任意实常数)故

d??

1dsj

且当????时，s???j?；当???时，s???j?。将以上这些关系代入式(5-6)即得

1??ft?2?j????j??j?F?s?estds t?0 (5-7a)

写成

?1??j??st??f?t???FsedsU?t?????j??2?j? (5-7b)

式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数F?s?求与之对应的原函数f?t?。一般记为f?t??L换。

式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为

f?t??F?s?或F?s??f?t? 若f?t?不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为(??)，即

?1?F?s??符号L?1???也为一算子，表示对括号内的像函数F?s?进行拉普拉斯反变

F?s???f?t?estdt??? (5-8)

式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。 由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即f?t??F?j??而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，即f?t??F?s?.

三、复频率平面

以复频率s???j?的实部?和虚部j?为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如图5-1所示。复频率平面(即s平面)上有三个区域：j?轴以左的区域为左半开平面；j?轴以右的区域为右半开平面；j?轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。将s平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。

四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域

??t??t上面已经指出，当函数f?t?乘以收敛因子e后，所得新的时间函数f?t?e便有可能

满足绝对可积条件。但是否一定满足，则还要视f?t?的性质与?值的相对关系而定。下面就来说明这个问题。因

F?s????f?t?edt???f?t?e??te?j?tdt?st00??t??

由此式可见，欲使F?s?存在，则必须使f?t?elimf?t?e??t?0???0 满足条件 t??

j?j??jIms左半开平面0右半开平面s平面收敛域??Res0收敛坐标? 图 5-2

??t图 5-1式(5-9)中的?0值指出了函数f?t?e?0的值由函数f?t?的性质确定。的收敛条件。根据?0的值，可将s平面(复频率平面)分为两个区域，如图5-2所示。通过?0点的垂直于?轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴，?0称为收敛坐标。收敛轴以右的区域(不包括收敛轴在内)即为收敛域，收敛轴以左的区域(包括收敛轴在内)则为非收敛域。可见f?t?或F?s?的收敛域就是在s平面上能使式(5-9)满足的?的取值范围，意即?只有在收敛域内取值，f?t?的拉普拉斯变换F?s?才能存在，且一定存在。

五、拉普拉斯变换的基本性质

由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即s域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。

关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。

表5-1 拉普拉斯变换的基本性质

序号

性质名称 f?t?U?t? f?t? F?s? F?s? 1 2 3 4 5 唯一性 齐次性 叠加性 线 性 尺度性 Af?t? f1?t??f2?t? AF?s? F1?s??F2?s? A1f1?t??A2f2?t? f(at)，a?0 A1F1?s??A2F2?s? 1?s?F??a?a? 6 7 时移性 时域微分 f?t?t0?U?t?t0?，t0?0 F?s?e?t0s f?t?e?at F?s?a? sF?s??f0? s2F?s??sf0??f?0? 8 复频微积分 f??t? f???t? f?n??t? ??????snF?s??sn?1f0??sn?2f'0???fn?10? ???? ??9 复频移性 tf?t? tf(n)?t? t??1?1dF?s?dsndnF?s???1?dsn 10 时域积分 ?0?f???d?f?t?t F?s?s 11 复频域积分 ?F?s? s?12 时域卷积 f1?t??f2?t? F1?s?F2?s? 1F1?s??F2?s?2π 13 复频域f1?t?f2?t? 卷积 14 初值定理 f?t?cos?0t f?t?sin?0t 15 终值定理 f0??limf?t??limsF?s??t?0t????1?F?s?j?0??F(s?j?0)?2 1?F?s?j?0??F(s?j?0)?2 16 调制定理 f????limf?t??limsF?s?t??t?0 利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数f?t?U?t?的拉

普拉斯变换式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函数F?s?或原函数f?t?

表5-2 拉普拉斯变换表

序号 f?t?U?t? F?s? 1 sn 1 2 3 4 5 6 ??t? ?n?t? U?t? t tn e?at 1s 1s2 n!sn?1 1s?a 7 te?at 1?s?a?2 n!?s?a?n?1 8 tne?at 9 e?j?t 1s?j? 10 11 12 sin?t ?s2??2 ss2??2 cos?t e?atsin?t ??s?a?2??2 s?a?s?a?2??2 13 e?atcos?t 14 tsin?t ?s?s2?s2??2 ?215 tcos?t s2??22??2?2 16 17 18 ?sh?t ch?t ?s2??2 ss2??2 11?e?sT F0(s)1?e?sT ??(t?nT)n?0? 19 ?f(t?nT)n?0 20 ??U(t?nT)?U(t?nT??)?T??n?0?, 1?e?s?s1?e?sT ??

七、拉普拉斯反变换

从已知的像函数F?s?求与之对应的原函数f?t?，称为拉普拉斯反变换。通常有两种方法。

1

由于工程实际中系统响应的像函数F?s?通常都是复变量s的两个有理多项式之比，亦

即是s的一个有理分式，即

N?s?bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0F?s??D?s?sn?an?1sn?1???a1s?a0(5-10)

式中，a0, a1, …, an?1?和b1, b2, …, bm等均为实系数； m和n均为正整数。故可将像函数F?s?展开成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数f?t?。

欲将F?s?展开成部分分式，首先应将式(5-10)化成真分式。即当m?n时，应先用除

N0?s?法将F?s?表示成一个s的多项式与一个余式 D?s?之和，即

F?s??N?s?N0?s?N?s??Bm?nsm?n???B1s?B0?0D?s?D?s?，这样余式D?s?已为一真分式。对应

m?n于多项式Q?s??Bm?ns???B1s?B0各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激

F?s??N?s?D?s?已是真分式的情况讨论。分两种情况

函数本身。所以，在下面的分析中，均按研究：

(1) 分母多项式D?s??s?an?1snn?1???a1s?a0?0的根为n个单根

p1p2?pi?pn。由于D?s??0时即有F?s???，故称D?s??0的根pi(i=1,2,…,n)为

F(s)的极点。此时可将D(s)进行因式分解，而将式(5-10)写成如下的形式，并展开成部分分式。即

N?s?bmsm?bm?1sm?1???b1s?bF?s????D?s??s?p1??s?p2???s?pi???s?pn? (5-11)

K1K2KiKn???????s?p1s?p2s?pis?pn

式中，Ki(i=1,2,…,n)为待定常数。

可见，只要将待定常数Ki求出，则F?s?的原函数f?t?即可通过查表5-2中序号6的公式而

求得为

f?t??K1ep1t?K2ep2t???Kiepit???Knepnt??KiepitU?t?i?1n

待定常数K1按下式求得，即

Ki?

N?s??s?pi?D?s?s?pi (5-12)

现对式(5-12)推导如下：给式(5-11)等号两端同乘以?s?pi?，即有

F?s??s?pi??KK1?s?pi??K2?s?pi????Ki???n?s?pi?s?p1s?p2s?pn

由于此式为恒等式，故可取s?pi代入之，并考虑到p1?p2p2?pi?pn?pi，故得：

F?s??s?pi?s?p?0?0???Ki???0i

N?s??s?pi?D?s?s?pi 于是得

Ki?F?s??s?pi?s?p?i 证毕。 *2

(Residue Method)

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