2第二章 电力系统潮流计算

第二章 电力系统潮流计算

2.1 概 述

电力系统稳态分析是研究电力系统运行和规划方案最重要和最基本的手段，其任务是根据给定的发电运行方式及系统接线方式求解电力系统的稳态运行状况，包括各路线的电压、各元件中通过的功率等等。在电力系统运行方式和规划方案研究少，都需要进行稳态分析以比较运行方式或规划供电方案的可行性、可靠性和经济性。电力系统稳态分析得到的是一个系统的平衡运行状态，不涉及系统元件的动态属性和过渡过程。因此其数学模型不包含微分方程，是一组高阶数的非线性方程。电力系统的动态分析(见第5章、第6章)的主要目的是研究系统在各种干扰下的稳定性，属于动态安全分析，在其数学模型中包含微分方程，应该指出，电力系统的动态分析不仅在稳定运行方式分析的基础上进行，而且稳态分析的算法也是动态分析算法的基础。因此，熟悉稳态分析的原理和算法是把握现代电力系统分析方法的关键。

电力系统稳态分析包括潮流汁算(或潮流分析)和静态安全分析。潮流计算针对电力系统各正常运行方式，而静态安全分析则要研究各种运行方式下个别系统元件退出运行后系统的状况。其目的是校验系统是否能安全运行，即是否有过负荷的元件或电压过低的母线等。原则上讲，静态安全分析也可以用潮流计算来代替。但是—般静态安全分析需要校验的状态数非常多，用严格的潮流计算来分析这些状态往往计算量过大。因此不得不寻求一些特殊的算法以满足要求。本章的前半部分介绍潮流计算的模型和算法，后半部分讨论与静态安全分析有关的问题。

利用电子数字计算机进行电力系统潮流计算从20世纪50年代中期就已开始。此后，潮流计算曾采用了各种不同的方法，这些方法的发展主要是围绕着对潮流计算的一些基本要求进行的。对潮流计算的要求可以归纳为下面几点： (1)计算方法的可靠性或收敛性。 (2)对计算速度和内存量的要求。 (3) 计算的方便件和灵活性。

电力系统潮流计算问题在数学上是一组多元非线性方程式的求解问题，其解法离不开迭代。因此，对潮流计算方法，首无要求它能可靠地收敛，并给出正确

答案。随着电力系统不断扩大，潮流问题的方程式阶数越来越高(目前已达几千阶甚至超过1万阶)，对这样规模的方程式并不是采用任何数学方法都能保证给出正确答案的。这种情况成为促使电力系统研究人员不断寻求新的更可靠方法的重要动力。

在用数字计算机解电力系统潮流问题的开始阶段，普遍采取以节点导纳矩阵为基础的高斯—赛德尔迭代法(以下简称导纳法)[1，2]。这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机内存且也比较小，适应当时电子数字计算机制造水平和当时电力系统理论水平，但它的收敛性较差．当系统规模变大时，迭代次数急剧上升，往往出现迭代不收敛的情况。这就迫使电力系统计算人员转向以阻抗矩阵为基础的逐次代入法(以下简称阻抗法)[2,3]。

20世纪60年代初．数字计算机已发展到第二代，计算机的内存和速度发生了很大的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件。如第1章所述，阻抗矩阵是满矩阵，阻抗法要求数字计算机储存表征系统接线和参数的阻抗矩阵，这就需要较大的内存量。而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩阵中的每—个元素进行运算，因此，每次迭代的运算量很大。

阻抗法改善了系统潮流计算问题的收敛性，解决了导纳法无法求解的一些系统的潮流计算，当时获得了广泛的应用，曾为我国电力系统设计、运行和研究作出了很大的贡献。

但是，阻抗法的主要缺点是占用计算机内存大，每次迭代的计算量大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，后来发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法[3,4]。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需要存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间连络线的阻抗，这样不仅大幅度地节省了内存容量，同时也提高了计算速度。 克服阻抗法缺点的另一途径是采用牛顿—拉弗森法(以下简称牛顿法)

[5,6]

。

牛顿法是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。解决电力系统潮流计算问题是以导纳矩阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的效率。自从20世纪60年代中期利用了最佳顺序消去法[7]以后，牛顿法在收敛性、内存要求、速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍在广泛采用的优秀方法。

20世纪70年代以来，潮流计算方法通过不同的途径继续向前发展，其中最成功的方法是P-Q分解法[8]。这个方法，根据电力系统的特点，抓住主要矛盾，对纯数学的牛顿法进行了改造，在计算速度方面有明显的提高，迅速得到了推广。 近20多年来，潮流问题算法的研究仍非常活跃，但是大多数研究是围绕着改进牛顿法和P-Q分解法进行的[9~15]。此外，随着入工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐引入潮流计算[16~19]。但是，到目前为止这些新模型和算法还不能取代牛顿法和P-Q分解法的地位。由于电力系统的不断扩大和对计算速度要求的不断提高，计算机的并行计算技术也引起一些研究人员的兴趣[20]，今后会成为重要的研究领域。

本章主要介绍当前通用的牛顿法和P-Q分解法。在本书后的附录中给出了

P-Q分解法潮流程序的详细框图，供编制程序时参考。

最后还应指出，潮流计算的灵活性和方便性的要求，对数字计算机的应用也是一个很重要的问题。潮流程序的编制必须尽可能使计算人员在计算机计算的过程中加强对计算过程的监视和控制，并便于作各种修改和调整。电力系统潮流计算问题并不是单纯的计算问题，把它当作一个运行方式的调整问题可能更为确切。为了得到一个合理的运行方式，往往需要不断根据计算结果修改原始数据。在这个意义上．我们在编制潮流计算程序时，对使用的方便性和灵活性必须予以足够的重视。因此，除了要求计算方法尽可能适应各种修改、调整以外，还要注意输入和输出的方便性和灵活性，加强人机联系，做好界面，使计算人员能及时监视计算过程并方便地控制计算的进行。

2.2 潮流计算问题的数学问题

2.2.1 潮流计算问题的节点类型

电力系统由发电机、变压器、输电线路及负荷等构成。图2-1表示了一个简单电力系统的接线图。在进行电气计算时，系统中静止元件如变压器、输电线、并联电容器、电抗器等可以用R、L、C所组成的等值电路来模拟。因此这些静止元件所连成的电力网在潮流计算中可以看作是线性网络，并用相应的导纳矩阵或阻抗矩阵来描述。在潮流计算中发电机和负荷都作为非线性元件来处理，不能包括在线性网络部分，如图2-1(b)所示。联络节点作为注入零功率的节点引出网

络之外。

图2-1 简单电力系统接线图

在图2-1(b)中虚线所包括的线性网络部分，其节点电流与电压之间的关系可以通过节点方程式来描述：

上式也可以写成展开的形式；

&式个：I&i和Vi，分别为节点i的注入电流及节点j的电压；Yij为导纳矩阵元素；

n为系统节点数。

为了求解潮流问题，我们必须利用节点功率与电流之间的关系：

式中；Pi、Qi分别为节点i向线性网络注入的有功功率和无功功率，当i点为

?为节点i电压向量的共扼值。 负荷节点时，Pi、Qi本身应带负号；Vi 将式(2-3)代入式(2-2)，可得到

或

上式含有n个非线性复数方程式，是潮流计算问题的基本方程式，对这个方程式的不同应用和处理．就形成了不同的潮流程序，

电力系统潮流汁算中，表征各个节点运行状态的参数是该点的电压向量及复功率，也就是说，每个节点都有4个表征节点运行状态的量：V、?、P、Q因此，在n个节点的电力系统中共有4n个运行参数。

如上所述，电力潮流基本方程式(2-4)共有n个复数方程式，相当于2n个实数方程式，因此只能解出2n个运行参数，其余2n个应作为原始数据事先给定。

在一般电力系统潮流计算时，对每个节点往往给出两个运行参数作为已知条件，而另外两个则作为待求量。根据原始数据给出的方式，电力系统中的节点一般分为以下3种类型：

(1)PQ节点。

这类节点给出的参数是该点的有功功率及无功功率(P、Q)，待求量为该点的电压向量〔V,?)。通常将变电所母线作为PQ节点。当某些发电厂的山力P、Q

给定时，也作为PQ节点。在潮流计算中，系统中大部分节点部属于这类节点。

(2)PV节点。

这类节点给出的运行参数为该点的有功功率P及电压幅值V，待求量是该点的无功功率Q及电压向量的角度?。这种节点在运行中往往要有一定可调节的无功电源，用以维持给定的电压值。因此，这种节点是系统中可以调节电压的母线。通常选择有一定无功功率贮备的发电厂母线作为PV节点。当变电所有无功补偿设备时，也可以作为PV节点处理。 (3)平衡节点。

在潮流计算中，这类节点一般在系统中只设一个。对这个节点，我们给定该点的电压幅值，井在计算中取该点电压向量的方向作为参考轴，相当于给定该点电压向量的角度为零度。因此，对这个节点给定的运行参数V和?，故也可以称为V?节点。对平衡节点来说，待求量是该点的有功功率P及无功功率Q，整个系统的功率平衡由这一节点来完成。平衡节点一般选择在调频发电厂母线比较合理，但在计算时也可能按其他原则来选择。例如，为了提高导纳法潮流程序的收敛性。有时选择出线最多的发电厂母线作为平衡节点。

以上3种节点的给定量和待求量不同，在潮流计算中处理的方法也不一样。 2.2.2 节点功率方程式

如前所述，电力系统潮流计算可以概略地归结为由系统各节点给定的复功率求解各节点电压向量的问题，因此如果能把复功率表示为各节点电压向量的方程式，就可以利用求解非线性方程式的牛顿法解出系统各节点的电压向量。这一节我们首先推导节点功率的方程式。

节点电压向量可以表示为极坐标的形式，也可以表示为直角坐标的形式。与此相应，在潮流计算中节点功率方程式也有两种形式。

由式(2-4)可知，节点功率可表示为

由于导纳矩阵是稀疏矩阵，上式?号后一般并没有n项，也就是说，其中j并不取从1到n的全部下标。式中j?i表示?号后的节点j都必须直接与i节点

相连，并包括j?i的情况。如果把上式中电压向量表示为极坐标的形式

式个：Vi、?i为节点i电压向量的幅值和角度。将导纳短阵中元素表示为

将上式中指数项合并，并考虑到以下关系：

式中：?ij??i??j，为i、j两节点电压的相角差。 将上式按实部和虚部展开，得到

这就是功率的极坐标方程式。这个方程组不仅在牛顿法潮流程序中非常重要，在2.4节P-Q分解法潮流程序中也将起重要作用。

把上式中各节点的电压向量表示为直角坐标的形式：

式中：

则由式（2-5）就可以得到

令式中

式中：ai、bi实际上是节点i注入电流的实部和虚部。因此式(2-10)可以简写为

这就是功率的直角坐标方程式。

无论式(2-9)或式(2-10)都是节点电压向量的非线性方程组。在潮流问题中，往往把它们写成以下的形式：

及

式(2-13)、式(2-14)中：Pis、Qis为节点i给定的有功功率及无功功率。由这两个公式，我们可以把电力系统潮流问题概略地归结为：对于给定的Pis、

Qis?i?1,2,L,n?寻求这样一组电压向量Vi、?i或ei、fi ?i?1,2,L,n?，使按式(2-13)、式(2-14)所得到的功率误差?Qi、?Qi?i?1,2,L,n?在容许范围以内。 最后应该指出，在某些情况下用节点注入电流[见式(2-2)]代替节点注入功率构成潮流模型可能开发出更有效的算法，见第2.3节。

2.3 潮流计算的牛顿法

2.3.1 牛顿法的基本概念

牛顿法(又称牛顿—拉弗森法)是解非线性方程式的有效方法。这个方法把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，通常称为逐次线性化过程，这是牛顿法的核心。我们以如下非线性方程式的求解过程为例来说明：

设x(0)为该方程式的初值，而真正解x在它的近旁

式巾：?x(0)为初值x(0)的修正量。如果求得?x(0)，则由式(2-16)就可得到真正解

x。为此， 将式

按泰勒级数展开：

式中：f??x(0)?,L,f(n)?x(0)?分别为函数f?x?在x(0)处的一次导数至n次导数。当我们选择的初值比较好，即?x(0)很小时，式(2-18)中包含的??x(0)?和更高阶

(2)次项可以去不计。因此，式(2-18)可以简化为

这是对于变量?x(0)的线性方程式，以后称为修正方程式，用它可以求出修正量

?x(0)。

由于式(2-19)是式(2-18)简化的结果，所以由式(2-19)解出?x(0)后，还不能得到方程式(2-15)的真正解。实际上，用?x(0)对x(0)修正以后得到的x(1)：

只是向真正解更逼近了一些。现在如果再以x(1)作为初值，解式(2-19)，

就能得到更趋近于真正解的x(2)

这样反复下去，就构成了不断求解线性修正方程式的逐步线性化过程。第t次迭代时的修正方程式为

或

上式左端可以看成是近似解x(t)引起的误差，当f?x(t)??0时，就满足了原方程式(2-15)，

因而x(t)就成为该方程式的解。式(2-22)中f?x(t)?是函数f?x?在x(t)点的一次导数，也就

是曲线在x(t)点的斜率，如图2-2所示，

修正运?x(t)则由x(t)点的切线与横轴的交点来决定，由图2-2可以直观地看出牛顿法的求解过程。

图2-2 牛顿法的几何解释

现在把牛顿法推广到多变量非线性方程组的情况。设有变量x1,x2,L,xn的非线性联立方程组：

给定各变量初值x1(0),x2(0),L,xn(0)为其修正值，并使其满足

对以上n个方程式分别按泰勒级数展开，当忽略包含?x1(0),?x2(0),L,?xn(0)所组成的二次项和高次项时，可以得到

式中：

?fi为函数fi?x1,x2,L,xn?对自变量xj的偏导数在点x1(0),x2(0),L,xn(0)处?xj0的值。

把上式写成短阵的形式：

这是变量?x1(0),?x2(0),L,?xn(0)的线性方程组，称为牛顿法的修正方程式，通过它可以解出?x1(0),?x2(0),L,?xn(0)并可以进一步求得

)式中x1(0),x2(0,L,xn(0)向真正解逼近了一步，如果再以它们作为初值重复解式

(2-28)型修正方程式，并按式(2-29)对变量进行修正，就构成了牛顿法的迭代过程。

一般第t次迭代时的修正方程式为

或者简写为

式中：

为第t次迭代时函数的误差向量；

称为第t次迭代时的雅可比矩阵；

为第t次迭代时的修正量向量。

同样，也可以写出类似于式(2-29)的算式

这样，反复交替解式(2-31)及式(2-35)就可以使X(t?1)逐步趋近方程式的真正解。为了判断收敛情况，可采用以下两个不等式中的一个：

式中：?X(t?1)及?F(t?1)分别表示向量?X(t?1)及?F(t?1)的最大分量的绝对值；?1和

?1为预先给出的很小正数。

2.3.2 修正方程式

在第2.3.1节中我们推导了两种类型的功率方程式，它们在牛顿法潮流程序中都有应用[14]。虽然它们在迭代步骤上没有差别，但其修正方程式则各有特点。

当采用极坐标的数学模型[式(2-l3)]时，待求量是各节点电压的幅值和角度

Vi、?i?i?1,2,L,n?。对PV节点来说，节点i电压幅值Vi是给定的，不再作为变量。同时，该点不能预先给定无功功率Qis，这样，方程式中?Qi，也就失去了约束作用。因此，在迭程中应该取消与PV节点有关的无功功率方程式。只有当这迭代结束后，即各节点电压向量求得以后，才利用这些方程式来求各PV节点应维持的无功功率。同样道理，由于平衡节点电压幅值及相角都是给定量，因此与平衡节点有关的方程式也不参与这迭代过程。迭代结束后，我们利用平衡节点的功率方程式来确定其有功功率及无功功率。

设系统节点总数为n，PV节点共r个。为了叙述方便，我们把平衡节点排在最后，即设为第n节点，则潮流计算要解的方程式应包括

此式中共包含n-1个方程式；及

此方程组共包括n?r?1个方程式。以上方程式的待求量为各节点电压的角度以及电压幅值Vi，其中?i共有n?1个。由于Vi中不包括PV节点的电压幅值，所以共有n?r?1个。这样，未知量共有2n?r?2个，恰好可由以上2n?r?2个方程式求出。

将式(2-38)、式(2-39)按泰勒级数展开，略去高次项后，即可得到修正方程式

式中电压幅值的修正量采用?V1V1,?V2V2,L,?Vn?1Vn?1的形式并没有什么特殊意义，只不过为了使雅可比矩阵中各元素具有比较相似的表达式。

利用简单的微分运算对式(2- 3)或对式(2-38)、式(2-39)取偏导数，并注意式中Pis、

Qis均为常数，不难得到雅可比矩阵中各元素的表达式：

或

修正方程式（2-40）还可以写成更为简单的形式

对照式(2—40＞不难看出式中各符号的意义。有时，为了程序上处理方便也可把修正方

程式排成下列形式：

上式与式(2-40)在本质上并无任何不同。

当采用直角坐标时，潮流问题的待求量为各节点电压的实部和虚部两个分量

e1,f1,e2,f2,L,en,fn。由于平衡节点电压向量是给定的，因此待求量共2(n-1)个，需要2(n-1)个方程式。事实上，除平衡节点的功率方程式在迭代过程中没有约束作用以外，其余每个节点都可列出两个方程式。对PQ节点来说，Pis、Qis是给定的，因而可以写出

对PV节点来说，给定量是Pis、Vis，因此可以列出

式(2-52)和式(2-53)共包括2(n-1)个方程式。将它们按泰勒级数展开，略去高次项后，即

可得到修正方程式，写成矩阵的形式如下：

根据式(2-52)、式(2-53)，利用简单的微分运算不难求得上式雅可比矩阵中各元素的

以上为对角元素。当i=j时：

利用式（2-11）可以改写为

同样得到

以上得到的两种坐标系统修止方程式，是牛顿法潮流程序中需要反复求解的基本方程式。研究以上公式，不难看出这两种修正方程式有以下持点：

(1)修正方程式(2-54)显然是2(n-1)阶的，修正方程式(2-40)的阶数为

2(n-1)-r。由于系统中PV节点数(r)一般较少，所以也是接近2(n-1)阶的方程组。

(2)由两种坐标系统雅可比短阵非对角元素的表示式(2-41)、式(2-44)、式(2-46)、式(2-48)以及式(2-55)可以看出，它们只与导纳矩阵中某一个元素有关。因此，当导纳矩阵中元素Yij为零时，修正方程式系数矩阵中相应元素也为零，即修正方程式系数矩阵与导纳矩阵具有相同的结构，因此修正方程式系数矩阵也是稀疏矩阵。

(3)由雅可比矩阵各元素的表达式可以看出，两种坐标系统修正方程式的系数矩阵都是不对称的，例如很容易验证

以及

等等。

(4)两种修正方程式的系数矩阵——雅可比矩阵中诸元素都是节点电压向量的函

数，因此在迭代过程中，它们将随着各节点电压向量的变化而不断变化。这一点是影响午顿法潮流程序计算效率最重要的因素，因为不仅每次迭代都要重新计算雅可比矩阵元素，而且还需重新进行三角分解。因此，对牛顿法潮流程序的改进，大多是针对这一问题。例如，文献[12]提出当采用直角坐标时，如果以注入电流[见式(2-4)]构成潮流方程，则其修正方程式的雅可比矩阵中非对角元素将为常数，从而提高求解效率。文献[13]则建议采用部分更新雅可比矩阵元素以减少运算量。限于篇幅，不再详述。

两种坐标系统的修正方程式给牛顿法潮流程序也带来一些差异。当采用极坐标表示式时，程序中对PV节点处理比较方便。当采用直角坐标时，在迭代过程中避免了三角函数的运算，因而每次迭代速度略快一些。—般说来，这些差异并不十分显著。在牛顿法潮流程序中，两种坐标系统都有应用。关于对两种坐标系统的修正方程式的比较，可参考文献[14]。

日前广泛采用的P-Q分解法是从极坐标系统牛顿法潮流程序演化而来的，将在第2.4节中详细讨论。因此，下一节将主要根据直角坐标表示式(2-54)型的修正方程式讨论牛顿法潮流程序。 2.3.3牛顿法的求解过程

以下讨论用直角坐标形式的牛顿法潮流的求解过程。在牛顿法潮流程序中，电力网络是用导纳矩阵来描述的。由式(2-52)、式(2-53)、式(2-55)、式(2-56)可知，其中的运算都以导纳矩阵为基础，因此在程序中应首先形成导纳矩阵。牛顿法潮流求解过程大致分为以下几个步骤：

(1)给定各节点电压初值e(0)、f(0)。

(2)将电压初值e(0)、f(0)代入式(2-52)、式(2-53)，求修正方程式的常数项

?P(0)、?Q(0)、??V2?。

(0)(3)将电压初值代入式(2-55)、式(2-56)中求修正方程式系数矩阵(雅可比矩阵)各元素。

(4)解修正方程式(2-54)，求修正量?e(0)、?f(0)。 (5)修正各节点电压向量：

(6)以e(1)、f(1)代入式(2-52)、式(2-53)个求?P(1)、?Q(1)、??V2?。

(1)(7)校验是否收敛，如收敛，则进而求各支路潮流并打印输出计算结果，否则再以e(1)、f(1)为初值，返回第(3)步骤进行下—次迭代。

牛顿法潮流程序的原理框图如图2-3所示。图2-3以及上述求解步骤只是从原理上简要地介绍了牛顿法的计算过程，它们和实际的应用程序还有一些差别。如前所述，牛顿法求解潮流问题的过程，实际上是不断形成并求解修正方程式的过程。如何处理修正方程式对于内存要求和计算速度有着决定性的影响，因此，在下一节具体讨论修正方程式的构成及解法以后，才能进一步给出牛顿法潮流程序的实用框图。

图2-3 牛顿法潮流程序原理框图

现在我们仅就与修正方程式处理无关的问题作简单的介绍。

牛顿法的收敛性比较好，一般潮流计算通常迭代6~7次就能收敛到非常精确的解，而且迭代次数与电力系统规模关系不大。从理论上讲，牛顿法具有平方收敛的特性，但它对初始值要求比较高。当初始值选择得不恰当时，可能出现不收敛，或者收敛到实际电力系统无法运行的解。这种情况是牛顿法本身引起的。如前所述，牛顿法的实质是把非线性方程的求解转化为反复求解修正方程式的过程，这种“逐次线性化”是建立在?e、?f非常小，因而其高次项可以忽略不计

的假定之上的。当初值和真正解相差较大时，高次项就不能忽略，从而牛顿法就失去了迭代的基础。

一般电力系统在正常运行情况下，各节点运行在额定电压附近，各节点电压相角差不会很大。在这时，初值采用“平启动”方式，即

牛顿法都能给出比较满意的结果。在图2-3中，我们采用的收敛条件是

式中：?P(t),?Q(t)表示向量?P(t),?Q(t)中最大分量的绝对值。这个收敛条件比较直观，用它可以直接控制最终结果的功率误差。当采用标么值进行计算时，可以取??10?4或??10?3，如果以100MVA作为基值，这就相当于有名值0.01MVA或0.1MVA，这实际电力系统计算来说已经相当精确。

由图2-3可知，在利用牛顿法计算系统潮流时，每次迭代都要重新形成雅可比矩阵并且对它进行消去运算，因此，每迭代一次要求的运算量相当大，降低了牛顿法潮流程序的计算速度。由前面雅可比矩阵元素的表达式可知，在迭代过程中特别是趋于收敛时，由于电压变化而引起雅可比矩阵元素的变化不会很大(参看2.3.4节例2-1)，因此，为了提高牛顿法潮流程序的计算速度，可以在形成雅可比矩阵后，用同一雅可比矩阵连续进行几次迭代。 2.3.4 修正方程式的求解

牛顿法在20世纪50年代末期就已用于解决电力系统潮流问题，并采用了高斯消去法求解修正方程式。这时出现的矛盾是其内存量及运算量随着系统的扩大而急剧地增长。如前所述，牛顿法修正方程式的阶数为2(n-1)，因此需要4(n?1)2个内存单元贮存整个系数矩阵，而且求解线性方程式的运算量在某些情况下达到

3??2(n?1)??乘加运算，这样就限制了牛顿法的应用和推广。

20世纪60年代中期，人们对牛顿法修正方程式的稀疏性进行了深入研究，在求解线性方程式的过程中充分利用了稀疏线性方程的特点，避免了对雅可比矩阵中大量零元素的贮存和运算，这样就大大节约了内存单元并且显著地减少了运算量，从而提高了计算速度。当采用节点编号优化时，还可以保证修正方程式系

数矩阵在消去过程中增加的非零元素最少，使求解修正方程式所需要的内存量及运算量可减少到几乎与系统节点数目成线性关系，从而使牛顿法成为求解电力系统潮流问题时应用最广泛的方法之一[7]。

下面我们以图2-4所示的简单系统为例，说明牛顿法潮流程序在求解修正方程式过程中的一些算法特点。图中节点3及节点6为发电机节点，其中节点3为PV节点，节点6为平衡节点，其余节点均为PQ节点。该系统的导纳矩阵结构如下：

图2-4 简单电力系统

修正方程式中不包括与平衡节点有关的方程，因此修正方程的形状应为

式中：常数项?Pi,?Qi可按式（29-52）求得：

或者写成

由式（2-56）可知修正方程式中对角元素为

式(2-61)和式(2-62)中都含有节点i注入电流的分量ai,bi，为了求?Pi,?Qi及雅可比矩阵中对角元素Hii,Nii,Jii,Lii，主要运算集中在求ai及bi上。节点i注入电流分量ai,bi只与i行导纳矩阵及相应节点的电压分量有关[见式(2-1I)]，因此，我们只要顺序取导纳矩阵中的第i行各元素及相应节点的电压分量作简单的

乘加运算，即可积累求和得到ai,bi。

当ai,bi求出后，与节点i的电压分量按式(2-61)作乘加运算再与节点i给定的功率，就可得到?Pi,?Qi。

式(2-60)中雅可比矩阵非对角元素的表示式为

显然，非对角线元素只与导纳矩阵中相应的元素及该节点的电压分量有关。从对角元素的达式(2-62)也可以看出，其中除了节点i注入电流分量ai,bi以外，也只有导纳矩阵中对角元素Gii?jBi，与该点电压分量eii?jfi乘加运算而得到的结果。

综上分析，使我们在程序的处理上能把形成修正方程式的过程变成逐行取导纳矩阵中元素并与相应节点电压分量作简单乘加运算的过程。

当节点i为PV节点时，?Qi的方程式要用?V2i的方程式来代替，其左端的常数项?V2i及雅可比矩阵元素Rii,Sii由式(2-53)、式(2-56)中有关公式不难求得

形成修正方程式是牛法潮流程序中很重要的一步，它对整个牛顿法程序的效率有很大的影响。因此，在编制程序时，必须对以上公式进行深入细致的分析，从中找出规律性的东西，尽量减少重复性的运算。

在利用高斯消去法求解修正方程时，通常是按行消去的。与式(2-60)对应的

增广矩阵是

消去与节点l及节点2有关的方程以后，增广矩阵演化如下所示：

可以看出，当消去与节点2有关的方程式(第三行及第四行)时，所有运算与节点3及以后的方程式完全无关。因此，在按行消去过程中，可以采取形成一行

??,N23??,L,L23??等带上标“\”元素为消去过程中新增立即消去一行的方式。式中H23加的非零元素。为了使消去过程中新增加的非零元素最少，在正式计算之前，应对节点编号进行优化(见第1.3.5节)。带上标“'”的元素表示该元素已参与了

运算。由于在程序上采用边形成边消去边贮存的方式，因而对于新注入的非零元素不需要预留位置，从而使程序简化。

消去结束时，修正方程式的增广矩阵演化为

?1?,L,?Q5?等演化为?e1,?f1,L,?e5,?f5。最后利用一般回代方法即可将?P1,?Q由以上的讨论可以得到图2-5所示的程序框图，它比图2-4更能反映实际程序。图中R表示平衡节点的点号。框图中的修正方程式的求解过程可以利用一般高斯消去法。在程序中对修正方程式采取了按节点边形成边消去的过程，在形成雅可比矩阵元素的同时积累数项，显著地减少了迭代过程的运算量。

【2-1】利用牛顿法计算图2-6所示系统的潮流分布

图2-5 牛顿法潮流程序原理图

图2-6 简单模型系统

【解】按照图2-5所示牛顿法潮流程序原理框图进行汁算。迭代计算以前的准备工作包括形成导纳矩阵和送电压初值。

由例[1-1]可知，该系统的导纳矩阵为

各节点的电压初值如表2-1所示

根据式(2-52)、式(2-53)可建立修正方程式常数项(误差项)的算式：

根据式(2-55)、式(2-56)可以得到雅可比矩阵各元素的算式：

这样，按照式（2-60），就可以得到第一次迭代时的修正方程式：

式中：黑体数字为雅可比矩阵中各行绝对值最大的元素。显然，按这种排列，各行最大元素都不在对角元素的位置上。

必须指出，这种情况的出现并非偶然。由上式可以看出，各行最大元素实际是

??Pi??Qi和。这对高压电力系统来说是一种普遍现象，因为电力系统中有功??fi??ei功率主要和电压的横分量有关，无功功率主要和电压的纵分量有关。

为了减少计算过程的舍入误差，应该吧最大元素排列在对角元素的位置上。为此，可以采用两种排列方法：一种是把各节点?Q的方程式与?P方程式对调，即对调上式中奇数行和偶数行的位置；另一种方法是把各节点待求量?e,?f对调，即对调上式中雅可比矩阵的奇数列和偶数列。

以下我们介绍对调方程式的方法，在这种情况下，上式可以重新排列为

??6.04166??1.37874??3.90015??0.62402?2.64150???0.75471????

1.37874?6.541663.90015?0.754712.641503.900150.62402?0.624023.900152.641500.754713.112030.82897?1.58459?0.754712.64150?0.8289763.492063.11203?39.98688?2.100000.000000.000000.62402?60.282831.45390?1.45390?73.678813.112030.828970.000003.1120366.66666?0.82897?32.3888841.58459???e1???0.55000????f???1.60000???1???0.00000???e2??5.69799??????63.49206???f2???2.00000??????e3??2.04901???????f?3.70000??3???0.00000???e4??0.00000???????63.49206????5.00000????f4???这样，除第8行外各行最大元素都占据了对角元素的位置。

如本节所述，牛顿法潮流程序中，迭代过程就是修正方程式边形成边消去的过程（见图2-5）。因此，当形成第一个节点有关的方程式以后，我们得到相应的增广矩阵部分为

??6.041661.378743.90015?0.624022.64150?0.7547100?0.55000??? ?1.37874?6.541660.624023.900150.754712.6415000?1.60000??立即对它进行消去运算，得到上三角矩阵的第一行与第二行：

?1.00000?0.22820?0.645540.10328?0.437210.12491000.09103???

1.000000.03879?0.58961?0.02215?0.41038000.21505??然后形成与第二节点相关的方程式，并得到相应的增广矩阵部分：

?3.90015?0.62402?60.282831.453903.11203?0.8298763.492060.05.69799???0.624023.90015?1.45390?73.678810.829873.112030.063.49206?2.0??

对它进行消去运算，得到上三角矩阵的第三行与第四行：

?1.00000?0.02090?0.083480.02090?1.098940.00000?0.09184???

1.00000?0.01528?0.066090.01859?0.889430.04253??这样继续下去，消去过程结束后，可以得到整个上三角矩阵：

?1.00000?0.22820?0.645540.10328?1.000000.03879?0.58961??1.00000?0.02090?1.00000????????

?0.43721?0.083481.000001.000000.124910.02090?1.098940.01850?0.02215?0.41038?0.01528?0.06609?0.03303?0.17246?0.02816?0.111941.00000?0.111940.000000.09103??0.21505?0.00000?0.09146???0.889430.04253?0.03146?0.07548??0.12021??0.00000??0.45748??进行回代运算后，就可以得到各节点电压的修正量：

修正各节点电压后，就求出第一次迭代后各节点的电压：

按以上计算步骤迭代下去，当收敛条件取??10?6时，需要进行5次迭代。迭代过程中各节点电压及功率误差的变化情况如表2-2及表2-3所示。

将表2-3中各次迭代过程中最大功率误差(即表中附“#”号的数字)绘成曲线，可以显示出牛顿法的收敛特性，如图2-7所示。

在迭代过程中，持别是迭代趋近于收敛时，雅可比矩阵各元素变化不太显著。为了说明这个问题，我们存在2-4中列出了雅可比矩阵对角元素在迭代过程中的变化情况。

各节点电压向量的计算结果见表2-5。

图2-7 牛顿法迭代收敛特性

2.4 潮流计算的P-Q分解法

2.4.1 P-Q分解法的基本原理

P-Q分解法的基本思想是：把节点功率表示为电压向量的极坐标方程式，抓住主要矛盾，以有功功率误差作为修正电压向量角度的依据，以无功功率误差作为修正电压幅值的依据，把有功功率和无功功率迭代分开来进行[8]。以下我们讨论P-Q分解法是怎样从牛顿法的基础上演化出来的。

如前所述，牛顿法潮流程序的核心是求解修正方程式。当节点功率方程式采取极坐标表达式时，修正方程式为[见式(2-50)]

或展开为

以上方程式是从数学上严格推导出来的，并没有考虑电力系统这个具体对象的持点。

我们知道，在高压电力系统中有功功率潮流主要与各节点电压向量的角度有关，无功功率潮流则主要受各节点电压幅值的影响。大量运算经验也告诉我们，式(2-66)中矩阵N以及J中各元素的数值相对是很小的，因此对牛顿法的第一步简化是把有功功率和无功功率分解开来进行迭代，即将式(2-66)简化为

这样，由于把2n阶的线性方程组变成了两个n阶的线性方程组，因而计算量和内存方面都有改善。但是，如第2.3.2节中指出的那样，H、L在迭代过程中仍然不断变化，而且又都是不对称矩阵，因此，对牛顿法的第二个简化，也是比较关键的一个简化，就是式(2-67)中的系数矩阵简化为在迭代过程中不变的对称矩阵。众所周知，一般线路两端电压的相角差是不大的(通常不超过10o~20o)，

因此可以认为

此外，与系统各节点无功功率相应的导纳BLi必定远远小于该节点自导纳的虚部，即

因此

考虑到以上关系后，式(2-67)中系数矩阵中的元素表示式可以从式(2-41)、式(2-42)、式(2-48)、式(2-49)简化为

这样，式（2-67）中系数矩阵可以表示为

将式（2-72）代入式（2-67）中，并利用矩阵乘法结合律，可以吧修正方程式变为

及

将以上两式的左右两端用一下矩阵左乘：

就可得到

及

以上两式就是P-Q分解法的修正方程式，其中系数矩阵只不过是系统导纳矩阵的虚部，因而是对称矩阵．而且在迭代过程中维持不变。它们与功率误差方程式(2-13)：

构成了P-Q分解法迭代过程中基本计算公式，其迭代步骤大致是：

(1)给定各节点电压向量的电压初值?i(0),Vi(0)。

(2)根据式(2-77)计算各节点有功功率误差?Pi，，并求出?Pi?Qi。 (3)解修止方程式(2-75)，并进而计算各节点电压向量角度的修正量??i

(4)修正各节点电压向量角度?i；

(5)根据式(2-78)计算各节点无功功率误差?Qi，并求出?Qi?Vi。 (6)解修正方程式(2-76)，求出各节点电压幅值的修正量?Vi。 (7)修正各节点电压幅值Vi：

(8)返回(2)进行迭代，直到各节点功率误差?Pi及?Qi，都满足收敛条件。 2.4.2 P-Q分解法的修正方程式

P-Q分解法与牛顿法潮流程序的主要差别表现在它们的修正方程式上。P-Q分解法通过对电力系统具体特点的分析，对牛顿法修正方程式的雅可比矩阵进行了有效的简化和改进，得到式(2-75)、式(2-76)所示的修正方程式。归结起来，这两组方程式和牛顿法修正方程式(2-40)或式(2-54)相比，有以下3个持点：

(1)式(2-75)、式(2-76)用两个n阶线性方程组代替了一个2n阶线性方程组。 (2)式(2-75)、式(2-76)中系数矩阵的所有元素在迭代过程中维持常数。 (3)式(2-75)、式(2-76)中系数矩阵是对称矩阵。

特点(1)在提高计算速度和减少内存方面的作用是很明显的，不再叙述。 特点(2)使我们得到以下好处：首先，因为修正方程式的系数矩阵是导纳矩阵的虚部，因此在迭代过程中不必像牛顿法那样每次都要重新计算雅可比矩阵，这样不仅减少了运算量，而且也大大简化了程序；其次由于系数矩阵在迭代过程中维持不变，因此在求解修正方程式时，不必每次都对系数矩阵进行消去运算，只需要在进入迭代过程以前．将系数矩阵用三角分解形成因子表，然后反复利用因子表对不同的常数项?PV或?QV进行消去和回代运算，就可以迅速求得修

正量，从而显著提高了迭代速度。

特点(3)可以使我们减少形成因子表时的运算量，而且由于对称矩阵三角分解后，其上三角矩阵和下三角矩阵有非常简单的关系，所以在计算机中可以只贮存上三角矩阵或下三角矩阵，从而也进一步节约了内存。

由于P-Q分解法大大提高了潮流计算的速度，所以不仅可用于离线计算，而且也可用于电力系统在线静态安全监视，从而得到了广泛应用。

P-Q分解法所采取的一系列简化假定只影响了修正方程式的结构，也就是说只影响了迭代过程，但未影响最终结果。因为P-Q分解法和牛顿法都采用同样的数学模型[式(2-13)]，最后计算功率误差和判断收敛条件都是严格按照精确公式进行的，所以P-Q分解法和牛顿法一样都可以达到很高的精确度。

以上我们只是从P-Q分解法基本思路推导了它的修正方程式。表面看来，似乎式(2-75)和式(2-76)的系数矩阵是一样的，但在实际P-Q分解法程序中，两个修正方程式的系数矩阵并不相同。一般可以简写为

式中：V为以节点电压幅值为对角元素的对角矩阵。

为了改善P-Q分解法的收敛特性，B?与B??—般并不简单地是电力系统导纳矩阵的虚部。在实践中，对B?与B??的不同处理，就形成了不同的P-Q分解法。以下就讨论B?与B??的构成。

首先应该指山，B?与B??的阶数是不同的，B?为n-1阶，B??低于n-1阶。因为式(2-82)不包含与PV节点有关的方程式，因此，如果系统有r个PV节点，则

B??应为n-r-1阶。

如前所述，式(2-81)和式(2-82)是经过一系列简化之后得到的修正方程式。式(2-81)以有功功率误差为依据修正电压向量的角度；式(2-82)以无功功率误差为依据修正电压幅值。为了加速收敛，使它们能更有效地进行修正，可以考虑在

B?中尽量去掉那些与有功功率及电压向量角度无关或影响较小的因素。为此，

我们以电力系统导纳矩阵的虚部作为B?，但是去掉了充电电容和变压器非标准变比的影响。具体地说，B?的非对角元素和对角元素分别按下式计算：

式中rij和xij分别为支路ij的电阻和感抗.

从概念上讲．应该在B??中去掉那些对无功功率及电压幅值影响较小的因素，例如，应去掉输电线路电阻对B??啪影响。因此，B??的非对角元素和对角元素分别按下式计算：

式中：bi0为节点i的接地支路的电纳。

按式(2-83)及式(2-84)形成B?与B??的P-Q分解法通常又叫BX法，与该方法相对应的另一种方法是XB法。在XB法中，?P与??迭代用的B?按式(2-84)计算；?Q与?V迭代用的B??按式(2-83)计算。虽然这两种方法的修正方程式不同，但是都具有良好的收敛特性。对IEEE的几个标准测试电力系统计算的收敛情况如表2-6所示，表中给出的是收敛迭代次数。

大量计算表明，BX法与XB法在收敛性方面没有显著差别。这两种算法均有很好的收敛性，凡是牛顿法可以收敛的潮流问题，它们也可以收敛。文献[9，10]对P-Q分解法简化的实质作了一些解释；文献[19]针对rx较高时可能出现的收敛性问题，提出了鲁棒快速分解潮流；文献[29]利用稀疏向量技术提高了P-Q分解法的求解速度。有兴趣的读者可以参考。

如前所述，P-Q分解法改变了牛顿法迭代公式的结构，因此就改变了迭代过程的收敛特性。事实上，依一个不变的系数矩阵进行非线性方程组的求解迭代，在数学上属于“等斜率法”，其迭代过程是按几何级数收敛的，如画在对数坐标上，这种收敛特性基本上接近一条直线。而牛顿法是按平方收敛的，在对数坐标

纸上基本上是一条抛物线。图2-8表示了两种方法的典型收敛特性。

图2-8 牛顿法与P-Q分解法的收敛性

由图2-8可以看出，牛顿法在开始时收敛得比较慢，当收敛到一定程度后，它的收敛速度就非常之快，而P-Q分解法几乎是按同一速度收敛的。我们给出的收敛条件如果小于图中A点相应的误差，那么P-Q分解法所需要的迭代次数要比牛顿法多几次。可以粗略地认为P-Q分解法的迭代次数与精确度的要求之间存在着线性关系。

虽然P-Q分解法比牛顿法所需的迭代次数多，但是每次迭代计算量却很小．因此P-Q分解法的计算速度比牛顿法有明显提高。例如，对IEEE的118节点电力系统而言，用P-Q分解法计算一次潮流需CPU时间大约0.01s，而用牛顿法则需0.1s。

2.3.4 P-Q分解法潮流程序原理框图

在图2-9中表示了P-Q分解法潮流程序的基本原理框图，从中可以看出计算的大致过程和程序的逻辑结构(关于P-Q分解法潮流程序的细节问题，可以参看

附录)。

首先对图中有关的符号加以说明： t：退迭代次数计数单元。

K01：是一个特征记数单元，只有“0”和“1”两种状态。当迭代有功功率时，为0；当迭代无功功率时为1。在迭代过程中，顺次迭代一次有功功率和一次无功功率才算进行了一次迭代，这时K01变化一个周期，t计数单元加1。 ?W：是功率误差的数值．其中包括有功功率误差及无功功率误差。当

K01?0 时，?W（K01）为有功功率误差；当K01?1时，?W（K01）为无

功功率误差。

V：为电压向量数组，包括各节点电压的幅值及角度。当K01?0时V（K01）表示电压的角度；当K01?1时，V（K01）表示电压的幅值。

ERM：寄存每次迭代过程中最大的功率误差，包括最大有功功率误差及最大无功功率误差。当K01?0时，ERM(K01)表示最大有功功率误差；当K01?1时，ERM〔K01)表示最大无功功率误差。 ?：收敛条件，标么值取10?4。

由图中可以看出、当输入信息及原始数据并对原始数据进行加工处理后，就可形成导纳矩阵。然后，根据式(2-83)求出B?，并对B?进行三角分解，形成第一个因子表(图2-9中框③)，这就为P-Q迭代时求解修正方程式(2-81)作好了准备。

根据式(2-84)，考虑输电线路的充电电容及非标准变比变压器的接地支路后，求出

B??，并对它进行三角分解，形成第二个因子表(图2-9中框④)，这就为Q-V迭

代时求解修正方程式(2-82)作好了准备。

应该指出，B?和B??的形成可在形成导纳矩阵过程中同时进行。同时，在框②中导纳矩

阵形成以后，应该把它贮存起来，以便在迭代时利用它按式(2-77)、式(2-78)计算功率误差。

图中框⑤-⑩属于迭代过程。迭代过程从送电压初值开始。

框⑤的任务是向各节点送电压初值。电压初值应按PQ节点及PV节点分别进

行。一般对PQ节点来说其电压幅值可送系统平均电压；对PV节点来说，其电压幅值应送该节点要维持的电压值。各节点电压向量的角度初值可一律取零度。 框⑥建立了这代的初始状态，迭代是由P??迭代开始的，因此K01应置“0”。 图2-9所示的计算程序是按1?，1V方式进行迭代的，也就是说，首先进行一次P??迭

代，然后进行一次Q-V迭代，之后再进行一次P??迭代??这样反复下去。

框⑦按照式(2-77)或式(2-78)计算各节点功率误差．并记录最大的功率误差ERM(K01)，以便校验是否收敛。

框⑧求解修正方程式，求出相应的修正量，并修正电压向量的角度或幅值。 框⑨的作用是建立下次迭代的状态并对迭代过程计数。

框⑩的作用是校验整个潮流计算是否收敛。当框中两个条件都满足时，就说明P??迭代及Q-V迭代均已收敛，因而可以转出迭代过程，输出潮流计算结果，否则应转入以下迭代过程。

图2-9 P-Q分解法潮流程序的基本原理框图

【例2-2】 用P-Q分解法计算图2-6所示系统的潮流分布。 【解】 计算过程按照图2-9所示的程序进行。

迭代计算前的准备工作包括形成导纳矩阵、两个因子表和送入电压初值。导纳矩阵见例1-1。

P??迭代过程中用以求解修正方程式的因子表为

应该指出，在形成这个因子表时所用的B?应按式(2-83)求出。

Q-V迭代过程中所用的因子表为

形成这个因子表所用的B??应按式(2-84)求出。但是由于PV节点及平衡节点不参与Q-V迭代过程，因此在B??中不包括与这些节点有关的元素，只留下如下三阶矩阵：

对它进行消去运算，不难得到上面的因子表。

各节点电压初值和前面例2-1类似，只是在现在的情况下，电压向量采用极坐标表示法。系统平均运行电压取

这样，各节点电压向量的初值为

根据式(2-77)、式(2-78)，各节点功率误差的计算式为

现在，我们进行第一次P??这代计算。首先，根据上面功率误差计算式求出第一次迭代时各节点有功功率的误差

这样就可以得到修正方程式的常数项

用第一因子表对它进行消去回代运算以后，就得到各节点?的修正量

必须注意，在P??迭代过程中，利用第一因子表对常数项?PV进行消去回代运算后应得到V0??见式[(2-81)]，但本例题采用标全值进行计算，且V0?I，因此

对各节点电压向量角度进行修正以后，得到第一次迭代后的?

然后进行Q-V迭代。各节点无功功率误差为

修正方程式的常数项：

利用第二因子表对它进行消去回代运算，就得到各PQ节点电压修正量

根据式(2-80)修正各节点电压：

这样就完成了第一次迭代计算。

按照以上的计算步骤继续迭代下去，当收敛条件取??10?5时，迭代10次收敛。迭代过程中各节点电压的变化情况列于表2-7中。

迭代过程中最大功率误差和电压误差的变化情况列于表2-8

P-Q分解法在计算本例题时的收敛特性如图2-10所示。由土中可以看出P-Q分解法收敛特性在对数坐标上是接近直线的，在迭代的开始阶段它的收敛速度比牛顿法快一些。

图2-10 P-Q分解法的收敛特性

潮流计算结果表示在图2-11中，各支路潮流的计算方法可参看附录。

图2-11 潮流计算结果

（图中各节点电压向量的角度均为度）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tgr5.html