福建省福州市第八中学2017届高三上学期第三次质量检查数学（理）

福州八中2016—2017学年高三毕业班第三次质量检查

数学(理)试题

考试时间：120分钟试卷满分：150分

2016.11.14

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B?(CUA)=

A．{0，3}

B．{3}

C．{0，4}

D．{0，3，4}

2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是

A.y?sin?????x? ?2?

B．y?cos?????x? ?2?1 x

C．y?lnx D．y?x??????????????A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC?CB?0，则向量OC等 3.已知O，

?1?????2????2???1???A．OA?OB B．?OA?OB

3333????????C．2OA?OB

2????????D．?OA?2OB

4.已知数列﹛an﹜为等比数列，且a1a13?2a7?4?，则tan(a2a12)的值为

A． B． C． D．

5.设a?log714,b?log816,c?log918，则

A．c＞b＞a

B．b＞c＞a

C．a＞c＞b

D．a＞b＞c

6.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是

A.若l⊥m,m?α,则l⊥α C.若l∥α,m?α,则l∥m

B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α D.若l∥α,m∥α,则l∥m

7.已知a?2，b?3，a?b?19，则a?b等于

A.13

B.15

C.17

D.7 ?????? 8.以下四个命题中，真命题的是

A．?x?(0,?)，sinx?tanx

B．“对任意的x?R，x2?x?1?0”的否定是“存在x0?R，

x02?x0?1?0”

C．???R，函数f(x)?sin(2x??)都不是偶函数 D．?ABC中，“sinA?sinB?cosA?cosB”是“C??2”的充要条件

9.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移图象与原图象重合,则ω的最小值等于

A.

?4个单位长度后,所得的

1 2B.2 C.8 D.12

SS1S2,,?, 15中最大的a1a2a1510.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S15>0,S16<0,则项为

A.

S6 a6B.

S7 a7C.

S8 a8D.

S9 a9 11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为

A．10002? B．10002? 3200? 3

C．

D． 200π

12.设函数f(x)在R上存在导数f?(x)，?x∈R，有f(?x)?f(x)?x2， 在（0，+∞）上f?(x)?x，若f(4?m)?f(m)?8?4m，则实数m的取值范围为

A.[﹣2，2] C．?0,???

B?2,???

D．???,?2???2,???

第Ⅱ卷（主观题90分）

二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知a,b∈R,i为虚数单位,若i(1+ai)=1+bi,则a+b= . 14.已知

??03cosxdx?，(0????)，则cos2??．

512

15.若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是

33__________.

16.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，期中c?2，角C是锐角

且acosB?bcosA?

3c，则a?b?c的取值范围为.

2sinC 三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.(本小题满分12分）

已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n. （1）求数列?an?的通项公式an；

1

（2）数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

anan＋1

18.(本小题满分12分）

在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 （1）求角A；

（2）设函数f(x)?sinx?2sinAcosx,将函数y?f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

bc?tanA. 222b?c?a1?，把所得图象向右平移个单位，得到函数y?g(x)的26图象，求函数y?g(x)的对称中心及单调递增区间.

19.(本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，且AD=1，四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝120°,AB＝2AD． （1）求证：平面PAD⊥平面PBD； （2）求二面角A－PB－C的余弦值．

20.(本小题满分12分）

如图，A,B为相距2km的两个工厂，以AB的中点O为圆心，半径为2km画圆弧。

MN为圆弧上两点，且MA?AB,NB?AB ，在圆弧MN上一点P处建一座学校。学

校P受工厂A 的噪音影响度与AP 的平方成反比，比例系数为1，学校P受工厂B的噪音影响度与BP 的平方成反比，比例系数为4。学校P受两工厂的噪音影响度之和为y ，且设AP?xkm 。

（1）求y?f(x) ，并求其定义域； （2）当AP为多少时，总噪音影响度最小？

21.(本小题满分12分）

已知函数f(x)?lnx?xlna(a?0且a?1)在?0,???上有两个零点x1,x2且

x1?x2.

（1）求实数a的取值范围； （2）当??0时,若不等式lna?取值范围.

请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

22.(本小题满分10分）

1??恒成立，求实数?的

?x1?x22已知曲线C的极坐标方程是??4?cos(??)?1?0．以极点为平面直角坐标系

π3的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是

??x?tcos?(t为参数) ???y?3?tsin?（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|?32，求直线的倾斜角?的值．

23.(本小题满分10分） 已知函数（Ⅰ）求不等式（Ⅱ）对任意

． 的解集； ，都有

成立，求实数的取值范围.

[:][:.]

福州八中2016—2017学年高三毕业班第三次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

1-6 ABCADB DDCCBB 13. 0 14.

7 15. [－3,0) 16.?4,6? 2517.（I）n＝1时，a1＝2；?????2分 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，?????4分 又a1＝2满足上式?????5分 ∴an＝2n(n∈N*).?????6分

1?111?1－（II）bn＝＝＝?????9分

anan＋12n?2n＋2?4?nn＋1?

111111n?????12分 Tn?(1???????)?4223nn?14(n?1)18.

19.(1)证明： 在平行四边形ABCD中,AD?1,则

BD?AD2?AB2?2?AD?AB?cos600?3，??1分

222在?ABD中,AD?BD?AB，所以AD?BD.??2分

又平面PAD?平面ABCD，所以BD?平面PAD.??3分 又BD?平面PBD，所以平面PAD?平面

PBD. ??4分

(2)由（1）得AD?BD，以D为空间直角原点， 建立空间直角坐标系D?xyz， ??5分

如图所示，

?13?A?1，0，0?,B0，3，0，C?1，3，0，P?0，??2，2???????,

?????????1?3??????6分 AB??1，3，0，PB???，BC???1，0，0?，???2，3，?2????设平面PAB的法向量为n??x1,y1,z1?，则

??????x1?3y1?0,?AB??n?0, 得?令y1?1，得x1?3,z1?1， ??????13?z1?0,??x1?3y1??PB?n?0,?22所以平面PAB的法向量为 n??3,1,1； ??8分

? 设平面PBC的法向量为m??x2,y2,z2?，

?????x2?0,?BC?m?0,?? 即?1令z2?2，得y2?1， ?????3z2?0,???x2?3y2??PB?m?0,?22所以平面PBC的法向量为m??0,1,2?. ??10分 所以cos?n,m??n?m3?nm5，

??11分

所以所求二面角A?PB?C的余弦值为?3. ??12分 5，??1分

，?2分

20.解：（1）连接OP，设则

在△AOP中，由余弦定理得△BOP中，由余弦定理得

，??3分

∴

，??4分

则，??5分

∵，则，∴，∴，

??7分

（2）令，??8分

∴，??9分

由，得或t=-10（舍去），

当，函数在上单调递减；

当，函数在上单调递增；??11分

月考数学理答案第1页共2页

∴当时，即时，函数有最小值，

也即当AP为

分

（km）时，“总噪音影响度”最小．??12

21.解：（1）由题意得f(x)?0在?0,???上有两个解，

即xlna?lnx?lna?令F?x??lnx在?0,???上有两个解．??1分 xlnx1?lnx,F'?x??，??2分 2xx所以当x??0,e?时,F'?x??0,F?x?为增函数,当x??e,???时,F'?x??0,F?x?为减函数,F(x)在x?e处有极大值??3分 当x?0且x?0时，F?x??1e1lnx???,当x???时，lnx?x，xF(x)?1lnx?0,??4分 xlnx有两个解,需满足x所以函数y?F?x?的大致图象如图所示,要使方程lna?110?lna?,解得1?a?ee．??5分

e由lnx1?x1lna,lnx2?x2lna作差得，lnx1??x1?x2?lna,??6分 x2x1xln1x2x21??即lna?,所以原式等价于, ?x1?x2x1?x2?x1?x2ln因为0?x1?x2,所以ln令t?x1?1????x1?x2?恒成立．??7分 ?x2?x1?x2x1?1????t?1?在t?0,1上恒成立.?8分

,t??0,1?,则不等式lnt???x2?t?12?t?1???2t?1?(1??)(t?1)1?1????令h(t)?lnt?,又h'?t???，??9分 2?t?1t??t?1?2t??t?1?2当0???1时,即?t?1?0时,h'?t??0,所以h?t?在t??0,1?上单调递增,又

h?1??0,h?t??0在t??0,1?恒成立,符合题意.??10分

当??1时,t??0,单调递增,在t????1??1??1?h't?0,t?,1t?h't?0ht时,时,所以在???????2??0,2?上?2?????????1?,1?上单调递减,又h?1??0,所以h?t?在t??0,1?上不能恒小于0,2???不符合题意,舍去. 综上所述,若不等式lna?21??恒成立,只需0???1.??12分

?x1?x22222..解：（1）由??4?cos(??)?1?0得圆C的方程为(x?1)?(y?3)?5 4分

π3?x?tcos?（2）将??代入圆的方程得 (tcos??1)?(tsin?)?5????5分

22??y?3?tsin?化简得t?2tcos??4?0????6分

2?t?t?2cos?设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则?12?????????7分

?t1t2??4所以|AB|?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?4cos2??16?32????8分 所以4cos2??2,cos???π3π2,??或?????????10分

44223.解：（Ⅰ）－2 当时，, 即，∴；……（1分）

当当

时，

时，,即, 即

,∴, ∴1

…………………（2分） 6 ………………………（3分）

综上，解集为{|6} …………………………………………（4分）

（Ⅱ），………（5分）令，表示直线的纵截距，当直

线过?1,3?点时，当

，即

；∴当2，即－2时成立；…………（7分）

时，令，得,

∴

2+，即4时成立，…（9分）综上－2或

4 ………（10分）

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