高数上册

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

内容要点

一、实数与区间

实数的概念；实数的连续性；有限区间，无限区间。 二、邻域

领域的定义；领域的中心；领域的半径。 三、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法 四、函数特性

函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性. 五、数学建模——函数关系的建立

为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。

例题选讲

例1 函数y?2. 定义域D?(??,??), 值域Rf?{2}. ?x,例2 (E01)绝对值函数 y?|x|????x,x?0x?0

例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) y?1与y?sinx?cosx;

(2) y?2x?1与x?2y?1.

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数.

22?1,x?0,?(1)（E02）符号函数 y?sgnx??0,x?0, x?sgnx.|x|.

??1,x?0.?(2)（E03）取整函数y?[x], 其中, [x]表示不超过x的最大整数. (3)（E04） 狄利克雷函数 y?D(x)???1,当x是有理数时

0,当x是无理数时??2x,0?x?1,f(x)?(4) 函数 ?1?x,x?1.?1例4 求函数 y??x?2的定义域. 21?xlg(3?x)例5 求函数f(x)??5?4x?x2的定义域.

sinx?1,0?x?1, 例6 设f(x)???2,1?x?2?求函数f(x?3)的定义域.

x例7 证明：（E05） (1) 函数y?2在(??,??)上是有界的.

x?11(2) 函数y?2在(0,1)上是无界的.

x例9（E06）证明函数y?x在(?1,??)内是单调增加的函数. 1?x例10(E07) 判断函数y?ln(x?1?x2)的奇偶性.

ex?11?x例11 判断函数 f(x)?xln(?1?x?1) 的奇偶性.

e?11?x?1,当x是有理数时?7?, 求D???,D(1?2)，例12（E08）设D(x)??D(D(x)). 并讨论其性质.

?5??0,当x是无理数时例13（E09）若f(x)对其定义域上的一切, 恒有f(x)?f(2a?x),则称f(x)对称于x?a.证明: 若f(x)对称于x?a及x?b(a?b), 则f(x)是以T?2(b?a)为周期的周期函数.

例15（E10）某工厂生产某型号车床, 年产量为a台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为b元, 设产品均匀投入市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为c元. 显然, 生产批量大则库存费高; 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 为了选择最优批量, 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.

例16（E11） 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a公里以内,每公里k元, 超过

4部分公里为k元. 求运价m和里程s之间的函数关系.

5例17（E12）为研究某国标准普通信件(重量不超过50克)的邮资与时间的关系，得到如下数据： 年份1978 1981 1984 1985 1987 1991 1995 1997 2001 2005 2008 （年） 邮资6 8 10 13 15 20 22 25 29 32 33 （分） 试构建一个邮资作为时间函数的数学模型，在检验了这个模型是“合理”的之后，用这个模型来预测一下2012年的邮资. 例18（E13）地高辛是用来治疗心脏病的.医生必须开出处方用药量使之能保持血液中地高辛的浓度高于有效水平而不超过安全用药水平. 下表中给出了某个特定病人使用初始剂量0.5（毫克）的地高辛后不同时间x（天）的血液中剩余地高辛的含量. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0.5000 0.345 0.238 0.164 0.113 0.078 0.054 0.037 0.026 （1）试构建血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系； （2）预测12天后血液中的地高辛含量.

课堂练习

1. 用分段函数表示函数 y?3?|x?1|.

?x2?x,x?02. 判别函数f(x)??2 的奇偶性.

?x?x,x?0?第二节 初等函数

内容要点

一、反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内, 直接函数y?f(x)和反函数y??(x)的图形关于直线y?x是对称的.

二、基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数. 三、复合函数的概念

四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 初等函数的基本特征: 在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的.

五、双曲函数和反双曲函数的概念.

例题选讲

例1 (E01) 求函数y?1?1?4x1?1?4x的反函数.

?1,x?0?2例2 已知sgnx??0,x?0 (符号函数)求y?(1?x)sgnx的反函数.

??1,x?0?例3 (E02) 设 y?f(u)?arctanu，u??(t)?1t例4 (E03) 将下列函数分解成基本初等函数的复合.

2，t??(x)?x2?1，求 f{?[?(x)]}.

(1) y?lnsin2x; (2) y?earctanx; (3) y?cos2ln(2?1?x2). ?ex,例5 (E04) 设 f(x)???x,?x?2,x?1,?(x)??2x?1?x?1,x?0, 求f[?(x)].

x?0例6 设f?x???1?12?x?,求f(x). ?2x?x例7 (E05) 某人在2008年欲用1000元投资5年，设年利率为5%，试分别按单利、复利和连续

复利计算到第5年末，该人应得的本利和S.

例8 (E06)具有放射性的原子核在放射出粒子及能量后可变得较为稳定，这个过程称为衰变. 实验表明某些原子以辐射的方式发射其部分质量，该原子用其剩余物重新组成新元素的原子. 例如，放射性碳—14衰变成氮；镭最终衰变成铅. 若y0是时刻x?0时放射性物质的数量，在以后任何时刻x的数量为y?y0e?rx,r?0。数r称为放射性物质的衰减率. 对碳—14而言，当x用年份来度量时，其

?4衰减率r?1.2?10 . 试预测886年后的碳—14所占的百分比.

例9(E07)放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间称为半衰期. 事实上，半衰期是一个常数，它只依赖于放射性物质本身，而不依赖于其初始所含放射性核的数量.

课堂练习

1．下列函数能否复合为函数y?f[g(x)], 若能, 写出其解析式、定义域、值域. (1)y?f(u)?u,(2)y?f(u)?lnu,u?g(x)?x?x2;u?g(x)?sinx?1.

2．分析函数 y?3arctancose2x的复合结构.

第三节 数列的极限

内容要点

一、数列的定义 二、数列的极限

??N论证法，其论证步骤为：

（1）对于任意给定的正数?, 令 |xn?a|??；（2）由上式开始分析倒推, 推出 n??(?)；（3）取 N?[?(?)]，再用??N语言顺述结论. 三、收敛数列的有界性 四、极限的唯一性 五、收敛数列的保号性 六、子数列的收敛性

例题选讲

例1 (E01)下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值.

?1??n?1?(1)2n; (2)??; (3)(?1)n?1; (4)??.

nn????????n?(?1)n?1?1. 例3 设xn?C(C为常数)，证明limxn?C. 例2 (E02) 证明limn??n??nn例4 证明limq?0,其中|q|?1. 例5 设xn?0,且limxn?a?0,求证limxn?a.

n??n??n??5?2n2??.

n??1?3n3n2?2?1. 例7 (E03) 用数列极限定义证明 lim2n??n?n?1例6 用数列极限定义证明 lim例8 (E04) 证明：若limxn?A,则存在正整数N,当n?N时，不等式|xn|?n??|A|成立. 2例9 (E05) 证明数列xn?(?1)n?1是发散的

课堂练习

1．设p?0, 证明数列 xn?1 的极限是0. np第四节 函数的极限

内容要点

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限 三、左右极限的概念

四、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性 五、子序列的收敛性

例题选讲

sinx?1?例1证明 lim?0. 例2 用极限定义证明 lim???0.

x????2?x??xx1?x??1.

x??x?1例4 设y?2x?1，问?等于多少时，有：当x?4??时，y?7?0.1?

例3 证明 lim即当??0.05时，有：当x?4??时，y?7?0.1.

例5((1) 证明 limC?C(C为常数）. (2) 证明limx?x0.

x?x0x?x0x2?1例6 证明 lim?2. 例7 证明: 当x0?0时, limx?x0.

x?x0x?1x?1x?x,x?0例8 验证lim不存在. 例9 设f(x)??, 求 limf(x).

x?0x?0xx?1,x?0?例10 设f(x)???1?x,x?0,求limf(x). 2x?0?x?1,x?01?a1/x(a?1), 求 limf(x). 例11 (E08) 设 f(x)?x?01?a1/x1例12 求证limsin.不存在

x?0x课堂练习

1. 判别下列极限是否存在, 如果存在求出其值..

1/x1/x (1)lim2; (2)lime; (3)lime?1/x.

x?0x??2x?02. 若f(x)?0, 且limf(x)?A.问: 能否保证有A?0的结论? 试举例说明.

第五节 无穷小与无穷大

内容要点

一、无穷小的概念

二、无穷小的运算性质

（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 三、无穷大的概念

四、无穷小与无穷大的关系

例题选讲

1当x?0时为无穷小. xsinx1例2 求lim. 例3证明 lim＝?.

x??x?1x?1x例1 根据定义证明：y?xsin2x4例4 证明lim(a?1)???(a?1). 例5求 lim3.

x???x??x?511例6当x?0时，y?sin是一个无界变量，但不是无穷大.

xx课堂练习

2x2?2x. 1. 求 limx?1(x?1)22．（1）设x?x0时，g(x)是有界量，f(x)是无穷大量，证明：f(x)?g(x)是无穷大量. （2）设x?x0时，|g(x)|?M(M是一个正的常数），f(x)是无穷大量，证明：f(x)g(x)是

x无穷大量.

第六节 极限运算法则

内容要点

一、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 二、 复合函数的极限运算法则：定理2

例题选讲

2x2?9例1求 lim(x?3x?5). 例2求 lim2.

x?2x?35x?7x?24x?1x2?1例3 求 lim2. 例4 求 lim2.

x?1x?2x?3x?1x?2x?3238x3?6x2?5x?12x3?3x2?5. 例5计算lim. 例6 计算limx??x??7x3?4x2?13x?2(1?x)(1?3x)(1?4x)2n??1. 例7求lim?2?2???2?. 例8 计算lim3x?1n??n(1?x)nn??例9 计算lim(sinx?1?sinx).

x???tanxn2sinn!. ; (2)lim例10 计算下列极限：(1)lim1x?0n??n?12?ex?x?1,x?0?例11已知f(x)??x2?3x?1,求limf(x),limf(x),limf(x),

x?0x???x???,x?03??x?1?x2?1?. 例13 已知lim(5x?ax2?bx?c)?2,求a,b之值. 例12求limln??x?1x????2(x?1)?3课堂练习

1. 求极限:

2?x 2. 在某个过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，那么f(x)?g(x)是否有极限？为什么？

x?0x???(1)limexsin1x;(2) lim1?x?33.

第七节 极限存在准则 两个重要极限

内容要点

一、夹逼准则：如果数列xn,yn及zn满足下列条件:

（1）yn?xn?zn(n?1,2,3,?); （2）limyn?a,limzn?a,

n??n??那末数列xn的极限存在, 且limxn?a.

n??注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求.

二、应用举例——作为变化率的导数.

三、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 四、复合函数的求导法则

定理3 若函数u?g(x)在点x处可导, 而y?f(u)在点u?g(x)处可导, 则复合函数

dydydudy y?f[g(x)]在点x处可导, 且其导数为?f?(u)?g?(x)或??dxdxdudx 注: 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这一法则又称为链式法则.

复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.

五、初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则

六、双曲函数与反双曲函数的导数

例题选讲

例1 求y?x3?2x2?sinx的导数. 例2 求y?2xsinx的导数. 例3 求y?tanx的导数; 例4 求y?secx的导数; 例5 人体对一定剂量药物的反应有时可用方程：R?M(2CM?)来刻画，其中，C为一正常23数，M表示血液中吸收的药物量。衡量反应R可以有不同的方式：若反应R是用血压的变化来衡量，单位是毫米水银柱；若反应R用温度的变化衡量，则单位是摄氏度。

例6 求y?sin2x?lnx的导数.

例7 （瞬时变化率） 圆面积A和其直径D的关系方程为A=

?4D2,当D=10m时，面积关于直

径的变化是多大？

例8 (质点的垂直运动模型）一质点以每秒50米的发射速度垂直射向空中，t秒后达到的高度为（见图），假设在此运动过程中重力为唯一的作用力，试求 s?50t?5t2（米）

(1) 该质点能达到的最大高度？(2) 该质点离地面120米时的速度是多少？ (3) 何时质点重新落

回地面？

例9 (经济学中的导数)某产品在生产8到20件的情况下，其生产x件的成本与销售x件的收入分别为C(x)= x?2x?12x(元) 与 R(x)= x?3x?10x(元)，某工厂目前每天生产10件，试问每天多生产一件产品的成本为多少?每天多销售一件产品面获得的收入为多少?

例10 求函数y?arcsinx的导数. 例11 (求函数y?logax(a?0,且a?1)的导数.

例12 求函数y?lnsinx的导数. 例13 求函数y?(x2?1)10的导数. 例14 求函数y?(x?sin2x)3的导数. 例15 求函数y?esin例16 求函数y?lnx2?1323232(1?x)的导数.

x?2(x?2)的导数.

x2a2x2a?x?arcsin(a?0)的导数. 例17 求函数 y?22a例18 求函数y?x?x?x的导数. 例19 求导数 y?logxsinx(x?0,x?1). 例20 求导数 y?logxe?x1/x. 例21求导数y?xa?ax?aa(a?0).

aaxx?00?x?1?x,?2x,,求f?(x). 例23求函数f(x)??2例22 设f(x)??的导数.

ln(1?x),x?0x?1,1?x?2??例24已知f(u)可导，求函数y?f(secx)的导数. 例25求导数y?f(tanx)?tan[f(x)],且f(x)可导.

例26 求导数: y?f(sinlnx?coslnx),且f(x)可导.

例27 求函数y?fn[?n(sinxn)](n为常数)的导数. 例28 求函数y?arctan(thx)的导数.

课堂练习

1. 求下列函数的导数：

2tanx(1) y??4lnx; (2) y?ln21?xxbx2?1?xx?1?x2.

?a??x?(3) y??????,(a,b为常数，且a?0,b?0).

?b??a?2. 若f(u)在u0不可导，u?g(x)在x0可导，且u0?g(x0),若f[g(x)]在x0处（ ）.

(1) 必可导； (2) 必不可导； (3 ) 不一定可导. 3. 幂函数在其定义域内（ ）.

(1) 必可导； (2) 必不可导； (3 ) 不一定可导.

第三节 高阶导数

内容要点

一、 高阶导数的概念

定义1 如果函数f(x)的导数f?(x)在点x处可导, 即

f?(x??x)?f?(x) (f?(x))??lim?x?0?x存在, 则称(f?(x))?为函数f(x)在点x处的二阶导数, 记为

d2yd2f(x)f??(x),y??,或. 22dxdx类似地，二阶导数的导数称为三阶导数, 记为

d3f(x)d3y，或. f???(x),y???,dx3dx3一般地, f(x)的n?1阶导数的导数称为f(x)的

(n)(n)n阶导数,记为

dnydnf(x)f(x),y,或.

dxndxn注: 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f(x)称为零阶导数; f?(x)称为一阶导数. 二、求高阶导数的方法：

求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数（间接法）.

三、莱布尼茨公式

例题选讲

例1 （1）设y?ax?b, 求f(x). （2）设y?arctanx, 求f例2 证明: 函数y?x/////(0).

2x?x2满足关系式y3y???1?0.

(n)例3 （1）设y?e，求y例4 设y?ln(1?x)，求yax. （2）设y?x?(??R)，求y(n).

?n?(n). 例5 设y?sinkx的n阶导数.

.(图示见系统)

例6 设 y?esinbx(a,b为常数), 求 y1, 求y(100). 2x?166?n?例9 设y?ln(1?2x?3x2),求y(n). 例10设y?sinx?cosx, 求y.

例11（弹簧的无阻尼振动）设有一弹簧，它的一端固定，另一端系有一重物，然后从静止位置O（记作原点）沿x轴向下（记为正方向） 把重物拉长到4个单位，之后松开，若运动过程中忽略阻尼介质（如空气、水、油等）的阻力作用，则重物的位置x与时间t的关系式为：x?4cost.试求t时刻的速度和加速度，并尝试分析弹簧整个运动过程的详细情况：

(1) 物体会在某个时刻停止下来还是会做永不停止的周期运动？

例7 设y?x2e2x, 求y(20). 例8 设函数y?(2) 何时离点O最远，最近？ （3）何时速度最快，最慢？ （4）何时速度变化最快，最慢？

（5）据前面问题再加以分析，对无阻尼振动的运动性态作一详细阐述.

课堂练习

1. 求函数y?cos2xlnx的二阶导数. 2求函数y?3 设g?(x)连续, 且f(x)?(x?a)2g(x), 求f??(a).

x的n阶导数.

x2?3x?2第四节 隐函数的导数

内容要点

一、隐函数的导数

假设由方程F(x,y)?0所确定的函数为y?y(x)，则把它代回方程F(x,y)?0中，得到恒等式

dy，这就F(x,f(x))?0利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数dx是隐函数求导法.

二、对数求导法：形如y?u(x)v(x)的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 三、参数方程表示的函数的导数

?x??(t)设?，x??(t)具有单调连续的反函数t???1(x), 则变量y与x构成复合函数关系?y??(t)dydydt?. y??[??1(x)]. 且

dxdxdt 四、极坐标表示的曲线的切线

设曲线的极坐标方程为r?r(?).利用直角坐标与极坐标的关系 x?rcos?，y?rsin?，可写出其

?x?r(?)sin?参数方程为?，其中参数为极角?. 按参数方程的求导法则，可得到曲线r?r(?)的切线

y?r(?)sin???r?(?)sin??r(?)cos?dyy?斜率为y??. ???r?(?)cos??r(?)sin?dxx? 五、相关变化率： 设x?x(t)及y?y(t)都是可导函数, 如果变量x与y 之间存在某种关系, 则它dxdy们的变化率与之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率

dtdt问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.

例题选讲

例1求由方程ysinx?cos(x?y)?0所确定的函数的导数.

例2 求由方程xy?e?e?0所确定的隐函数y的导数

xydydy,dxdxx?0.

例3 求由方程xy?lny?1所确定的函数y?f(x)在点M(1,1)处的切线方程. 例4 设x?xy?y?1, 求y??在点(0,1)处的值.

例5求由方程y?2x?(x?y)ln(x?y)所确定的函数的二阶导数.

例6设y?xsinx(x?0), 求 y?. 例7 设(cosy)x?(sinx)y，求 y?. 例8 设y?(x?1)3x?1(x?4)2ex(x?1), 求 y?. 例9 求函数y?x?xx?xx的导数.

x44?x?arctant例10 求由参数方程 ?所表示的函数y?y(x)的导数. 2?y?ln(1?t)?x?a(t?sint)例11 求由摆线的参数方程?所表示的函数y?y(x)的二阶导数.

y?a(1?cost)??x?acos3t例12 求方程 ? 表示的函数的二阶导数. 3?y?asint?x?v1t,?例13 如果不计空气的阻力，则抛射体的运动轨迹（图示见系统）的参数方程为?12其

y?vt?gt,2?2?中v1,v2分别是抛射体初速度的水平、铅直分量，g是重力加速度, t是飞行时间. 求时刻t抛射体的运动速度.

例14 求心形线r?a(1?cos?)在???2处的切线方程.

例15 求心形线r?a(1?cos?)的?和?.

例16 一汽车从离开观察员500米处离地面沿直上升, 其速率为140米/秒. 当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少? (图示见系统)

例17 一长为5米的梯子斜靠在墙上. 如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速率. (图示见系统)

例18 河水以8米3/秒的体流量流入水库中, 水库形状是长为4000米, 顶角为120?的水槽, 问水深20米时, 水面每小时上升几米?

例19正在追逐一辆超速行驶的汽车的巡警车由正北向正南驶向一个垂直的十字路口，超速汽车已经拐过路口向正东方向驶去，当它离路口东向1.2千米时，巡警车离路口北向1.6千米，此时警察用雷达确定两车间的距离正以40千米/小时的速率增长（示意图见右）.若此刻巡警车的车速为100千米/小时，试问此刻超速车辆的速度是多少？

例20 现以18升/分钟的速度往一圆锥形水箱注水，水箱尖点朝下，底半径为0.5米，高为1米．求注水高度为0.3米时水位上升的速度有多快．（示意图见下）。

课堂练习

?x?1. 用对数求导法则求函数y???的导数.

1?x?? 2. 水注入深8米, 上顶直径8米的圆锥形容器中, 其速率为每分钟4立方米, 当水深为5米时, 其

表面上升的速率为多少?

x第五节 函数的微分

内容要点

一、微分的定义

定义1 设函数y?f(x)在某区间内有定义, x0及x0??x在这区间内, 如果函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)可表示为?y?A??x?o(?x)其中A是与?x无关的常数, 则称函数y?f(x)在点

x0可微, 并且称A??x为函数y?f(x)在点x0处相应于自变量改变量?x的微分, 记作dy, 即dy?A??x

dy 二、函数可微的条件 dy?f?(x)dx， ?f?(x)即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微

dx分的商. 因此，导数又称为“微商”.

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 四、微分的几何意义 五、近似计算

一些常用函数在x?0处的标准线性近似公式：

1n；tanx?x(x为弧度）；ex?1?x；ln(1?x)?x． 1?x?1?x；sinx?x(x为弧度）n 六、误差计算：绝对误差；相对误差；百分比误差．

例题选讲

例1 求函数y?x2当x由1改变到1.01的微分. 例2 求函数y?x3在x?2处的微分

sinx.例3 求函数y?x3e2x的微分. 例4 求函数y?的微分.

x例5 设y?sin(2x?1), 求dy. 例6 设y?ln(1?e), 求dy. e2x 例7 设y?ln(x?x?1),求dy. 例8 已知y?2, 求dy.

x例9 在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.

2x2 (1) d()?cos?dt; (2) d(sinx2)?()d(x).

例10 求由方程exy?2x?y3所确定的隐函数y?f(x)的微分dy. 例11求f(x)?1?x在x?0与x?3处的线性化.

例12求f(x)?ln(1?x)在x?0的线性化．

例13半径10厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少? 例14 计算cos60?30'的近似值.

例15计算下列各数的近似值: (1) 3998.5; (2) e?0.03.

例16 正方形边长为2.41?0.005米，求出它的面积，并估计绝对误差与相对误差.

课堂练习

1. 求函数y?x?x的微分dy.

2. 因为一元函数y?f(x)在x0的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”,判断这种说法对吗?

3. 设A?0,且|B|??A,证明 ：并计算101000的近似值.

nnAn?B?A?B (A,B为常数) n?1nA第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理

内容要点

一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内可导；在区间端点的函数值相等, 即f(a)?f(b). 结论：在(a, b)内至少存在一点?(a???b),使得 f?(?)?0.

注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.

罗尔定理中f(a)?f(b)这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.

二、拉格朗日中值定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内可导. 结论：在(a, b)内至少存在一点?(a???b), 使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

拉格朗日中值公式反映了可导函数在[a,b]上整体平均变化率与在(a,b)内某点?处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.

拉格朗日终值定理可改写为?y?f?(x0???x)??x(0???1). 称为有限增量公式.

拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x取得有限增量?x而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.

推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那末f(x)在区间I上是一个常数.

三、柯西中值定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内可导；在(a, b)内每一点处, g?(x)?0. 结论：在(a, b)内至少存在一点?(a???b), 使得

f(a)?f(b)f?(?)?

g(a)?g(b)g?(?)

显然, 若取g(x)?x,则g(b)?g(a)?b?a,g?(x)?1,因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理.

例题选讲

例1 对函数f(x)?sin2x在区间[0,?]上验证罗尔定理的正确性.

例2 不求导数, 判断函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)的导数有几个零点及这些零点 所在的范围.

例3 证明方程x5?5x?1?0有且仅有一个小于1的正实根. 例4 设a1,a2,a3?an为满足a1?aa2???(?1)n?1n?0的实数，试证明方程32n?1a1cosx?a2cos3x???ancos(2n?1)x?0,在(0,?/2)内至少存在一个实根.

例5 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且f(a)?f(b)?0. 证明: 存在??(a,b),使f?(?)?f(?)成立.

例6 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)?f(b)?0.若存在常数c?(a,b) 使得f(a)?f(c)?0,试证至少存在一点??(a,b),使得f?(?)?0.

例7验证函数f(x)?arctanx在[0,1]上满足拉格朗日中值定理,并由结论求?值.

?x例8证明arcsinx?arccosx?(?1?x?1). 例9证明当x?0时,?ln(1?x)?x.

21?x例10 设f(x)是在[0,c]上可导的函数,且f?(x)单调减少,f(0)?0.试证:对于0?a?b?a?b?c,恒有f(a?b)?f(a)?f(b).

例11 验证柯西中值定理对函数f(x)?x3?1,g(x)?x2在区间[1,2]上的正确性. 例12 设函数f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导.试证明至少存在一点??(0,1),使

f?(?)?2?[f(1)?f(0)].

课堂练习

1. 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.

2. 若f(x)是[a,b]上的整治可微分函数, 则有点??(a,b)使 lnf(b)f?(?)?(b?a). f(a)f(?)第二节 洛必达法则

内容要点

0?型与型； 0?f(x)f?(x)f(x)f?(x) lim?lim. lim?lim.

x?aF(x)x?aF?(x)x??F(x)x??F?(x)一、未定式的基本类型：

二、未定式的其它类型：0??型，???型，00,1?,?0型

?0 (1) 对于0??型，可将乘积化为除的形式，即化为或型的未定式来计算.

0?0 (2) 对于???型，可利用通分化为型的未定式来计算.

0 (3) 对于00,1?,?0型，可先化以e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为

0?直接求指数的极限，指数的极限为0??的形式，再化为或型的未定式来计算.

0?例题选讲

x3?3x?2sinkx例1 求 lim? (k?0)? 例2 求 lim3x?1x?x2?x?1x?0x??arctanx0x?x??e?e?2x2例3 求lim.?型? . 例4 求 lim1x???x?0x?sinx?0?x 例5 求lim?x?0???lnxlncotx. 例6 求 limn(n?0).??

x???xlnx???xn???例7 求 lim?x??? (n为正整数, ??0).

x???e???3x?sin3xtanx?x例8 求lim2. . 例9 求limx?0(1?cosx)ln(x?0xtanx1?2x)1x2sinx. 例11 求 limx?2ex. (0??型) 例10 求 limx???x?0sinx1??1例12 求 lim(secx?tanx). 例13 求 lim???.(???).

?x?0?sinxx?x?2例14求lim[(2?x??x?01x)ex?1??x].(???) 例15 求lim?1??.

x??x??x??0xx例16 求limx. (00) 例17 求 limxtanx. (00)

例18

1求limx1?x.(1?)x?1sinx1?cosx? 例19 求lim().(1型)

x?0x??x?01(cotx)lnx1例20 求lim(cosx)x.(1) 例21 求 lim?x??0. (?0型)

例22 求lim(e3x?5x)x.(?0)

x???1课堂练习

1. 设f(x)有一阶导数,f(0)?f?(0)?1, 求lim 2. 设limx?0f(sinx)?1.

lnf(x)f(x)f?(x)f(x)是未定式极限, 如果的极限不存在且不为?, 是否的极限也一定不

g(x)g(x)g?(x)

存在? 举例说明.

第三节 泰勒公式

内容要点

一、问题：设函数f(x)在含有x0的开区间(a, b)内具有直到n?1阶导数, 问是否存在一个n次多项

式

函

数

pn(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n使得

f(x)?Pn(x), 且误差Rn(x)?f(x)?pn(x)是比(x?x0)n高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式.

二、泰勒中值公式

f(n)(x0)f??(x0)2(x?x0)n?Rn(x) f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???n!2!f(n?1)(?)(x?x0)n?1 拉格朗日型余项 Rn(x)?(n?1)!皮亚诺形式余项 Rn(x)?o[(x?x0)n]. 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式

f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?o(xn)

2!n!从公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式

f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x???x

2!n!M误差估计式(3.8)相应变成|Rn(x)|?|x|n

(n?1)!例题选讲

例1 写出函数f(x)?x3lnx在x0?1处的四阶泰勒公式. 例2 求f(x)?ex的n阶麦克劳林公式.

1 在x?1的泰勒展开式. 3?x例5 求函数 f(x)?xex的n阶麦克劳林公式. 例6 求lncosx的到x6麦克劳林展开式.

例3 求f(x)?sinx的n阶麦克劳林公式. 例4 求 y?ex?2cosx?3例7 计算 lim. 4x?0x2课堂练习

exsinx?x(1?x)利用泰勒公式求极限lim. 3x?0x第四节 函数单调性、凹凸性与极值

内容要点

一、函数的单调性：设函数y?f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.

(1) 若在(a, b)内f?(x)?0, 则函数y?f(x)在[a, b]上单调增加; (2) 若在(a, b)内f?(x)?0, 则函数y?f(x)在[a, b]上单调减少.

二、曲线的凹凸性：设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 则

(1) 若在(a, b)内，f??(x)?0,则f(x)在[a, b]上的图形是凹的; (2) 若在(a, b)内，f??(x)?0,则f(x)在[a, b]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数f??(x)；

(2) 令f??(x)?0，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；

(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧f??(x)的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.

四、函数的极值

极值的概念；极值的必要条件；第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤：

（1） 确定函数f(x)的定义域，并求其导数f?(x);

（2） 解方程f?(x)?0求出f(x)的全部驻点与不可导点;

（3）讨论f?(x)在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点; （4） 求出各极值点的函数值，就得到函数f(x)的全部极值.

例题选讲

例1 讨论函数y?ex?x?1的单调性. 例2 讨论函数y?3x2的单调区间. 例3确定函数f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间. 例4求函数y??3(2x?a)(a?x)2(a?0)的单调区间.

例5 当x?0时， 试证x?ln(1?x)成立. 例6 试证明：当x?0时, ln(1?x)?x?例7 证明方程x5?x?1?0在区间(?1,0)内有且只有一个实根.

x例 8 证明方程lnx??1在区间(0,??)内有两个实根.

e3例9 判定 y?x?ln(1?x)的凹凸性. 例10 判断曲线y?x的凹凸性. 例11求曲线y?3x4?4x3?1的拐点及凹、凸区间.

例12 求曲线 y?sinx?cosx(x?(0,2?))的拐点. 例13 求函数y?a2?3x?b的凹凸区间及拐点.

例14求出函数f(x)?x?3x?9x?5的极值.

3212x. 22例15 求函数f(x)?(x?4)3(x?1)的极值.

32/3x的单调增减区间和极值. 232例17求出函数f(x)?x?3x?24x?20的极值.

例16 求函数 f?x??x?例18 求函数f(x)?(x?1)?1的极值 例19 求出函数 f(x)?1?(x?2)2/3的极值.

23课堂练习

1. 若f?(0)?0, 是否能判定f(x)在原点的充分小的领域内单调递增?

2.设函数f(x)在(a,b)内二阶可导, 且f??(x0)?0,其中x0?(a,b), 则(x0,f(x0))是否一定为曲线f(x)的拐点?举例说明.

第五节 数学建模——最优化

内容要点

一、求函数的最大值与最小值

在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.

求函数在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：

（1）计算函数f(x)在一切可能极值点的函数值，并将它们与f(a),f(b)相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；

（2） 对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.

二、对抛射体运动建模 三、光的折射原理 四、在经济学中的应用

例题选讲

例1 求y?2x?3x?12x?14的在[?3,4]上的最大值与最小值.

????例2 求函数y?sin2x?x在??,?上的最大值及最小值.

?22?例3 设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?

例4某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?

32x2y2例5 求内接于椭圆2?2?1而面积最大的矩形的各边之长.

ab例6 由直线y?0,x?8及抛物线y?x2围成一个曲边三角形, 在曲边y?x2上求一点, 使曲线在

该点处的切线与直线y?0及x?8所围成三角形面积最大.

2??n?2n?12??例7 求数列{an}???的最大项(已知23e?37). n??e??例8 在地面上以400m/s的初速度和?3的抛射角发射一个抛射体. 求发射10秒后抛射体的位置.

例9在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥·雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在达到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角?和初速度v0.(假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且

g?10m/s2，arctan22sin46.5??0.725) ?46.5?，20.9例10 求一条光线从光速为c1的介质中的点A穿过水平界面射入到光速为c2的介质中点B的路

径．如图，点A和B位于xOy平面且两种介质的分界线为x轴，点Ｐ在介质分界线上，(0,a),(l,?b)和(x,0)分别表示点A，点B和点Ｐ的坐标，?1和?2分别表示入射角和折射角．

例11设R(x)?9x且C(x)?x?6x?15x，其中x表示千件产品. 是否存在一个能最大化利润的生产水平？如果存在，它是多少？

例12某人利用原材料每天要制作5个贮藏橱. 假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为8元. 为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多少原材料以及多长时间订一次货？

32课堂练习

1. 下列命题正确吗?

若x0为f(x)的极小值点, 则必存在x0的某领域, 在此领域内, f(x)在x0的左侧下降, 而在x0的右侧上升.

2 .若f(a)是f(x)在[a, b]上的最大值或最小值, 且f?(a)存在, 是否一定有f?(a)?0?

第六节 函数图形的描绘

内容要点

一、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线；

二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系. 在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等. 使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来. 本节我们要利用导数描绘函数y?f(x)的图形，其一般步骤如下:

第一步 确定函数f(x)的定义域, 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数f?(x)和二阶导数f??(x);

第二步 求出一阶导数f?(x)和二阶导数f??(x)在函数定义域内的全部零点，并求出函数f(x)的间断点和导数f?(x)和f??(x)不存在的点, 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;

第三步 确定在这些部分区间内f?(x)和f??(x)的符号, 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;

第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;

第五步 算出f?(x)和f??(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.

例题选讲

例1求f(x)?2(x?2)(x?3)的渐近线. 例2作函数f(x)?x3?x2?x?1的图形.

x?143例3按照以下步骤作出函数f?x??x?4x?10的图形.

x21?24(x?1)?(x)?e的图形. 例4作函数f(x)?的图形. 例5 作函数 ?22?x2课堂练习

1.两坐标轴x?0,y?0是否都是函数f(x)?2.若函数f(x)有limf(x)?0,limx???sinx的渐近线? xx???f(x)?1, xf(x)?0,limf(x)??,并且当x?(0,1)时, f?(x)?0, 否则f?(x)?0(x?2),

x???x???xx?2当x?(1/2,2)时, f??(x)?0, 否则f??(x)?0(x?0),则

(1) 函数f(x)的单调区间(注明增减)是_______. (2) 函数曲线的凹向和拐点是_______.

(3) 当x?_______时, 函数取得极大值_______. (4) 函数的渐近线有_______. lim[f(x)?x]?2,lim

第七节 曲率

内容要点

一、弧微分的概念 微分三角形；ds? 二、曲率及其计算公式： K?(dx)2?(dy)2

y??(1?y?)322. 三、曲率圆的概念：曲率半径 曲率中心；

例题选讲

例1 抛物线y?ax2?bx?c上哪一点的曲率最大?

例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时, 若接头处的曲率突然改变, 容易发生事故, 为了行使平稳, 往

?往在直道和圆弧弯道之间接入一段缓冲段OA, 使轨道曲线的曲率由零连续地过渡到圆弧的曲率1R,

x3其中R为圆弧轨道的半径. 通常用三次抛物线y?,x?[0,x0]. 作为缓冲段OA, 其中OA的长度,

6Rll?l?验证缓冲段OA在始端0处的曲率为零, 且当很小???1?时, 在始端A的曲率近似为1R.

R?R?例3 求曲线y?tanx在点(,1)处的曲率与曲率半径.

4?x?acost例4 求椭圆?在(0,b)点处的曲率及曲率半径.

y?bsint?例5飞机沿抛物线y?x/4000(单位为米)俯冲飞行, 在原点处速度为

2?v?400米/秒,飞行员体重70千克. 求俯冲到原点时,飞行员对座椅的压力.

例6 设y?f(x)为过原点的一条曲线, f?(0),f??(0)存在, 有知有一条抛物线y?g(x)与曲线

y?f(x)在原点相切, 在该点处有相同的曲率, 且在该点附近此二曲线有相同的凹向, 求g(x).

课堂练习 1. 椭圆x?2cost,y?3sint上哪些点处曲率最大?

第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

内容要点

一、原函数的概念 二、不定积分的概念

注: 由定义知, 求函数f(x)的不定积分, 就是求f(x)的全体原函数, 在f(x)dx中, 积分号

??表

示对函数f(x)实行求原函数的运算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运算； 三、不定积分的性质； 四、基本积分表；

五、直接积分法：利用不定积分的运算性质和基本积分公式, 直接求出不定积分的方法.

例题选讲

例1 问

df(x)dx 与 f?(x)dx是否相等? dx例2 求下列不定积分

11(1)x3dx;(2)2dx;(3)dx.

x1?x2例3 检验下列不定积分的正确性：

???????（1）xcosxdx?xsinx?C；（2）xcosxdx?xsinx?cosx?C;

例4已知曲线y?f(x)在任一点x处的切线斜率为2x, 且通过点(1, 2), 求曲线的方程. 例5 质点以初速v0铅直上抛, 不计阻力, 求它的运动规律.

32例6 计算不定积分??1?x??dx. 例7 求不定积分

??2????2edx.

xx1?x?x2例8 求不定积分dx. 例9 求不定积分

x(1?x2)??1?x21?x4dx.

x4例10 求不定积分dx.

1?x2?例11求下列不定积分: (1)tan2xdx?(2)sin2?xdx. 2例12 求满足下列条件的F(x).F?(x)?例13 求满足下列条件的F(x).F?(x)?1?x1?x3,F(0)?1.

cos2x???F,????1.

sin22x?4??1,0?x?1例14 已知f?(lnx)??, 且f(0)?0, 求f(x).

?x,1?x???课堂练习

1.求下列不定积分

1?x(1)3dx;x?4?ex?2?32x(2).

3x??1,x?0?2.符号函数f(x)?sgnx??0,x?0在(??,??)内是否存在原函数? 为什么?

??1,x?0?第二节 换元积分法

内容要点

一、第一换元积分法(凑微分法)

?g[?(x)]??(x)dx??g(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C.

二、常用凑微分公式

积分类型1.f(ax?b)dx?2.f(x)x换元公式(a?0)u?ax?bu?x?u?lnxu?exu?axu?sinxu?cosxu?tanxu?cotxu?arctanx?1a?f(ax?b)d(ax?b)1????1dx???f(xx?)d(x)(??0)?第一换元积分法??f(lnx)d(lnx)4..?f(e)?edx??f(e)de15.?f(a)?adx?f(a)dalna?6.?f(sinx)?cosxdx??f(sinx)dsinx7.?f(cosx)?sinxdx???f(cosx)dcosx8.?f(tanx)secxdx??f(tanx)dtanx9.?f(cotx)cscxdx???f(cotx)dcotx110.?f(arctanx)dx??f(arctanx)d(arctanx)1?xxxxxxxx22213.f(lnx)?dx?x11.f(arcsinx)?11?x2dx??f(arcsinx)d(arcsinx)u?arcsinx?

三、第二换元法

?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[?(x)]?C,

注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有

x2?a2, x?asect.

1d)当有理分式函数中分母的阶较高（高二次以上）时, 常采用倒代换x?.

t 四、积分表续

a)

a2?x2, x?asint; b) x2?a2, x?atant; c)

例题选讲

例1

??(2x?1)10dx. 例2

1?3?2xdx.

1a注: 一般情形:f(ax?b)dxax?b?u例3 例5

xexdx 例4

2??f(u)du.

12222?x1?xdx. 注: 一般情形:?xf(x)dxx?u?f(u)du.

?11dx. 注: 一般情形: f(lnx)dx?f(lnx)d(lnx).

x(1?2lnx)x例6 求下列不定积分 (1) 注: 一般情形:

?e3xxdx; (2)

?tanxxdx.

?f(x)1xdx?2f(x)d(x).

?例7 求下列不定积分: (1)

1?x2?8x?25dx.

1sin1例8 求下列不定积分:(1) ?dx; (2) ?2xdx. x1?ex1?a2?x2dx; (2)

注: 一般情形: 例9

?f(ex)exdx??f(ex)d(ex);

??1?1?1??1?f??2dx??f??d??. ?x?x?x??x???sin2xdx.

325sinxdxsinx?cosxdx. ; (2) ??注: 一般情形: f(sinx)cosxdx?f(sinx)d(sinx); f(cosx)sinxdx??f(cosx)d(cosx). 例10 求下列不定积分:(1) 例11 求下列不定积分 (1)例12

注: 当被积函数是三角函数的乘积时，折开奇次项去凑微分.

?cosxdx;

2 (2)?cos4xdx.

?1dx. 例13 22x?a?12x?3?2x?1dx.

?cscxdx; (2) ?secxdx.

例15 求下列不定积分: (1) ?secxdx; (2) ?tanx?sec1例16 ?dx. 例17 求?cos3xcos2xdx..

1?sinx例14 求下列不定积分: (1)

653xdx.

例18 例20

?sinx?cosx3sinx?cosxdx. 例19

???cosx2?co2sxx2?1dx. x4?1dx.

??11?xlndx. 例21 1?x21?xln(x?1?x2)dx. 例23 1?x21dx (a?0). 例25 22x?a例22 例24

a2?x2dx (a?0).

??2ex1?e2xdx.

例26

x?a注: 以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下: 当被积函数中含有

x2?a2,可令x?asect.

1倒代换 当有理分式的函数中分母的阶较高（高二次以上）时，可采用倒代换x?.

t11例28 例29 dx. dx.742x(x?2)xx?1有理化代换 去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，应根据被积函数的情况来确定采用何种根式有理化代换.

x51例30dx. 例31 求dx.

2x1?x1?e(1)a2?x2,可令x?asint; (2)a2?x2,可令x?atant; (3)?x34?x2dx. 例27?122dx(a?0).

????课堂练习

1.求下列不定积分

x(1)?dx;3(1?x)1(2)?dx;.1?cosx1?x??(3)??1?2?ex;x??1(4)?1xx?12dx

2.设f?(sin2x)?cos2x, 求f(x).

第三节 分部积分法

内容要点

分部积分公式：

?udv?uv??vdu 或 ?uv?dx?uv??u?vdx

n分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常

考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数).

xsinmxesinmxxennmxnxnxcosmxecosmxx(lnx)nnnnx选v/?????????????????

xarcsinmxxarccosmxxarctanmx例题选讲

例1 ?xcosxdx. 例2 ?x2exdx.

例3

??????????????????选u?反三角函数指数函数??幂函数?三角函数??对数函数

?xarctanxdx. 例4

?x3lnxdx.

例5 例7 例9

?exsinxdx. 例6sin(lnx)dx.

??sec3xdx. 例8

?arcsinx1?xdx.

??xarctanx1?x2dx. 例10

?exdx.

例11ln(1?x)dx. 例12 求I?例13

?ex31/3xdx.

?(1?x)arcsin(1?x)2x?x2dx. 例14求In?2?dx,其中n为正整数. 22n(x?a)例15 已知f(x)的一个原函数是e?x, 求xf?(x)dx. 例16

??esinxxcos3x?sinxdx. 例17

cos2x?sinxln(tanx)dx.

例18 例20

?x2exdx. 例19

(x?2)2?xlnxdx.

?lnxdx. 例21 ?xsinxdx. 例22 ?ecosxdx..

x课堂练习

1. 求不定积分

?xsin2xdx; 2. 求不定积分

?e?xsin2xdx.

第四节 有理数函数的积分

内容要点

一、有理函数的积分 1．最简分式的积分

下列四类分式称为最简分式,其中n为大于等于2的正整数.,A、M、N、a、p、q均为常数,且p2?4q?0.

AMx?NMx?NA(1) ； (2) ； (3) ； (4) .

x?a(x2?px?q)n(x?a)nx2?px?q 2．有理分式化为最简分式的和 二、可化为有理函数的积分

1．三角函数有理式的积分: 由sinx、cosx和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数,记为R(sinx,cosx).

2．简单无理函数的积分

求简单无理函数的积分,其基本思想是利用适当的变换将其有理化,转化为有理函数的积分. 下面我们通过例子来说明.

例题选讲

例1 例2

x?3?x2?5x?6dx.

?11. 例3dxdx. 22x(x?1)(1?2x)(1?x)?x2?2x?1dx. 例5 例4 ?(x?1)(x2?x?1)例6

2x3?2x2?5x?5?x4?5x2?4.

sinxdx. x/2x/31?sinx?cosx1?e?e?e11?sinx例8 . 例9dxdx. 4sin3x?sinxsinxxdx例10 dx. . 例11

3sinx?4cosx3x?1?2x?111例12 ?dx. 例13 dx. 3x(1?x)x?x?1dx. 例7 x/6??????例14 例16

?x33x?1dx. 例15

?1xx?1dx. x?1x?1dx. 例17

xx?1?1x?1?x?13dx..

课堂练习

求下列不定积分

x4?1(1)dx;2(x?1)(x?1)

?(2)?dx. 25cosx?4

1. 求微分方程

dycosy的通解. ?dxcosysin2y?xsiny2. 设函数f(x)可微且满足关系式[2f(t)?1]dt?f(x)?1,求f(x).

0?x第四节 可降阶的二阶微分方程

内容要点

一、 y???f(x)型

在方程

y????f(x)dx?C?dx?C

12y???f(x)两端积分，得y???f(x)dx?C1再次积分，得

二、y???f(x,y?)型

令y??p(x), 则y???p?(x)，原方程化为以p(x)为未知函数的一阶微分方程， p??f(x,p).设其通解为p??(x,C1),然后再根据关系式y??p, 又得到一个一阶微分方程分，即可得到原方程的通解y??(x,C1)dx?C2.

三、y???f(y,y?)型

把y暂时看作自变量，并作变换y??p(y), 于是，由复合函数的求导法则有

dy??(x,C1).对它进行积dx?dpdpdydpdp???p.这样就将原方程就化为p?f(y,p).这是一个关于变量y、p的一阶微dxdydxdydy分方程. 设它的通解为y??p??(y,C1),这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解

dy??(y,C1)?x?C2. y???例题选讲

例1求方程y???e例2求方程xy(4)2x?cosx满足y(0)?0,y?(0)?1的特解.

?y(3)?0的通解.

例3 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动. 设力F仅是时间t的函数: F?F(t). 在开始时刻t?0时F(0)?F0, 随着时间t的增大, 此力F均匀的减少, 直到t?T时, F(T)?0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.

2dy2dy例4求方程(1?x)2?2x?0的通解. dxdx例5 求微分方程(1?x)y???2xy?满足初值问题.y2x?0?1, y?x?0?3的特解.

例6 求微分方程xy???2y??1满足y(1)?2y?(1), 且当x?0时，y有界的特解.

例7设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.

例8求方程yy???y??0的通解.

例9 求微分方程yy???2(y??y?)满足初始条件y(0)?1, y?(0)?2的特解.

22课堂练习

1. 求方程y????lnx的通解.

2.一质量为m的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.

第五节 二阶线性微分方程解的结构

内容要点

一、二阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程的一般形式是

d2ydx2?P(x)dy?Q(x)y?f(x)，其中P(x)、Q(x)及f(x)是自变dx量x的已知函数，函数f(x)称为方程(5.1)的自由项. 当f(x)?0时, 方程成为d2ydy?P(x)?Q(x)y?0，这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，原方程称为二阶非齐次

dxdx2线性微分方程.

定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是齐次方程的两个解, 则y?C1y1(x)?C2y2(x)

也是该方程的解，其中C1,C2是任意常数.

定理2 如果y1(x)与y2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解，则y?C1y1(x)?C2y2(x) 就是该方程的通解，其中C1,C2是任意常数.

定理3 设y是非齐次方程的一个特解，而Y是其对应的齐次方程的通解，则y?Y?y? 就是二阶非齐次线性微分方程的通解.

??定理4 设y1与y2分别是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与

??y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解，则y1?y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x) 的特解.

定理5 设y1?iy2是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?if2(x)的解，其中P(x),Q(x),f1(x),f2(x)为实值函数，i为纯虚数. 则y1与y2分别是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的

?解.

例题选讲

例1 已知y1?xex?e2x,y2?xex?e?x,y3?xex?e2x?e?x是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：

（1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程；

（3）求此微分方程满足y(0)?7,y?(0)?6的特解.

课堂练习

1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的? (1)ex,xex;22(2)eax,ebx(a?b).

2.给出n阶线性微分方程的n个解, 问能否写出这个微分方程及其通解? 3.已知y1(x)?ex是齐次方程y???2y??y?0的解, 求非齐次方程y???2y??y?1xe的通解. x第六节 二阶常系数齐次线性微分方程

内容要点

一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法

y???py??qy?0 特征方程 r2?pr?q?0, 称特征方程的两个根r1,r2为特征根.

特征方程r2?pr?q?0的根微分方程y???py??qy?0的通解有二个不相等的实根r1,r2有二重根r1?r2r???i?有一对共轭复根1r2???i?y?C1er1x?C2er2xy?(C1?C2x)er1xy?e?x(C1cos?x?C2sin?x)

这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法. 二、 n阶常系数齐次线性微分方程的解法 n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为

y(n)?p1y(n?1)???pn?1y??pny?0 其特征方程为

rn?p1rn?1???pn?1r?pn?0

根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:

特征方程的根是k重根r是k重共轭复根??i?通解中的对应项(C0?C1x???Ck?1xk?1)erx[(C0?C1x???Ck?1xk?1)cos?x?(D0?D1x???Dk?1xk?1)sin?x]e?x

注: n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解为

y?C1y1?C2y2???Cnyn.

例题选讲

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法

例1求方程y???2y??3y?0的通解. 例2求方程y???4y??4y?0的通解.

例3求方程y???2y??5y?0的通解. 例4求方程y(4)?2y????5y???0的通解. d4w例5求方程4??4w?0的通解, 其中??0.

dx例6 求下列微分方程的通解.

(1) y?2y?y??0; (2)y?2y?y???2y?0.

例7已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为

y1?ex,y2?xex,y3?cos2x,y4?3sin2x,

?5??3??6?(4)求这个四阶微分方程及其通解.

课堂练习

1.求解下列二阶常系数齐次线性微分方程： (1) y???5y??6y?0； (2) 16y???24y??9y?0； (3) y???8y??25y?0.

2.求方程y(5)?y(4)?2y(3)?2y???y??y?0的通解. 3.求微分方程yy???(y?)2?y2lny的通解.

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程

内容要点

一、f(x)?Pm(x)e?x型

当f(x)?Pm(x)e?x时，二阶常系数非齐次线性微分方程(7.1)具有形如y*?xkQm(x)e?x 的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，而k按?是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(7.4)式中的k是特征方程的根?的重数（即若?不是特征方程的根，k取0；若?是特征方程的s重根，k取为s）. sx或Pm(x)e?xsin?x型 二、f(x)?Pm(x)e?xco?即要求形如

y???py??qy?Pm(x)e?xcos?x

y???py??qy?Pm(x)e?xsin?x

两种方程的特解.

由欧拉公式知道，Pm(x)e?xcos?x和Pm(x)e?xsin?x分别是 Pm(x)e(??i?)x?Pm(x)e?x(cos?x?isin?x) 的实部和虚部.

我们先考虑方程

y???py??qy?Pm(x)e(??i?)x.

这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(7.7)的一个特解，则根据第五节的定理5知道，方程(7.7)的特解的实部就是方程(7.5)的特解，而方程(7.7)的特解的虚部就是方程(7.6)的特解.

方程(7.7)的指数函数e(??i?)x中的??i?(??0)是复数，特征方程是实系数的二次方程，所以??i?只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根. 因此方程(7.7)具有形如

y*?xkQm(x)e(??i?)x的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，而k按?是不是特征

方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.

上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(7.8)式中的k是特征方程含根??i?的重复次数.

例题选讲

例1下列方程具有什么样形式的特解?

(1) y???5y??6y?e3x; (2) y???5y??6y?3xe?2x; (3) y???2y??y??(3x2?1)e?x.

例2求方程y???2y??3y?3x?1的一个特解. 例3求方程y???3y??2y?xe2x的通解. 例4 求微分方程y???y?x?ex的通解.

例5 求方程y???2y??y?(6x?4)e?x?1的特解.

例6求方程y????3y???3y??y?ex的通解. 例7 求方程y???y?4sinx的通解. 例8求方程y???y?xcos2x的通解.

例9 设函数y(x)满足y?(x)?1?[6sin2t?y(t)]dt,y(0)?1,求y(x).

02x?x例10求以y?(C1?C2x?x2)e?2x(其中C1,C2为任意常数)为通解的线性微分方程. 例11 已知函数y?e2x?(x?1)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程

y???ay??by?cex的一个特解, 试确定常数a,b与c及该方程的通解.

课堂练习

1.写出微分方程y???4y??4y?6x2?8e2x的待定特解的形式.

2.求微分方程y???y??2x2ex的通解. 3.求微分方程y???6y??9y?excosx的通解. 4. 求微分方程y????y???x2?4x的通解.

第八节 欧拉方程

内容要点

形如xny(n)?p1xn?1y(n?1)???pn?1xy??pny?f(x) 的方程称为欧拉方程, 其中p1,p2,?,pn为常数.

欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 x?et 或 t?lnx,

将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(8.1)化为以t为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t换为lnx, 即得到原方程的解.

d 如果采用记号D表示对自变量t求导的运算, 则上述结果可以写为

dtxy??Dy, x2y???D(D?1)y，

x3y????(D3?3D2?2D)y?D(D?1)(D?2)y，

一般地，有

xky(k)?D(D?1)?(D?k?1)y.

例题选讲

1的通解. x例2求欧拉方程x3y????x2y???4xy??3x2的通解.

例1求欧拉方程x2y???xy??6lnx?例3 设有方程 (1?x)y?定的函数y(x).

?x0[2y?(1?x)2y??]dx?ln(1?x),(x?0),y?(0)?0,求由此方程所确

第十节 数学建模—微分方程的应用举例

内容要点

(1) 衰变问题 (2) 追迹问题 (3) 自由落体问题 (4) 弹簧振动问题 (5) 串联电路问题

例题选讲

例1镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量.

例2 碳14(C)是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质.活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数.已测知一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代.

例3设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正北行走；甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以nv0(n?1)的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.

例4一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).

例5设有一个弹簧, 它的一端固定, 另一端系有质量为m的物体, 物体受力作用沿x轴运动, 其平衡位置取为坐标原点(图12-11-3). 如果使物体具有一个初始速度v0?0,那么物体便离开平衡位置, 并在平衡位置附近作上下振动. 在此过程中, 物体的位置x随时 间t变化. 要确定物体的振动规律, 就是要求出函数x?x(t).

如图12-11-7是由电阻R、电感L及电容C（其中R,L,C是常数）串联而成的回路, t?0时合上开关, 接入电源电动势E(t),求电路中任何时刻的电流I(t).

dIQQ根据克希霍夫回路电压定律, 有L?RI??E(t),其中RI为电流在电阻上电降压, 而(Q为

dtCCdI电容器两极板间的电量, 是时间t的函数)为电容在电感上电压降, L则为电流在电感上电压降. 由

dt2dQdQ1dQ电学知, I?这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程. ?Q?E(t)，,于是方程成为L2?RdtCdtdt若当t?0时, 已知电量为Q0和电流为I0,则我们有初始条件: Q(0)?Q0,Q?(0)?I(0)?I0.此时, 能求出方程(11.13)初vi始问题的解.

例6在图7-10-8的电路中, 设 R?40?,L?1H, C?16?10?4F, E(t)?100cos10t

且初始电量和电流均为0, 求电量Q(t)和电流I(t).

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