汽车流量问题数学建模

2010河北化药学院数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A——J中选择一项填写）： 一 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 河北化工医药职业学院 参赛队员 (打印并签名)： 1. 刘小敏 有机30902 12

2. 高聚涛 有机30901 37 3. 杨志成 计机30902 35

日期： 2010 年 12 月 12 日

签名：

交通流量图模型

摘 要

本论文解决的是交通流量的问题。本文根据某城市的单行道各交叉路口流入流出量相等列出方程组，利用线性代数的相关知识，求得各交叉路口交通流量通

??1??600??1??200?????(0?k1?600,且为整数)，此结果即为交通流量图的模解为x?k1?0???400??????1500??????1????0??型。

关键词：流入等于流出 线性代数 通解

一、问题重述

在某市中心单行道交叉路口，驶入和驶出如图所示，图中给出了上下班高峰时每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计），利用所学知识，建立这个交通流量图的模型。

二、问题分析

城市道路网中每条道路，交叉路口车流量分析是改善评价交通情况的基础。必要时设置单行线，减少了转弯时的交通容量，解决了大量车辆长时间拥堵问题。 几条单行道彼此交叉，存在交叉点分别为A、B、C、D。本题给出了上下班高峰时每个道路交叉口的每小时交通流量。对于四个点流入量等于流出量，从而得出方程组，利用增广矩阵的初等变换，求出齐次方程组的解，得到线性方程组的通解，从而得最终结果。

三、问题假设

（1）假定全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；

（2）假定全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量. （3）假定汽车行驶的方向随机且概率相同

（4）假定每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计） （5）假定车与车之间是相互独立的，互不影响

四、符号说明

（Ab）：方程组的增广矩阵

?：方程组的一个特解

?1：导出组的基础解系

x：方程组的通解

五、模型建立与求解

在每一个路口处可根据进出的汽车流量相等关系,建立一个线性代数方程。则列出以下线性方程组：

A:x1?x2?300?500

C:x4?x5?100?400B:x2?x4?300?x3D:x1?x5?600整理得线性方程组为：

x1?x2?800x2?x3?x4?300x4?x5?500x1?x5?600（Ab）作方程组的增广矩阵，并对它施以初等行变换：

?1?0（Ab）???0??1?1?0???0??0?1?0???0??011001101100100800??110300??011500??001600?000800??110300?? 0?11500??00?1200?000800??111100??0?11500??00?1200?0?r（A）?4?5，所以其线性方程组有无穷解 则r（Ab）即原方程组与方程组

x1?x2?800?x3?x4?x5?100x4?x5?500x2?x5?200 x1?600?x5x2?200?x5x3?400x4?500?x5

同解，其中x5为自由未知量。 令x5?0，得方程的一个特解

?600??200??????400?

??500????0??原方程的导出组与方程组

x1?x2?0?x3?x4?x5?0x4?x5?0x2?x5?0 x1??x5x2?x5x3?0x4??x5

同解，其中x5为自由未知量。 令x5?1，即得导出组的基础解系

??1??1????1??0?

????1???1??因此原方程组的通解为

x?k1?1????1??600??1??200?????（k1为任意实数） ?k1?0???400??????1500??????1????0??于是方程组的通解其中k1为任意常数，所以x有无穷多解.

但是根据题意0?x5?600，即0?k1?600 所以符合交通流量图的模型为

??1??600??1??200?????x?k1?0???400??????1500??????1????0??(0?k1?600,且为整数)

六、模型结果分析与检验

分别将k取最最大值600和最小值0带入通解公式，求得xi，将其带入图中，交通顺畅，基本不会造成车拥堵现象。因为两种极限情况符合要求，所以通解符合

要求，模型结果可靠，具有推广意义。

七、模型评价

1、模型的优点：此模型比较充分的的考虑了题目中的约束条件，简单明了，采用线性代数的方法确立最终模型，建立的模型贴近实际，具有推广意义和参考价值。

2、模型的缺点：模型与实际情况存在一定差异，没有考虑自然条件影响，仍有理想化的地方。

八、参考文献

1.赵树嫄，《线性代数》，中国人民大学出版社 2.傅家良，《运筹学方法与模型》，复旦大学出版社 3.胡建，《线性代数》，化学工业出版社 4.钱春林. 《线性代数》，高等教育出版社 5.姜启源等编，《数学模型》，高等教育出版社

但是根据题意0?x5?600，即0?k1?600 所以符合交通流量图的模型为

??1??600??1??200?????x?k1?0???400??????1500??????1????0??(0?k1?600,且为整数)

六、模型结果分析与检验

分别将k取最最大值600和最小值0带入通解公式，求得xi，将其带入图中，交通顺畅，基本不会造成车拥堵现象。因为两种极限情况符合要求，所以通解符合

要求，模型结果可靠，具有推广意义。

七、模型评价

1、模型的优点：此模型比较充分的的考虑了题目中的约束条件，简单明了，采用线性代数的方法确立最终模型，建立的模型贴近实际，具有推广意义和参考价值。

2、模型的缺点：模型与实际情况存在一定差异，没有考虑自然条件影响，仍有理想化的地方。

八、参考文献

1.赵树嫄，《线性代数》，中国人民大学出版社 2.傅家良，《运筹学方法与模型》，复旦大学出版社 3.胡建，《线性代数》，化学工业出版社 4.钱春林. 《线性代数》，高等教育出版社 5.姜启源等编，《数学模型》，高等教育出版社

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tgit.html