优秀的近世代数期末考试总复习

近世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，则?是从A到B的（ ） A、满射而非单射 C、一一映射

B、单射而非满射 D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。 A、2

B、5 C、7

D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（ ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合A???1,0,1?；B??1,2?，则有B?A?---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。 4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元

1

是---，元a的逆元是-------。

8、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换?和?分别为：????12345678??12345678?，，判断???????64173528??23187654?和?的奇偶性，并

把?和?写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合Mm?{0,1,2,??,m?1,m}(m?1)，定义Mm中运算“?m”为a?mb=(a+b)(modm),则（Mm，?m）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设G是群。证明：如果对任意的x?G，有x的一个商域。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。 33????aa,e???? e,ae,a,aA、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设?1、?2、?3是三个置换，其中?1=（12）（23）（13），?2=（24）（14），?3=（1324），则?3=（ ） A、? B、?212?e，则G是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R

1?2

C、? D、?2?1

22 2

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。

6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。

na,a,?,aa?a????a??0。01n?01nFF7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得

48、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x?A均成立x?a?x，则称a为---------。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E中的运算，（E，?）是一个代数系统，问（E，?）是不是群，为什么？ 3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。 2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m︱a–b。

3

近世代数模拟试题三

一、单项选择题

1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶

2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）

A、（N,?） B、（Z,?） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),?)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）

A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

?1ffaAAA2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则?f?a???----------。 3、区间[1，2]上的运算a?b?{mina,b}的单位元是-------。 4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。 9、设群G中元素a的阶为m，如果a

n?e，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

4

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？ 3、设有置换??(1345)(1245)，??(234)(456)?S6。

?1???1．求和?；

2．确定置换??和??1?的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题四

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。 A.2 C.7

B.5 D.10

?：x→x＋2，?x∈R，

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射 则?是从A到B的（ ） A.满射而非单射 C.一一映射

B.单射而非满射 D.既非单射也非满射

3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A.(1)，(123)，(132)

B.(12)，(13)，(23)

5

C.(1)，(123) A.2 C.6

D.S3中的所有元素

4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。

B.4 D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ） A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法 B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法 C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝0 D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝1 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。

7.设(G，·)是一个群，那么，对于?a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝ ___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于?a∈G，则元素a的阶只可能是___________。

10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。

11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6

中的所有零因子是___________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。 13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________

6

___________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________ ___________。 15.有理数域Q上的代数元

2+3在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，?是Z到Zm的一个映射，其中

?

：k→［k］，?k∈Z，

验证：?是Z到Zm的一个同态满射，并求?的同态核Ker?。

17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）

19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“?”

由右边的运算表给出，证明：(G，?)作成一个群。

? a a b c b b c a c c a b

a b c 20.设

7

??aR??????c?b??a,b,c,d?Z?,d?????a0???I???a,c?Z?, ?c0?????已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。

21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。

近 世 代 数 试 卷

一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A且x?B?。 （ ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。 （ ） 4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ ） 6、群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1Hg?H。 （ ） 7、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。 （ ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ ） 9、F(x)中满足条件p(?)?0的多项式叫做元?在域F上的极小多项式。 （ ） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?p?同构的子域，这里Z是整数环，?p?是由素数p生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、设A1,A2,?,An和D都是非空集合，而f是A1?A2???An到D的一个映射，那么（ ）

①集合A1,A2,?,An,D中两两都不相同；②A1,A2,?,An的次序不能调换； ③A1?A2???An中不同的元对应的象必不相同；

8

2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ）

④一个元?a1,a2,?,an?的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ）

①在整数集Z上，a?b?a?b； ②在有理数集Q上，a?b?abab；

③在正实数集R?上，a?b?alnb；④在集合?n?Zn?0?上，a?b?a?b。

3、设?是整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（ ）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）

①0和?x； ②1和0； ③k和x?2k； ④?k和?(x?2k)。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ ） ①bc?1a?1； ②c?1a?1； ③a?1bc?1； ④b?1ca。

6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果6，那么G的阶G?（ ）

①6； ②24； ③10； ④12。 7、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（

）

①f的同态核是G1的不变子群； ②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③

G1的子群的象是G2的子群；

④G1的不变子群的象是G2的不变子群。

8、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（ ） ①若a是零元，则b是零元； ②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。 9、下列正确的命题是（ ）

①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ） ①?E:I???E:I??I:F?； ②?F:E???I:F??E:I?；

9

③?I:F???E:F??F:I?； ④?E:F???E:I??I:F?。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）

1、设集合A???1,0,1?；B??1,2?，则有B?A? 。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f?1?f?a??? 。 3、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么

Ai?Aj?

。

4、设群G中元素a的阶为m，如果an?e，那么m与n存在整除关系为 。 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

)，那么??1? 。 6、给出一个5-循环置换??(314257、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 。

8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么RI是一个域当且仅当I是 。

9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果 。 10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。 四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分） 1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。

10

4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d?d'。

5、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,?,an使得

a0?a1????an?n?0。

五、计算题（共15分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换

?1234??1234??1234??1234??1???1234??,?2???1243??,?3???2134??,?4???2143?? ????????组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及?1?1,?2?1,?3?1,?4?1和G的所有子群。 2、设

Z6???0?,?1?,?2?,?3?,?4?,?5??是模6的剩余类环，且

f(x),g(x)?Z6?x?。如果

f(x)??3?x3??5?x??2?、g(x)??4?x2??5?x??3?，计算f(x)?g(x)、f(x)?g(x)和f(x)g(x)以及它

们的次数。

六、证明题（每小题10分，共40分）

1、设a和b是一个群G的两个元且ab?ba，又设a的阶a?m，b的阶b?n，并且

(m,n)?1，证明：ab的阶ab?mn。

2、设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，将R的所有这样的变换构成一个集合G??f(a,b)?a,b?R,a?0?，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。

3、设I1和I2为环R的两个理想，试证I1?I2和I1?I2??a?ba?I1,b?I2?都是R的理想。 4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。

测验题 一、 填空题（42分）

1、设集合M与M分别有代数运算?与?，且M~M，则当? 时，?也满足结

11

合律；当? 时，?也满足交换律。 2、对群中任意元素a,b,有(ab)?1= ；

3、设群G中元素a的阶是n，n|m则am= ； 4、设则

aa是任意一个循环群，若|a|??，则

a与 同构；若|a|?n，

与 同构；

a5、设G=为6阶循环群，则G的生成元有 ；子群有 ；

6、n次对称群Sn的阶是 ；置换??(1378)(24)的阶是 ；

?7、设????1234??1234???，????4132??，则??? 2341????；

8、设??(14)(235)，??(136)(25)，则????1? ； 9、设H是有限群G的一个子群，则|G|= ； 10、任意一个群都同一个 同构。 二、证明题（24）

1、 设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程xn?e。

2、 叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交H?K仍然是G的一个子群。

3、 证明:如果群G中每个元素都满足方程x2?e，则G必为交换群。 三、解答题（34）

1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算a?b?a?b?4作成群。 2、写出三次对称群S3的所有子群并写出S3关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。

12

近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。??1,?1?,?1,0?,?1,1??2,?1?,?2,0?,?2,1??；1、2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）?和?写1、解：把成不相杂轮换的乘积：??(1653)(247)(8)?为?为可知奇置换，偶置换。??(123)(48)(57)(6)?和?可以写成如下对换的乘积：??(13)(15)(16)(24)(27)??(13)(12)(48)(57)B?11(A?A?)C?(A?A?)2，2，则B2、解：设A是任意方阵，令A?B1?C1，A?B?C。是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且若令有B1和C1分B?B1?C1?C，这里别为对称矩阵和反对称矩阵，则而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须B?B1，C?C1，都等于0，即：所以，表示法唯一。Mm，?m）Mm中3、答：（不是群，因为有两个不同的单位元素0和m。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）(xy)1、对于G中任意元x，y，由于2?12?e，xy?(xy)?1?y?1x?1?yx所以x?e可x?x）（对每个x，从得。2、证明在F里ab?1?b?1a?a(a,b?R,b?0)b?a??Q??所有?(a,b?R,b?0)b?有意义，作F的子集?

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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射x→x＋2，∈R，则从A?：?x?是到B的（）A、满射而非单射C、一一映射合A×B中含有（A、2A、不是唯一B、5B、单射而非满射D、既非单射也非满射）个元素。C、7D、102、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)C、相等D、不一定相等。4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、05、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。A???1,0,1?；B??1,2?，B?A?-1、设集合则有--------。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。4、偶数环是---------的子环。5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。6、每一个有限群都有与一个置换群--------。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。I?S?R，S是I和R的I是R的8、设环理想且如果最大理想，那么---------。9、一个除环的中心是一个-------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

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