高中文科数学 三角函数习题

三角函数习题

一、选择题 1 ．

sin47?sin17cos30

cos17A．?（ ）

3 2B．?1 2C．

1 2D．3 22 ．把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,

再向下平移 1个单位长度,得到的图像是

3 ．将函数f(x)?sin?x(??0)的图像向右平移

3??,0),则?的最小值是个单位长度,所得图像经过点(44（ ）

A．

1 3B．1 C．

5 3D．2

4 ．如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE?1,连接EC、ED则sin?CED? （ ）

A．310 102B．10 1022C．5 10D．5 15DC5 ．在?ABC中,若sinA?sinB?sinC,则?ABC的形状是

（ ） EAD．不能确定.

BA．钝角三角形. B．直角三角形. C．锐角三角形.

6 ．设向量a=(1.cos?)与b=(-1, 2cos?)垂直,则cos2?等于

A

12 B

22C．0 D．-1

（ ）

D．?1?3 （ ）

??x????(0?x?9)的最大值与最小值之和为 7 ．函数y?2sin?3??6A．2?3 8 ．已知sin??cos?B．0 C．-1

?2,??(0,π),则sin2?=

B．?A．?1

2 2C．

2 2D．1

9 ．已知?>0,0????,直线x=

5??和x=是函数f(x)?sin(?x??)图像的两条相邻的对称轴,则?=

44 πA．

4

10．若

（ ）

πB．

3

πC． 2

3πD．

4

sin??cos?1?,则tan2α=

sin??cos?233A．- B．

44（ ）

C．-

4 3D．

4 3（ ）

11．在△ABC中,AC=7 ,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于

B．A．3 233 2C．3?6 2D．3?39 412．设?ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且

A?B?C,3b?20acosA,则sinA:sinB:sinC为

A．4∶3∶2

B．5∶6∶7

C．5∶4∶3

D．6∶5∶4

13．(解三角形)在?ABC中,若?A?60?,?B?45?,BC?32,则AC?

（ ）

（ ）

A．43

14．函数f(x)?sin(x?B．23 C．3 D．3 2（ ）

?4)的图像的一条对称轴是

24315．已知?为第二象限角,sin??,则sin2??

5241212A．? B．? C．

252525x??(???0,2??)是偶函数,则?? 16．若函数f(x)?sin32?3??A． B． C．

322A．x?

?4

B．x??

C．x???

D．x???2

（ ）

D．

24 25（ ）

D．

5? 3（ ）

17．要得到函数y?cos(2x?1)的图象,只要将函数y?cos2x的图象

A．向左平移1个单位 C．向左平移

二、填空题

B．向右平移1个单位 D．向右平移

1个单位 21个单位 21,则sinB?____ 4cosC?18．设△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,且a=1，b=2，19．在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=20．在?ABC中,已知?BAC?60?,?ABC?45?,BC?21．当函数y?sinx??,c=23,则b=______ 63,则AC?_______.

3cosx(0?x?2?)取最大值时,x?____.

22．在△ABC中,若a?3,b?三、解答题

3,?A??3,则?C的大小为___________.

23．设函数f(x)?Asin(?x??)(其中A?0,??0,?????? )在x??6处取得最大值2,其图象与轴的

6cos4x?sin2x?1?相邻两个交点的距离为(I)求f(x)的解析式; (II)求函数g(x)?的值域.

?2f(x?)6

24．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=3acosB. (1)求角B的大小;

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

25．在?ABC中,内角A,B,C所对的分别是a,b,c.已知a?2,c?2,cosA??2. 4(I)求sinC和b的值; (II)求cos(2A?

26．已知函数f(x)?cos2?3)的值.

xxx1?sincos?. 2222(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ)若f(?)?

27．海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴

32,求sin2?的值. 10正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线

y 2P y?12x;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 49援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.

(1)当t?0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

28．函数f(x)?Asin(?x?O A x ?6)?1(A?0,??0)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

?, 2(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设??(0,

?),则f()?2,求?的值. 22?29．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA?tanC)?tanAtanC.

(Ⅰ)求证:a,b,c成等比数列;

(Ⅱ)若a?1,c?2,求△ABC的面积S.

30．在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.

(Ⅰ)求cosB的值;

(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值.

31．已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边,c?3asinC?csinA.

(Ⅰ)求A;

(Ⅱ)若a=2,?ABC的面积为3,求b,c.

32．△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.

(1)求cosA;

(2)若a=3,△ABC的面积为22,求b,c.

33．已知函数f(x)?Asin(?x??)(x?R,??0,0????2的部分图像如图5所示.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数g(x)?f(x?

34．设函数

?12)?f(x??12)的单调递增区间.

f(x)?sin2?x?23sin?xcos?x?cos2?x??(x?R)的图像关于直线x??对称,其中?,?12为常数,且??(,1)

(1) 求函数f(x)的最小正周期; (2) 若y?f(x)的图像经过点(?4,0),求函数f(x)的值域.

35．(三角函数)已知函数f?x??Acos??x????,x?R,且?46????f???2. ?3?(Ⅰ)求A的值;

???(Ⅱ)设?、???0,?,

?2?

4?30?f?4??????,

3?17?2?8?f?4?????,求cos?????的值.

3?5?37．?ABC中,内角A.B.C成等差数列,其对边a,b,c满足2b?3ac,求A.

2

38．已知函数f(x)?(sinx?cosx)sin2x.

sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间.

39．设?ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且有2sinBcosA?sinAcosC?cosAsinC

(Ⅰ)求角A的大小;[来

(II) 若b?2,c?1,D为BC的中点,求AD的长.

三角函数参考答案

一、选择题 1. 【答案】:C

【解析】:

sin47?sin17cos30sin(30?17)?sin17cos30?

cos17cos17?sin30cos17?cos30sin17?sin17cos30sin30cos171??sin30?

cos17cos172【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用47?30?17

2. 【答案】A

【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在x轴上的伸缩变换,在x轴、y轴上

的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换.

【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点????,0?变?2?为?????1,0?,选A. ?2?3. 【解析】函数向右平移

?????),因为此时函数过得到函数g(x)?f(x?)?sin?(x?)?sin(?x?44443?3??3????,0),所以sin?(?)?0,即?(?)??k?,所以??2k,k?Z,所以?的最小值点(444442为2,选D.

4. [答案]B

[解析]?AE?1，正方形的边长也为1?ED?2EC?（EA?AB）?CB?52AE?AD?222CD?1?cos?CED?ED?EC-CD2ED?EC222

?31010sin?CED?1?cos2?CED?2

2

101022[点评]注意恒等式sinα+cosα=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.

5. [解析] 由条件结合正弦定理,得a?b?c,再由余弦定理,得cosC?2a2?b2?c22ab?0,

所以C是钝角,选A.

6. 解析:a?b?0,?1?2cos7. 解析:由0?x?9可知?2??0,cos2??2cos2??1?0,故选C.

??3?6x??3?7?,可知 6??3??x??sin(x?)?[?,1],则y?2sin????[?3,2],

3??6632则最大值与最小值之和为2?3,答案应选A.

8. 【答案】A

【解析】

sin??cos??2,?(sin??cos?)2?2,?sin2???1,故选A

【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.

9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.

???5???,∴?=1,∴??=k??(k?Z), =

42?44??∴?=k??(k?Z),∵0????,∴?=,故选A.

44【解析】由题设知,

10. 【答案】B

【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos?可得tan???3,带入所求式可得结果. 11. 【答案】B

222【解析】设AB?c,在△ABC中,由余弦定理知AC?AB?BC?2AB?BC?cosB,

即7?c?4?2?2?c?cos60,c2?2c?3?0,即(c-3)(c?1)=0.又c?0,?c?3. 设BC边上的高等于h,由三角形面积公式SABC2?11ABBCsinB?BCh,知 221133?3?2?sin60??2?h,解得h?. 222【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.

12. D【解析】因为a,b,c为连续的三个正整数,且A?B?C,可得a?b?c,所以a?c?2,b?c?1①;又

3bb2?c2?a2因为已知3b?20acosA,所以cosA?②.由余弦定理可得cosA?③,则由②③可得

20a2bc153bb2?c2?a22?④,联立①④,得7c?13c?60?0,解得c?4或c??(舍去),则a?6,b?5.

720a2bc故由正弦定理可得,sinA:sinB:sinC?a:b:c?6:5:4.故应选D.

【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.

13.解析:B.由正弦定理,可得

322ACBC??23. ,所以AC??2sin45?sin60?3214. 【答案】C

【解析】把x???4代入后得到f(x)??1,因而对称轴为x???4,答案C正确.

【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 15.答案A

【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用.

【解析】因为?为第二象限角,故cos??0,而sin??342,故cos???1?sin???,所以55sin2??2sin?cos???16.答案C

24,故选答案A. 25【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,.

x??(???0,2??)为偶函数可知,y轴是函数f(x)图像的对称轴,而三角函数的3???3??3k?(k?Z),而对称轴是在该函数取得最值时取得,故f(0)?sin??1???k????33223?,故选答案C. ???0,2??,故k?0时,??2117. 【解析】选C y?cos2x?y?cos(2x?1)左+1,平移

2【解析】由f(x)?sin二、填空题 18. 【答案】:15 411222,由余弦定理得c?a?b?2abcosC?1?4?2?1?2??4,则c?2,即44【解析】a?1,b?2,cosC?115B?C,故sinB?1?()2?.

44【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sinB的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立

已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.

19.解析:由余弦定理得,b=a+c-2accosB=4,所以b=2. 20. 【答案】2222 AC3??AC?2 sin45?sin60?【解析】由正弦定理得

【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力.

21.答案:

5? 6【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点. 【解析】由y?sinx?3cosx?2sin(x?由0?x?2????3)

?3311?5??3???当且仅当x??即x?时取得最小值,x??时即x?取得最大值.

663232

?x???5??可知?2?2sin(x?)?2 3322. 【答案】

? 2ca?b2?c2?a2??c?23,而【解析】cosA?,故sinC?1?C?. sinCsinA22bc【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一

都可以得到最后的答案.

三、解答题

23. 【答案】:(Ⅰ)???6(Ⅱ)[1,)7475(,] 4211(cos2x?)因cos2x?[0,1],且cos2x?

22775故g(x) 的值域为[1,)(,]

442?24. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、基本技能

3cos2x?12的掌握情况. 【解析】(1)

bsinA=

3acosB,由正弦定理可得sinBsinA?3sinAcosB,即得

taBn?(2)

,?3B??3.

由

正

弦

定

理

得

sinC=2sinA,

c?2a,由余弦定理

b2?29?4a2B?2a?2acosa2?2c2?c,ao?acs?3,解得a?3,?c?2a?23.

25.解:(1)在?ABC中,由cosA??ac214?,可得sinA?,又由及a?2,c?2,可得sinAsinC44sinC?27 4222由a?b?c?2bccosA?b?b?2?0,因为b?0,故解得b?1. 所以sinC?7,b?1 4(2)由cosA??321472,sinA?,得cos2A?2cosA?1??,sinA?2sinAcosA??

4444所以cos(2A?

?3)?cos2Acos?3?sin2Asin?3??3?21 826. [解析](1)由已知,f(x)=cos2xxx1?sincos? 2222111?（1?cosx）?sinx? 222?2? cos（x?）24??2,2?，? 22??所以f(x)的最小正周期为2?,值域为??(2)由(1)知,f(?)=所以cos(??2?32 cos（??）?，2410?4?3). 5所以sin2???cos（2?1?2cos（???2?2?）??cos（2??187?, 2525?4）

?4）?1?[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能

力,考查化归与转化等数学思想.

27. [解](1)t?0.5时,P的横坐标xP=7t,代入抛物线方程y?12?7x2 249中,得P的纵坐标yP=3 由|AP|=

9492,得救援船速度的大小为949海里/时

7由tan∠OAP=3?212?7307,得∠OAP=arctan30,故救援船速度的方向

7为北偏东arctan30弧度

(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t). 由vt?因为t2?22(7t)2?(12t2?12)2,整理得v2?144(t2?12)?337

t1t2?2,当且仅当t=1时等号成立,

2所以v?144?2?337?25,即v?25.

因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船

28.

29.解:(I)由已知得:sinB(sinAcosC?cosAsinC)?sinAsinC,

sinBsin(A?C)?sinAsinC,则sin2B?sinAsinC,

再由正弦定理可得:b2?ac,所以a,b,c成等比数列.

a2?c2?b23(II)若a?1,c?2,则b?ac?2,∴cosB??,

2ac42sinC?1?cos2C?7, 41177acsinB??1?2??. 2244∴△ABC的面积S?30. 【答案与解析】

(1)由已知2B=A+C,A+B+C=?,?B=?3,cosB=1 222(2)解法一:b=ac,由正弦定理得sinAsinC=sinB=3 41a2+c2-b2a2+c2-ac=解法二:b=ac,=cosB=,由此得a2+c2-ac=ac,得a=c

22ac2ac2所以A=B=C=?3,sinAsinC=3 4【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 31. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.

【解析】(Ⅰ)由c?3asinC?csinA及正弦定理得

3sinAsinC?sinAsinC?sinC

由于sinC?0,所以sin(A?又0?A??,故A??6)?1, 2?3.

(Ⅱ) ?ABC的面积S=

2221bcsinA=3,故bc=4, 222而 a?b?c?2bccosA 故c?b=8,解得b?c=2.

法二:解: 已知:c?3a?sinC?c?cosA,由正弦定理得:

sinC?3sinA?sinC?sinC?cosA

因sinC?0,所以:1?由

公

式

:

3sinA?cosA ,

b????a?0,tan??,???a2??得

:

asinx?bcosx?a2?b2sin?x????????1?,所以:A? sin?A???,?A是?的内角,所以A??3666?2?(2) S?1bcsinA?3?bc?4 2a2?b2?c2?2bccosA?b?c?4

解得:b?c?2

3(cosBcosC?sinBsinC)?1?6cosBcosC3cosBcosC?3sinBsinC??132. 【解析】(1)3cos(B?C)??1则cosA?cos(??A)??131. 3(2) 由(1)得sinA?22,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 3?b2?c2?a2b2?c2?91?b?3??a?322cosA???则b?c?13②,①②两式联立可得?或?.

2bc123??a?2??b?233. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期T?2(11?5?2??)??,????2. 1212T5?5?5?,0)在函数图像上,所以Asin(2???)?0,即sin(??)?0. 因为点(12126??5?5?4?5?????,从而??=?，又0???,?即?=.

626636（0,1）又点在函数图像上,所以Asin??1,A?2,故函数f(x)的解析式为f(x)?2sin(2x?).

66?????????????g(x)?2sin?2?x?????2sin?2?x????(Ⅱ)??12?6???12?6?

?2sin2x?2sin(2x?)

3?13?2sin2x?2(sin2x?cos2x)

22?sin2x?3cos2x

?2sin(2x?),

3由2k????2?2x??3?2k???2,得k???12?x?k??5?,k?z. 12?5????g(x)的单调递增区间是?k??,k???,k?z.

1212??【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期T?2(得??11?5??)??,从而求12122??2.再利用特殊点在图像上求出?,A,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三T角恒等变换及y?Asin(?x??)的单调性求得.

34. 【解析】(1)因为

f(x)?sin2?x?cos2?x?23sin?xcos?????cos2?x?3sin2?x???2sin(2?x?)??

6由直线x??是y?f(x)图像的一条对称轴,可得sin(2?x?所以2?x???6)??1

k1?(k?Z)

62236?15又??(,1),k?Z,所以k?1时,??,故f(x)的最小正周期是.

526?k??(k?Z),即??(2)由y?f(x)的图象过点(即???2sin(????,0),得f()?0

44?5????)??2sin??2,即???2 62645?故f(x)?2sin(x?)?2,函数f(x)的值域为[2?2,2?2].

36【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,

辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式T?2??来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x的范围确

定函数?x??的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.

35.解析:(Ⅰ)f??2????1???A?2,所以A?2. ??Acos?????Acos?42?3??436?,

所

以

(Ⅱ)

?1?4?4?????30??f?4?????2cos??4???????2cos??????2sin???3?3?6?2?17???4?sin??所

15.17以

?1?2?2???84????f?4?????2cos??4???????2cos??,所以cos??.因为?、???0,?,

3?3?6?55?2???4?c??o?2s??8171,ssin??i1?cosn2??35,所以

cos??????cos?cos??sin?sin??8415313?????. 1751758536. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、

特殊与一般思想、化归与转化的思想.

解:(1)选择(2)式计算如下sin15??cos15??sin15?cos15??1?(2)证明:sin2??cos2(30???)?sin?cos(30???)

213sin30?? 24?sin2??(cos30?cos??sin30?sin?)2?sin?(cos30?cos??sin30?sin?)

33131?sin2??cos2??sin?cos??sin2??sin?cos??sin2?

42422333?sin2??cos2?? 44437. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题风格,依然是通过

边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角B,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案. 【解析】由A.B.C成等差数列可得2B?A?C,而A?B?C??,故3B???B?2而由2b?3ac与正弦定理可得2sinB?3sinAsinC?2?sin22?3且C?2??A 3?3?3sin(2??A)sinA 3所以可得2?32?2??3(sincosA?cossinA)sinA?3cosAsinA?sin2A?1? 433,

由

31?cos2A?1sin2A??1?sin(2A?)?22622A?0?A?2???7????2A??3666,故

?6??6或2A??6???5?,于是可得到A?或A?.

62638. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非

常容易入手.

解:(1)由sinx?0得x?k?,(k?Z),故f(x)的定义域为{x?R|x?k?,k?Z}.

(sinx?cosx)sin2x?=2cosx(sinx?cosx)=sin2x?cos2x?1=2sin(2x?)?1,

sinx42???. 所以f(x)的最小正周期T?2?3?](k?Z). (2)函数y?sinx的单调递减区间为[2k??,2k??22??3?3?7?,x?k?(k?Z)得k???x?k??,(k?Z) 由2k???2x??2k??242883?7??x?k??],(k?Z). 所以f(x)的单调递减区间为[k??88因为f(x)?39. 【解析】(Ⅰ)A?C???B,A,B?(0,?)?sin(A?C)?sinB?0

2sinBcosA?sinAcosC?cosAsinC?sin(A?C)?sinB

?cosA?21??A? 2322222(II)a?b?c?2bccosA?a?3?b?a?c?B??2

在Rt?ABD中,AD?AB2?BD2?12?(327 )?22

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