数学同步练习题考试题试卷教案山东文科数学 - 图文

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

参考公式：

锥体的体积公式：V?13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

球的表面积公式：S?4πR2，其中R是球的半径．如果事件A，B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．满足M??a1，a2，a，，且M??a1，a2，a3???a的集合M的个数是a?，a?3412（） A．1

B．2

C．3

D．4

zz2．设z的共轭复数是z，若z?z?4，z?z?8，则A．i

B．?i

??π2等于（）

C．?1

?x?D．?i

3．函数y?lncosx??y π2π2π??的图象是（） 2?y x ?π2y π2y π2? O O x ?π2 O x ?π2 O π2x

A． B． C． D．

4．给出命题：若函数y?f(x)是幂函数，则函数y?f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（） A．3

B．2

C．1

D．0

??的值为（） ?2? x≤1，?1?1?x，5．设函数f(x)??则f?2?f(2)??x?x?2，x?1，A．

1516 B．?2716 C．

89 D．18

2 3 2 2 俯视图正(主)视图侧(左)视图

6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

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可得该几何体的表面积是（） A．9π C．11π 7．不等式

B．10π D．12π x?5(x?1)2

≥2的解集是（）

A．?3，

?2????1?B．????1?，3? 2?C．

?1?1???1，3? ?2，??D．????1?，1???1，3? 2?C的对边，向量

b8．已知a，，m?(，3?，1n)?c为△ABCB的三个内角A，，．若mA(，coAss?in，且)acosB?bcosA?csinC，则角A，B的大小分别为（） A．

ππ， 63 B．

2ππ， 36 C．

ππ， 36 D．

ππ， 339．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）

分数人数 A．3

B．

21055 20 C．3

4 10 3 30 D．

852 30

1 10

10．已知cos?????π?4?sin???6?52357π??3，则sin????的值是（）

6??4545A．?235 B． C．? D．

11．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x?3y?0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）

7??A．(x?3)??y???1

3??22B．(x?2)?(y?1)?1

222C．(x?1)?(y?3)?1

3??D．?x???(y?1)2?1

2??x12．已知函数f(x)?loga(2?b?1)(a?0，a?1)的图象如图所示，则a，b满足的关系

是（） A．0?aC．0?b

?1y

B．0?b?aD．0?a?1?1?b?1 ?1

?1O ?1 x

?1?a??1 ?b?1

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第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知圆C:x2?y2?6x?4y?8?0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为． 14．执行右边的程序框图，若p?0.8，则输出的n? ．

输入p 15．已知f(3)?4xlog23?233，则f(2)?f(4)?f(8)???f(2)的值等于．

?x?y?2≥0，??5x?y?10≤0，16．设x，y满足约束条件?

?x≥0，?y≥0，?8x开始 n?1，S?0 S?p? 否是 S?S?12n 输出n 结束 n?n?1 则z?2x?y的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）已知函数f(x)?3sin(?x??)?cos(?x??)（0???π，??0）为偶函数，且函数

y?f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

?π??的值； ?8?π6π2．

（Ⅰ）求f?（Ⅱ）将函数y?f(x)的图象向右平移单调递减区间．

18．（本小题满分12分）

个单位后，得到函数y?g(x)的图象，求g(x)的

现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A1被选中的概率；

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（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD?2AD?8，AB?2DC?45．

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD?平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P?ABCD的体积．

20．（本小题满分12分）

将数列?an?中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

?构成的数列为?bn?，b1?a1?1．Sn为数列?bn?的前记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，P M

C B

D A

n项和，且满足

2bnbnSn?Sn2?1(n≥2)．

?1?（Ⅰ）证明数列??成等差数列，并求数列?bn?的通项公式；

?Sn?（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81??

21．（本小题满分12分）

491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

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设函数f(x)?x2ex?1?ax3?bx2，已知x??2和x?1为f(x)的极值点．（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）讨论f(x)的单调性；（Ⅲ）设g(x)?

22．（本小题满分14分）

xy已知曲线C1：?曲线C1的内切圆半径?1(a?b?0)所围成的封闭图形的面积为45，ab25323x?x，试比较f(x)与g(x)的大小．

32为

．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；

（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．

（1）若MO??OA（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；（2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

文科数学（答案）

一、选择题 1．B

解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合M中必含有a1,a2,

则M??a1,a2?或M??a1,a2,a4?.选B. 2．D

解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设z?2?bi，由z?z?8

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得4?b2?8,b??2.3．A

zz?z28??2?2i?82??i.选D.

解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。y?lncosx(??2?x??2 )是偶函数，

可排除B、D，由cosx的值域可以确定.选A.

4．C 解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,

而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题有一个。选C. 5．A

解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。

?1?1115?f()?1??.选A. ?f(2)?4,?f??f(2)41616??6．D 解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。

从三视图可以看出该几何体是由一个球和

一个圆柱组合而成的，其表面及为S?4??12???12?2?2??1?3?12?.选D。 7．D C;

解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知x?1排除B;由x?0符合可排除

由x?3排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。 8．C

解析：本小题主要考查解三角形问题。??A?3cosA?sinA?0，

?3;?sinAcosB?sinBcosA?sinC,

22sinAcosB?sinBcosA?sin(A?B)?sinC?sinC，

C??2.?B?π6.选C. 本题在求角B时,也可用验证法.

9．B 解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。

?x??S2100?40?90?60?10100?1n22?3,

2[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)] 1[20?2 ?1002?1?0?12?30?1?210 2]2 ?10．C

cos(??160?1008210,?S?.选B. 55解析：本小题主要考查三角函数变换与求值。

?6)?sin??32cos??32sin??453，

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12sin(??cos??32sin??45?4??. ??5?，

7?6)??sin(????31)???sin??cos??262? 选C. 11．B

解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。

|4a?3|5?1,?a?2(舍?12).选B.

设圆心为(a,1),由已知得d?12．A 解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。

由图易得a?1,?0?a?1?1;取特殊点x?0??1?y?logab?0, ??1?loga1a?lobga?laog??10?0a,?1?b?1.选A.

二、填空题 13．

x24?y212本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆C:x?y?6x?4y?8?0 ?1 解析：

222y?0?x?6x?8?0,得圆C与坐标轴的交点分别为(2，0),(4，0),

则a?2,c?4,b?12,所以双曲线的标准方程为14．4

12?142x24?y212?1

解析：本小题主要考查程序框图。

?18?0.8，因此输出n?4.

15．2008

x解析：本小题主要考查对数函数问题。

x?f(3)?4xlog23?233?4log23?233,

gx? ?f(x)?4lo2? 8?2334(2log?22?33,2)?f(4?f()f2lo?g22(?8?)?f8( 2?)1?8 641442008.23??log?228?log?2)16．11 解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点

分别为(0，0),(0，2),(2，0),(3，5)时取得最大值11. 5),验证知在点(3，三、解答题

17．解：（Ⅰ）f(x)?3sin(?x??)?cos(?x??)

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?3?1?2?sin(?x??)?cos(?x??)?

2?2?π??2sin??x???6???． ?因为f(x)为偶函数，

所以对x?R，f(?x)?f(x)恒成立，

ππ??)?sin??x????． 66??π?π?π?π?????cos?xsin???sin?xcos???cos?xsin?????????， 6?6?6?6????π???0． 6?因此sin(??x???即?sin?xcos?????整理得sin?xcos?????因为??0，且x?R，所以cos?????π???0． 6?又因为0???π，故??π6?π2．

??π???2cos?x． 2?所以f(x)?2sin??x?由题意得

2ππ?2?，所以??2． ?2故f(x)?2cos2x．

π?π??2cos??4?8?因此f?2．

（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移

π6个单位后，得到f?x???π??的图象， 6?所以g(x)?f?x???π???π??π???2cos2x??2cos2x??????． ??6?63??????15

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当2kπ≤2x?即kπ?π6π3， ≤2kπ?π（k?Z）

2π3≤x≤kπ?（k?Z）时，g(x)单调递减，

??π62π?（k?Z）． 3??因此g(x)的单调递减区间为kπ??，kπ?18．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间

(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)， ??{(A1，B1，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)， (A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生

是等可能的．

用M表示“A1恰被选中”这一事件，则

(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)， M?{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}

事件M由6个基本事件组成，因而P(M)?618?13．

（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件，

(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件N有3个基本事件组成，由于N?{(A1，B1，C1)，所以P(N)?318?16，由对立事件的概率公式得P(N)?1?P(N)?1?16?56．

19．（Ⅰ）证明：在△ABD中，由于AD?4，BD?8，AB?45，所以AD?BD?AB．故AD?BD．

又平面PAD?平面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD，

BD?平面ABCD，

所以BD?平面PAD，

222P M C B

D O 15

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又BD?平面MBD，

故平面MBD?平面PAD．

（Ⅱ）解：过P作PO?AD交AD于O，由于平面PAD?平面ABCD，所以PO?平面ABCD．

因此PO为四棱锥P?ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此PO?32?4?23．

在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB?2DC，

所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为S?故VP?ABCD?134?845?855，

25?452?855?24．

?24?23?163．

20．（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，

2bnbnSn?S2n?1，

又Sn?b1?b2???bn，所以

2(Sn?Sn?1)(Sn?Sn?1)Sn?S?1，

2n?1，

即

2(Sn?Sn?1)?Sn?1Sn1Sn1Sn?1所以??12，

又S1?b1?a1?1．

?1?1所以数列??是首项为1，公差为的等差数列．

2?Sn?由上可知

1Sn2?1?12(n?1)?n?12，

即Sn?n?1．

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所以当n≥2时，bn?Sn?Sn?1??1，　　　　n?1，?因此bn?? 2?，n≥2．?n(n?1)?2n?1?2n??2n(n?1)．

（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q?0．因为1?2???12?12?132?78，

所以表中第1行至第12行共含有数列?an?的前78项，故a81在表中第13行第三列，因此a81?b13?q??又b13??213?142491．

，

所以q?2．

记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，

bk(1?q)1?qk则S?(1?2)2k????(1?2)(k≥3)．

k(k?1)1?2k(k?1)x?12k21．解：（Ⅰ）因为f?(x)?e?xex?1(2x?x)?3ax?2bx

22(x?2)?x(3ax?2b)，

又x??2和x?1为f(x)的极值点，所以f?(?2)?f?(1)?0，

??6a?2b?0，因此?

3?3a?2b?0，?解方程组得a??（Ⅱ）因为a??1313，b??1．，b??1，

x?1所以f?(x)?x(x?2)(e?1)，

令f?(x)?0，解得x1??2，x2?0，x3?1．因为当x?(??，?2)?(0，1)时，f?(x)?0；

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当x?(?2，0)?(1，??)时，f?(x)?0．所以f(x)在(?2，0)和(1，??)上是单调递增的；在(??，?2)和(0，1)上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)?x2ex?1?13x?x，

32故f(x)?g(x)?x2ex?1?x3?x2(ex?1?x)，令h(x)?ex?1?x，则h?(x)?ex?1?1．令h?(x)?0，得x?1，

因为x????，1?时，h?(x)≤0， 1?上单调递减．所以h(x)在x????，1?时，h(x)≥h(1)?0；故x????，???时，h?(x)≥0，因为x??1，???上单调递增．所以h(x)在x??1，???时，h(x)≥h(1)?0．故x??1，所以对任意x?(??，??)，恒有h(x)≥0，又x≥0，因此f(x)?g(x)≥0，

故对任意x?(??，??)，恒有f(x)≥g(x)． ?2ab?45，?22．解：（Ⅰ）由题意得?ab25

?．?223?a?b2又a?b?0，解得a?5，b?4．

x222因此所求椭圆的标准方程为

5?y24?1．

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（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y?kx(k?0)，

A(xA，yA)．

2?x2y22020k??1，2?2解方程组?5得xA?，yA?， 4224?5k4?5k?y?kx，?所以OA?x?y?22A2A204?5k2?20k224?5k?20(1?k)4?5k22．

设M(x，y)，由题意知MO??OA(??0)，

22所以MO??OA，即x?y??222220(1?k)4?5k22，

因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y??xy1kx，

即k??，