解直角三角函数专题复习

《解直角三角形》专题复习

一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 A 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

1几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=AB】

2 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1几何表示：【∵∠ACB=90° D为AB的中点 ∴ CD=AB=BD=AD 】

2C

4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt△ABC中∵∠ACB=90° ∴a2?b2?c2】

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：【∵∠ACB=90°CD⊥AB ∴ CD2?AD?BD

AC2?AD?AB BC2?BD?AB】

6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a?b?c?h）

由上图可得：AB?CD=AC?BC

二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC中，∠C=90°

?A的对边asinA??

斜边c?A的邻边bcosA??

斜边c?A的对边atanA??

?A的邻边b?A的邻边bcotA??

?A的对边a锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.

三、锐角三角函数之间的关系

（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) sin2A?cos2A?1

（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA?tan(90°—A)=1； cotA?cot(90°—A)=1； （3）弦切关系

D B

cosAsinA

cotA= cosAsinA（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) 四、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα cotα 133 3 30° 2tanA=

A30°23260°31C45° 60° 2232 22 1 31 3312 B说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

B五、 解直角三角形

在Rt△中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角

三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

三种基本关系：1、边边关系：a2?b2?c2 2、角角关系：∠A+∠B=90°

3、边角关系：即四种锐角三角函数

解直角三角形的四种基本类型及解法总结： 类型 已知条件 解法 2a2两直角边a、b c?a?b，tanA?，?B?90???A b两边 直角边a ，斜边b?c2?a2，sinA?a，?B?90???A c ca一边 直角边a，锐角A ?B?90???A，b?acotA，c?一锐sinA角 斜边c，锐角A ?B?90???A，a?csinA，b?ccosA

北 六、对实际问题的处理

仰角 西 （1）俯、仰角.

东 俯角 （2）方位角、象限角.

（3）坡角（是斜面与水平面的南 夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 七、有关公式

A111（1）S??absinC=bcsinA=acsinB

22211x（2）Rt△面积公式：S?ab?ch

22αβBa PQA245°C22i α l i?h

h?tan?l

（3）结论：直角三角形斜边上的高h?ab c八、基本图形（组合型）

翻折 平移

九、解直角三角形的知识的应用问题： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题．

(3)计算坝体或边路的坡度等问题

十、解题思路与数学思想方法

图形、条件 单个直角三角形 直接求解 实际问题 数学问题 辅助线构造 抽象转化 不是直角三角形 直角三角形 方程求解 常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用

【聚焦中考考点】

1、锐角三角函数的定义

3

2、特殊角三角函数值

3、解直角三角形的应用

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